Mọi người đều có thể tư duy toán học và hưởng lợi từ điều đó
(quantamagazine.org)- Nhà toán học David Bessis xem toán học không phải là thao tác ký hiệu mà là cuộc đối thoại giữa trực giác và logic, và con người vốn đã thực hiện kiểu tư duy này trong đời sống hằng ngày
- Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity kết nối toán học với trải nghiệm nội tâm của con người thông qua những gì diễn ra trong đầu các nhà toán học
- Các ví dụ của Bill Thurston, Alexander Grothendieck và René Descartes củng cố ý tưởng rằng năng lực toán học gần với việc rèn luyện để hoài nghi và mài giũa trực giác hơn là một bản chất bẩm sinh
- Toán học ở trường thiên về logic và hình thức, nhưng con người xử lý hình tròn và con số trong đầu, đã nội hóa các hệ thống số trừu tượng và thực hiện toán học sâu sắc
- Nuôi dưỡng tư duy toán học có thể vượt ra ngoài việc giải bài toán, trở thành một kỹ thuật phát triển bản thân giúp mang lại niềm vui, sự sáng rõ, tự tin, sáng tạo và cả đời sống cảm xúc
Toán học gần với quá trình vô hình hơn là các ký hiệu hữu hình
- Lý do David Bessis bị toán học cuốn hút cũng gắn với lý do nhiều người giữ khoảng cách với toán học
- Âm nhạc thì nghe được, hội họa thì nhìn thấy được, nhưng toán học phần lớn là quá trình bên trong, nên không bộc lộ ra ngoài
- Ông cảm thấy trong quá trình vô hình này có một sức hấp dẫn như phép màu
- Bessis theo học tiến sĩ toán tại Paris Diderot University vào cuối thập niên 1990, rồi sau đó nghiên cứu lý thuyết nhóm hình học trong khoảng 10 năm
- Năm 2010, ông rời lĩnh vực toán học nghiên cứu để sáng lập một startup machine learning
- Ông không dừng lại ở việc giải bài toán, mà tiếp tục đặt câu hỏi về việc các nhà toán học thực sự suy nghĩ và làm việc như thế nào
Tư duy toán học theo Mathematica
- Năm 2022, Bessis xuất bản Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity
- Đây là cuốn sách cố gắng giải thích điều gì diễn ra trong bộ não của người làm toán
- Đồng thời bàn về trải nghiệm nội tâm của con người
- Bản gốc tiếng Pháp được dịch sang tiếng Anh vào năm 2024
- Điểm cốt lõi là con người vẫn liên tục làm toán, dù họ không nhận thức được điều đó
- Bessis cho rằng con người có thể mở rộng năng lực toán học của mình hơn rất nhiều so với họ nghĩ
- Năng lực của các nhà toán học như Bill Thurston và Alexander Grothendieck cũng khó có thể giải thích chỉ bằng thiên tài bẩm sinh
- Họ không ngừng đặt câu hỏi và tinh luyện trực giác của mình
- Họ tạo ra ý tưởng mới, rồi kiểm chứng và cải thiện chúng bằng logic và ngôn ngữ
Qua lại giữa trực giác và logic
- Với Bessis, toán học là hoạt động điều chỉnh cho khớp giữa hình thức bên ngoài và biểu tượng bên trong
- Biểu tượng bên trong tương ứng với trực giác
- Biểu tượng bên ngoài là cách biểu đạt logic và mang tính hình thức
- Hệ thống hình thức có thể trông kỳ lạ và cứng nhắc, nhưng nó trở thành công cụ để kiểm nghiệm, tái điều chỉnh và củng cố trực giác
- Toán học ở trường chủ yếu nhấn mạnh phần dựa trên logic trong quá trình này
- Bessis cho rằng yếu tố quan trọng hơn là trực giác
- Toán học là cuộc đối thoại giữa lý trí và bản năng
- Nó cũng là cuộc đối thoại giữa ngôn ngữ và sự trừu tượng
- Ông ví toán học với một thực hành mang tính cơ thể có thể tiến bộ nhờ rèn luyện, giống như yoga hay võ thuật
- Cần bước vào trạng thái giống như trẻ nhỏ
- Cũng phải chấp nhận trí tưởng tượng và những sai lầm nảy sinh trong quá trình đó
Toán học mà mọi người vốn đã thực hiện
- Bessis cho rằng con người cần nhận thức được quá trình rèn luyện toán học của chính mình
- Con người có thể hình dung một hình tròn trong đầu, phóng to, thu nhỏ hoặc di chuyển nó
- Trông có vẻ chỉ là hình dung đơn giản, nhưng đây là một thao tác trừu tượng
- Với câu hỏi “1 tỷ trừ 1 bằng bao nhiêu?”, phần lớn mọi người cũng lập tức nghĩ ra câu trả lời
- Để nói ra thành lời có thể cần suy nghĩ, nhưng bản thân kết quả đã xuất hiện trong đầu
- Dù không phải là tri giác thị giác, vẫn có một cảm nhận mạnh mẽ về kết quả
- Bessis xem đó là trực giác toán học
- Năng lực này về mặt lịch sử không hề hiển nhiên
- Ông nói rằng những người dùng chữ số La Mã 2.000 năm trước hẳn sẽ khó trả lời câu hỏi tương tự một cách dễ dàng
- Phép số học mà người hiện đại xem là dễ dàng là kết quả của việc nội hóa một hệ thống số trừu tượng
- Ngay cả thứ toán học trông có vẻ dễ cũng thực ra là toán học sâu sắc, và con người có thể xem như đã tự “đấu dây” nó vào chính mình
Thiên tài gần với một trạng thái hơn là bản chất
- Bessis không phủ nhận rằng có những người làm toán rất giỏi
- Ông nói có những đứa trẻ ngay từ 5 tuổi đã trông giống như nhà toán học thiên tài
- Tuy nhiên, ông không xem điều đó là bản chất bẩm sinh
- Thiên tài không phải là bản chất, mà là một trạng thái
- Nó gần với một trạng thái được xây dựng thông qua việc làm một số điều nhất định
- Toán học là một hành trình và liên quan đến tính dẻo
- Điều đó không có nghĩa toán học là dễ
- Bessis nói toán học rất khó
- Đồng thời, ông cho rằng dù làm bất cứ điều gì trong đời cũng đều rất khó
- Với câu hỏi liệu có thể làm toán như Thurston hay không, ông trả lời là không
- Thurston đã để lại ghi chép chi tiết rằng từ khi còn nhỏ, ông quyết định mỗi ngày thực hành kiểu tự giáo dục này
- Bessis không cho rằng có thể bắt kịp đến mức đó
- Một trong những lý do học sinh trung học cảm thấy khổ sở với toán là vì họ tin rằng cần có một năng lực bẩm sinh mà mình không có
- Ông cho rằng toán học thực sự dựa vào cùng một loại năng lực với trực giác mà ta dùng trong đời sống hằng ngày
Cách nuôi dưỡng tư duy toán học
- Khi thấy có sự lệch pha giữa trực cảm và điều được cho là đúng theo lý trí, đó là cơ hội để hiểu thêm điều mới
- Từ lúc đó có thể bắt đầu quá trình qua lại
- Kiểm tra xem mình có thể diễn đạt trực cảm của bản thân bằng lời hay không
- Xem liệu có thể đặt nó vào trong một cuộc thảo luận hợp lý hay không
- Nếu vẫn còn lệch pha, hãy thử hình dung vì sao lại như vậy
- Lặp lại quá trình này sẽ dần tái cấu trúc trí tưởng tượng
- Nếu kiên trì tiếp tục, bản năng và lý trí có thể được căn chỉnh với nhau và con người có thể trở nên thông minh hơn
- Bessis gọi quá trình này là tư duy toán học
Toán học có thể trở thành một kỹ thuật phát triển bản thân
- Bessis cho rằng cải thiện tư duy toán học có thể mang lại niềm vui, sự sáng rõ và tự tin
- Trẻ em học rất nhanh vì chúng luôn thực hiện quá trình này
- Vì thế giới chưa thể hiểu được, chúng phải liên tục nhận ra điều mới
- Ông cho rằng trẻ sơ sinh hạnh phúc vì chúng có những nhận thức mới suốt cả ngày
- Với người trưởng thành, lối tư duy này có thể diễn ra rất chậm
- Dù vậy, nếu không bỏ cuộc, những gì trực giác có thể làm sẽ vượt xa kỳ vọng
- Bessis xem cuốn sách của mình không chỉ dành cho người muốn học các khái niệm toán học, mà còn là bài học sống cho mọi người sáng tạo
- Vượt ra ngoài cách gọi đơn giản là sách phát triển bản thân, ông xem bản thân toán học như một dạng kỹ thuật phát triển bản thân
Rèn luyện sự trung thực và sáng tạo
- Nhà toán học phải rất trung thực về điều mình không hiểu và điều mình đang nghĩ
- Sự trung thực này dẫn đến nhiều phán đoán
- Có thể nhận ra một đối tượng được định nghĩa chưa đúng
- Có thể thấy một định nghĩa khác sẽ khiến lý thuyết trở nên đơn giản hơn
- Có thể phân biệt các khái niệm quan trọng với những khái niệm không quan trọng
- Việc diễn đạt điều mình thực sự cảm nhận là rất khó và cần luyện tập
- Khi làm toán, quá trình tư duy của con người hiện ra dưới một dạng rất thuần khiết
- Toán học không chỉ là việc hiểu, mà là luyện tập để hiểu một cách sâu sắc, ngây thơ, sáng rõ và hiển nhiên như trẻ nhỏ
- Với Bessis, toán học là rèn luyện sáng tạo và là bàn đạp cho trí tưởng tượng
- Ông nói rằng năng lực suy nghĩ theo cách toán học đã giúp ông vượt qua những khó khăn cá nhân, và cho rằng từ góc độ cảm xúc, mọi người đều cần toán học
1 bình luận
Ý kiến trên Hacker News
Tôi đồng ý với cảm nhận này. Văn hóa ám ảnh với năng khiếu toán học bẩm sinh và thiên tài, theo tôi, có hại cho tư duy phát triển cần thiết để học một điều gì đó.
Khi đã trưởng thành, tôi đang củng cố kỹ năng toán học của mình khá nhiều; trước đây tôi từng nghĩ “nếu thấy khó thì nghĩa là mình đã chạm giới hạn và đang lãng phí thời gian”. Nhưng thực tế gần như ngược lại: nếu thấy dễ, có thể đó là nội dung mình đã biết và mới là lãng phí thời gian.
Tác giả cuốn sách chỉ chọn phần toán học mà mình quan tâm, và nguyên lý này thực ra áp dụng cho mọi lĩnh vực. Dù có vẻ như một số người có tài năng bẩm sinh, nhưng tôi cho rằng phần lớn đó là khả năng siêu tập trung vào một chủ đề nào đó, dù là toán học, Star Trek, khủng long hay game console cổ điển thập niên 1980.
Thuyết phục trẻ em rằng một số bạn đồng trang lứa chỉ đơn giản là “sinh ra đã có sẵn” sẽ làm chúng mất ý chí tiếp tục cố gắng. Điều cần dạy cho trẻ là cách học; kiểu như “dạy toán thì chúng học toán, nhưng dạy cách học thì chúng có thể học bất cứ thứ gì”.
Đúng là toán học cần nỗ lực, và để mọi thứ khớp lại với nhau trong hiểu biết thì cũng cần một lượng kiến thức nền nhất định. Nhưng thái độ kiểu “X được để lại như một bài tập cho độc giả” là tâm thế thích làm cuộc sống của người đọc khó khăn hơn mà chẳng vì lý do gì.
Yếu tố “tháp” trong cái gọi là “tháp ngà” cũng hoạt động như một công cụ tự quảng bá và tự phòng vệ. Bởi nó bán ý tưởng rằng “vai trò của chúng tôi là thiết yếu, và ai muốn biết điều gì thì nhất định phải đi qua chúng tôi để đạt được mục tiêu”.
Ví dụ, đại số tuyến tính là nội dung đã có từ hàng chục năm, nhưng trong một thời gian dài, tài liệu giảng dạy từ sơ cấp đến nâng cao thường quá khó hiểu và khó giải mã. Thế rồi khi lĩnh vực học máy nổi lên, đột nhiên xuất hiện nhiều tài liệu giải thích rõ ràng các chủ đề nâng cao như giảm chiều và phân rã không gian con như thể chúng là những điều hiển nhiên. Thứ thay đổi chỉ là kiểu người đang xử lý các chủ đề đó.
Tôi từng dạy toán cho sinh viên tâm lý học, và có những trường hợp thực sự không hiểu. Tôi cũng nhớ cảnh trưởng khoa nản lòng trước câu hỏi “Căn bậc hai là gì?”. Không thể chỉ nói rằng tất cả đều có khả năng và đó là “lỗi của giáo viên”; cũng cần giải thích sự khác biệt giữa những sinh viên chật vật và những người làm được dễ dàng.
Âm nhạc cũng vậy. Sinh viên nhạc viện dù học rất chăm chỉ nhưng vẫn có người giỏi hơn, và một số rất ít thực sự tỏa sáng. Tôi khó tin câu “ai cũng có thể chơi Rachmaninov”. Trừ khi đặt chuẩn năng lực toán học khá thấp hoặc có bằng chứng đúng đắn, câu “ai cũng làm được” nghe có mùi nhảm nhí.
Công việc hằng ngày đôi khi giúp duy trì các kỹ năng dễ, nhưng nếu đó là kỹ năng lâu rồi chưa dùng, thì việc thực hiện vài lần lặp lại đơn giản trước khi kết hợp nó với kỹ năng khác theo cách khó hơn cũng không phải là ý tồi.
Tôi đang đọc cuốn Mathematica của tác giả và thấy thật sự rất hay. Chỉ nhìn tiêu đề bài viết này thì chưa thể hiện rõ điểm mạnh của cuốn sách
Tác giả cho thấy năng lực toán học giống năng khiếu thể thao hơn là năng khiếu về tri thức. Lập luận là vì con người cần học cách thao tác với các đối tượng toán học trong đầu, theo những cách như hình khối được xoay, máy đánh bạc, gấp giấy. Nó giống một dạng thể thao của trí tưởng tượng
Nhờ vậy tôi đang học lại khá nhiều toán nền tảng trên MathAcademy.com, rất thú vị nhưng cũng căng thẳng. Giờ tôi có cảm giác như hiệu ứng Tetris xuất hiện với các đa thức
Khi nhập tâm, mỗi hàm có vẻ như có hình dạng và bầu không khí riêng. Có hàm như chiếc hộp nhỏ gọn gàng, có hàm như con nhím biển giận dữ to lớn xấu xí, có hàm như một vòng tròn nhỏ vô dụng chẳng làm gì, khiến mình ghi chú là sau này sẽ xóa. Toàn bộ đồ thị trông như được nối với nhau ở mức nào đó theo cách dữ liệu chảy qua
Tôi cũng tò mò MathAcademy có ổn không. Tôi đang nghĩ dùng thử khoảng một tháng, nhưng không biết chữ “căng thẳng” kia có phải gõ nhầm hay không
Mathematica thì tôi đã đặt ở thư viện địa phương rồi, chỉ cần quên nó đi cho đến khi một ngày nào đó có SMS báo sách đến. Cảm ơn vì đã xác nhận là nó đáng đọc
Nếu cuốn sách tốt hơn ở điểm đó thì tôi muốn đọc, còn nếu nhiều chuyện kể và rườm rà thì tôi muốn bỏ qua. Tôi tò mò bạn thực sự thu được gì từ sách, và nó cho cảm giác thực dụng, có thể áp dụng đến mức nào
Lý do toán có vẻ khó là vì con người khó giữ trong đầu những chuỗi thao tác dài. Đặc biệt là khi thao tác với các đối tượng lớn thay đổi dần qua hàng trăm bước; đó không phải vì con người kém, mà vì tâm trí con người vốn vận hành như vậy
Nên dạy toán như các tiên đề cơ bản và quy tắc thao tác, cùng cách triển khai các tiên đề bằng những quy tắc đó. Cần học cách thực hiện từng thay đổi hợp lệ một, và tất nhiên việc này đòi hỏi rất nhiều thao tác trên giấy cùng sự kiên nhẫn. Toán học là việc dùng chân lý và quy tắc để tạo ra những chân lý và quy tắc mới
Tôi đang dạy con theo cách này, và nó thường phản ứng: “Chỉ vậy thôi à? Chỉ là làm giấy tờ vất vả thôi sao?” Gần đây, nó dùng cách này cùng sự trợ giúp của LLM để học thuật toán và cấu trúc dữ liệu. Khi bắt đầu từ các điều kiện nền tảng rồi xây lên, những thuật toán từng trông như lĩnh vực của các phát minh mới cũng tự nhiên xuất hiện từ các bước thủ công do chính nó làm, rồi nó chuyển chúng thành chương trình
Gạt bỏ phần rườm rà đi thì trong toán chỉ còn lại sự kiên nhẫn và thao tác trên giấy
Tôi cho rằng trong toán học, hình thức hóa quá sớm là nguyên nhân chính khiến mọi người cảm thấy bị loại khỏi toán học và bị thao túng tâm lý. Việc quy giản khái niệm thành ký hiệu và các thao tác trên chúng nên là chuyện về sau; giới thiệu như vậy ngay từ đầu là sai
Trước hết, mọi người cần được nói bằng ngôn ngữ tự nhiên dễ hiểu. Với những nhà toán học nói rằng “tiếng Anh không đủ chính xác”, tôi chỉ muốn bảo họ biến đi. Phải học đi trước khi học chạy
Các ví dụ tạo động lực phải xuất hiện trước phương pháp toán học, còn công thức và chứng minh nên nằm ở phụ lục chứ không phải trang 1. Ở đây, tiếng Anh có nghĩa là ngôn ngữ tự nhiên
Những người không làm trong các lĩnh vực gần STEM hầu như không có việc gì cần dùng ngoài đại số và hình học đơn giản, cùng một ít khái niệm và công thức liên quan đến tài chính. Hình học chủ yếu chỉ hữu ích cho thú vui thủ công hoặc các dự án sửa chữa nhà cửa
Với tình hình này, có lẽ đến lúc chết tôi cũng không tìm ra lý do để lấy tích phân. Vì vậy ngay cả khi muốn học lại toán, nhu cầu thực tế cũng không trở thành động lực. Vì không có chỗ áp dụng nên thứ duy nhất không nhàm chán là các bài toán giải trí, nhưng ngay cả khi đó tôi vẫn nghĩ thà đọc sách hoặc làm việc khác còn hơn
Nhiều học sinh, ít nhất là tôi, chỉ bắt đầu hứng thú với toán khi gặp chứng minh trong hình học trung học phổ thông và các ứng dụng thực tế trong vật lý trung học phổ thông. Việc toán học có thể là một cách đi từ chân lý này sang chân lý khác để tìm ra chân lý mới giống như một sự khai sáng
Đáng tiếc là nhiều học sinh rời bỏ trước đó vì sự nhàm chán của những bài luyện toán lặp đi lặp lại vô tận. Khi xuất hiện lỗ hổng kiến thức, sẽ rất khó tiến bộ nếu không lấp được lỗ hổng ấy. Với nhiều học sinh, điểm dừng là phân số; với người khác là đại số; còn với người học đại học là giải tích
Chỉ sinh viên ngành toán và một số sinh viên kỹ thuật, khoa học, khoa học máy tính mới vượt qua “lộ trình toán tiêu chuẩn” ở đại học, rồi biết đến những thứ thật sự thú vị xuất hiện sau đó
Tội lỗi của toán học hiện đại là siêu ngôn ngữ đó không được định nghĩa đủ tốt, đến mức muốn xử lý nó một cách không mâu thuẫn thì cần cả một tòa tháp phần mềm. Viết lại tất cả thành S-expression và gắn vào đó một hệ thống viết lại hạng tử cho chứng minh dưới tính toán tuần tự là bước đầu tuyệt vời để tăng khả năng tiếp cận
Nếu muốn xem toán học nói như thế nào chứ không phải nói về cái gì, thì cứ đi sưu tập tem
Từ góc nhìn của người đã học toán đến trình độ sau đại học, toán trung học phổ thông và phần lớn các môn học thật sự rất nhàm chán. Thứ thiếu trong giáo dục tiểu học và trung học là bối cảnh, vì thế nó trở nên chán. Toán dễ không phải vì tôi đặc biệt giỏi, mà vì nó chỉ ở mức làm theo công thức một cách mù quáng và áp dụng logic cơ bản
Phần lớn toán ở bậc tiểu học và trung học là logic cơ bản, nên nếu một người đã được giáo dục đến mức đó nói rằng “tôi dở toán” hoặc “tôi không hiểu toán”, điều đó có nghĩa là họ thiếu năng lực logic và suy luận rất cơ bản
Toán học cần được dạy trong bối cảnh, chứ không chỉ qua ứng dụng. Cần làm phong phú trải nghiệm suy luận và khám phá; ứng dụng cũng nên được bao gồm, nhưng không được bó buộc mọi thứ chỉ vào ứng dụng. Đôi khi cần học và suy nghĩ đơn thuần, không bị ràng buộc vào những tiêu chí áp dụng tùy tiện
Tôi không thích sách giáo khoa mới vì chúng quá chiều theo sự thỏa mãn tức thì. Chúng không cho thấy cách xây dựng lời giải, mà nói thẳng cách giải bài. Ngay cả nếu sau đó có giải thích đôi chút về nguyên lý hoạt động, tôi vẫn cho rằng thứ tự như vậy là hoàn toàn ngược. Nó tước đi cơ hội để tự nghiền ngẫm, dự đoán cuối cùng mọi thứ sẽ hội tụ ra sao, và có những khoảnh khắc “à há” ở giữa
Cách này cũng làm tăng xu hướng giản lược toán học thành thao tác ký hiệu. Nếu đưa công thức ngay ở đoạn đầu, toàn bộ phần giải thích sau đó sẽ bị cố định vào công thức ấy. Ký hiệu toán học hữu ích nhất khi là công cụ hình thức hóa và thiết bị ghi nhớ để củng cố một khái niệm đã hiểu ở mức nào đó; và tệ nhất khi được dùng làm kênh giao tiếp chính
Tuy là một cảm xúc tốt đẹp, nhưng rõ ràng cũng có rất nhiều người không học nổi ngay cả tư duy toán học cơ bản và trở nên rất bối rối. Tôi tự hỏi liệu có nghiên cứu khoa học nào ủng hộ lập luận rằng họ có thể học dễ dàng hay không, hay đây chỉ là việc dựng lên một luận điểm bình đẳng chủ nghĩa hợp với sách phổ thông về toán học
Trí thông minh nói chung dường như cũng có xu hướng suy giảm từ sau thập niên 1970. Đây là cái gọi là hiệu ứng Flynn ngược[3], đã được đo lường ở Mỹ và châu Âu
Đúng là hệ thống giáo dục và các yếu tố khác có ảnh hưởng, nhưng tôi cho rằng ý tưởng “ai cũng có thể làm X” là sai và có hại. Nó giống như nói “không ai cần xe lăn” hay “ai cũng có thể nhìn hoàn hảo”. Con người khác nhau, và nhiều nerd chỉ giao du với những nerd khác nên nhận thức về xã hội bị méo mó
[1]: https://www.thenationalliteracyinstitute.com/post/literacy-s...
[2]: https://leo.blogs.uni-hamburg.de
[3]: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S016028962...
Có một khoảng cách rất lớn giữa điều con người có thể làm về mặt lý thuyết và điều họ thực sự đạt được
Tôi không phải giáo viên toán, nhưng tôi thích toán và đã nhiều lần giúp gia đình, bạn bè trong các khóa học toán
Từ lâu tôi đã nghĩ rằng gần như ai cũng có khả năng học toán ở mức xấp xỉ trung học phổ thông. Chỉ là với một số người thì cần nhiều nỗ lực hơn. Chìa khóa để duy trì nỗ lực liên tục là động lực, và nhiều người ghét toán hoặc nghĩ mình rất kém toán đơn giản là chưa gặp được động lực phù hợp
Một khi có động lực, bắt đầu hiểu nội dung và giải được bài, mọi thứ sẽ dễ hơn nhiều. Cá nhân tôi cảm thấy rằng khi học toán ở mức cao hơn một chút, đặc biệt là đi vào suy luận quy nạp và các chứng minh ở mức thấp, cách tư duy của tôi trong các lĩnh vực ngoài toán cũng tốt lên
Khi giúp gia đình và bạn bè, tôi cũng học được rằng mỗi người có thể có cách tiếp cận khá khác nhau để bắt đầu hiểu nội dung mới. Có người dễ tiếp cận hơn từ góc nhìn hình học hay đồ thị, có người lại hợp với việc đào sâu vào công thức ngay từ đầu. Một cách duy nhất không phù hợp với tất cả mọi người
Xét về mặt giáo dục học, tôi cho rằng trở ngại chính khiến đa số người gặp khó với toán không phải là độ phức tạp, mà là cách dạy khô khan. Các quy tắc ngôn ngữ ít nhất cũng phức tạp không kém, nhưng nhiều người hơn rất nhiều học được năng lực ngôn ngữ ở mức trung học phổ thông. Có nhiều lý do, và lý do rõ ràng nhất là ngôn ngữ được dùng trong đời sống hằng ngày nhiều hơn
Tôi hoàn toàn không thể gọi mình là một nhà toán học nghiêm túc, nhưng trong vài năm qua khi nghiêm túc với mục tiêu đó, tôi đã học được nhiều hơn rất nhiều so với mấy chục năm tự gạt nó đi vì nghĩ mình kém cỏi
Một trong những người cố vấn rất rộng lượng đã kéo tôi thử làm, dù có phần miễn cưỡng, từng nói thế này: “Không có học sinh toán dở. Chỉ có giáo viên toán dở, và chính họ cũng từng gặp giáo viên toán dở”
Nếu gặp quá nhiều người như vậy, và nếu kiểu người đó phổ biến trong lĩnh vực này, thì rất dễ hiểu vì sao mọi người mất động lực và bỏ cuộc
Ở một thời điểm nào đó trong chương trình học, nhiều người trẻ được tiếp xúc với tư duy toán học trừu tượng nhưng rốt cuộc không hiểu và bị bỏ lại. Thật đáng tiếc là mọi thứ bắt đầu lệch hướng ở đây, rồi khoảng cách sau đó ngày càng nới rộng
Việc xử lý ký hiệu và phương trình lẽ ra phải dễ tiếp cận rộng rãi hơn. Nó gần như là một hoạt động giống trò chơi, nên không nên khiến người ta cảm thấy bị loại trừ
Có thể đây là thất bại của các nhà giáo dục khi không nhận ra đúng con đường giúp bộ não chấp nhận các dạng biểu diễn và thao tác trừu tượng hơn
Nhân tiện, các nhà toán học dường như không mấy quan tâm đến việc giải quyết vấn đề này, và có vẻ nhiều người còn có niềm vui trẻ con trong việc biến toán học thành thứ càng độc quyền càng tốt. Một ví dụ điển hình là có khi họ bác bỏ các biểu diễn trực quan, dù chúng không chính xác nhưng lại hữu ích để xây dựng trực giác
Phân tích nhân tử cũng đã làm mất nhiều người trong lớp tôi. Điều gây nản nhất là nó trông hoàn toàn vô dụng mà quá trình lại phụ thuộc nhiều vào phỏng đoán; vài bạn cùng lớp phản ứng kiểu “thế thì toán học cút đi mãi mãi”, như thể họ vừa bị yêu cầu đào một cái mương bằng thìa rồi lại lấp nó lại
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/Do_Not_Erase:_Mathematicians_a...
Tôi nghĩ vấn đề là hầu hết mọi người thậm chí không bao giờ tới được phần thú vị. Tôi nhớ là mình không thích toán lắm cho tới khi học lý thuyết tập hợp ở học kỳ đầu đại học, định nghĩa hệ thống số từ đầu, rồi chuyển sang monoid, nhóm, vành, v.v.
Chính việc định nghĩa từ đầu đó thật sự rất thỏa mãn
Mất một thời gian, nhưng giờ thì tốt hơn nhiều. Tôi đã tiếp nhận nó như một trò chơi nhỏ mà mình phần nào biết luật. Giờ tôi chấp nhận rằng các nhà toán học thường lo về mức trừu tượng tối đa hoặc những ca biên bệnh lý kỳ quặc. Nhờ vậy tôi có thể đi qua sự phức tạp mà không còn bị choáng ngợp như trước
Khi đã hiểu điều gì đó rồi, rất khó quay lại lối suy nghĩ khi mình chưa hiểu để tìm ra cách giải thích khiến ý tưởng “bật” vào đầu. Tôi nghĩ rất nhiều toán học dễ hơn vẻ bề ngoài rất nhiều, nhưng thường thiếu phần giải thích giúp nắm bắt ý tưởng cốt lõi một cách dễ dàng
Ví dụ, tôi từng muốn viết một explorable[0] giải thích hệ ghi số theo vị trí với một cơ số nguyên nào đó theo cách mà một đứa trẻ biết xem đồng hồ cũng có thể theo kịp. Có lẽ cũng có thể dạy luôn phép nhân
Ý chính là tưởng tượng một bộ đếm trông như đồng hồ kim. Nó có các chữ số từ 0 đến 9 cùng nút +1, -1, và có thể đếm từ 0 đến 9. Khi cộng 1 vào 9 thì nó quay lại 0; để giải quyết việc này, ta gắn thêm bộ đếm thứ hai. Mỗi khi bộ đếm thứ nhất quay hết một vòng, ta tăng bộ đếm thứ hai lên 1. Một vòng của bộ đếm thứ nhất là 10 bước, nên một bước của bộ đếm thứ hai nghĩa là 10 bước. Nếu muốn bộ đếm thứ hai cũng đếm 10 bước, ta gắn thêm bộ đếm thứ ba
Khi đó câu hỏi tự nhiên là nếu có ít chữ số hơn từ 0 đến 9 thì sao. Nếu là 0 đến 7 thì đó là hệ bát phân, nếu chỉ 0 và 1 thì là hệ nhị phân, còn nếu có nhiều chữ số hơn thì thêm bằng các chữ cái trong bảng chữ cái
Đây là một cách biểu diễn rất vật lý của hệ ghi số thập phân theo vị trí, giúp việc đếm và theo dõi trở nên dễ dàng. Không cần các khái niệm nâng cao như “cơ số” hay “lũy thừa”, nhưng về sau nó trở thành một lớp trừu tượng dễ đặt lên trên
Tôi hỏi bạn bè có con thì hầu hết nói trẻ 4–6 tuổi đã đọc được đồng hồ, và khoảng 8 tuổi thì gần như đứa nào cũng đếm được tới 100. Về lý thuyết, với cách tiếp cận này, ở độ tuổi đó trẻ có lẽ đã có thể hiểu ý tưởng về hệ nhị phân và thập lục phân
Thú vị là bài viết cũng nói rằng nhờ hệ ghi số theo vị trí, gần như mọi người lớn đều có thể trả lời ngay câu “1 tỷ trừ 1 là bao nhiêu?”
[0] https://explorabl.es/
https://softwarefoundations.cis.upenn.edu/
Với giới hạn và đạo hàm cũng vậy: một khi có định nghĩa đúng đắn, bạn có thể suy ra khá dễ dàng mọi công thức và định lý dùng ở trung học. Ở trung học phần lớn chỉ là tính toán và suy luận đơn giản, còn ở đại học thì chứng minh mọi thứ. Tôi thích sự thay đổi góc nhìn đó
Về hình thức thì tôi đã học môn tiên quyết, nhưng thực tế đó chỉ là môn logic khoa học máy tính cơ bản, nên tôi hoàn toàn bị quá tải. Dù vậy, đó là một trong những lớp thú vị nhất tôi từng học ở đại học
Chúng tôi nhận được nguyên văn đề thi cuối kỳ vài tuần trước, và có thể chuẩn bị bằng mọi cách, kể cả hợp tác với sinh viên khác hoặc hỏi giáo sư khác. Các giáo sư khác nhìn chung cũng không nắm được. Mục tiêu là trả lời được 1–2 câu trong 10 câu, và dù không làm được thì ít nhất vẫn nhận B+
Giá mà trí nhớ của tôi tốt hơn, nhưng tôi nghĩ một trong những câu tôi trả lời thành công là chứng minh định lý Post bằng máy Turing. Tôi chưa từng dùng lại kiến thức của lớp đó, nhưng đến giờ vẫn nhớ. Tôi muốn học lại điểm giao thoa hấp dẫn đó giữa triết học và khoa học máy tính
Điều hay nhất là nó kết hợp toán học khó với những câu hỏi siêu hình hóc búa về toán học mà nhiều người làm thực tiễn không thích vì cho rằng chúng làm suy yếu công việc của họ. Khi đi sâu đến mức đó, bạn nhận ra không thể tránh chạm tới những chủ đề còn đau đầu hơn
Ở trường trung học, thực tế tôi chỉ được rèn luyện để giỏi toán ứng dụng, đặc biệt là giải tích. Mà phần lớn trong đó cũng chỉ là “thế số vào”, những việc như vậy có thể dễ dàng tự động hóa bằng Mathematica
Khi vào đại học và học lý thuyết số cùng đại số trừu tượng, tôi bị sốc trước việc toán học đẹp đến mức khó diễn tả. Chỉ đến khi học giải tích thực, tôi mới thấy giải tích cũng có những mặt không giống như lãng phí thời gian
Một ngày nọ, tôi quay lại trường trung học và nhiệt tình hỏi Andrew Merrill, người từng là mentor khoa học máy tính của tôi khi đó, vì sao ông không cho tôi tiếp xúc với lý thuyết nhóm. Câu trả lời là SAT. Vì nội dung đó không xuất hiện trong SAT nên không có lý do chính đáng để dạy
Lý do dạy giải tích là vì nó là môn tiên quyết cho kỹ thuật và vật lý, và vì sau cuộc chạy đua không gian, điều đó trở nên quan trọng
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/SAT_Subject_Tests
Ở Canada, đến năm nhất đại học cũng có chương trình tương tự, tập trung vào giải tích, có pha thêm một chút đại số tuyến tính. Lý do là vì kỹ thuật, vật lý, một số lĩnh vực của hóa học và sinh học, thống kê, một số lĩnh vực của kinh tế học, v.v. đều cần giải tích
Trong xã hội, toán học trước hết là một công cụ. Tôi nói điều này với tư cách là người từng học chuyên toán thuần túy và tập trung vào đại số cùng lý thuyết số. Với đại đa số học sinh, tính thực dụng thực sự là trọng tâm. Khác với khoa học hay nhân văn, toán học có một tầng trừu tượng khó thưởng thức nếu không có sự dàn dựng khuôn khổ có chủ đích
Tôi muốn nói rằng: “Đồ ngốc, vấn đề là kinh tế”. Sự thảnh thơi tinh thần cũng là một tài nguyên. Phần lớn người ta không học toán không phải vì họ không muốn, mà vì họ không thể
Nếu khảo sát rằng nếu được cấp thu nhập cơ bản đủ trang trải mọi chi tiêu và nhu cầu thì bạn sẽ làm gì, tôi nghĩ nhiều người sẽ chọn hoàn thiện bản thân hoặc nghệ thuật. Việc luyện tập và học toán cũng thuộc hai điều đó
Ở điểm này, tập trung vào chánh niệm như vipassana có thể giúp ích rất nhiều. Tuy nhiên, chánh niệm không phải là rèn luyện trí tuệ, mà là thứ phải thực sự sống cùng. Nếu thiền vài giờ mỗi ngày, chỉ trong vài tháng bạn sẽ đi đến một nơi tốt đẹp
Ít nhất theo những chuyện tôi nghe quanh mình, thay vào đó có rất nhiều người có thêm con
Vì đây không phải cạnh tranh nên tôi không cần giỏi toán hơn người khác, nhưng những theo đuổi khác như mật mã học, thuật toán tốt hơn, hay hiểu vật lý đang bị giới hạn bởi hiểu biết toán học sơ khai của tôi
Nếu tôi là triệu phú, một trong những việc tôi sẽ theo đuổi là nghỉ ngơi trong một căn nhà ven biển và học thật nhiều toán vào thời gian rảnh