Mọi thứ đều là logarit
(alexkritchevsky.com)- Nếu xem logarit không phải là một hàm số mà là tỷ lệ của một đối tượng trừu tượng logarit không có cơ số, thì (\log_b N = \log N / \log b) có thể được đọc như một phép đổi đơn vị
- (\log 2) trở thành một đơn vị đo như bits, còn (\log e) trở thành một đơn vị như nats; công thức đổi cơ số giống với quá trình biểu diễn cùng một đại lượng bằng các đơn vị khác nhau
- (p)-adic valuation, bậc của zero và pole, cũng như việc trích xuất thành phần trong vi phân, đều có thể được diễn giải như phép chiếu của các thành phần logarit
- Nhiều đối ứng tiếp nối nhau: xem vector như logarit của toán tử tịnh tiến, xem số chiều như logarit của kích thước không gian vector trên trường hữu hạn, và xem cơ sở là đối tượng mà logarit trả về
- Toàn bộ thảo luận không hẳn là một định lý thống nhất chặt chẽ mà đúng hơn là một cuộc khám phá nhằm truy vết sự lặp lại của ký hiệu và cấu trúc; góc nhìn toán học tách biệt tọa độ với đơn vị có thể giúp sắp xếp các mẫu hình này
Logarit không có cơ số và phép đổi đơn vị
- Logarit thông thường được viết rõ cơ số như (\log_b x), biểu diễn nghiệm của (b^y=x)
- Công thức đổi cơ số (\log_b x = \log_a x / \log_a b) có thể được hiểu tương tự như đổi đơn vị
- Có cùng cấu trúc với (2 \text{ km} = 2000 \text{ m} / (1000 \text{ m}/1 \text{ km}))
- “Có bao nhiêu (b) trong (x)” có thể được xem là lấy “số lượng (a) trong (x)” chia cho “số lượng (a) trong (b)”
- Nếu đặt (\log N) là một đối tượng trừu tượng chứ không phải một con số, thì logarit có cơ số sẽ trở thành tỷ lệ của hai logarit không có cơ số
- (\log_2 N = \log N / \log 2)
- (\log 2) được xử lý như đơn vị “bits”
- (\log e) được xử lý như đơn vị “nats”
- Theo góc nhìn này, (\log N) tự nó không mang ý nghĩa số trị trực tiếp, mà chỉ trở thành giá trị số trong một đơn vị cụ thể khi chia cho (\log b)
- Tác giả cho rằng không có cách có ý nghĩa để tạo ra đối ứng kiểu lũy thừa không có cơ số như ((*)^{\log N})
- (\log_b N) quen thuộc được tổ chức lại thành tỷ lệ của hai đối tượng không đơn vị là (\log N) và (\log b)
Sự tương đồng giữa logarit và vector
- Cũng như ta phân biệt vector hình học không phụ thuộc tọa độ với vector tọa độ trong một hệ tọa độ cụ thể, (\log N) cũng có thể được xem là một đối tượng tồn tại trước khi chọn cơ số cụ thể
- Ký hiệu không chuẩn trong đó vector (\mathbf{v}) được chia cho vector chuẩn (\mathbf{x}) để đo thành phần, có cùng cấu trúc với cách lấy giá trị theo đơn vị bits bằng (\log N / \log 2)
- (\mathbf{v}/\mathbf{x}=v_x)
- (\log N / \log 2=\log_2 N)
- Việc viết cùng một logarit bằng các đơn vị khác nhau tương ứng với việc viết cùng một vector theo các cơ sở khác nhau
- (\log N = \log_2(N)\text{ bits} = \ln(N)\text{ nats})
- (\mathbf{v}=v_x\mathbf{x}=v_{x'}\mathbf{x'})
- Công thức đổi cơ số đóng vai trò giống như biến đổi tọa độ của vector
- (\log_2 N = \log_2(e)\ln N)
- (v_x = (\mathbf{x'}/\mathbf{x})v_{x'})
Các phép toán trích xuất thành phần logarit
- Với logarit thông thường không có ký hiệu phép chiếu từng phần để rút ra riêng một thành phần như trong đạo hàm riêng
- Khi (N=2^a3^b), ta có (\log N/\log 2 = a + b\log_2 3), tức toàn bộ được đo trong một đơn vị duy nhất
- Không có ký hiệu logarit chuẩn nào để tách riêng thành phần (\log 2) và (\log 3)
- p-adic valuation trong số học có thể được hiểu như phép lấy hệ số của thành phần (\log p) trong phân tích thừa số nguyên tố của số tự nhiên
- (\log n = n_2\log2+n_3\log3+n_5\log5+\cdots)
- (\nu_p(n)=n_p)
- Các đồng nhất thức kiểu logarit như (\nu_p(m/n)=\nu_p(m)-\nu_p(n)) cũng được giữ nguyên
- Nếu mở rộng sang các số hữu tỉ hoặc số chứa căn, các hệ số sẽ là số nguyên hoặc số hữu tỉ, và đối tượng thu được sẽ gần hơn với một không gian vector thực sự
- Bậc của zero hoặc pole trong giải tích phức cũng có thể được biểu diễn bằng một giới hạn tỷ lệ logarit tương tự
- (\text{ord}a f(z)=\lim{z\to a}\log f(z)/\log(z-a))
- Nó trích xuất bậc của hạng chi phối nhất trong chuỗi Laurent
- (p)-adic valuation, đạo hàm riêng và việc trích xuất bậc trong giải tích phức trông giống nhau, nhưng vẫn chưa có một lý thuyết thống nhất rõ ràng bao trùm chúng
Khi vector cũng có thể được xem là logarit
- Trong hình học vi phân, vector được dùng làm cơ sở cho các toán tử đạo hàm riêng, và khi lấy lũy thừa mũ của chúng sẽ thu được toán tử tịnh tiến
- (T^{\mathbf{v}}=e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y})
- (e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y}f(x,y)=f(x+v_x,y+v_y))
- Trong không gian phẳng, toán tử tịnh tiến có thể được phân rã thành tích của các phép tịnh tiến theo từng tọa độ
- (T^{\mathbf{v}}=T_x^{v_x}T_y^{v_y})
- Trong không gian không phẳng, các phép tịnh tiến theo các tọa độ khác nhau có thể không giao hoán, nên mọi thứ phức tạp hơn
- Khi đó, vector có thể được biểu diễn như logarit của toán tử tịnh tiến
- (\ln T^{\mathbf{v}}=v_x\partial_x+v_y\partial_y)
- Thay vì phụ thuộc vào cơ số (e) của logarit tự nhiên, có vẻ phù hợp hơn khi dùng một cơ số tịnh tiến tổng quát (T) và viết như (\mathbf{v}=\log_T T^{\mathbf{v}})
- Phép nhân thông thường cũng có thể được xem là tịnh tiến trong tọa độ (\ln a), nhưng chưa rõ cách diễn giải này có thật sự hữu ích hay không
Quan hệ giữa logarit và đạo hàm
- Logarit tự nhiên có thể được định nghĩa bằng (\ln x=\lim_{a\to0}(x^a-1)/a)
- Khi khai triển Taylor (x^a=e^{a\ln x}), (\ln x) sẽ xuất hiện
- Nếu thay ((1+x)) vào, ta sẽ thu lại chuỗi Taylor của (\ln(1+x))
- (x-\frac12x^2+\frac13x^3-\cdots)
- Biểu thức này trông giống một đạo hàm, và có thể viết (\ln x=\partial_y x^y|_{y=0})
- Ở nhiều phương diện, (\ln x) hoạt động giống (x^0)
- (\ln x\sim (x^0-1)/0)
- Một cách hình thức, (\partial_x\ln x=\partial_x((x^0-1)/0)=1/x)
- Phần này không kết nối trực tiếp với các thảo luận khác trong bài, nhưng bổ sung góc nhìn xem logarit là biến thiên bậc nhất quanh (x^0)
Số chiều hoạt động như logarit
- Trong không gian vector hữu hạn chiều, (\dim_K) có các đồng nhất thức tương tự logarit
- (\dim_K K^n=n)
- (\dim_K(U\oplus V)=\dim_KU+\dim_KV)
- (\dim_K(U/V)=\dim_KU-\dim_KV)
- (\dim_K(U\otimes V)=\dim_KU\times\dim_KV)
- Với không gian vector hữu hạn chiều (V\simeq K^n) trên trường hữu hạn (K), tồn tại một quan hệ logarit thực sự giữa kích thước và số chiều
- Vector có thể được xem là hàm gán hệ số của (K) cho từng phần tử của cơ sở
- (|V|=|K|^{\dim_K V})
- Do đó (\dim_K V=\log_{|K|}|V|)
- Trong trường hợp vô hạn chiều hoặc trên trường vô hạn, cách diễn giải này kém chắc chắn hơn, và có thể cần những khái niệm kích thước khác như numerosity) thay cho cardinality
- Nếu dùng ký hiệu số chiều không có cơ số, ta có thể viết (\dim K^n=n\dim K), (\dim_K V=\dim V/\dim K)
- Với tensor product, nếu chỉ đơn giản nhân các số chiều thì sẽ phát sinh thêm một lần (\dim K), nên có thể hiểu rằng tensor product trên (K), tức (\otimes_K), loại bỏ nhân tố đó bằng cách chia theo các hệ số vô hướng
Xem cơ sở và span như logarit và lũy thừa
- Nếu số chiều là cardinality của cơ sở, thì có thể xem logarit không trả về cardinality mà trả về chính cơ sở đó
- Nếu cơ sở của (V\simeq K^3) là ((\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})), thì có thể viết (\log_K V=(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}))
- (\dim_KV=|\log_KV|)
- Vì có vấn đề phải chọn một cơ sở cụ thể, nên có lẽ đúng hơn khi xem (\log_KV) là một đối tượng chỉ toàn bộ các cơ sở khả dĩ của (V)
- Với một khung tham chiếu tùy ý (X_0) và (\Lambda\in GL(V)), ta có (X={\Lambda X_0\mid \Lambda\in GL(V)})
- Đối tượng này có thể được xem là một (GL(V))-torsor
- Phép toán ngược của logarit có thể được diễn giải là span, tức tái dựng không gian vector từ cơ sở
- (\span_K(X)=K^X=V)
- Cách diễn giải này sử dụng khá nhiều phép lạm dụng ký hiệu và chưa chắc là tối ưu, nhưng nó gợi ý rằng (\dim) và (\span) có thể được nghĩ như các đối ứng với (\log) và (\exp) trong đại số tuyến tính
- Từ góc nhìn logarit không có cơ số, thậm chí còn có khả năng diễn giải chính (\log K) như “cơ sở của (K)”, nhưng phần này được để lại cho các thảo luận trừu tượng hơn sau đó
Phỏng đoán về quan hệ giữa hàm và logarit
- Bài viết xem quy trình nâng các phép toán số học lên thành phép toán trên tập hợp là điều gần với “setification”
- Phép cộng, phép nhân và lũy thừa của số tự nhiên lần lượt tương ứng với hợp rời, tích và tập các hàm của tập hợp
- Với các tập hữu hạn, cardinality bảo toàn khá tốt các phép toán này
- Ví dụ, khi (A={a,b}), (X={x,y}), nếu khai triển ((a+b)^{x+y}) thì ta có thể liệt kê 4 hàm (X\to A) như các hạng tử
- (a^xb^y) có thể được hiểu như hàm gửi (x\mapsto a), (y\mapsto b)
- Nếu đặt một số biến bằng (0) hoặc (1), nó hoạt động giống như đánh giá hàm hoặc lấy hàm hạn chế
- Giai thừa và tổ hợp cũng có thể được liệt kê thành các hoán vị và tổ hợp theo cách tương tự
- Thông thường một hàm (f:X\to A) được mô hình hóa như quan hệ ({(x,f(x))\mid x\in X}), nhưng bản thân (a^xb^y) là một hàm đơn lẻ nên cardinality của nó bằng 1
- (\log f ? x\log a+y\log b) trông giống với biểu diễn quan hệ của hàm, nhưng phần này vẫn chưa được giải thích đầy đủ
Hiệp biến tổng quát và kết luận
- Toàn bộ thảo luận tập trung vào trường hợp đơn giản xem logarit như một đẳng cấu biến biểu diễn nhân thành biểu diễn cộng
- Các trường hợp phức tạp hơn như logarit phức hay logarit ma trận nằm ngoài phạm vi bàn luận
- Nhiều phép toán toán học như (\dim), (\nu_p), hay vi phân toàn phần có cùng hoặc gần cùng cấu trúc với logarit
- Những kết nối này có phần giống “numerology”, nhưng chúng quá gọn gàng để có thể dễ dàng bỏ qua
- Các cấu trúc tương tự cũng xuất hiện trong toán học của vật lý, đặc biệt là trong hình thức toán tử của cơ học lượng tử; vật lý đặt ra các ràng buộc lên ký hiệu toán học và việc chọn tọa độ
- general covariance là ý tưởng rằng tính chất của đối tượng phải độc lập với việc chọn tọa độ, và logarit không có cơ số cũng có thể được xem như một ví dụ về nỗ lực tách đẳng cấu giữa biểu diễn nhân và biểu diễn cộng ra khỏi việc chọn đơn vị
1 bình luận
Ý kiến trên Hacker News
Ở đây logarit không có cơ số chỉ đơn giản là một torsor [0]
Những thứ như vị trí, giá trị tiền tệ, ngày tháng trên lịch cũng có thể được xem là torsor. Bản thân giá trị là tùy ý, và việc tịnh tiến theo một lượng nào đó hay thay đổi thang đo cũng không làm thay đổi chức năng của nó. Dùng torsor cho phép nói về đối tượng như vậy mà không cần chốt trước các lựa chọn tùy ý đó
Trong logarit không có cơ số, tập nền là “đơn vị thông tin”.
log 2là bit,log elà nat,log 10là digit, và các hệ số chuyển đổi tạo thành nhóm của torsor. Việc chọn riêng một đơn vị cụ thể chỉ là tầm thường hóa torsor đó mà thôiKý hiệu phép chia vector cũng mã hóa một
g-torsortheo đúng cách như đơn vị độ dàiCho đến nay các ví dụ đều là torsor của nhóm abel, nhưng để chỉ định vị trí thì phải chọn cả gốc tọa độ lẫn đơn vị độ dài. Nhóm của torsor này là một tích nửa trực tiếp thích hợp của phép tịnh tiến và phép co giãn, nên trở thành nhóm không abel
Phần lớn mọi người ngầm chọn một phép tầm thường hóa khi dùng, và vì vậy nảy sinh sự lẫn lộn giữa đối tượng với các phép toán trên đối tượng đó. Ví dụ như trộn lẫn việc xem vector là vị trí với việc xem nó là phép tịnh tiến. Bài viết của tác giả về vấn đề trong đại số hình học [1] cũng bàn đến điểm này
[0]:https://math.ucr.edu/home/baez/torsors.html
[1]:https://alexkritchevsky.com/2024/02/28/geometric-algebra.htm...
Đáng tiếc là toán học từ lâu đã có truyền thống tái sử dụng các từ thông dụng làm tên cho những khái niệm chẳng liên quan gì tới nghĩa gốc. Vì thế ngay cả sách hay bài báo toán học chỉ nói những điều rất tầm thường cũng trở nên khó hiểu nếu người đọc không quen với biệt ngữ của phân ngành đó
Ở bình luận khác tại đây, cách người ta mô tả logarit có cơ sở của tôi là “
GL(V)-torsor” ngắn gọn hơn nhiều so với cách tôi cố gắng viết dài dòng bằng tayBỏ qua thuật ngữ, tôi chưa từng thấy ai nghĩ về logarit theo cách đó, nên thấy khá thú vị
Logarit thật tuyệt. Trước đây tôi bắt đầu xem các giáo trình toán từ thập niên 1920, và mọi phép tính đều dựa vào các bảng logarit. Người ta đổi số sang logarit trong bảng để giảm bậc của phép toán, rồi sau đó đổi trở lại dạng thông thường
Ngay cả phép tìm căn bậc ba cũng có thể rút về phép chia, rồi nếu chuyển sang log-log thì lại hạ tiếp thành phép trừ trước khi khôi phục về ký pháp ban đầu. Tự làm bằng tay sẽ có cảm giác như dùng một đường hầm ma thuật, rất hay
Mỗi kỳ thi thường có một hai bài mà bạn sẽ cần bảng logarit. Ví dụ phép chia được đổi thành
lookup(a)-lookup(b), rồi tra ngược giá trị đó trong bảng phản logarit, tức bảngexpThe Lost Art of Logarithms của Charles Petzold rất dễ đọc. Đây vẫn là một tác phẩm đang được viết dở
https://www.lostartoflogarithms.com/
Ý tưởng tương tự cũng xuất hiện trong vật lý. Trong vật lý lượng tử, tác dụng
Sxuất hiện như một đại lượng kiểu logarit đứng sau biên độe^iS/(h^bar)Trong cơ học thống kê, entropy là logarit của số vi trạng thái khả dĩ
Omega:S = log(Omega)Đây là những khái niệm đến từ các nhánh vật lý khác nhau, nhưng cả hai đều phản ánh cùng một nguyên lý: dùng logarit để biến quan hệ nhân thành quan hệ cộng
Với câu hỏi “nếu có
log(N)không có cơ số thì có tồn tại ‘lũy thừa không có cơ số’ không?”, thì theo đại số ngây thơ là có thểNếu có thể bỏ
basekhỏilog(x,base)thì cũng có thể bỏbasekhỏipow(base,x). Vìbits=log(2)nênpow(bits)=2. Có lẽ cũng có thể liên hệ với các khái niệm theo hướng ngược như tích phânThử nghịch ký hiệu cho vui:
log(freq) = pitchfreq = pow(pitch)octave = log(2)400*Hz = 100*Hz*4 // tần số 400 Hz gấp 4 lần 100 Hzlog(400*Hz) = log(100*Hz) + log(4)log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*log(2)log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*octavelog(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*octave // cao độ của 400 Hz cao hơn 100 Hz 2 quãng támcent = log(2)/1200A4 = log(440*Hz)B4 = A4 + 200*cent // cao độ B4 cao hơn A4 200 centB4 = log(440*Hz) + 200*log(2)/1200B4 = log(440*Hz) + log(2^(2/12))B4 = log(440*Hz * 2^(2/12))pow(B4) = 493.883 Hz // tần số B4 là 493.883 HzTôi thích trực giác mà ký hiệu log không có cơ số này mang lại, và cũng tránh được việc phải chọn một điểm chuẩn cụ thể. Vẫn có thể chọn một cơ số tùy ý rồi tự tính trực tiếp:
pow(log(440*Hz) + 200*log(2)/1200)exp(ln(440) + 200*ln(2)/1200)dB_P = log(10)/10dB_F = log(10)/20log(10*V) = log(V) + 20*dB_F // mức của 10 V cao hơn mức công suất của 1 V là 20 dBSPL = 20*10^-6 * Pahearing_damage = log(SPL) + 90*dB_F // tổn thương thính giác xảy ra ở mức vượt SPL 90 dB_F (bỏ qua A-weighting)pow(hearing_damage) = pow(log(SPL) + 90*dB_F))pow(hearing_damage) = pow(log(SPL) + 90*log(10)/20))pow(hearing_damage) = SPL*pow(90*log(10)/20))pow(hearing_damage) = SPL*31622.7766 // áp suất gây tổn thương thính giác cao hơn SPL 31622 lầnpow(hearing_damage) = 0.632455532 Pa // áp suất gây tổn thương thính giác là trên 0.632 PaThật sự hữu ích. Có thể tưởng tượng việc gom danh sách các hậu tố decibel lố bịch đó vào một ký pháp thống nhất. Nếu viết log trước thì vị trí của
+hay-cũng được giữ nguyênlog(reference_unit) + value*dB_F (or dB_P)log(reference_unit) - value*dB_F (or dB_P)https://en.wikipedia.org/wiki/Decibel#List_of_suffixes
Bài này cần một hệ thống kiểu. Mỗi khi viết “log”, phải nói rõ đó là log của cái gì và đi tới đâu
Nó giống như trong audio khi mọi người chỉ nói “dB” rồi hành xử như thể đã trả lời xong các câu hỏi sau: tương đối so với cái gì, được đo như thế nào, và dùng weighting nào cho ai
Tác giả nên xem lại https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_theory
Như bài viết đã triển khai một cách không chính thức nhưng cũng khá đầy đủ, công thức đổi cơ số cho thấy việc chọn cơ số phần lớn không quan trọng. Log với các cơ số khác nhau là tương đương với nhau đến một hằng số nhân
Khai triển Taylor của
expcho một định nghĩa nội tại và tổng quát hơn về hàm mũ. Vì vậy, khi thỏa các điều kiện hội tụ phù hợp,expcó thể được khái quát hóa một cách cấu trúc sang nhiều môi trường đại số khác nhau. Ví dụ có hàm mũ phức và nhiều log khả dĩ của nó, hàm mũ ma trận, v.v.log N” không có cơ số được xem như một đối tượng trừu tượng, chứ không phải một con số. Hay bạn đang nói đến đoạn khác?Những gì xảy ra với log phức về cơ bản trông giống với log xuất ra mọi tập cơ sở khả dĩ của một không gian vector
Log phức tạo ra một
Z-torsor, còn log cơ sở tạo ra mộtGL(V)-torsor. Có vẻ phải có cách biểu diễn việc chọn nhánh cắt như một phần của việc chọn cơ số cho log phức, và tương tự việc chọn một cơ sở cụ thể cũng có thể được xem như một phần của việc chọn cơ số cho log cơ sở của không gian vectorThuật ngữ “log không có cơ số” thực sự vô nghĩa, và dùng nó là một sai lầm lớn
Tuy vậy, điểm tác giả bài gốc đúng là log là một đại lượng vật lý đơn lẻ giống như độ dài, diện tích, thể tích, và việc chọn cái gọi là “cơ số” chính là chọn đơn vị đo của log
Log xuất hiện trong biểu thức thứ nguyên của nhiều đại lượng vật lý dẫn xuất. Ví dụ, để mô tả suy hao hay khuếch đại khi sóng truyền đi, người ta dùng các đại lượng như log trên đơn vị độ dài, log trên đơn vị thời gian
Khi đổi “cơ số” của log, giá trị số của mọi đại lượng dẫn xuất cũng thay đổi đúng theo cách khi đổi các đơn vị đo cơ bản như độ dài hay thời gian
Với bất kỳ đại lượng vật lý nào, giá trị đầy đủ của log là độc lập với đơn vị đo. Đó là vì nó là tích của giá trị số và đơn vị đo. Khi đổi đơn vị đo, giá trị số và đơn vị cùng đổi, còn tích thì giữ nguyên. Nói cách khác, dù tính giá trị số theo cơ số nào thì log vẫn tương ứng với cùng một tỷ lệ
Ngày nay, đơn vị của log thường được chọn trong số octave (log nhị phân), neper (log hyperbol), và bel (log thập phân)
Đơn vị đo của log không phải là bản thân cơ số mà là log của cơ số. Vì vậy, chẳng hạn, giá trị của số “e”, là cơ số của log hyperbol, không cần thiết trong bất kỳ phép tính nào. Giá trị cần thiết chỉ là “ln 2” hoặc nghịch đảo của nó là “log2 e”, và chúng được dùng để chuyển đổi giá trị log giữa các đơn vị đo tương ứng với log nhị phân và log hyperbol (còn gọi là log tự nhiên, nhưng log hyperbol không “tự nhiên” hơn các loại log khác)
d(logₐx)/dx = 1/(x log(a))
log không có cơ số chỉ là một họ các hàm có tính chất tương tự. Nếu tác giả dùng cách nói như “tính chất của log” thay vì “log không có cơ số” thì có thể sẽ rõ ràng hơn, nhưng bắt bẻ điều đó thì hơi mang tính soi mói và tranh cãi
Về ý rằng đổi cơ số thì con số thay đổi, tôi tự hỏi liệu bạn có học đại số tuyến tính nâng cao hay cụ thể hơn là tensor chưa. Điểm cốt lõi của tensor là nó tác động lên đối tượng theo cùng một cách bất kể cơ sở. Nói cách khác, nếu a và b biểu diễn cùng một đối tượng trong hai cơ sở khác nhau, thì khi T(x) là một tensor, T(a) và T(b) là tương đương
Điểm chính là mọi con số đều là lựa chọn tùy ý, và nó không định nghĩa cấu trúc nền tảng. Ở đây tác giả đang nói về cấu trúc log
Đó cũng là lý do trong đại số tuyến tính người ta học các cơ sở khác nhau và phép biến đổi giữa chúng. Vì cùng một lý do, tọa độ cực và tọa độ Descartes học ở phổ thông cũng vậy. Đó là quá trình chuẩn bị để học về cấu trúc. Đến lý thuyết nhóm, ta học rằng nếu nhóm A và B đẳng cấu thì chúng có cùng một cấu trúc toán học
Điều đó vẫn đúng ngay cả khi các con số thay đổi
Tôi không thể tin nổi việc gọi log thông thường là “based”
Sẽ thú vị hơn nhiều nếu tất cả điều này thực sự giúp chỉ ra một sự thật toán học mới. Hiện tại nó gần với trò chơi ký hiệu hơn
Không nhất thiết nói rằng bài này là như vậy, nhưng tôi nghĩ tình hình hiện tại của chúng ta nghiêng nhiều hơn về phía có quá nhiều sự thật và thiếu những góc nhìn đơn giản để biến chúng thành hữu ích và dễ tiếp cận
Dĩ nhiên đây chỉ là ý kiến cá nhân
Việc công khai những mẫu như vậy có thể khiến quá trình tư duy trở nên phân tán. Biết đâu người khác sẽ nhìn ra được một trực giác nào đó