Phương pháp học toán (2017)

 (math.uh.edu)
7 điểm bởi GN⁺ 2024-12-03 | 1 bình luận | Chia sẻ qua WhatsApp
  • Toán đại học không phải là môn áp dụng thuật toán vào các tình huống định sẵn như ở phổ thông, mà còn đòi hỏi khả năng phán đoán để chọn phương pháp phù hợp dựa trên định nghĩa, định lý và chứng minh
  • Định nghĩa không thể được lướt qua bằng trực giác; cần nắm cấu trúc logic và phạm vi áp dụng, kiểm tra bằng ví dụ và phản ví dụ, rồi học cả cách phát biểu chính xác
  • Định lý, mệnh đề, bổ đề, hệ quả cho biết vai trò và mức độ quan trọng của kết quả; cần hiểu cả giả thiết và kết luận, trường hợp sử dụng, cũng như sự cần thiết của các giả thiết
  • Chứng minh không phải là phần tùy chọn trong toán đại học; chỉ khi hiểu trước phát biểu của định lý, nhìn được chiến lược lớn rồi điền các bước chi tiết bị lược bỏ, bạn mới có thể áp dụng đúng
  • Kỹ năng giải bài không đủ nếu chỉ luyện lặp lại; cần thử nhiều lời giải, giải các bài ngẫu nhiên và rèn khả năng phán đoán để chọn kỹ thuật nên dùng

Toán đại học khác toán phổ thông ở điểm nào

  • Toán phổ thông dành nhiều thời gian cho thuật toán và kỹ thuật thao tác, và học sinh được kỳ vọng áp dụng chúng trong các tình huống đã định sẵn
  • Chỉ với thói quen học như vậy thì khó theo kịp toán đại học, và có thể gây thất vọng cho cả sinh viên lẫn giảng viên
  • Khác biệt lớn đầu tiên của toán đại học là nó nhấn mạnh hơn rất nhiều vào phần mà sinh viên thường gọi là lý thuyết
    • Phát biểu chính xác các định nghĩa và định lý
    • Xử lý quá trình logic để định lý đúng
    • Cùng lúc xử lý các ví dụ cho thấy vì sao định nghĩa là phù hợp và cách thực sự dùng định lý
  • Nếu trong mô tả môn học có từ rigorous, điều đó có nghĩa là các định nghĩa và định lý sẽ được phát biểu rất cẩn thận, và với các định lý sẽ đưa ra chứng minh chứ không chỉ là lời giải thích có vẻ hợp lý
  • Cách đọc qua loa lý thuyết rồi chuyển ngay sang bài tập sẽ gây khó khăn trong toán đại học
  • Khác biệt thứ hai là cách xử lý kỹ thuật và bài toán ứng dụng
    • Ở phổ thông, thường mỗi lần chỉ học một kỹ thuật
    • Trong toán đại học, một bài toán có thể có nhiều cách tiếp cận, và phải chọn cách nào tốt hơn
    • Vì vậy cần thói quen học tập rèn không chỉ sự thành thạo kỹ thuật mà cả khả năng phán đoán trong giải bài

Cách học định nghĩa

  • Định nghĩa trong toán học là câu phát biểu liên kết một khái niệm với các khái niệm đã được định nghĩa trước đó hoặc với các khái niệm chưa định nghĩa như number, set, nhằm phân định chính xác và đặt tên cho nó
  • Cảm giác trực quan là cần thiết nhưng chưa đủ ở bậc đại học; bạn phải trực tiếp xử lý phát biểu chính thức của định nghĩa và ý nghĩa của nó

  • Hiểu chính xác điều định nghĩa nói

    • Định nghĩa không phải là nơi để luyện đọc nhanh
    • Trong một định nghĩa đã được thiết lập, thường không có từ ngữ thừa hay ký hiệu không cần thiết; những từ nhỏ như and, or, if ... then, for all, there is cho biết cấu trúc logic
    • Trước hết cần nắm định nghĩa đang nói về đối tượng thuộc phạm trù tổng quát nào
      • Định nghĩa đa thức nói về một loại biểu thức đại số cụ thể
      • Định nghĩa hàm liên tục nói về một loại hàm cụ thể
      • Định nghĩa cơ sở của không gian vector nói về một loại tập hợp vector cụ thể
    • Sau đó cần diễn giải phải làm gì để chứng tỏ một đối tượng thuộc phạm trù tổng quát đó thỏa mãn định nghĩa

  • Kiểm tra phạm vi của định nghĩa bằng ví dụ

    • Ví dụ chuẩn rất hữu ích, nhưng có thể khiến ta kỳ vọng rằng mọi ví dụ đều giống ví dụ chuẩn
    • Để hiểu định nghĩa, bạn phải tự tạo ví dụ
      • Tạo 3 ví dụ thỏa mãn định nghĩa nhưng càng khác nhau càng tốt
      • Tạo 2 ví dụ thuộc cùng phạm trù tổng quát nhưng không thỏa mãn định nghĩa
      • Chứng minh rằng 5 ví dụ này thật sự hoạt động đúng như dự định
    • Những chứng minh như vậy thường ngắn và gần như đi theo đúng cấu trúc của định nghĩa
    • Ví dụ do chính bạn viết sẽ có ý nghĩa lớn hơn ví dụ trong sách hay của giảng viên khi ôn tập

  • Ghi nhớ phát biểu chính xác

    • Để dùng định nghĩa, bạn phải biết định nghĩa đó nói chính xác điều gì
    • Trong bài thi có thể có câu hỏi yêu cầu phát biểu một định nghĩa nào đó
    • Kiến thức vững chắc về định nghĩa chiếm tỷ trọng lớn trong toàn bộ việc học, và thời gian dành cho việc này không hề lãng phí

Xử lý định lý, mệnh đề, bổ đề, hệ quả

  • Định nghĩa chỉ thực sự hoạt động khi chúng được liên kết với nhau và gắn với các bài toán tổng quát; phần đảm nhiệm vai trò này là lý thuyết
  • Tên gọi gắn với một kết quả được chứng minh cho biết phần nào tầm quan trọng tương đối và cách sử dụng dự kiến của nó
    • Định lý là kết quả quan trọng đem lại hiểu biết chính về cách một khái niệm được dùng để giải quyết bài toán hoặc về cách môn học vận hành; chứng minh của nó thường sâu và phức tạp
    • Mệnh đề là kết quả nhỏ hơn, thường nối các định nghĩa khác nhau hoặc đưa ra một dạng khác của định nghĩa; chứng minh thường ít phức tạp hơn định lý
    • Bổ đề là kết quả kỹ thuật dùng trong chứng minh định lý; khi cùng một mẹo được dùng nhiều lần, nó được tách riêng để tránh phải chứng minh lặp lại
    • Hệ quả là kết quả tức thời của một định lý, đưa ra trường hợp đặc biệt hoặc bộc lộ sự thú vị và tầm quan trọng của định lý
  • Nếu tác giả hoặc giảng viên dùng các tên gọi này một cách cẩn thận, chúng sẽ giúp bạn xác định điều gì là quan trọng

  • Hiểu phát biểu của định lý

    • Định lý sử dụng các thuật ngữ đã được định nghĩa, nên để hiểu các từ trong định lý, bạn có thể cần xem lại các định nghĩa liên quan
    • Cần phân biệt giả thiết và kết luận trong cấu trúc logic của định lý
    • Cần kiểm tra liệu tất cả các giả thiết có cần thiết hay chỉ một phần là đủ
    • Hầu hết các định lý chỉ áp dụng được khi mọi giả thiết đều được thỏa mãn
    • Với những tình huống không thỏa mãn giả thiết, định lý không nói gì cả
    • Giả thiết cho biết phải chứng minh điều gì để áp dụng định lý cho một trường hợp cụ thể, còn kết luận cho biết định lý nói gì về trường hợp đó

  • Kiểm tra định lý được dùng như thế nào

    • Cần tìm các ví dụ bài toán trong đó định lý cung cấp kỹ thuật để tìm đáp án
    • Hãy tự tạo bài toán và chỉ ra định lý giúp ích như thế nào
    • Việc ghi lại điều này giúp định lý bám chắc hơn trong đầu và cũng giúp ôn tập dễ hơn

  • Kiểm tra vai trò của giả thiết

    • Một cách hữu ích là tìm ví dụ cho thấy nếu bỏ từng giả thiết thì kết luận có thể trở thành sai
    • Nhiều định lý trong giải tích có giả thiết rằng hàm là liên tục; nếu bỏ giả thiết này, ví dụ có thể cho thấy rõ hơn vì sao định lý thất bại
    • Danh sách ví dụ như vậy rất hữu ích, và các sách như Counterexamples in Analysis và Counterexamples in Topology được nêu làm ví dụ
    • Trong một số trường hợp, giả thiết được đưa vào không phải vì nó thiết yếu cho kết luận mà để làm chứng minh phức tạp trở nên dễ hơn, nên không phải lúc nào cũng có thể tìm ví dụ chứng tỏ mọi giả thiết đều là bắt buộc

  • Ghi nhớ phát biểu của định lý

    • Để dùng định lý, bạn phải biết định lý nói chính xác điều gì, đặc biệt phải chú ý đến giả thiết
    • Thay vì cố học thuộc chứng minh của định lý, tốt hơn là hiểu đến mức có thể tự chứng minh

Ghép lại cấu trúc toàn môn học

  • Toán học không phải là tập hợp tạp nham các kỹ thuật, mà là một cách tư duy và một môn học thống nhất
  • Một phần của việc học là liên kết đúng các định nghĩa và định lý khác nhau với nhau
  • Công việc này đặc biệt quan trọng vào cuối học kỳ, nhưng ngay trong quá trình học, ý thức về tổ chức tổng thể cũng giúp hiểu nội dung và cách sắp xếp của môn học

  • Truy ngược lại

    • Khi đạt đến một kết quả quan trọng, sẽ hữu ích nếu xem trong chứng minh của nó đã dùng những kết quả trước đó nào
    • Nếu tiếp tục truy theo những kết quả trước đó được chứng minh từ những kết quả còn sớm hơn nào, cuối cùng có thể quay về đến các định nghĩa
    • Tuy nhiên, một số định lý có thể được đưa ra mà không chứng minh, như trường hợp chứng minh định lý giá trị trung gian trong giải tích bị lược bỏ
    • Nếu sắp xếp thông tin này như sơ đồ phả hệ của các kết quả, bạn có thể nhìn thoáng qua cách lý thuyết ăn khớp với nhau
    • Trong ví dụ về định lý giá trị trung bình, các nội dung được liên kết gồm định lý Rolle, bổ đề ứng viên, ý nghĩa của dấu đạo hàm, định nghĩa đạo hàm, định nghĩa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, định nghĩa khoảng đóng, tiên đề cận trên nhỏ nhất, định nghĩa tính liên tục, v.v.

  • Tạo đề cương định nghĩa–định lý

    • Nếu với mỗi định lý chính bạn truy ngược về đến định nghĩa, bạn có thể nắm được kết quả nào phải có trước kết quả nào
    • Một số định nghĩa khó có ý nghĩa trước khi một định lý cụ thể được chứng minh
    • Chiều của không gian vector chỉ có thể được đặt tên khi biết con số được nói đến là duy nhất, và điều này cần một định lý
    • Đề cương định nghĩa–định lý là bản sắp xếp sao cho mỗi kết quả được đưa vào trước khi cần đến trong chứng minh
    • Đề cương này nên bao gồm phát biểu chính xác của mọi định nghĩa và định lý, cùng phác thảo chứng minh của từng định lý
    • Phác thảo chứng minh cho thấy những kết quả trước đó nào được dùng và được kết hợp ra sao; các bước thường lệ như đơn giản hóa phép tính hoặc kiểm tra giả thiết thường được lược bỏ
    • Đề cương như vậy là cách tốt để bắt đầu ôn tập và cũng là tài liệu tham khảo hữu ích về sau

Cách hiểu chứng minh

  • Toán ở bậc đại học đòi hỏi phải theo dõi nhiều chứng minh, khác với toán phổ thông nơi chứng minh có thể không có hoặc chỉ là phần tùy chọn
  • Theo dõi chứng minh là công việc xa lạ và khó, nên có thể không được ưa thích

  • Biết trước phát biểu của định lý

    • Nếu nhầm lẫn giữa giả thiết và kết luận, bạn sẽ không biết mình được giả sử điều gì và cần đi đến điều gì làm kết luận
    • Bước đầu tiên để hiểu chứng minh là biết chính xác định lý liên quan nói gì

  • Nắm đại cục của chứng minh

    • Trước hết cần xem những kết quả trước đó nào đã được dùng và chiến lược cơ bản của chứng minh là gì
    • Ở lượt đọc đầu tiên, nên bỏ qua chi tiết để không mất phương hướng tổng thể
    • Phần lớn định lý có dạng kéo theo, và cấu trúc chứng minh dễ nhất là chấp nhận giả thiết rồi kết hợp các kết quả trước đó để đi đến kết luận
    • Chứng minh phản đảo, chứng minh bằng phản chứng, quy nạp toán học, và một dạng của tiên đề chọn như bổ đề Zorn cũng có thể được dùng làm chiến lược

  • Điền các bước chi tiết bị lược bỏ

    • Sau khi hiểu chiến lược, cần tập trung vào chiến thuật
    • Phần trình bày chứng minh trong giáo trình đại học và mọi phần trình bày chứng minh ở trình độ cao hơn đều lược bỏ nhiều bước thường lệ
    • Nếu biểu thức đã được đơn giản hóa, bạn phải điền các phép tính giữa các dòng
    • Nếu một định lý được trích dẫn và áp dụng, cần kiểm tra rằng mọi giả thiết thật sự được thỏa mãn
    • Nếu một phần được để lại cho người đọc, bạn phải tự điền chi tiết đó
    • Khi hoàn thành, bạn cần biết vì sao mỗi bước suy ra từ bước trước; không nhất thiết phải biết người ta đã nghĩ ra chứng minh đó như thế nào

  • Vì sao phải học chứng minh

    • Với sinh viên chuyên toán, câu trả lời rõ ràng vì phần lớn toán học được cấu thành từ chứng minh
    • Với sinh viên muốn ứng dụng toán, chứng minh cũng cần thiết
    • Ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhiều khả năng sẽ không giống hệt các bài toán ứng dụng trong sách giáo khoa toán
    • Một khóa học toán không thể bao quát mọi ứng dụng đã biết, và người ta nói rằng trong văn liệu toán học có khoảng 500 bài báo ứng dụng được đăng mỗi hai tuần
    • Cần biết giả thiết của định lý để không áp dụng sai định lý vào nơi nó không hoạt động
    • Khi cần, biết chứng minh sẽ giúp nhìn ra cách đi vòng qua giả thiết bị thất bại
    • Một trong những cạm bẫy lớn của toán ứng dụng là tiện tay bỏ qua các giả thiết của mô hình toán học
      • Khi người không chuyên toán làm toán ứng dụng, nguy cơ này đặc biệt lớn
      • Khi nhà toán học làm toán ứng dụng, họ lại dễ rơi vào cạm bẫy tạo ra mô hình không liên quan đến thực tế
    • Nhiều ứng dụng là việc nhận ra định nghĩa của một khái niệm toán học được diễn đạt bằng thuật ngữ của lĩnh vực khác
    • Chứng minh có thể làm rõ những sắc thái tinh tế của định nghĩa và các dạng tương đương bất ngờ
    • Trong toán học, chứng minh là phép thử cuối cùng về tính đúng đắn
    • Một khi chấp nhận quá trình logic của chứng minh, các quan sát về sau hay thay đổi xu hướng sẽ không làm thay đổi tính đúng đắn của kết quả toán học
    • Nếu toán học thiếu chứng minh thì đó là sự thiếu hụt nghiêm trọng, và có thể nói đó không còn là toán học

Cách phát triển kỹ thuật giải bài

  • Khoảng một phần ba đến một nửa của môn toán xử lý kỹ thuật
  • Kỹ thuật là quá trình làm cho định lý không chỉ dừng ở dạng tổng quát mà còn hoạt động trong các tình huống cụ thể
  • Trong một số trường hợp, vì chứng minh đưa ra một cách dựng tường minh nên chỉ cần làm theo nó trong trường hợp đặc biệt
  • Với các trường hợp một bài toán có thể áp dụng nhiều cách tiếp cận và nhiều mẹo, như kỹ thuật tích phân, cần có khả năng phán đoán

  • Đọc định lý và ví dụ trước

    • Nếu xem giải bài như quá trình không liên quan đến các nội dung khác của môn học, việc học sẽ khó hơn
    • Bài tập thường đi theo mẫu đã được nêu rõ trong chứng minh của các định lý chính trước đó
    • Biết trước mẫu tổng quát sẽ dễ hơn là tìm ra bằng thử-sai

  • Giải đủ bài để nắm kỹ thuật

    • Cần giải đủ nhiều bài để một kỹ thuật đơn lẻ bám chắc trong đầu
    • Vì trách nhiệm cuối cùng về việc học thuộc về sinh viên, nếu cần nhiều bài hơn bài tập nộp, bạn phải tự luyện thêm

  • Giải cùng một bài bằng nhiều cách

    • Khi luyện một kỹ thuật, bạn dễ nghĩ rằng một bài toán chỉ có một cách tiếp cận
    • Một số cách tiếp cận dễ còn cách khác phức tạp, nhưng cũng có nhiều trường hợp nhiều lời giải hoạt động tốt tương đương nhau
    • Cách tiếp cận phức tạp là bài luyện giải những bài cần nhiều bước và nhiều kỹ thuật

  • Tạo bộ bài tập ngẫu nhiên

    • Khó khăn khi học nhiều kỹ thuật là trước khi bắt đầu giải, bạn phải quyết định dùng kỹ thuật nào
    • Bài tập trong giáo trình thường được nhóm để dùng kỹ thuật vừa học ngay trước đó, điều này có thể làm khó khăn đó tăng thêm
    • Nếu chọn 2–3 bài từ mỗi bộ bài tập, ghi vào thẻ 3×5 rồi xáo trộn, bạn có thể tạo một bộ bài tập để luyện quyết định nên dùng kỹ thuật nào

Thói quen học tập cuối cùng

  • Câu văn toán học rất ít lặp lại, và toán học là môn có tính tích lũy rất cao
  • Một khái niệm sau khi được đưa vào sẽ hiếm khi được lặp lại, và về sau được giả định là bạn đã biết
  • Cần dành đủ thời gian đọc sách trước khi giải bài
  • Hầu hết sinh viên không viết đủ nhanh để ghi chép đầy đủ và dễ đọc trong giờ học
  • Rất hữu ích nếu ngay sau giờ học bạn xem lại ghi chép và tạo một bản hoàn chỉnh sạch sẽ, trong đó các định nghĩa và định lý được viết rõ ràng
    • Quá trình này cũng giúp tìm ra những phần chưa hiểu để kịp thời hỏi giảng viên
  • Đừng để bị tụt lại
  • Toán học đòi hỏi sự chính xác, thói quen tư duy rõ ràng và luyện tập
  • Học nhồi nhét ngay trước kỳ thi không chỉ không đem lại kết quả thi mong muốn, mà còn củng cố thói quen xấu: làm toán bằng ghi nhớ thay vì hiểu
  • Ngủ đủ và có đầu óc tỉnh táo hữu ích hơn việc học thuộc vào phút cuối

Bài viết liên quan

1 bình luận

 
GN⁺ 2024-12-03
Các ý kiến trên Hacker News

  • Tôi có bằng tiến sĩ toán và đã công bố vài bài báo, nhưng khuyến nghị của tôi chỉ là một nguyên tắc meta: phải tận hưởng toán học
    Điều này giống như Benjamin Finegold từng nói bí quyết của cờ vua là tận hưởng từng nước đi. Cá nhân tôi chưa từng thật sự gặp khó khăn với toán, và tôi nghĩ lý do là vì tôi thực sự thích chính hành động viết ký hiệu, học lý thuyết mới và tự mình tạo ra chúng
    Không phải ai cũng thích toán ngay từ đầu, nhưng tôi nghĩ ít nhất một nửa trong số đó là vì họ chưa tìm được con đường rõ ràng để tận hưởng toán học. Toán ở cấp ba thường không được dạy như một cuộc khám phá nghệ thuật và logic đầy thú vị
    Vì vậy, tốt nhất là gặp một người hướng dẫn đã tìm thấy con đường đó và nhờ họ chỉ cho cách tận hưởng toán học. Tôi đã dạy nhiều học sinh ghét toán và thấy toán khó, và sau vài buổi, tôi thường thấy ánh mắt kiểu “cái này cũng khá hay đấy chứ?”
    Trước khi áp dụng logic, phương pháp học hay những kỹ thuật năng suất nhàm chán, trước hết phải tìm cách để thấy thích đã

    • Một vấn đề lớn của giáo dục toán học là những người ghét toán lại đi dạy toán
      Họ nhìn toán như việc uống thuốc đắng hoặc rèn luyện một kỹ năng phức tạp, cứng nhắc, nên cách họ dạy cũng vụng về và mang tính áp đặt, khiến học sinh trở nên thụ động hoặc phản kháng
      Gần đây chính quyền Manitoba ở Canada đã thay đổi để không yêu cầu giáo viên toán phải hoàn thành các môn toán ở đại học, và việc các khoa giáo dục đại học thúc đẩy mạnh điều này cho thấy giáo viên toán ghét toán đến mức nào
    • Tôi hiểu ý bạn, nhưng tôi nghĩ sự tự tin quan trọng hơn niềm vui
      Nhiều người nhầm lẫn giữa việc thích một thứ và cảm giác vui vì mình làm tốt thứ đó. Vì vậy, khi một lĩnh vực không còn tự nhiên giải được nữa, về sau họ đổi ngành, chuyển sang nơi thế mạnh của mình phát huy được
      Vấn đề là bỏ cuộc quá sớm; để ngăn điều đó, việc xây dựng sự tự tin ở giai đoạn đầu rất quan trọng. Nếu cảm thấy mình không làm được, gần như không thể thấy thích, nên việc thành thạo cơ bản là bước đầu tiên dẫn đến niềm vui và thành công sau này
    • Tôi muốn nghe mẹo hoặc giai thoại về những hoạt động thú vị bạn đã làm để nuôi dưỡng niềm vui đó cho học sinh
      Tôi không có bằng tiến sĩ, nhưng đã dạy kèm toán khá nhiều cho học sinh nhỏ tuổi, và luôn tìm những cách mới để giúp các em cảm nhận rằng toán học thú vị và kỳ diệu
      Với nhiều học sinh, toán gần như đã ăn sâu như một nỗi đau vô nghĩa, đồng thời gắn rất chặt với cảm giác kém cỏi hoặc xấu hổ, nên việc này không dễ
    • Cảm giác thỏa mãn khi thấy “tia sáng” đó trong mắt một học sinh ban đầu không có động lực hoặc đang nản lòng là một trong những khoảnh khắc trọn vẹn nhất trong sự nghiệp của tôi
    • Tôi học toán từ một giáo viên luôn la hét, nói rằng chúng tôi sẽ chẳng làm nên trò trống gì, và ném cục xóa bảng gỗ
      Rốt cuộc làm sao có thể tự khiến mình thích toán được?

  • Khi còn học đại học, bí quyết của tôi trong mọi môn toán là giải bài tập
    Tôi giải tất cả bài tập cuối mỗi chương trong giáo trình, rồi vào thư viện tìm các giáo trình khác và giải cả các bài cuối chương của những sách đó
    Lên cao học, tôi mở rộng hơn: viết lại toàn bộ từng chương của giáo trình, điền vào các bước trung gian trong chứng minh. Tôi lấp hết cả những phần tác giả bỏ qua bằng “do đó …” hay “hiển nhiên …”

    • Gần đây tôi xem lại ghi chép các môn cơ sở và toán thuần từng học ở đại học, và khắp các chứng minh đầy những bước mà phiên bản hai mươi tuổi kiêu ngạo, tự phụ của tôi đã bỏ qua bằng chữ “hiển nhiên”
      Hai mươi năm sau, khi đọc lại mà không còn ngữ cảnh, tôi bây giờ hoàn toàn không vượt qua được
    • Tôi đã thử cách đó, nhưng gặp khó khăn lớn trong học chuyển giao và nhớ lại định nghĩa; các cách sau đã giúp trình độ của tôi tăng gần như theo cấp số nhân
      Tôi luyện lặp lại các định nghĩa cơ bản và ôn bằng lặp lại ngắt quãng; phương pháp ghi chú Cornell cũng tiện cho việc ghi chép trong lớp và ôn tập
      Tôi viết nhật ký tư duy, ghi lại những bài không giải được hoặc đã giải được, vì sao bị kẹt, điều gì hiệu quả, v.v.; kiểu siêu nhận thức này rất hữu ích khi chuyển sang bài toán mới
      Các nhóm học tập nơi mọi người giải thích cho nhau nhiều cũng giúp ích rất lớn
    • Lặp lại brute force bằng cách tiếp xúc với càng nhiều bài toán và lời giải càng tốt giống như cách trí tuệ nhân tạo học
      Tôi không nghĩ đó là chiến lược tối ưu cho con người. Chúng ta cần tạo ra tài liệu toán giúp học sinh học theo cách phân tích và khái niệm
      Giống như cách học sinh học sinh học vậy
    • Nên tham gia các buổi học với trợ giảng và thử trả lời câu hỏi trong lớp
      Dù không có gì để hỏi, bạn vẫn có thể làm bài tập vào thời gian đó và nghe câu hỏi của người khác
      Không chỉ học được nhiều hơn, mà trợ giảng cũng nhận ra nỗ lực của bạn, nên khả năng họ cho điểm thành phần hoặc cân nhắc có lợi ở ranh giới điểm số cũng cao hơn
    • Tôi nghĩ lời khuyên “giải tất cả bài tập cuối chương trong giáo trình” còn tùy giáo trình
      Ví dụ, tôi cho rằng giải mọi bài trong CLRS là bất khả thi. Giáo sư của tôi từng ra một bài về universal hashing, và chỉ để có được trực giác cốt lõi cho chứng minh đúng đã mất vài giờ
      Trong tình huống có nhiều ưu tiên cạnh tranh, tôi không tưởng tượng được làm sao có thể giải hết mọi bài, trừ một số ít người thật sự có tài

  • Khi chuyển từ trường phổ thông lên đại học, điều đầu tiên cần làm quen là trạng thái hoàn toàn lạc lối và cảm thấy thất bại
    Cuối cấp ba, tôi có thể giải mọi thứ, làm bài thi IB còn dư rất nhiều thời gian, và đã vài tháng không gặp bài nào trong chương trình chính quy mà mình không giải được
    Vào đại học, tôi gặp những bài mà thậm chí không hiểu chúng liên quan gì đến bài giảng vừa nghe và tờ đề bài. Cảm giác là: “Mình đã nghe bài giảng này, phải dùng thông tin đó để giải bài này, nhưng mình còn không hiểu chính bài toán đang nói gì”
    Việc học diễn ra chính trong quá trình bực bội đập đầu vào nó như vậy. Đọc, đọc thêm, lấp đầy vở bằng những phép suy diễn vô dụng, rồi cuối cùng hình dạng của vấn đề sẽ hiện ra
    Ở đại học, lượng tài liệu quá đồ sộ nên không ai có thể giải thích hết cho bạn trong thời gian giới hạn. Sinh viên phải nắm lấy các ý tưởng cốt lõi, phần còn lại tự bỏ thời gian để lấp đầy

    • Câu “phải quen với việc hoàn toàn lạc lối và cảm thấy thất bại” thật sự đúng
      Ở trường đại học tôi học có một khóa ôn toán trước học kỳ, bắt đầu từ phép cộng số tự nhiên. Chỉ trong hai ngày, toàn bộ những gì học ở trường suốt 13 năm được lặp lại
      Đó là quá trình thiết lập lại kỳ vọng một cách tàn nhẫn, nhưng nó cho mọi người thấy rõ rằng đây không còn là trường phổ thông nữa, và cần một kiểu làm việc cùng sự tập trung khác

  • Các liên kết liên quan:
    How to Study Mathematics (2017) - https://news.ycombinator.com/item?id=26524876 - tháng 3 năm 2021, 73 bình luận
    How to Study Mathematics (2017) - https://news.ycombinator.com/item?id=16392698 - tháng 2 năm 2018, 148 bình luận
    Bonus: Ask HN: How to Study Mathematics? - https://news.ycombinator.com/item?id=23074249 - tháng 5 năm 2020, 31 bình luận
    Ask HN: How to self-study mathematics from the undergrad through graduate level? - https://news.ycombinator.com/item?id=18939913 - tháng 1 năm 2019, 227 bình luận
    Ask HN: How to self-learn math? - https://news.ycombinator.com/item?id=16562173 - tháng 3 năm 2018, 211 bình luận

  • Điều thú vị là hướng dẫn này nói rằng hiểu bằng trực giác phù hợp với toán ở cấp phổ thông, nhưng không phù hợp với cấp đại học
    Trong khi đó, David Bessis trong cuốn sách gần đây “Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity” lại cho rằng trực giác là “bí mật” trong việc hiểu toán ở mọi cấp độ
    Không biết nên rút ra kết luận gì từ đây, nhưng theo trải nghiệm toán đại học đã lâu của tôi, trực giác là một công cụ mạnh để phát triển hiểu biết về môn học

    • Trông có vẻ mâu thuẫn, nhưng tôi nghĩ thực ra không phải vậy. Điểm cốt lõi là kinh nghiệm là điều kiện tiên quyết của trực giác
      Khi một học sinh trung học nhìn vào một bài toán phổ thông, họ rút ra trực giác giải bài dựa trên toàn bộ kinh nghiệm toán K-12. Khi chuyển sang toán bậc đại học, kinh nghiệm sẵn có không còn đủ nữa nên trở nên khó khăn
      Cần xử lý các vấn đề trừu tượng hơn và mức độ chặt chẽ cao hơn nhiều, và bài toán cũng thường vận hành ở các mức cao hơn trong thang phân loại Bloom [1] so với toán phổ thông. Với học sinh trung học trung bình, đây là lĩnh vực hầu như chưa có kinh nghiệm nên trực giác khó hình thành
      Khi tích lũy kinh nghiệm, trực giác sẽ quay trở lại ở các năm cuối đại học, cao học và về sau, nhưng về bản chất đó là một loại trực giác khác. Nếu ở phổ thông có nhiều trực giác thị giác/hình học, thì trong toán cao cấp nó trở thành trực giác về các trừu tượng và các công cụ để tấn công bài toán
      Điều này không khác gì một lập trình viên nhìn vào vấn đề rồi nói “cần hash map, và khi đó bài này trở nên tầm thường”
      [1] https://en.wikipedia.org/wiki/Bloom's_taxonomy
    • Nếu dung hòa hai ý này, trực giác mang theo từ cấp phổ thông giúp ích cho toán ở cấp độ đó
      Vì trong đời sống hằng ngày ta có cảm giác về các đối tượng hình học hoặc những thứ như đường cong giải tích hai chiều
      Ở cấp đại học, các đối tượng trừu tượng hơn nên trực giác đời thường có thể không còn áp dụng được. Một loại trực giác mới có thể hình thành, nhưng cần dành nhiều thời gian cho các quy trình hình thức và tính toán, nhìn lại quãng thời gian đó, và chủ động tạo ra những ẩn dụ mới để dẫn dắt trực giác
      Ví dụ, tôi vẫn nhớ một giáo sư đã dùng Ice-9 trong Cat's Cradle làm ẩn dụ để giải thích cách, với hàm chỉnh hình trên mặt phẳng phức, khi chứng minh một tính chất cục bộ thì tính chất đó cũng đúng với hành vi toàn cục
    • Điều được nói ở đây có vẻ là trực giác đủ cho toán phổ thông, nhưng không đủ cho toán đại học
      Không phải là không cần thiết, mà là không phải điều kiện đủ
    • Điều này liên quan đến các giai đoạn của sự chặt chẽ toán học của Terence Tao
      Theo cách nói của Tao, ở giai đoạn hậu-chặt-chẽ sau khi đã phát triển đủ năng lực kỹ thuật, giá trị của trực giác trở nên lớn hơn nhiều
      https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-...
    • Tôi đã đọc cuốn sách đó, và với tôi nó giống như nói rằng “trực giác có thể được mài giũa và rất mạnh mẽ, nhưng khó truyền đạt cho người khác”
      Bessis thực ra cũng đưa ra các ví dụ cho thấy trực giác và kỹ thuật bổ trợ rất tốt cho nhau

  • Trích dẫn về Sitzfleisch lấy từ The Lost Cafe của Gian-Carlo Rota rất ấn tượng
    Từ tiếng Đức Sitzfleisch chỉ khả năng ngồi trước bàn làm việc vô số giờ để làm những việc nặng nhọc, và người ta nói rằng các nhà toán học coi nó là thước đo thành công tốt hơn những định nghĩa hấp dẫn về tài năng mà đôi khi các nhà tâm lý học đưa ra
    Nhưng Stan Ulam vẫn trụ vững mà không có Sitzfleisch. Sau khi mắc viêm não, ông đưa ra ý tưởng bằng trí tưởng tượng không bị tổn hại, còn hỗ trợ kỹ thuật thì dựa vào Sitzfleisch của người khác
    Nhờ vẻ đẹp trong những insight của ông và tiềm năng trong các đề xuất của ông, các cộng sự trẻ sẵn lòng cho ông mượn thời gian của mình, thậm chí đôi khi chấp nhận cả nguy cơ lãng phí
    Nguồn là trích dẫn tìm thấy ở đây: http://www.romanpress.com/Rota/Rota.php

  • Trong trường hợp của tôi, tôi cảm thấy mình đã đạt đến một tầm hoàn toàn mới khi cố tự mình làm tất cả các chứng minh
    Trước đây, sau khi đọc một chủ đề vài lần, tôi xem lần lượt các định nghĩa và chứng minh, trước hết cố nhớ ra mệnh đề, rồi sau đó tự chứng minh. Làm như vậy thì hầu như đạt được gián tiếp gần hết những điều bài viết nói đến
    Điều thú vị là sau khi làm vậy, phần lớn các bài tập trước đây từng phức tạp bỗng biến thành những bài có thể giải ngay. Gần như một mã gian lận khiến không cần làm bài tập vậy
    Khi dạy nhiều trình độ khác nhau ở đại học, năm nào tôi cũng hỏi có ai từng về nhà tự nhớ lại chứng minh của định lý không, và không có ai cả. Khi tôi nói rằng nên làm như vậy, họ luôn ngạc nhiên

    • Tôi cũng định thử làm việc này. Nếu kết hợp thêm việc hiểu định nghĩa ở nhiều cấp độ, thì dù vẫn cần lắp ghép một chút, coi như cả giáo trình sẽ đi vào đầu

  • Bài viết này còn thiếu phần meta của việc học toán
    Việc suy ngẫm sáng tạo về cách bản thân học bắt đầu thực sự được đền đáp từ khoảng giữa đại học
    Mối quan hệ với quy ước trở nên quan trọng không kém mối quan hệ với kỹ thuật. Để hiểu “toàn bộ” một thứ gì đó, bạn cũng phải hiểu cách trình bày mà mình đang thấy đã được hình thành bởi những thiên kiến nào. Có lẽ bạn sẽ muốn bóc bỏ những thiên kiến đó
    Dù bạn muốn thay đổi toán học hay chỉ muốn học nó, điều này vẫn như nhau. Thái độ thụ động, cố làm theo ý người khác, là con đường dẫn đến thất vọng

  • Tôi thấy trên HN rồi đăng ký MathAcademy.com, và trải nghiệm gần đây khiến tôi bất ngờ một cách rất dễ chịu
    Giờ ở tuổi 50, tôi muốn học lại toán phổ thông của 35 năm trước nên đã đi nhanh qua loạt Foundations; hiện tôi đã đi được khoảng một nửa Foundations 3, và trong 9 tuần, mỗi ngày học 2 giờ, tích lũy khoảng 9000 XP
    Năm 2025 tôi dự định thử 1–3 khóa trình độ đại học với tốc độ chậm hơn
    Với tư cách người tự học, nó rất hợp với cách học của tôi. Vui, đo lường được, độ khó được điều chỉnh, không vấp phải “bức tường” hay “phụ thuộc chưa được đáp ứng”, và phần giải thích cho các bài không làm được cũng rất kỹ
    Nhận ra lớn nhất là có thể học mà không cần để lại thật nhiều ghi chú để ôn tập hay ghi nhớ. Chỉ cần trải nghiệm và lặp lại ngắt quãng là đủ. Kỳ nghỉ Giáng sinh sẽ là phép thử xem việc học có thực sự được củng cố hay không

    • Tôi dùng Math Academy hằng ngày hơn một năm rồi, và cũng kinh ngạc tương tự về việc mình học được nhiều đến đâu
      9000 XP trong 9 tuần, tốc độ đó thật ấn tượng

  • Câu “đừng để bị tụt lại” khiến tôi rất thấm
    Tôi từng là một trong những sinh viên cử nhân toán lười biếng, chật vật với vài chủ đề năm nhất nhưng không tìm kiếm sự giúp đỡ, cũng không dành đủ thời gian, nên cuối cùng không bao giờ bắt kịp lại được
    Tôi cũng nghĩ việc giảng dạy ở nhiều chỗ rất tệ. Kiểu “cứ tin đi” rồi cho qua, hoặc “điều này hiển nhiên nên phần hoàn thiện xin để lại cho các em”; với một người 18 tuổi thì thật sự là tệ nhất
    Một hệ thống mà bạn được 30% ở “Giải tích 1” nhưng học kỳ sau vẫn bị đẩy thẳng vào “Giải tích 2” và được kỳ vọng tự biết mà tỉnh ra thì, theo tôi, không phải là một hệ thống tử tế
    Quãng thời gian học toán ở đại học thật sự rất khổ sở, và có lẽ tôi nên học thứ gì ứng dụng hơn như kỹ thuật hay khoa học máy tính
    Có người từng nói “nếu thích sinh học ở trường thì lên đại học hãy học tâm lý học; thích hóa học thì học sinh học; thích vật lý thì học hóa học; thích toán thì học vật lý; thích triết học thì học toán”, lẽ ra tôi nên nghe theo

    • Tôi đồng ý rằng hệ thống đó rất tệ. Nhà trường làm hỏng toán học
      Tuy nhiên, sau khi đã trở thành một người trưởng thành hoàn toàn, bạn có thể quay lại với toán bất cứ lúc nào mà không có những giới hạn thời gian nhảm nhí và áp lực điểm số
      Tôi nghĩ toán không hợp với áp lực thời gian. Toán là sống lâu với các ý tưởng, chơi đùa với chúng, chấp nhận rủi ro, và thử cả những phỏng đoán ngớ ngẩn. Về bản chất nó là trò chơi, và áp lực thời gian không giúp ích cho ai cả
      Nếu từng có hứng thú, bạn luôn có thể quay lại, và nếu muốn thì cũng có thể học lại các lớp. Có rất nhiều sách hay cho người tự học và các cộng đồng học cùng nhau
    • Lời khuyên đó là lời khuyên hay nếu mục tiêu là đạt điểm số tốt
      Nhưng nếu muốn đi xuống tận đáy của sự vật, hiểu mọi thứ và giải các câu hỏi nền tảng của khoa học, có lẽ bạn sẽ muốn đảo ngược nó
      Nếu thích sinh học, hãy học hóa học vì các quá trình sống là quá trình điện hóa; nếu thích hóa học, hãy học vật lý vì phân tử và nguyên tử, sự hình thành và phản ứng của chúng là các quá trình vật lý, đại loại như vậy
    • Nếu là “thích toán thì học vật lý, thích triết học thì học toán”, thì có vẻ tôi đã quyết định đúng. Tôi đã học toán