- Các giải thích sơ sài trong dạy học toán bậc tiểu học, trung học cơ sở và trung học phổ thông có thể khiến học sinh xa rời toán học, và dẫn tới kết quả là chỉ những học sinh có động lực rất mạnh mới còn ở lại
- Nhiều chứng minh trong giáo trình toán học nâng cao gần với phác thảo ở mức cao hơn là một chứng minh hoàn chỉnh, nên sinh viên phải tự lấp đầy phần biện minh cho từng dòng
- Trong Galois Theory của Stewart, việc gỡ ra lập luận cho một trường hợp cụ thể đã mất hai ngày, và ngay cả với các nhà toán học chuyên nghiệp thì các bước trung gian cũng mơ hồ
- Nếu đưa vào mọi chi tiết thì một giáo trình 200 trang có thể thành 2000 trang, nên việc lược bớt là không thể tránh khỏi, nhưng số lượng và mức độ lược bớt lại lớn đến mức gây đau đầu
- Cần có những tài liệu như ghi chú bổ sung ở các trường đại học tốt, mở rộng các lập luận khó thành chứng minh chặt chẽ cùng trực giác, và có kế hoạch làm ghi chú bổ trợ bắt đầu từ một số chủ đề
Khoảng trống trong cách giải thích bộc lộ ở việc giảng dạy toán học nâng cao
- Các giải thích sơ sài trong giáo dục toán ở bậc phổ thông có thể khiến học sinh rời xa toán học suốt đời, và chỉ khiến những người có động lực mạnh tiếp tục ở lại
- Toán học được xem là môn học cung cấp sự nghiêm ngặt của suy luận, sự rõ ràng trong tư duy, và việc rèn luyện xây dựng lập luận từ các nguyên lý đầu tiên
- Vấn đề tương tự cũng tiếp diễn trong toán học nâng cao, và nhiều chứng minh trong các giáo trình trình độ cao học gần với phác thảo ở mức cao hơn là chứng minh hoàn chỉnh
- Khi giáo trình không cho thấy đầy đủ các bước trung gian, sinh viên phải bỏ nhiều công sức để hiểu và biện minh cho từng dòng
- Một lập luận 10 dòng trong giáo trình nào đó nếu viết tường minh thành một chứng minh có thể chấp nhận được thì có thể dài tới 10 trang
Sự lược bỏ trong giáo trình và nhu cầu bổ sung
- Ngay cả khi cùng các nhà toán học chuyên nghiệp tinh chỉnh các bước trung gian trong giáo trình, các bước trung gian của một số chứng minh cụ thể vẫn mơ hồ ngay cả với họ
- Trong Galois Theory của Stewart, phải mất hai ngày để gỡ ra một lập luận phức tạp cho một trường hợp cụ thể, và kết quả phải đồng thời thỏa mãn tính chính xác, tính đầy đủ, và khả năng tiếp cận đối với sinh viên có đủ động lực
- Những câu đùa như 'proof by obviousness' và 'proof by intimidation' có lý do để tồn tại, vì các tình huống như vậy thực sự xuất hiện thường xuyên trong giáo trình
- Vấn đề không chỉ là mức độ lược bỏ các kết quả nền tảng bậc đại học như lý thuyết nhóm hay lý thuyết trường, mà là ngay cả khi giả định đã biết toàn bộ nội dung đại học, giáo trình cao học vẫn không cho thấy đủ vì sao các chứng minh của nó hoạt động
- Sinh viên phải học chủ đề trong những hạn chót có giới hạn, nên nếu phần giải thích trong giáo trình không đủ thì họ không có thời gian để tự biến mọi lập luận 10 dòng thành chứng minh 10 trang, và có thể cuối cùng không bao giờ học được lý do chính xác
- Trong bài báo nghiên cứu thì vấn đề còn nghiêm trọng hơn, nhưng ở đây tập trung vào giáo trình
- Các giáo trình nâng cao cũng chịu ràng buộc thực tế rất lớn là không thể biện minh mọi lập luận
- Nếu đưa vào mọi chi tiết thì một giáo trình 200 trang có thể thành 2000 trang
- Cả sinh viên lẫn giảng viên đều không có thời gian hay kiên nhẫn để đọc hàng nghìn trang lập luận kỹ thuật không mấy hấp dẫn
- Các tác giả tập trung vào phần thú vị hơn, và kỳ vọng sinh viên sẽ tự lấp đầy những phần bị lược bỏ
- Dù vậy, số lượng và quy mô các phần bị lược bỏ trong giáo trình thông thường vẫn lớn đến mức gây đau đầu
- Nhiều trường đại học tốt cung cấp các ghi chú bổ sung mở rộng những lập luận khó thành chứng minh chặt chẽ và hỗ trợ trực giác, và cách làm này có vẻ là một thực hành tốt
- Các giáo trình trình độ cao học vẫn tốt hơn rất nhiều so với việc không có chúng, vì chúng giúp đưa các chủ đề ra với thế giới, nhưng cũng có hạn chế là tài liệu thường khó tiếp cận
- Nếu có thời gian vô hạn thì tác giả muốn tạo tài liệu bổ trợ viết chi tiết mọi lập luận trong các giáo trình đó, nhưng thực tế điều này là không thể
- Dù vậy, vẫn có kế hoạch bắt đầu các ghi chú bổ trợ từ những chủ đề mà chất lượng giải thích được cảm nhận là đặc biệt quan trọng, ví dụ như s-arc transitivity của đồ thị và các chủ đề liên quan đến mở rộng trường
1 bình luận
Ý kiến trên Lobste.rs
Ôi, cái này đau thật. Kể một giai thoại cá nhân kiêm than thở thì, một trong những lý do tôi làm software engineering thay vì toán/khoa học máy tính là vì độ chênh trong khả năng hiểu toán khi nghe bằng lời trên lớp và khi tự đọc sách một mình quá lớn
Tôi cần thời gian nhiều bất thường để hiểu các định lý được viết ra, và cuối cùng khi đã hiểu thì lại thấy đó là nội dung dễ thôi nhưng được giải thích quá tệ theo gu của tôi, nên rất không thỏa mãn
Tuy vậy chẩn đoán của tôi hơi khác. Tôi không nghĩ vấn đề là thiếu chi tiết, mà ngược lại là thiếu động cơ và cái nhìn tổng quan. Các chứng minh đều trông như được viết ngược hoàn toàn. Người ta suy nghĩ rất lâu về bài toán để tìm ra chứng minh, rồi xóa đi quá trình tư duy đó và bắt đầu viết chứng minh từ bước cuối cùng
Ví dụ, chứng minh thường mở đầu bằng kiểu “hãy chọn ɛ = n^2 / 36”, rồi bạn phải đọc một lượt để hiểu vì sao epsilon đó là thứ cần thiết về mặt máy móc, sau đó lại phải vật lộn để hiểu ý tưởng đằng sau thủ thuật kỹ thuật đó, rồi thử dựng một chứng minh phi hình thức trong đầu từ ý tưởng ấy, và cuối cùng đọc lại để xem chứng minh có phải là một sự hình thức hóa đúng đắn khi giữ ý tưởng đó trong đầu hay không. Hình thức hóa thì hữu ích, nhưng bản thân nó không phải là sự hiểu
Reed-Solomon cũng là một ví dụ. Wiki hoàn toàn có thể nói “đa thức bậc N có thể nội suy từ N+1 điểm. Nếu truyền lặp lại K điểm thì dù mất một phần vẫn có thể khôi phục các hệ số”, nhưng thay vào đó là một đoạn giải thích dài dòng và khó hiểu (previously)
Một ví dụ gần đây là định lý 1.5.8 trong Analysis của Tao, tức là trên tập compact thì mọi phủ mở đều có một phủ con hữu hạn. Nó lập tức lao vào “chọn y, chọn V_a, có một quả cầu, có bán kính r...” — không sai, nhưng rất khó thấy vì sao lại làm thế
Chỉ sau khi hấp thụ được phần hình thức thì ý tưởng cốt lõi mới lộ ra. Vì cần một phủ con hữu hạn nên việc chọn tham lam tập “lớn nhất” là điều tự nhiên, nhưng phải định nghĩa “lớn nhất” nghĩa là gì. Nếu cố định một điểm, ta có thể chọn tập lớn nhất tương đối với điểm đó, và chỉ cần nới quả cầu ra cho đến khi chỉ còn một phần tử của phủ. Các quả cầu không thể nhỏ đi vô hạn được; khi đó ta dùng tính compact để rút ra một điểm có quả cầu bán kính 0. Vậy nên các quả cầu phải rộng ít nhất ɛ, và ta cứ tiếp tục chọn tập lớn nhất cho những điểm chưa được phủ. Nếu dừng sau hữu hạn bước thì xong; nếu không, ta được một dãy điểm cách nhau ít nhất ɛ, mâu thuẫn với tính compact
Ý tưởng cốt lõi gần như lúc nào cũng đơn giản hơn nhiều so với phần hình thức hóa, và một khi đã nắm được nó thì chỉ cần mài giũa các bất đẳng thức đủ kỹ là sẽ thấy một cách hình thức hóa nào đó hẳn phải đúng. Hình thức hóa vẫn cần thiết — vì có thể bạn vô tình dựa vào thứ gì đó như tiên đề chọn mà không biết. Nhưng như một phương tiện để truyền đạt ý tưởng thì nó quá tệ. Giống như lần ngược quicksort từ mã assembly vậy
Tôi nghĩ cách đúng để trình bày toán là đặt định lý như kết quả chứ không phải điểm xuất phát, rồi giải thích ở chế độ “làm sao người ta có thể khám phá ra điều này”
Dĩ nhiên tôi không phủ nhận là đôi khi có những lập luận kiểu “phải lắc thật mạnh cho đến khi bạn thực sự tin là nó chứng minh được điều đó”, nhưng trong phần toán tương đối hiền mà tôi từng gặp thì những trường hợp ấy khá hiếm
Các định lý trong giáo trình giống như ảnh chụp chiếc bánh hoàn chỉnh trong sách dạy nấu ăn, còn chứng minh thì giống công thức. Cái mớ hỗn độn phát sinh trong lúc làm bánh thì hầu như không thấy đâu cả
Điều bị thiếu là để nướng lại đúng chiếc bánh đó, bạn vẫn cần sự hiểu biết và kỹ năng làm bánh. Công thức có thể không nói về độ sệt của bột hay cách sửa khi có gì đó sai. Hơn nữa, biết các “nguyên lý bậc nhất” của việc làm bánh cũng không khiến bạn lập tức thành thợ bánh. Bạn có các ý tưởng cơ bản, nhưng vẫn phải kết hợp chúng lại để nướng ra chiếc bánh
Tôi nghĩ toán cũng như các ngành học hiện đại khác. Trong tủ kính thì đầy bánh, và những thợ bánh giỏi nhất được cấp kinh phí để nướng thêm nhiều bánh nữa. Nếu muốn tự mình thành thợ bánh, bạn phải học việc trong tiệm, học các mẹo nghề, rồi bắt đầu nướng bánh của riêng mình thay vì chỉ dùng công thức của sếp. Việc đó cần thời gian, công sức, và một chút may mắn
https://betterexplained.com/articles/…
Một chuỗi DNA có thể là mô tả cực kỳ chính xác về một con mèo, nhưng chỉ nhìn vào đó thì bạn không thể hình dung con vật ấy trong đầu
Định dạng như vậy giúp việc kiểm tra và sửa lỗi hiệu quả hơn, và đó được gọi là góc nhìn BCH của R-S. Tuy nhiên BCH cũng là tên của cả một họ mã
Dù vậy, sau khi tự triển khai và đọc rất nhiều về chuyện này, tôi vẫn đồng ý rằng các bài Wikipedia về R-S và BCH nhìn chung gần như không thể hiểu nổi. Nếu không có thư viện gf256 theo phong cách literate programming rất tuyệt, đặc biệt là gf256::rs, chắc tôi đã không tiến triển được gì
Tuy nhiên theo kinh nghiệm của tôi, có định lý dễ chứng minh hơn những định lý khác. Trong lớp Algebra I, một trong các bài thi là chứng minh một định lý bất kỳ do giáo sư chọn ngẫu nhiên tại chỗ. Nghe có thể đáng sợ, nhưng nếu bạn dành nhiều thời gian chứng minh những thứ đã được chứng minh rồi thì sẽ bắt đầu nhìn ra mẫu hình. Thêm nữa, bạn cũng sẽ nhớ nhiều hơn các định lý được dùng trong những chứng minh khác
Không phải là dễ, nhưng khi học toán ở mức đó thì có cảm giác như có thứ gì đó mở ra trong đầu và khiến nó trở nên khả thi. Phần hình thức hóa có thể trông quá tay, nhưng nó cũng chính là thứ giúp các nhà toán học đi đến những kết luận mà người khác không nhìn ra được
Từ kinh nghiệm cá nhân ở phía khoa học vật lý, tôi nghĩ phần lớn chuyện này đến từ cách các bài báo học thuật được viết, xuất bản và đánh giá
Quá trình viết và xuất bản bài báo thực ra không khuyến khích việc giải thích khoa học, mà khuyến khích nói những điều nghe có vẻ hợp lý và hơi thuyết phục mà không “lãng phí” quá nhiều thời gian vào chi tiết. Thiên lệch như thế trong chứng minh trông cũng rất giống vậy
Cần loại các nhà xuất bản ra khỏi khoa học
Để giải thích “đã tìm ra cái này như thế nào”, bạn phải đưa ra những phát biểu mơ hồ và thô ráp, không hoàn toàn được biện minh cũng không thật sự chính xác. Các phản biện, dù đó là kỷ yếu hội nghị tự xuất bản nhưng được lập chỉ mục hay overlay journal, đều không thích việc những câu ở mức nào đó là sai lại còn sót trong bản chấp nhận cuối cùng
Vì vậy, ngay cả khi bản nộp đầu tiên có giải thích trực giác thì cuối cùng nó vẫn có thể bị cắt đi
Thậm chí còn có trường hợp tệ hơn. Một đồng tác giả của tôi, người rất giỏi viết phần mở đầu và tối ưu bài báo để dễ được nhận, thường giải thích rằng khi chọn phiên bản của một mệnh đề thì thường có đánh đổi. Phiên bản dễ được nhận nhất lại thường là phiên bản tệ nhất đối với những người sẽ thích và trích dẫn bài đó. Điều này vẫn đúng ngay cả khi mọi phiên bản đều đúng và đều có thể được chứng minh với chất lượng chứng minh ngang nhau
Vì thế các động lực bị lệch. Nhưng lần này có lẽ lỗi không hẳn ở nhà xuất bản, mà ở cấu trúc thưởng cho học giả dựa trên chỉ số xuất bản thay vì công việc họ thực sự nên làm
Với giáo trình thì tôi không nhất thiết đồng ý với lập luận trong bài viết. Sự lược bỏ hợp lý có thể làm chứng minh dễ đọc hơn và cũng buộc người đọc phải suy nghĩ. Cùng lắm thì xem giáo trình khác hoặc nguyên bản. Nhưng gặp chứng minh không hoàn chỉnh trong bài báo nghiên cứu thì có thể cực kỳ bực bội. Ở đó bắt đầu len vào nghi ngờ rằng rốt cuộc có ai thật sự nắm toàn bộ chứng minh không, và đến lúc tỉnh ra thì đã mất một tuần/một tháng/một năm rồi
Với tư cách là nghiên cứu sinh toán, tôi nghĩ vấn đề này có hai mặt. Đôi khi chứng minh được trình bày ở mức khá cao nên nếu thực sự không hiểu một bước nào đó thì rất bực, nhưng mặt khác quá trình tự điền vào chỗ trống đôi khi hữu ích cho việc tiến bộ hơn là được đưa cho mọi thứ sẵn sàng
Nếu một chứng minh chuyển từ mệnh đề 1 sang mệnh đề 2 mà bạn chưa hiểu ngay, thì thứ nhất, nó cho bạn trực giác về điều mà tác giả và rộng hơn là cộng đồng toán học trong lĩnh vực đó xem là hiển nhiên. Điều này có giá trị vì nó cho biết những kết quả nào bạn cần phải thấm thật sâu về mặt trực giác
Thứ hai, khi bạn tự điền các bước trung gian và tự thuyết phục mình rằng lập luận là chặt chẽ, bạn sẽ nhớ chúng tốt hơn nhiều so với việc chỉ đọc các bước đó trên giấy
Với tôi, “điểm ngọt” là khi cần khoảng 30 giây đến 5 phút để biện minh cho một bước trong chứng minh. Lâu hơn thì dễ nản và học kém hiệu quả hơn
Cứ đợi đến khi bạn xem chứng minh trong các bài báo thực tế đi
Nói nghiêm túc hơn thì đúng là có những sách toán được viết dở và không có tính sư phạm. Nhưng tôi nghĩ một chứng minh trung bình ở trình độ cao học không thể viết ra toàn bộ mọi chi tiết. Nếu làm vậy thì sẽ rất nặng nề khi đọc và cực kỳ buồn tẻ
Các nhà toán học được kỳ vọng sẽ lấp các lỗ hổng trong chứng minh bằng suy luận trong đầu, và đây là một kỹ năng phải học
Tôi có vài giai thoại cá nhân về chuyện điền chỗ trống
Hồi trung học, sau một cuộc tranh luận về mức độ chi tiết cần có, tôi đã thỏa thuận rằng mình sẽ viết các chứng minh với mức lược bỏ tối thiểu. Nếu tôi có thể cho thấy mình điền được các chỗ trống, thì nhiều văn bản vốn được viết ở mức khái quát hơn mong đợi cũng sẽ được công nhận là đủ để chứng tỏ mức hiểu cần thiết
Tôi còn nhớ đã dùng những dấu ngoặc lồng nhau ít nhất ba tầng kiểu “điều này thực ra không cần chứng minh tường minh nhưng vì đã hứa nên...”. Một trong các ngoặc sâu nhất có chứa “hãy chứng minh bằng quy nạp rằng 2^n > 0”. Mệnh đề ở tầng cao nhất có lẽ là về giới hạn. Nói thêm thì cả hai bên đều đồng ý rằng những chứng minh quá mức ở tầng thấp nhất quả thật là quá mức
Khi ghi chép ở trung học và đại học, tôi thường viết sẵn ý chính của điều hiển nhiên sẽ được nói tiếp theo, rồi tranh thủ thời gian khi phần tiếp đó đòi hỏi ghi chép chi tiết hơn. Sau này, khi đã là postdoc, tôi từng nghe một đồng nghiệp giải thích một vấn đề và ngắt lời: “đoạn đó có thể bỏ qua, tôi thấy anh định nói bổ đề nào và sẽ chứng minh ra sao”
Hóa ra tôi đã sai. Họ không khẳng định một kết quả mà đang đặt câu hỏi. Tuy vậy, chứng minh xuất phát từ dàn ý mà tôi đoán đó cuối cùng lại xuất hiện trong bài báo
Trong số những người làm toán cụ thể như chúng tôi, có hẳn một thế giới đang cố sửa vấn đề chi tiết bằng trợ lý chứng minh như Lean, Agda, Coq. Nhưng tôi đoán hầu như không ai dùng trợ lý chứng minh cho việc dạy toán “thông thường”. Vì sao vậy?
Trong toán liên tục thì có một mức lệch biểu đạt nhất định giữa cách biểu đạt chuẩn và các trợ lý chứng minh dựa trên logic bậc cao. Để đi đủ xa với hình thức hóa bằng lý thuyết tập hợp bậc nhất thì cần một số định nghĩa, nhưng có vẻ chúng vẫn chưa được tổ chức thành một bộ sưu tập nhất quán