Học lại toán khi đã trưởng thành
(gmays.com)- Khi xây dựng sản phẩm AI, tác giả muốn hiểu cách LLM và Transformer hoạt động, rồi nhận ra mình thiếu nền tảng thống kê–xác suất, đại số tuyến tính và giải tích, nên bắt đầu học lại toán mỗi ngày
- Lộ trình học được chọn là Math Academy, bao quát từ cấp trung học cơ sở đến bậc sau đại học; Foundation Series dành cho người lớn được thiết kế để tiến lên toán cấp đại học tương đối nhanh
- Sau bài đánh giá chẩn đoán, các bài học tương tác tiếp nối hầu hết chỉ dài khoảng 10 phút, nên dễ duy trì trong những khoảng thời gian ngắn giữa công việc, chăm con và tập luyện
- Học toán không phải là hoạt động lướt qua nhẹ nhàng như một ứng dụng casual, mà phần lớn là công việc vất vả cần bút chì và giấy; tác giả cho rằng sẽ mất vài năm để đi đến khóa Mathematics for Machine Learning
- Tính đến tháng 1/2024, tác giả ghi nhận 106 ngày học liên tiếp; đến tháng 5/2025, tác giả công bố cả bản cập nhật 500 ngày và cũng tạo ứng dụng theo dõi thói quen Main Character
Cơ duyên học lại toán
- Khi xây dựng sản phẩm AI, tác giả muốn hiểu sâu hơn khía cạnh kỹ thuật của sản phẩm
- Tác giả cho rằng để học LLM và Transformer cần có nền tảng ở các lĩnh vực sau
- Thống kê–xác suất
- Đại số tuyến tính
- Giải tích
- Sau bậc sau đại học, ngoài các phép tính liên quan đến dự báo doanh nghiệp hoặc tài chính, tác giả không dùng toán nhiều và cảm thấy mình thiếu trực giác về các khái niệm cốt lõi cũng như mối liên hệ giữa chúng
- Mục tiêu không phải là trở thành nhà toán học, mà là có được trực giác toán học cốt lõi đủ để hiểu LLM và Transformer
Math Academy được chọn làm lộ trình học cho người lớn
- Là một người lớn có công việc, con cái, khoản vay thế chấp nhà và các sở thích khác, tác giả chọn Math Academy như một cách học toán hiệu quả về thời gian
- Math Academy là startup do Jason Roberts và Sandy tạo ra; vào thời điểm bài viết được viết, sản phẩm vẫn ở trạng thái beta nhưng tác giả đã mua giấy phép trả phí để sử dụng
- Trọng tâm hiện tại là việc học toán của trẻ em, nhưng tác giả cho rằng nó cũng hiệu quả với người học trưởng thành
- Các khóa học bao quát toán từ cấp trung học cơ sở đến bậc sau đại học và được giới thiệu là các khóa học được công nhận
- Điểm khởi đầu cho người lớn là Foundation Series
- Bỏ qua những phần cần thiết với trẻ em nhưng ít cần hơn với người lớn
- Được thiết kế để giúp người học quay lại toán cấp đại học tương đối nhanh
Cách học của Math Academy
- Sau khi đăng ký, người học làm bài đánh giá chẩn đoán để xác định mức độ thành thạo toán học hiện tại và bắt đầu ở cấp độ phù hợp
- Sau đó là các bài học tương tác tự học; hầu hết bài học dài khoảng 10 phút, nên ngay cả người lớn bận rộn cũng dễ học trong những khoảng thời gian trống ngắn
- Luồng học là dạy khái niệm, đánh giá, ôn tập, rồi xây khái niệm mới trên nền tảng đó
- Đây không phải là cách chỉ tạo cảm giác đã học qua video, mà gần với một quy trình học cụ thể, trong đó phần giải thích được xen giữa các bài toán và người học tự tay giải
- Đến lúc làm quiz, người học cảm nhận được rằng mình thực sự có thể áp dụng những gì đã học
Toán vẫn khó
- Math Academy khiến việc học dễ nhất có thể, nhưng bản thân toán vẫn là công việc vất vả
- Phần lớn quá trình học cần bút chì và giấy
- Ngoại lệ là những trường hợp có thể giải trong đầu, như các bài học dễ ở mức ôn tập ban đầu
- Muốn học toán một cách nghiêm túc khi đã trưởng thành thì chỉ lướt qua ứng dụng là không đủ
- Tác giả đánh giá cao Math Academy như một cách tiện lợi hơn để người lớn thực sự học toán
Thiết lập môi trường để tạo thói quen
- Để tạo một thói quen bền vững, tác giả cố gắng hạ thấp rào cản bắt đầu và biến việc học toán thành một hành vi mặc định mới
- Vì sự tiện lợi, tác giả dùng các công cụ sau
- iPad: Vì Math Academy chạy trên web, tác giả dùng để học khi không ngồi trước máy tính
- Remarkable 2: Dùng để ghi chép trên nền e-ink
- Tác giả dùng một chiếc bao có thể đựng cả hai thiết bị; đến ngày 24/2/2025 thì đổi sang một bao khác có túi khóa kéo để đựng kính, AirPods, v.v.
- Tác giả học cả trong thời gian chờ làm nghĩa vụ bồi thẩm đoàn, 15 phút đến phòng gym sớm, và khi đi bộ nhẹ trên máy chạy bộ dưới bàn đứng
- Thông thường, tác giả học vào buổi tối sau khi con đã ngủ và sau khi tập luyện xong
- Làm cả tập luyện lẫn học toán sau một ngày dài là việc khó, nhưng biến thành thói quen giúp giảm gánh nặng
Mục tiêu dài hạn và tiến độ
- Khóa học mục tiêu là Mathematics for Machine Learning, được đặt làm mục tiêu rõ ràng để hiểu LLM và Transformer tốt hơn
- Do thời gian hạn chế, tác giả cho rằng sẽ mất vài năm để đạt mục tiêu
- Có hai lý do khiến việc này mất lâu
- Toán khó
- Toán rộng lớn
- Chỉ riêng đồ thị tri thức của khóa Mathematical Foundations đầu tiên cũng cho thấy số lượng khái niệm, các mối liên kết và khoảng trống kiến thức là rất lớn
- Tác giả dự định học khoảng 10 khóa; nếu tiến hành với nhịp một bài mỗi ngày, đó sẽ là quá trình học kéo dài nhiều năm
- Tính đến tháng 1/2024, kể từ khi bắt đầu, tác giả đã hoàn thành ít nhất 1 bài học mỗi ngày và ghi nhận 106 ngày học liên tiếp
Thay đổi nhận thức về học STEM trực tuyến
- Trước đây, tác giả từng nghĩ rằng những môn khó như toán chỉ có thể học đúng cách trong môi trường chuyên biệt như đại học
- Tác giả từng cho rằng các khóa học trực tuyến phù hợp hơn với những chủ đề mềm hơn và ít kỹ thuật hơn, nhưng sau khi dùng Math Academy thì đã thay đổi suy nghĩ
- Tác giả cảm thấy rất hài lòng khi có thể học những điều khó theo một cách hiệu quả và dễ tiếp cận
- Tác giả mong Math Academy mở rộng sang các chủ đề STEM phức tạp khác như khoa học máy tính và vật lý
Các cập nhật tiếp theo
- Sau bản cập nhật ngày 20/1/2024, đã có phản hồi từ những người đang đi trên hành trình tương tự, và thảo luận trên Hacker News cũng rất sôi nổi
- Math Academy có yếu tố game hóa dựa trên XP nhận được khi hoàn thành bài học hằng tuần; người dùng này tuần nào cũng ở hạng cao nhất là Platinum
- Trong bản cập nhật ngày 24/1/2025, tác giả cho biết mình vẫn tiếp tục học toán mỗi ngày với Math Academy trong hơn một năm
- Việc chia sẻ công khai tiến độ giúp tác giả duy trì, và để làm việc này dễ hơn, tác giả đã tạo ứng dụng thói quen miễn phí Main Character
- Ứng dụng theo dõi thói quen khi người dùng tweet tiến độ của mình
- Ngày 5/5/2025, tác giả đăng bản cập nhật 500 ngày học toán và cũng có thảo luận liên quan trên Hacker News
1 bình luận
Các ý kiến trên Hacker News
Tôi đã học theo cách tương tự trong khoảng 1 năm, với mục tiêu là nắm được toán học cần thiết khi làm game 3D. Phạm vi gần với đại số, hình học, giải tích và đại số tuyến tính.
Ban đầu tôi bắt đầu với brilliant.org; chất lượng các bài học tương tác khá tốt, nhưng tôi cảm thấy thứ tự bài học bị lệch, thường giả định những nội dung tôi chưa học. Có vẻ họ không chú trọng đến thiết kế giáo dục như Math Academy được mô tả trong bài.
Vì vậy tôi bỏ cuộc và đang đặt mua cả bộ sách The Art Of Problem Solving, vận chuyển qua Thái Bình Dương từng mấy kg một. Cách tổ chức bài học và cách xây dựng các ý tưởng phức tạp từ những nguyên lý đầu tiên rất xuất sắc, nhưng bài tập khó đến mức khiến mình phải khiêm tốn. Đắt, nhưng với cá nhân tôi thì đáng tiền.
Math Academy cũng trông thú vị, nhưng tôi đã đi đến giữa bộ sách rồi nên hiện tại có sách tham khảo trong tay vẫn tốt hơn. Tôi đã nhiều lần quay lại các phần đầu để xem lại những chủ đề đã quên.
Khi giải bài, tôi cố làm theo cách công nghệ thấp nhất có thể là giấy và bút, và tôi thích việc có thể tự do thử các cách tiếp cận mới. Không gì thắng được độ trễ từ lúc ý nghĩ xuất hiện đến lúc mực chạm lên giấy.
Ngoài ra tôi đang dùng ChatGPT-4 làm gia sư. Khác với những gì người khác từng gặp, ở mức toán này tôi cảm thấy nhìn chung nó suy luận khá tốt, và đã giúp tôi nhiều lần khi bị kẹt. Đôi khi nó cũng bịa ra câu trả lời sai trông có vẻ hợp lý, nhưng nếu không hiểu thì tôi luôn chất vấn lại, rồi cuối cùng kiểm tra xem đó có phải là ảo giác hay không, liệu diễn đạt lại bài toán có sửa được không, hay ngay từ đầu tôi đã nhập sai đề.
https://foundationsofgameenginedev.com/ — tập đầu Mathematics bao quát phạm vi rộng hơn, suy diễn từ các nguyên lý đầu tiên mà không quá hình thức.
https://www.mathfor3dgameprogramming.com/ — hình thức hơn nhiều so với hầu hết sách toán cho game/đồ họa, đặc biệt đi sâu hơn vào đại số tuyến tính.
Với tư cách một nhà toán học từng làm việc một thời gian ngắn trong vật lý lý thuyết, tôi rất vui khi thấy có người quan tâm đến lĩnh vực này.
Toán học thường mang tiếng xấu, nhưng về bản chất tôi nghĩ nó là một trong những đối tượng học tập thú vị nhất, ngang với âm nhạc.
Nếu bạn quan tâm đến toán, bất kể trình độ, tôi khuyên nên đọc The Road to Reality của Roger Penrose. Nói nghiêm ngặt thì đây là sách vật lý, và Penrose vốn cũng là nhà toán học, nhưng cách giải thích của ông mở rộng tầm nhìn ngay cả với người đã thành thạo. Sách bắt đầu từ giải tích cơ bản rồi đi đến nhóm, tô pô, giải tích phức, hình học vi phân, v.v.
Cũng nên xem hướng dẫn học toán và vật lý của John Baez: https://math.ucr.edu/home/baez/books.html
Tôi cũng thích trang của Baez và toàn bộ công việc của ông; ông làm rất nhiều toán thú vị: https://math.ucr.edu/home/baez/
Tôi cũng rất thích công việc của Tai-Danae Bradley: https://www.math3ma.com/
Bài này thật đúng lúc. 16 năm trước, tôi đã bỏ học để chăm sóc mẹ đang hấp hối, rồi không quay lại được nữa mà bắt đầu đi làm luôn.
Giờ tôi sẽ quay lại trường và cuối cùng hoàn tất bằng khoa học máy tính, nhưng phía trước vẫn còn 4 năm dài. Toán có vẻ sẽ khó.
Dù vậy, cảm giác phấn khích khi giải đúng, đặc biệt là khi hiểu được mình đã đi đến đáp án đó như thế nào, là một động lực rất lớn. Gần như còn sướng hơn cả tình dục.
Tôi tò mò bạn bao nhiêu tuổi, có đăng ký chương trình toàn thời gian không, có học cùng các sinh viên trẻ hơn nhiều không, và trải nghiệm đó như thế nào.
Nếu tác giả bài gốc vẫn muốn học nền tảng toán học của transformer, tôi đã tạo một công cụ học tập thay thế miễn phí: https://afaik.io/nebula?mode=nebula&category=blueprint&id=ed...
Công cụ này cũng dựa trên một đồ thị tri thức nền tảng, liên kết các khái niệm thuộc nhiều chủ đề như toán, học máy và vật lý. Có thể xem đồ thị dành cho transformer ở đây: https://afaik.io/nebula?category=brickset&id=VLlOnZLl&mode=d... chỉ dùng được trên desktop.
Điểm cốt lõi là bạn không cần học lại toán từ đầu, mà chỉ học các khái niệm tiên quyết cần thiết để hiểu một khái niệm cụ thể. Tài liệu miễn phí cũng được gắn kèm.
Tôi hoàn toàn hiểu mong muốn học lại toán. Một trong những lý do tôi tạo công cụ này cũng là để học lại vật lý dựa trên nền tảng toán và khoa học máy tính, và để biết phải đi đến đó bằng cách nào. Tuy nhiên, trong tình huống này, tôi cảm thấy có thể có một cách hiệu quả hơn để vừa học sâu vừa giữ được sự hứng thú.
Có lẽ ý là liên kết các chủ đề theo quan hệ điều kiện tiên quyết. Để hiểu A thì trước hết cần biết B và C; để hiểu B thì cần biết D, kiểu như vậy.
Nhưng tôi nghĩ một đồ thị như thế không chỉ là đồ thị có hướng đơn giản, mà thực chất phải là cây mới đúng. Vì không được có chu trình. Nếu để hiểu A cần B, và để hiểu B lại cần A, thì chẳng phải rốt cuộc sẽ không bao giờ hiểu được cả hai sao?
Xin đề xuất vài kênh toán học
https://www.youtube.com/@SawFinMath — một giảng viên rất giỏi, giải thích để bạn có thể theo từng bước từ đề bài đến lời giải. Có nhiều playlist ở mức đại học như toán rời rạc, giải tích, đại số trừu tượng hoặc đại số tuyến tính, thống kê. Khả năng điều chỉnh tốc độ rất tốt và thầy giải trực tiếp rất nhiều bài, nên tôi rất khuyến nghị
https://mathispower4u.com/ — một giảng viên khác làm bài giảng dựa trên giáo trình toán mở miễn phí. Tài liệu toán thuần túy dày đặc hơn nên khó hơn một chút, nhưng nhờ vậy gần như bao quát hết những nội dung thường học ở đại học. Có các môn như toán rời rạc, giải tích, lý thuyết đồ thị, lượng giác, thống kê, đại số, hình học, và cũng giải trực tiếp rất nhiều bài
Tôi chưa dùng nhiều, nhưng còn có https://www.myopenmath.com/index.php nữa. Có vẻ giống exercism, kiểu theo giáo trình rồi làm bài tập. Nếu ai đã dùng rồi thì tôi muốn biết trải nghiệm thế nào
Khi quay lại trường để học khoa học máy tính, tôi đã học lại toán bằng cuốn này: https://a.co/d/7hlRdnK
Thực sự rất khuyến nghị. Sách bắt đầu từ đại số rồi đi đến giải tích, và trước mỗi chương có bài kiểm tra đầu vào để biết nên tập trung vào đâu và có thể bỏ qua phần nào
Maths: A Student's Survival Guide: A Self-Help Workbook for Science and Engineering Students 2nd Edition by Jenny Olive
ISBN-10: 0521017076
ISBN-13: 978-0521017077
Ở đây có nhắc Khan Academy và bộ AOPS như tài liệu tự học; khi học lại toán lúc trưởng thành, tôi đã dùng cả hai. Ngoài ra còn có một nguồn thực sự xuất sắc là các sách của Henry Sinclair Hall
Chúng tốt hơn rất nhiều so với các tài liệu đã nhắc ở trên, và vì được xuất bản từ thế kỷ 19 nên hiện thuộc phạm vi công cộng, có thể tải miễn phí trên Internet Archive: https://archive.org/search?query=creator%3A%22Hall%2C+H.+S.+...
Và How to Prove It của Velleman cũng là cuốn nhất định phải đọc
Vậy rốt cuộc đây chẳng phải là quảng cáo Math Academy sao? Còn các tài liệu miễn phí như Khan Academy thì thế nào?
Tôi tò mò không biết đã có ai dùng khóa này chưa, và nó có ổn không
Tôi có vài câu hỏi về chương trình này. Giả sử các nhà sáng lập nhận ra quả bom lưu lượng từ HN thì họ sẽ thấy thread này
Chúng tôi có một đồ thị tri thức mã hóa các quan hệ cấu trúc giữa hàng nghìn chủ đề toán học, không chỉ gồm quan hệ tiên quyết mà còn các quan hệ khác. Hệ thống suy luận thuật toán xem câu trả lời của học sinh và chồng chúng lên đồ thị tri thức để xác định học sinh biết gì và biết đến mức nào, rồi dựa trên hồ sơ tri thức cá nhân để quyết định nhiệm vụ nào sẽ tạo hiệu quả học tập lớn nhất. Việc ra quyết định được lấy cảm hứng từ các chiến lược học tập nhận thức như học đến mức thành thạo, lặp lại ngắt quãng, học xen kẽ và giảm thiểu nhiễu liên tưởng
Lặp lại ngắt quãng là phần cốt lõi của hệ thống. Mỗi học sinh có một lịch lặp lại ngắt quãng cá nhân hóa, thích nghi theo hiệu suất ở từng chủ đề; khi chọn chủ đề tiếp theo để ôn hoặc học, hệ thống luôn cố gắng xử lý ngầm càng nhiều lượt ôn đã đến hạn càng tốt để tăng hiệu quả học tập. Ví dụ, nếu đã đến lúc học sinh ôn phương trình bậc nhất ax=b, thay vào đó có thể cho học phương trình hai bước ax+b=c để xử lý ngầm lượt ôn đó
Về mặt định lượng, mô hình lặp lại ngắt quãng là một trong những phần khó nhất và thú vị nhất khi xây dựng. Thông thường người ta nghĩ về lặp lại ngắt quãng trong bối cảnh các flashcard độc lập, nhưng trong một hệ thống tri thức phân cấp như toán học, việc lặp lại chủ đề nâng cao phải chảy ngược xuống và được phản ánh cả trong lịch lặp lại của những chủ đề dễ hơn đã được luyện tập ngầm, nên mọi thứ trở nên phức tạp. Tuy nhiên, những lần lặp quá sớm phải được chiết khấu phù hợp để không được tính trọn vẹn như lần lặp tiếp theo
Mô hình này không chỉ phản ánh việc lặp lại ngầm theo chiều xuống, mà còn chọn các lượt ôn có thể xử lý dây chuyền như domino các lượt ôn đến hạn khác để giảm thiểu số lần ôn, đồng thời hiệu chỉnh tốc độ lặp lại ngắt quãng theo từng học sinh và từng chủ đề. Năng lực của học sinh và độ khó của chủ đề đóng vai trò như hai yếu tố cạnh tranh nhau
Ở Mỹ, cách chứng minh có vẻ là nội dung cấp đại học. Tôi thắc mắc vì sao ở các nước khác trẻ em được dạy chứng minh từ lớp 7
Bắt đầu từ chứng minh chặt chẽ trong hình học Euclid, rồi qua hình học không gian, chứng minh các hàm sơ cấp, tập hợp, lý thuyết số, sau đó chuyển sang đa thức, toán rời rạc đơn giản và hình học giải tích. Đến lúc tốt nghiệp trung học, những thứ như quy nạp toán học hay chứng minh phản chứng gần như trở thành bản năng thứ hai. Tôi không nói về học sinh tinh hoa, mà nói về yêu cầu chương trình dành cho tất cả học sinh STEM
Một số học sinh tập trung nhiều hơn vào toán ở trường có thể gặp những nội dung này sớm hơn, nhưng đó tuyệt đối không phải trải nghiệm phổ biến