π ở những vũ trụ khác

• π là tỷ lệ giữa chu vi và đường kính của hình tròn, nhưng tùy theo cách định nghĩa “khoảng cách”, ngay cả hình tròn có cùng bán kính cũng có thể mang hình dạng khác nhau và giá trị π cũng thay đổi
• Metric trong toán học quy định 4 điều kiện mà một hàm khoảng cách phải thỏa mãn, và cho phép xử lý hình học, giải tích và tô-pô học bên ngoài khoảng cách Euclid với một số điều chỉnh
• Trong khoảng cách Manhattan và khoảng cách cực đại, hình tròn lần lượt hiện ra như một hình vuông xoay và một hình vuông, và kết quả tính chu vi đều cho π bằng 4
• p-norm là một họ metric vô hạn bao gồm Manhattan, Euclid và khoảng cách cực đại, và π=3.14159… của khoảng cách Euclid thông thường với p=2 là giá trị nhỏ nhất có thể trong họ này
• Khi mở rộng ra mọi metric, π nằm giữa 3 và 4, và trong một metric lục giác cụ thể, chu vi của đường tròn bán kính 1 là 6 nên π=3

---

Vì sao giá trị π lại thay đổi

• Thông thường, π xuất hiện trong công thức quan hệ giữa chu vi C và bán kính r của hình tròn: C = 2πr
• Về mặt toán học, hình tròn là tập hợp các điểm cách tâm một khoảng bằng nhau
• Vì vậy, π phụ thuộc vào định nghĩa khoảng cách dùng để đo chu vi và bán kính của hình tròn
• Hình dạng của các điểm có cùng “chi phí” không phải lúc nào cũng là đường tròn Euclid
  • Các điểm có thể chạy tới trong cùng một khoảng thời gian tính từ tâm có thể tạo thành đường tròn theo khoảng cách thời gian
  • Các điểm có thể tới được bằng cùng một lượng nhiên liệu cũng có thể được xem như đường tròn theo khoảng cách nhiên liệu
  • Khi đi biển trong ngày gió mạnh, các điểm có thể tới được với cùng một mức nỗ lực sẽ thành một elip lệch về một phía theo hướng gió

Hàm khoảng cách nào trở thành metric

• Trong toán học, metric quy định các điều kiện để được công nhận là một hàm khoảng cách
• Một metric phải thỏa các quy tắc sau
  • Khoảng cách từ một điểm đến chính nó luôn bằng 0
  • Khoảng cách giữa hai điểm khác nhau luôn dương
  • Khoảng cách từ a đến b bằng khoảng cách từ b đến a
  • Khoảng cách đi thẳng từ a đến c không dài hơn đi từ a qua b rồi đến c
• “Mức nỗ lực cần để đi biển” khó trở thành một metric
  • Nỗ lực khi đi xuôi gió và khi đi ngược gió khác nhau nên không thỏa điều kiện thứ 3
• Khoảng cách Euclid d = sqrt(x² + y²) là định nghĩa khoảng cách truyền thống đã được dùng trong hình học Hy Lạp cổ đại và cả giải tích của Newton
• Vào đầu thế kỷ 20, các nhà toán học nhận ra rằng nếu một hàm thỏa các yêu cầu cơ bản thì có thể dùng nó làm hàm khoảng cách, và nhiều kết quả toán học cũng có thể áp dụng với một số sửa đổi

π trong khoảng cách Manhattan

• Khoảng cách Manhattan là khoảng cách trong một thành phố dạng ô bàn cờ, nơi không thể di chuyển chéo mà phải cộng quãng đường theo hướng x và hướng y
• Công thức khoảng cách được viết là d = x + y
• Ví dụ, nếu đặt sai số dự đoán biến động dân số của hai thành phố lên trục x và y, thì các điểm có tổng sai số là 1.000 người sẽ tạo thành một “đường tròn”
• Trong metric này, hình tròn trông như một hình vuông xoay 45 độ
• Nếu bán kính là 1.000 thì độ dài Manhattan của mỗi cạnh là 2.000, và chu vi của 4 cạnh là 8.000
• Vì 8,000 = 2π(1,000) nên trong hệ khoảng cách này π=4

π trong khoảng cách cực đại

• Khoảng cách cực đại là metric dùng giá trị lớn hơn giữa x và y làm khoảng cách
• Công thức khoảng cách được viết là d = max(x, y)
• Nó tương ứng với những tình huống làm nhiều việc song song mà tổng thời gian được quyết định bởi hạng mục mất lâu nhất
• Có thể lấy ví dụ về một cuộc thi nấu ăn, trong đó hai nguyên liệu được chuẩn bị song song và cả hai đều phải hoàn thành trong khoảng từ 55 đến 65 phút
• Hình tròn trong hệ khoảng cách này có dạng hình vuông
• Khi bán kính là 5, khoảng cách của mỗi cạnh là 10 và chu vi của 4 cạnh là 40
• Vì 40 = 2π(5) nên trong khoảng cách cực đại cũng có π=4

π trong họ p-norm

• p-norm metric là một họ metric vô hạn được định nghĩa bởi d = (x^p + y^p)^(1/p)
• p có thể nhận các giá trị từ 1 trở lên
• p-norm khái quát hóa các khoảng cách đã nêu trên
  • p=1 thì là khoảng cách Manhattan
  • p=2 thì là khoảng cách Euclid
  • p=∞ thì là khoảng cách cực đại
• Tùy theo giá trị p mà hình dạng của “đường tròn” cũng thay đổi
• Với các giá trị p thông thường, rất khó nhìn bằng mắt để tính ngay chu vi, nên có thể dùng máy tính đi dọc theo chu vi của đường tròn và theo dõi quãng đường di chuyển để tính toán
• Theo kết quả của bài báo trước đó, các giá trị π theo từng p-norm như sau
  • p=1: π=4
  • p=1.1: π=3.757…
  • p=2: π=3.141…
  • p=2.25: π=3.155…
  • p=3: π=3.259…
  • p=11: π=3.757…
  • p=∞: π=4
• Bài báo đó cũng chứng minh rằng trong toàn bộ họ p-norm, 3.14159… là giá trị π nhỏ nhất có thể

Phạm vi của π trong mọi metric

• p-norm là vô hạn, nhưng các metric không phải p-norm còn nhiều hơn thế nữa
• Bài báo của Sahoo chứng minh rằng trong mọi metric, π nằm giữa 3 và 4
• Các metric cho π=4 có thể thấy ở khoảng cách Manhattan và khoảng cách cực đại
• Một ví dụ cho π=3 có thể lấy từ metric lục giác trong câu trả lời trên StackExchange
• Công thức khoảng cách đó như sau

d = 1 / (2√3) * Σ(n=1..6) | x sin(πn/3) + y cos(πn/3) |

• π được dùng trong công thức này là π thông thường đến từ các hàm lượng giác Euclid
• Hình tròn trong metric này trở thành một hình lục giác
• Nếu tính độ dài mỗi cạnh của lục giác bằng công thức khoảng cách này thì mỗi cạnh bằng 1, và toàn bộ chu vi là 6
• Với bán kính 1, 6 = 2π(1) nên trong metric này π=3

π-month thay vì π-day

• π-day vào ngày 14 tháng 3 dựa trên giá trị π thông thường là 3.14…
• Vì trong mọi metric, π có thể nằm giữa 3 và 4, nên nếu tìm được metric phù hợp với từng ngày thì có thể kỷ niệm cả tháng 3 như một π-month

[GN⁺]

Ý kiến trên Hacker News

• Cách diễn đạt xem toán học là “một trò chơi bắt đầu từ các giả định rồi tìm ra những kết luận logic khả dĩ” đã thật sự diễn đạt rất gọn điều cứ quanh quẩn trong đầu tôi bấy lâu

  • Đây cũng là lý do Lean4 và mathlib hấp dẫn
    Càng nhiều người tiếp tục đưa các chứng minh đã được kiểm chứng hình thức vào mathlib, thì càng dễ chứng minh hình thức thêm nhiều định lý dựa trên đó
    Khi chưa có gì, ngay cả các chứng minh đơn giản cũng gần như là lao động thuần túy vì phải viết lại và chỉ định chi tiết rất nhiều, nhưng trong mathlib thì các công cụ như simp hay linarith dường như đảm nhận phần lớn công việc lặp đi lặp lại nặng nhọc đó
    Hiệu ứng quả cầu tuyết thật sự rất thú vị, nhưng có lẽ những gì tôi hiểu thì phần lớn đã có sẵn trong đó rồi nên chắc sẽ khó đóng góp một cách có ý nghĩa
  • Thật đáng kinh ngạc khi nghĩ toán học và logic như một automata tế bào khổng lồ
    “Tiên đề” không nhất thiết tương ứng với “chân lý”, mà gần hơn với những ràng buộc tùy ý tạo ra độ phức tạp, và đôi khi hệ thống kết quả lại trở nên hữu ích
  • Toán học là trò chơi lâu đời nhất, có phạm vi rộng nhất và phức tạp nhất mà nhân loại từng chơi
    Nó cũng hữu ích và có rất nhiều điều để đào sâu về mặt triết học quanh tính hữu ích đó, nhưng tôi xem đó là thuộc tính tách biệt với bản thân trò chơi
    Giống như việc đổi một quyển sách nấu ăn sang hệ 16 cho vui, dù vô dụng, không làm tăng tri thức, thậm chí độ hữu ích còn âm, thì vẫn có thể làm trong trò chơi này
    Việc cố chứng minh giả thuyết song sinh nguyên tố là một cấp độ khó hơn rất nhiều, và trò chơi này ai cũng có thể chơi bất kể tuổi tác hay trình độ, bằng đầu óc, giấy bút, hay cả cụm tính toán lớn nhất thế giới
    Về mặt kỹ thuật thì mọi trò chơi khác cũng là tập con của trò chơi này, và dù là tô một bức tranh đẹp, cho các nguyên tử va chạm hay đếm đến con số lớn nhất có thể, ai cũng có thể chơi theo cách mình muốn
  • Nguyên lý tương tự cũng áp dụng cho lập trình
    Hàm càng biết ít về các đối số thì càng có thể được dùng một cách tổng quát hơn
  • Một ví dụ hay cho điều đó là ảnh hưởng của tiên đề lựa chọn lên lý thuyết độ đo và lý thuyết xác suất
    Tiên đề lựa chọn kéo theo sự tồn tại của các tập không đo được theo Lebesgue, nhưng không thể đưa ra ví dụ cụ thể về những tập không đo được như vậy; chỉ có thể chứng minh sự tồn tại của chúng
    Ngược lại, trong một lý thuyết thay thế đưa tiên đề xác định vào, mọi tập con của số thực đều trở nên đo được
    https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
    https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_determinacy
    https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_measure

• Ngay cả khi trong hình học của một vũ trụ khác, π có giá trị khác đi, vẫn sẽ tồn tại những hằng số quan trọng mang cùng giá trị với π của chúng ta
  Ví dụ, các nghiệm của hàm được định nghĩa bởi chuỗi x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... là nπ với số nguyên n, và ở đây π là π của chúng ta
  Trong hàm mũ, π của chúng ta cũng xuất hiện, với chu kỳ là 2πi

  • Đúng vậy. Một ví dụ cụ thể hơn là các giá trị sau vẫn gắn với π của chúng ta bất kể hình học ra sao
    Tổng của chuỗi 4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + …) là π: https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_formula_for_%CF%80
    Tổng của chuỗi (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + …) là π²/6: https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem
    Do đó xác suất hai số được chọn đều từ [1…N] là nguyên tố cùng nhau sẽ tiến gần 6/π² khi N tăng lên
    Tích 2(4/3)(16/15)(36/35)(64/63)(100/99)… cũng bằng π: https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product
    Khi n tăng, (n!/(√n (n/e)^n))²/2 tiến rất chậm đến π: https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation ví dụ: https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=N%5C%2891%29Di...
    Ngoài ra còn nhiều kết quả phi hình học khác: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=List_of_formulae_...
  • Tôi lại nghĩ là ngược lại mới đúng
    Theo cách tôi hiểu, con người trong nền văn minh châu Âu trước đây đã định nghĩa hàm mũ phức sao cho nó có chu kỳ 2πi để khớp với chu kỳ của sin và cos vốn đã được định nghĩa trước
    Hoàn toàn có thể định nghĩa với chu kỳ khác. Chẳng hạn, nếu đặt “360 độ” là 1 thay vì 2π, rồi định nghĩa sin0=0, sin0.25=1, sin0.5=0, sin0.75=-1, sin1=0, thì chu kỳ của e^ix cũng đã được định nghĩa là 1
    Hệ thập phân cũng tương tự. Chúng ta dùng hệ thập phân về mặt lịch sử vì có mười ngón tay, chứ không có lý do gì để người ngoài hành tinh cũng phải có mười ngón tay
  • Có lẽ nên nói rằng π ở đâu cũng là cùng một số 3.14...
    Chỉ là trong một vũ trụ khác, công thức độ dài đường tròn có thể không dùng π
    Với khoảng cách Manhattan (L_1) thì C = 8 R, với khoảng cách Euclid (L_2) thì C = 2π R, còn với khoảng cách cực đại (L_infinity) thì C = 8 R
  • Tôi thắc mắc nếu định nghĩa khoảng cách đơn vị, chẳng hạn khoảng cách giữa 2 và 3 hoặc giữa 5 và 6, bằng hàm khoảng cách của phía họ thì liệu π của họ có xuất hiện trở lại không
    Có vẻ giống với việc đổi cơ số trong một hệ số

• Có nhiều cách để định nghĩa một hằng số giống π cho quả cầu đơn vị theo p-norm, và khi p != 2 thì các cách đó có thể không trùng nhau
  Nếu định nghĩa π bằng diện tích của quả cầu đơn vị thì sẽ cho ra các giá trị hoàn toàn khác, và định nghĩa này lại thỏa những tính chất hay, chẳng hạn trở thành hằng số chu kỳ cho một bộ hàm lượng giác tự nhiên trên p-đường tròn
  Xa hơn nữa, pi(p) = 2 Beta(1/p,1/p)/p...
  Trong khi đó, định nghĩa π dựa trên chu vi/độ dài cung có một tính chất thú vị là với cặp p, q liên hợp thì pi(p) = pi(q)
  “Squigonometry: The Study of Imperfect Circles” là một tài liệu tham khảo thú vị bàn về những điều này

  • Tôi tự hỏi việc không phải là không gian Hilbert có gây ra những ảnh hưởng hình học kỳ lạ không
    Có lẽ phải bỏ đồng nhất thức phân cực, và như vậy chắc cũng sẽ ảnh hưởng đến hình bình hành, nhưng tôi không biết chính xác

• pi = 3.14159… cũng xuất hiện trong giải tích và phần mở rộng của nó là thống kê học, nên nó độc lập với hình học
  Người ngoài hành tinh ở một vũ trụ khác cũng sẽ biết giá trị này, chỉ là với đường tròn họ sẽ có một hằng số khác
  Dù sao thì họ cũng sẽ không dùng chữ cái Hy Lạp, nên vẫn cần dịch, và xem 3.14159… là π có vẻ đỡ kỳ quặc hơn việc gán 3.757… của họ thành “π”
  Tất nhiên, việc nên lấy 3.14…(π), 6.28…(2π), hay 0.785…(π/4) làm hằng số cơ bản vẫn còn gây tranh cãi, và người ngoài hành tinh có thể nghĩ khác
  Bài viết đưa vào khái niệm hàm khoảng cách để giải thích hằng số đường tròn ở vũ trụ khác, nhưng một hàm khoảng cách tùy ý không đảm bảo được tính co giãn tuyến tính hay tính bất biến theo phép tịnh tiến
  Để định nghĩa hằng số đường tròn một cách có ý nghĩa thì cần giả định mạnh hơn hàm khoảng cách, chẳng hạn như không gian vectơ chuẩn, và các ví dụ được nêu ra thực chất cũng có vẻ là không gian vectơ chuẩn chứ không chỉ là không gian khoảng cách đơn thuần

  • Điểm thứ nhất không có gì đáng ngạc nhiên
    π của chúng ta gắn với hàm khoảng cách duy nhất mà đường tròn đơn vị của nó hoàn toàn liên tục và khả vi
    Chuẩn 2 đặc biệt ở rất nhiều khía cạnh, và cũng có vẻ tự nhiên khi hằng số nối khoảng cách tại một điểm với kết quả tích phân một hằng số dọc theo quãng đường do các điểm đó tạo thành lại được bắt gặp thường xuyên hơn các hằng số khác
    Nếu đường tròn đơn vị của hàm khoảng cách đó không có tính liên tục và khả vi ở mọi nơi, thì nhiều thứ khác cũng có thể sụp đổ theo hiệu ứng domino
    Có điều gì đó mang tính trung tâm rất đặc biệt trong mối quan hệ súc tích giữa điểm, khoảng cách và đường đi
  • Tôi tò mò về điểm thứ nhất
    Như đã giải thích ở bình luận khác, giá trị 3.14159 của π có thể được suy ra chỉ từ lý thuyết số thuần túy, nhưng theo cách gần như kỳ diệu lại đóng vai trò lớn trong việc hình thành thế giới vật lý mà ta biết
    Liệu có thể có một lý thuyết số khác ở vũ trụ khác không, hay lý thuyết số là điều đúng bất kể vũ trụ nào? Tôi rất muốn biết lý thuyết số thay thế sẽ trông như thế nào
  • https://tauday.com/tau-manifesto#table-quadratic_forms
    Không muốn nghe như Buzzfeed, nhưng bảng 3 khá là thuyết phục
  • Đúng vậy. Ngay cả trong ví dụ họ cũng thực ra cứ lặp đi lặp lại 2pi

• Có vẻ người này không biết đi thuyền
  Beam reach, tức đi vuông góc với hướng gió, thuộc nhóm nhanh nhất nhờ lực nâng của buồm

  • Biết ngay là sẽ có kiểu bắt bẻ này
    Tôi thích HN vì những góp ý chi li đến mức vừa cụ thể, chính xác, lại vừa không chính xác, và không vì một phép ví von sai lệch như thế mà gạt bỏ cả bài viết
  • Trước giờ tôi chẳng biết gì về đi thuyền, nhưng nhờ bình luận này mà tôi đi tra point of sail và cuối cùng cũng hiểu ra bí ẩn cả đời là “thuyền buồm làm sao có thể tiến hiệu quả ngược chiều gió”
    Thật sự rất đáng kinh ngạc, và đi thuyền đúng là một khoa học tuyệt vời
  • Cũng thú vị ở chỗ nếu làm vậy mà vượt qua được tốc độ thân tàu thì bạn sẽ lướt trên chính con sóng mũi của mình
  • Beam reach không nhất thiết luôn là cách đi nhanh nhất
    Nó còn tùy vào thuyền, hiệu suất của buồm, hiệu suất của centerboard/keel, tức tỷ lệ lực nâng/lực cản; nhìn chung một dạng reach nào đó có khả năng là nhanh nhất, nhưng có thể không đúng chính xác 90 độ so với hướng gió thật
    Còn phụ thuộc vào tốc độ gió, độ cao sóng, phân bố trọng lượng, v.v.
  • Tôi tự hỏi nếu đưa vào các giả định đúng thì “đường tròn” đó sẽ có hình dạng như thế nào

• Những ví dụ này đều giả định hàm khoảng cách nền là Euclid
  Nếu hàm khoảng cách 2 chiều nền là hình chiếu của một không gian 3 chiều bị uốn cong, thì có thể kéo tâm của đường tròn để làm π lớn tùy ý

  • Ở đây không có khái niệm “hàm khoảng cách nền”
    Cả bán kính lẫn chu vi đều được đo bằng chính hàm khoảng cách đã được định nghĩa
    Nếu đó là một hàm khoảng cách kéo giãn gốc tọa độ so với khoảng cách Euclid, thì ánh xạ đó phải liên tục, và rốt cuộc sẽ dẫn đến việc bán kính lẫn chu vi cùng bị kéo giãn trong hàm khoảng cách ấy
    Thực ra tôi đã liên kết tới một bài chứng minh rằng với mọi hàm khoảng cách, giá trị π luôn nằm giữa 3 và 4, kể cả hai đầu mút, nhưng có vẻ trang đó không chịu nổi lưu lượng nên tôi để lại liên kết thay thế: https://www.researchgate.net/publication/353330827_Extremal_...
  • Không phải hàm khoảng cách nền, mà là giả định rằng hình học của không gian là Euclid
    Trong hình học phi Euclid, tỷ lệ giữa chu vi và đường kính của một đường tròn không phải là hằng số mà thay đổi theo đường kính, nên trong trường hợp đó ngay từ đầu đã không thể định nghĩa “π”
  • Hơi lạc đề một chút, nhưng gần như mọi điều tôi hiểu về π đều đến từ các mô hình GIF 3D mà tôi chưa từng thấy ở trường
    Những tài liệu kiểu này nên xuất hiện sớm hơn rất nhiều trong đường cong học tập, còn trước cả 3B1B

• Hồi nhỏ tôi rất thích tưởng tượng ra những mối quan hệ kiểu này
  Tôi từng tưởng tượng rằng có một vị thần tạo ra vũ trụ, và có thể cũng là một đứa trẻ chán chường như tôi đang làm bài tập ở trường là tạo ra một vũ trụ
  Nếu vị thần đó chỉnh các núm của π hay e sang các giá trị hữu tỉ, tất nhiên giả sử trong vũ trụ của thần có thể chỉnh núm đúng đến giá trị vô tỉ chính xác, thì cuộc sống của chúng ta sẽ dễ hơn hay khó hơn? Có lẽ là dễ hơn
  Kích thước biểu kiến của Trái Đất/Mặt Trăng/Mặt Trời khi nhìn từ Trái Đất sẽ ra sao? Đó là một manh mối tuyệt vời, nhưng nếu không có sự trùng hợp đó thì có lẽ chúng ta lại biết nhiều thiên văn học hơn
  Những sự kỳ quặc của cơ học lượng tử trong vũ trụ, hay những mất cân bằng theo đúng nghĩa đen cần đến vật chất tối, có thể thực ra chỉ là bug bị nhét vào bài tập làm vội của một đứa trẻ, nên ngay từ đầu vốn đã không hợp lý
  Nhưng thứ khiến tôi suy nghĩ lâu nhất lại là số vô tỉ

• Nếu đã đọc đúng mạch của các bài trên HN, thì không thể thiếu phần nhập môn lý thuyết độ đo của Terence Tao
  https://news.ycombinator.com/item?id=38064211
  Nhưng nói nghiêm túc, ai lại đi đọc hoặc lướt một cuốn sách lý thuyết độ đo miễn phí dài 260 trang chứ?
  https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_(mathematics)

  • Ghi chú bài giảng của Tao không phải kiểu tài liệu để chỉ đọc hay lướt
    Tôi đã tự học lý thuyết độ đo bằng nó để bỏ qua môn tiên quyết ở đại học, và nó thực sự rất khó
    Cứ khoảng hai trang lại có một bài tập, và nếu không dành thời gian giải thì có lẽ học được không bao nhiêu
    Mà những bài tập đó còn khó nữa
  • Tôi không hiểu vì sao chuyện đọc một cuốn sách 260 trang lại bị xem là khó tin đến thế
    Người ta vẫn đọc sách 260 trang suốt mà
    Tôi sẽ không đọc cuốn này vì nó không thuộc mảng tôi quan tâm, nhưng tôi vẫn đang bận đọc những cuốn hơn 100 trang về các chủ đề khác

• Có một không gian thú vị được tạo bằng số p-adic, và nếu định nghĩa một khoảng cách đơn giản trên đó thì hình tròn sẽ có những tính chất kỳ lạ
  Ví dụ, đường kính, tức khoảng cách giữa hai điểm ngoài rìa xa nhau nhất, và bán kính, tức khoảng cách từ rìa đến tâm, lại bằng nhau
  Diện tích và chu vi của hình đĩa tròn cũng xuất hiện những hiện tượng kỳ quái, và một hình đĩa tròn mở đồng thời cũng là hình đóng
  Đại lượng tương ứng với π ở đó hoàn toàn kỳ lạ
  Đáng tiếc là tôi không còn nhớ chi tiết. Đây là bài tập trong giờ toán vào khoảng năm 2000
  https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number#Topological_prop...

• Phép so sánh bằng thuyền có vẻ đặc biệt không ổn
  Nó ngầm so sánh thuyền buồm trong ngày có gió với thuyền buồm trong ngày không có gió, nhưng nếu không có gió thì ngay từ đầu cũng sẽ không có đường tròn nào cả
  Tôi không phải chuyên gia về thuyền, nhưng nếu gió là X knot thì thuyền có thể đi xuôi chiều gió với tốc độ đến X knot, và trái với điều bài viết nói, theo hướng gió ngang thì còn có thể đi với tốc độ gấp vài lần X
  Khi đó có thể sẽ ra một hình elip giống như hình minh họa, nhưng hướng thì sẽ ngược lại
  Ngoài ra, thuyền còn có thể di chuyển “về phía” gió bằng cách tacking và jibing