Hằng số Lemniscate (ϖ): Cặp song sinh bóng tối của π (Evil Twin)

• Tương tự như π (pi), ϖ là một hằng số toán học quan trọng
  • π liên quan đến đường tròn và các hàm lượng giác (sin, cos)
  • ϖ liên quan đến đường lemniscate dạng vô cực (∞) và các hàm lượng giác mới (sl, cl)
• Lemniscate là một trường hợp đặc biệt của đường Cassini, trong đó tích ở hai điểm cố định không đổi, và có hình dạng vô cực (∞)
• ϖ được gọi là "hằng số lemniscate" và vào khoảng 2.62205755

Lemniscate và ϖ

Định nghĩa lemniscate

• Trong tọa độ cực, lemniscate được biểu diễn bởi công thức "bình phương bán kính là giá trị cosin của gấp đôi góc"
• Cũng như chu vi hình tròn tương ứng với (2π), chu vi của lemniscate tương ứng với (2ϖ)

Hàm lượng giác của ϖ: sl và cl

• Giống như hàm lượng giác của đường tròn (sin, cos), với lemniscate cũng có các hàm sl và cl
• Ví dụ, công thức "sin bình phương cộng cos bình phương bằng 1" của lượng giác chuyển đổi sang biểu thức tương tự sau đây trong lemniscate:
  • sl bình phương cộng cl bình phương cộng tích của sl bình phương và cl bình phương bằng 1

Liên hệ giữa π và ϖ

• π và ϖ chia sẻ các công thức và mô hình tương tự nhau, và π là một trong chuỗi các hằng số ϖ
• π được ký hiệu là ϖ₂, ϖ là ϖ₄, và giữa π và ϖ còn có thêm hằng số ϖ₃
• Những hằng số thuộc chuỗi này phản ánh một cấu trúc toán học riêng và liên quan đến các đường cong và hàm phức tạp hơn

ϖ và phát hiện của Gauss

• Gauss đã phát hiện rằng hằng số lemniscate liên quan đến trung bình cộng-nghịch (Arithmetic-Geometric Mean)
  • Trung bình cộng-nghịch là quá trình tính lặp đi lặp lại trung bình cộng và trung bình hình học của hai giá trị cho đến khi hội tụ
  • Ví dụ, trung bình cộng-nghịch của 1 và √2 cho tỉ lệ giữa π và ϖ, được biết đến như "hằng số Gauss"

Hằng số bậc cao ϖₙ

• ϖₙ liên quan đến các hàm và đường cong hyperelliptic
  • Đường hyperelliptic được định nghĩa là lớp phủ gấp đôi của mặt cầu Riemann và có điểm nhánh tại các điểm bậc n đối xứng (các căn bậc n của đơn vị)
  • Những hằng số này phản ánh đối xứng và các đặc điểm riêng của các đường cong bậc cao

Tài liệu tham khảo và liên kết

• Hằng số Lemniscate (ϖ) - Wikipedia
• Hàm lượng giác lemniscate (sl, cl)

[GN⁺]

Bình luận trên Hacker News

• Tôi từng lúng túng trong cách đánh vần từ "lemniscate" và đã kiểm tra lại. Nhờ cuộc thảo luận này, tôi phát hiện ra một bản đồ mới yêu thích.
  • Đây là bản đồ Peirce Quincuncial Projection
• Có thể dùng bùa bốn lá may mắn để làm vật hộ mệnh
  • Biểu diễn bằng đồ thị cực với r=cos(2θ)
  • Chu vi có thể được định nghĩa là hằng số 4*E(-3) ~ 4 * 2.4221
• π bắt nguồn từ đường tròn, được định nghĩa bởi khoảng cách từ một điểm
• ϖ bắt nguồn từ lemniscate của Bernoulli và được định nghĩa bởi khoảng cách từ hai điểm
• Tôi tò mò không biết có hằng số tương tự nào xuất phát từ hình dạng được xác định bởi ba điểm không
• Tỷ lệ giữa π và người anh em sinh đôi của nó xấp xỉ 1.198, tức là trung bình cộng-hình học của 1 và sqrt(2)
  • Nếu AM hội tụ về GM, thì theo bất đẳng thức AM-GM-HM, HM cũng phải hội tụ về trung bình điều hòa
  • HM không cần đến phép tính căn bậc hai đắt đỏ
• AM và GM hội tụ gần như ngay lập tức
  • HM của hằng số Gauss cần khoảng 15 bước lặp
  • Có thể tránh các phép toán đắt đỏ, nhưng cần rất nhiều lần lặp
• Các hằng số đáng chú ý khác:
  • Euler–Mascheroni Constant: tổng điều hòa, tích phân và tổng liên quan đến hàm Gamma
  • Catalan’s Constant: một số chuỗi lượng giác riêng, hàm Green trên mạng lưới
  • Feigenbaum Constants: ánh xạ logistic, tính hỗn loạn của hệ động lực
  • Khinchin’s Constant: phần thương của phân số liên hoàn đơn
  • Glaisher–Kinkelin Constant: khai triển tiệm cận của hàm Barnes G, giới hạn tổ hợp và một số khai triển nhân
  • Ramanujan’s Constant: phép nhân phức trên đường cong elip
  • Omega Constant: Omega * e^Omega = 1, hàm Lambert W, x^x^x^... = 2
• Tôi không phải người theo chủ nghĩa tương đối về văn hóa, nhưng tôi không tin có nền văn minh nào coi hình dạng ∞ quan trọng hơn hình dạng ◯
  • Có thể tồn tại những chủ thể sống trong không gian logarit
  • Hình tròn của họ có thể là một lemniscate
• π và ϖ chỉ là hai trong một nhóm vô hạn các anh em
• Vì sao chỉ có hai điểm? Tại sao không phải ba điểm?
  • Có thể tìm đường cong thú vị nào được tạo ra từ tích không đổi của khoảng cách đến N điểm không?
  • Trong không gian bậc cao hơn, với một điểm thì có hình cầu
  • Còn hai điểm thì hình dạng là gì? Có phải hai giọt nước kiểu đồng hồ cát không?
• Việc hình dạng này quan trọng hơn hình tròn đối với một nền văn minh có thể là một bối cảnh SF rất thú vị