Hằng số Lemniscate (ϖ): người song sinh bóng tối của π

 (mathstodon.xyz)
1 điểm bởi GN⁺ 2024-12-25 | 1 bình luận | Chia sẻ qua WhatsApp
  • ϖ (varpi) là một hằng số gắn với lemniscate hình ∞ và các hàm lượng giác biến thể sl, cl, tương tự như cách π gắn với đường tròn và các hàm lượng giác
  • Lemniscate là một trường hợp đặc biệt của Cassini oval, trong đó tích khoảng cách đến hai điểm là không đổi, và được biểu diễn bằng phương trình tọa độ cực r² = cos2θ
  • Giống như chu vi đường tròn đơn vị là 2π, chu vi của lemniscate này là 2ϖ; ϖ ≈ 2.62205755... và từng được tính đến hơn 1 nghìn tỷ chữ số
  • sl và cl là các lemniscatic elliptic functions tương ứng với sin, cos, và có các đồng nhất thức biến thể như sl²θ + cl²θ + sl²θ cl²θ = 1
  • ϖ còn liên hệ với Gaussian elliptic curve và trung bình số học–hình học; tỉ số AGM(1, √2) = π/ϖ được gọi là hằng số Gauss

Hằng số ϖ giống π

  • ϖ là một con số có nhiều tính chất và công thức tương tự π, giống như “evil twin” của π
  • Cũng như π gắn với đường tròn và các hàm lượng giác sin, cos, ϖ gắn với đường cong hình ∞ gọi là lemniscate và các hàm sl, cl
  • ϖ được gọi là lemniscate constant
  • Ký hiệu Unicode ϖ là dạng viết tay của chữ cái Hy Lạp pi, còn được gọi là varpi hoặc pomega

Công thức tích phân và công thức tích tương tự

  • π và ϖ cũng được so sánh bằng các dạng tích phân tương tự
    • π = ∫_{-1}^1 dx / √(1 - x²) ≈ 3.14159
    • ϖ = ∫_{-1}^1 dx / √(1 - x⁴) ≈ 2.622057
  • Cả hai hằng số đều liên hệ với các công thức tích có dạng căn bậc hai lồng nhau
    • Công thức phía π biểu diễn 2/π
    • Công thức phía ϖ giữ cấu trúc tương tự, nhưng một số hạng được đổi thành dạng phép chia

Lemniscate và chu vi

  • Họ đường cong có tích khoảng cách đến hai điểm là không đổi được gọi là Cassini oval
  • Trong đó, đường cong đặc biệt có hình ∞ là lemniscate, và nó liên hệ trực tiếp với ϖ
  • Phương trình tọa độ cực của lemniscate này như sau
    • r² = cos2θ
  • Giống như chu vi đường tròn đơn vị là 2π, chu vi của đường cong này là 2ϖ
    • ϖ ≈ 2.62205755...
    • Con số này từng được tính đến hơn 1 nghìn tỷ chữ số

Các hàm sl, cl và lượng giác biến thể

  • Cũng như có thể định nghĩa sin và cos trên đường tròn, trên lemniscate có thể định nghĩa các hàm gọi là sl và cl
  • Nhiều đồng nhất thức lượng giác thông thường có phiên bản biến thể tương ứng với sl và cl
  • Các quan hệ tương ứng tiêu biểu như sau
    • Hàm lượng giác thông thường: sin²θ + cos²θ = 1
    • Hàm lemniscate: sl²θ + cl²θ + sl²θ cl²θ = 1
  • Có thể xem đồ thị của sl và cl tại Lemniscate elliptic functions

Đường cong elliptic và hằng số Gauss

  • ϖ và các hàm lượng giác biến thể của nó liên hệ với Gaussian elliptic curve
  • Nếu chia mặt phẳng phức thành lưới ô vuông, ta thu được đường cong elliptic này
    • Một lưới bất kỳ trên mặt phẳng phức tạo ra một đường cong elliptic và các hàm elliptic
    • Hình vuông có tính đối xứng cao hơn các hình bình hành khác, nên trường hợp này là một ví dụ đặc biệt tốt
  • Gauss phát hiện rằng đường cong elliptic này liên hệ với trung bình số học–hình học
  • Trung bình số học–hình học của 1 và √2 là π/ϖ, và số này được gọi là hằng số Gauss
  • Có phần giải thích liên quan tại Lemniscate constant
  • Cũng có dãy tổng quát hơn ϖₙ
    • π là ϖ₂
    • ϖ là ϖ₄
    • ϖₙ có vẻ liên quan đến các hyperelliptic functions đối xứng nhất định
    • Bài viết liên quan có tại June 2022 diary entry

Bài viết liên quan

1 bình luận

 
GN⁺ 2024-12-25
Ý kiến trên Hacker News

  • Nhờ cuộc thảo luận này mà tôi tìm được một phép chiếu bản đồ mới yêu thích: Peirce quincuncial projection
    [https://en.wikipedia.org/wiki/File:Peirce_Quincuncial_Projec...](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Peirce_Quincuncial_Projection_1879.jpg)

    • Có thêm nhiều phép chiếu bản đồ trong PDF thân thiện “An Album of Map Projections”, và phép chiếu trên nằm ở trang 190
      Ví dụ mang không khí lễ hội hơn thì xem Berghaus star projection ở trang 156
      [1]: https://pubs.usgs.gov/pp/1453/report.pdf (1989)
    • Cái này trông khá giống Penrose diagram được mở rộng tối đa
    • Tôi nhớ hình như từng thấy cùng phép chiếu này được dùng trong một mod Quake 3 để tăng góc nhìn một cách rất mạnh

  • Cũng có thể dùng bùa may mắn cỏ bốn lá để chặn nó. Đồ thị tọa độ cực là r=cos(2theta)
    https://www.wolframalpha.com/input?i=+plot+r%3Dcos%282theta%...
    Chu vi của nó cũng có thể được định nghĩa bằng hằng số 4*E(-3) ≈ 4 * 2.4221
    [https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+r%3Dcos%282theta%29+from+theta+%3D+-pi%2F4+to+pi%2F4\)" class="ud link">https://wolframalpha.com/input/…

  • Tôi thấy câu “đường cong hình ∞ này được gọi là 'leminscate', còn ϖ được gọi là 'lemniscate constant'. Trong bài tiếp theo tôi sẽ cho xem leminiscate” hơi gây nhầm lẫn nên kiểm tra lại, và cách viết đúng là lemniscate

  • π xuất phát từ đường tròn, được định nghĩa bằng khoảng cách tới một điểm; còn ϖ xuất phát từ lemniscate của Bernoulli, được định nghĩa bằng khoảng cách tới hai điểm
    Vậy liệu có hằng số tương tự nào xuất phát từ hình được định nghĩa bằng khoảng cách tới ba điểm không?

    • Có. π là chu vi đường tròn, còn ϖ là chu vi lemniscate. Nếu dùng ba điểm thì sẽ có ba hình giọt nước, và có thể tính chu vi của nó
      Tạm gọi là trilemniscate nhé ;)
      Đây là đồ thị 3D. Nếu nhìn từ +Z xuống, bạn sẽ thấy trilemniscate ở nơi mặt phẳng XY cắt khối. Tôi đã trừ 1 khỏi tích để trực quan hóa giao với mặt phẳng, và cũng có thể tắt phiên bản 3 điểm, bật phiên bản 2 điểm để so sánh
      https://www.desmos.com/3d/dl9v2vqbqb
      Thú vị là với 2 điểm và 3 điểm, diện tích bên trong lemniscate và trilemniscate là như nhau. Nếu các điểm được phân bố đều trên một đường tròn thì điều này vẫn đúng với nhiều điểm hơn. Tất nhiên chu vi sẽ tiến tới vô hạn khi số điểm tăng lên
    • Khái niệm khoảng cách tới ba điểm trở nên phức tạp vì liên quan đến hàm khoảng cách hoặc thậm chí cả lý thuyết độ đo
      Với hai điểm thì luôn có đường đi ngắn nhất nối chúng, nên hằng số nói về thực tế đó; nhưng từ ba điểm trở đi thì phải xét toàn bộ các dạng tam giác có thể có

  • Về đoạn “tôi không phải người theo thuyết tương đối văn hóa đến mức tin rằng có một nền văn minh coi hình ∞ quan trọng hơn hình ◯”, những thực thể như vậy có thể không phải là sinh vật “tuyến tính” như chúng ta, mà là sinh vật logarit
    Lemniscate dựa trên trung bình nhân, thực chất là trung bình theo phép nhân hoặc trung bình trong không gian logarit. Nó đối lập với trung bình cộng trong không gian tuyến tính
    Nếu chúng ta là những sinh vật tuyến tính mạnh về cộng trực giác nhưng yếu về nhân trực giác, thì cũng có thể có những sinh vật sống trong không gian logarit và tư duy dựa trên phép nhân. Với họ, đường tròn sẽ là lemniscate

    • Con người thực ra có xu hướng suy nghĩ trực giác theo thang logarit. Những người không được giáo dục số học kiểu phương Tây từ sớm có xu hướng suy nghĩ dựa trên tỉ lệ hơn là chênh lệch, và cũng có giả thuyết cho rằng điều đó thích nghi hơn về mặt tiến hóa
      https://www.scientificamerican.com/article/a-natural-log/
    • Con người có khá nhiều phản ứng logarit, như độ sáng của ánh sáng, độ lớn âm thanh, quãng tám trong âm nhạc và cao độ tương đối

  • Như giáo sư đã chỉ ra, tỉ lệ giữa π và người song sinh tà ác của nó xấp xỉ 1.198, chính là trung bình số học–hình học của sqrt(2) và 1
    Phía hình học có căn bậc hai, mà căn bậc hai thì tốn kém. Vì vậy tôi nghĩ nếu trung bình số học hội tụ về trung bình hình học, thì theo bất đẳng thức trung bình số học–hình học–điều hòa, nó cũng phải hội tụ về trung bình điều hòa, và trung bình điều hòa thì không cần căn bậc hai đắt đỏ
    https://imgur.com/a/UkxkPzW
    Việc hội tụ của trung bình số học–hình học gần như tức thì, chỉ cần 2 bước, nhưng khá thú vị là để đạt được mức hội tụ dùng được cho hằng số Gauss bằng trung bình điều hòa thì cần khoảng 15 bước. Có thể loại bỏ toán tử đắt đỏ như căn bậc hai, nhưng đổi lại phải trả chi phí bằng số lần lặp

    • Giá trị c đã tính phụ thuộc vào việc tính giá trị b, nên đây không phải là đệ quy tránh căn bậc hai
      Chỉ là sau khi tính cùng một dãy trung bình số học–hình học, ta lấy một trung bình điều hòa có trọng số cụ thể trên dãy đó; và vì dãy ban đầu hội tụ nên cái này cũng hội tụ
      Nhân tiện, trung bình số học–điều hòa như dự định thực ra chỉ là trung bình hình học. Không phải trung bình số học–hình học, mà là trung bình hình học thuần túy: https://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-HarmonicMean.html

  • Các hằng số đáng chú ý khác và nơi chúng xuất hiện: hằng số Euler–Mascheroni xuất hiện trong tích phân và tổng liên quan đến chuỗi điều hòa và hàm gamma; hằng số Catalan trong một số chuỗi lượng giác và hàm Green trên lưới; hằng số Feigenbaum trong logistic map và hỗn loạn của hệ động lực; hằng số Khinchin trong các thương riêng của liên phân số đơn; hằng số Glaisher–Kinkelin trong khai triển tiệm cận của hàm Barnes G, các giới hạn tổ hợp và một số khai triển tích; hằng số Ramanujan trong phép nhân phức của đường cong elliptic; hằng số Omega xuất hiện trong Ωe^Ω=1, hàm Lambert W và x^x^x^...=2

    • Tôi không hiểu x^x^x^... = 2 nghĩa là gì. Nghiệm của nó chẳng phải là sqrt(2) sao?
    • Cần giải thích hằng số Ramanujan liên quan thế nào đến các phép toán trên đường cong elliptic

  • Rõ ràng chúng không phải là song sinh. Chỉ có thể nói π và ϖ là hai trong vô số anh em ϖₙ

  • Tại sao chỉ có 2? Vì sao 3 điểm thì không được? Có thể tìm thấy hình thú vị nào từ đường cong mà tích khoảng cách tới N điểm là hằng số không?
    Ở chiều cao hơn, một điểm vẫn cho ra mặt cầu; vậy với hai điểm thì có hình gì? Có gần giống hai giọt nước kép kiểu đồng hồ cát hơn không?

    • Có phép tổng quát hóa. Trước khi Twitter trở thành quán bar Quốc xã, đã có người đăng một thử thách tìm một chuỗi các số kiểu pi, mỗi số đi kèm bộ công thức riêng, và @duetosymmetry đã nhận lời rồi tạo ra các ϖₙ
    • Về 3 điểm, một điểm và hai điểm là các trường hợp đặc biệt. Trong các trường hợp này, nếu bỏ qua tịnh tiến và phóng to/thu nhỏ đồng đều thì chỉ có một cách sắp xếp
      Nhưng từ ba điểm trở đi thì có nhiều cách sắp xếp bằng số lớp đồng dạng của tam giác. Có thể lấy được một số cho mỗi lớp đồng dạng của từng tam giác, nhưng không nên kỳ vọng rằng cùng một hằng số sẽ xuất hiện trên mọi lớp đồng dạng

  • Trong câu “đường cong hình ∞ này được gọi là 'leminscate', còn ϖ được gọi là 'lemniscate constant'. Trong bài tiếp theo tôi sẽ cho xem leminiscate”, có vẻ hai trong ba cách viết là sai