Sự trùng hợp kỳ lạ hay mối liên hệ được dự đoán: Vì sao π² ≈ g

Sự trùng hợp bí ẩn

• Câu hỏi vì sao π² gần bằng g
• π là một số không thứ nguyên còn g là một đại lượng vật lý
• Hai giá trị này không hoàn toàn bằng nhau

Vấn đề không đơn giản

• Giá trị của g được biểu diễn theo đơn vị m/s²
• Nếu biểu diễn bằng đơn vị khác thì sự trùng hợp này sẽ biến mất
• Cần hiểu định nghĩa của mét và giây

Định nghĩa của mét

• Mét là quãng đường ánh sáng truyền trong chân không trong 1/299,792,458 giây
• Định nghĩa này không bao gồm π

Lịch sử của tiêu chuẩn

• Trước đây, người ta đo chiều dài dựa trên các bộ phận cơ thể người
• Khi nhu cầu tiêu chuẩn hóa xuất hiện, đã có đề xuất dùng các hằng số tự nhiên để định nghĩa

Giấc mơ tiêu chuẩn hóa và trọng lực

• Vào thế kỷ 17, Christiaan Huygens đã đề xuất định nghĩa mét bằng chiều dài của con lắc
• Vấn đề là chiều dài con lắc thay đổi theo vị trí trên Trái Đất

Phương trình đáng kinh ngạc

• π xuất hiện trong công thức tính chu kỳ của con lắc
• Nếu thay các tham số con lắc của Huygens vào, ta được π² = g

Cách mạng Pháp và sự thay đổi của mét

• Năm 1791, Viện Hàn lâm Khoa học Pháp đã thay đổi định nghĩa của mét
• Mét được định nghĩa là một phần bốn mươi triệu của kinh tuyến Paris

Mét thực sự

• Người ta đã đo thực tế kinh tuyến Paris để định nghĩa mét
• Do không tính đến độ dẹt của Trái Đất nên đã phát sinh một sai số nhỏ

Kết luận

• Chênh lệch giữa π² và g là khoảng 0.06
• Nếu định nghĩa của mét không bị thay đổi thì phương trình thanh nhã π² = g đã có thể đúng

# Tóm tắt của GN⁺

• Bài viết này khám phá mối quan hệ giữa π² và g, đồng thời giải thích bối cảnh lịch sử và các nguyên lý khoa học
• Nội dung đề cập đến sai số phát sinh khi định nghĩa của mét thay đổi nhiều lần
• Bài viết giúp hiểu rõ một mối liên hệ thú vị giữa toán học và vật lý
• Với chủ đề tương tự, bài viết gợi ý 'Lịch sử của các hằng số tự nhiên và đơn vị'

[GN⁺]

Ý kiến Hacker News

• Thú vị đấy, nhưng tôi muốn bắt bẻ chỗ này: “Nếu biểu diễn bằng đơn vị khác thì sự kỳ diệu biến mất ngay. Vậy nên đó không phải là ngẫu nhiên”
  Thông thường thì đây lại gần như là một tín hiệu mạnh của sự ngẫu nhiên. Nếu muốn tìm một heuristic để xem có phải ngẫu nhiên hay không, thì tiêu chí đúng phải là “đổi đơn vị mà vẫn giữ nguyên hay không”
  Tuy vậy, trong trường hợp này có vẻ đó là một ca đặc biệt mà heuristic ấy thất bại

  • Không hẳn vậy. Khi học thiên văn học, tôi được dạy rằng nếu quan sát thấy chu kỳ gần bằng 1 năm hoặc 1 ngày, thì thường đó không phải ngẫu nhiên mà là do chưa hiệu chỉnh đúng chuyển động quay quanh Mặt Trời hoặc tự quay của Trái Đất
  • Không đúng. Toàn bộ phương trình rốt cuộc quy về định nghĩa của mét, chính xác hơn là một trong các định nghĩa cũ của nó
  • Tôi ngạc nhiên là có nhiều người không đồng ý với phản biện này. Tôi cũng đã nghĩ chính xác như vậy
    Nếu π² bằng chính xác g, và ở các đơn vị khác thì “phép màu” biến mất, thì khi đó có thể nói “vậy nên đó không phải ngẫu nhiên” và kết luận rằng nó liên quan tới chính đơn vị đo
    Nhưng π² chỉ xấp xỉ g mà thôi, và ở các đơn vị khác thì phép màu biến mất, nên nếu chưa đọc bài đó có lẽ tôi sẽ xem đây là ngẫu nhiên
  • Đồng ý. Bất kể câu chuyện về sau phát triển thế nào, nhìn bề ngoài thì viết “vậy nên đó không phải ngẫu nhiên” ngay sau khi vừa cho thấy một sự trùng hợp bề ngoài là khá khó hiểu
  • Đồng ý. Tuy nhiên nếu bỏ chữ “vậy nên” đi thì không còn mâu thuẫn nữa. Có thể tác giả dùng nó không phải theo nghĩa “do đó”, mà chỉ như một từ nối trong diễn ngôn khá vô nghĩa

• Với tư cách là nhà vật lý, điều này hoàn toàn hợp lý. π = 3, π² = 10, và đó chính là g
  Tôi chẳng hiểu sao mọi người lại ngạc nhiên
  À, và tôi nhớ là 1 năm bằng π*10e9 giây thì phải

  • Với tư cách là dân khoa học máy tính, tôi cũng không thấy ngạc nhiên. Rốt cuộc chỉ có 0, 1, n là ba con số mà thôi
  • Với tư cách là nhà vật lý à? Khi học vật lý ở trường, mỗi khi giải bài thì đáp án luôn đi kèm cả một con số và đơn vị. π² là số thuần túy nên có thể là 10, nhưng g là một đại lượng vật lý là gia tốc nên tuyệt đối không thể chỉ là 10, mà phải là 10 theo một đơn vị nào đó
  • Tôi cứ tưởng mối liên hệ giữa π và g là vì con bò tăng tốc trong chân không có dạng hình cầu
  • π giây là một nanothế kỷ. Vì vậy 1 năm = π*10^7 giây
  • Với tư cách là kỹ sư cơ khí, tôi có thể xác nhận. e ≈ π ≈ 3

• Một “sự trùng hợp thú vị” khác là trong phép đổi từ dặm sang kilômét có hằng số 1.609344: kilometers = miles * 1.609344. Hãy gọi 1.609344 này là hằng số “km”
  Hóa ra km lại rất gần với tỷ lệ vàng (sqrt(5)+1)/2 = 1.618033989... Chênh lệch chỉ khoảng 0.5% thôi (100 * (gr/km - 1) = 0.54%)! Theo cách nói của tác giả bài gốc thì “nếu biểu diễn bằng đơn vị khác thì sự kỳ diệu biến mất ngay. Vậy nên đó không phải ngẫu nhiên...” ừm... khoan đã?
  Còn một cái nữa. π(3.141592654...) gần như bằng 4 / sqrt(gr)(3.144605511...), hãy gọi cái sau là “ap” của “almost pi”. Cái này nối π với tỷ lệ vàng, sai khác chỉ 0.096% (100 * (pi/ap - 1)). Chắc hẳn phải có ý nghĩa gì đó chứ?
  Cuối cùng là món tôi thích nhất: 111111111^2 = 12345678987654321. Điều này ... ừm ... khoan ...

  • Dặm liên hệ với feet, còn feet và trọng lực thì liên hệ với tỷ lệ vàng à? 6 feet có cảm giác giống 2π nhỉ?
  • 1 năm rất gần với π * 1e7 giây, sai số nhỏ hơn 0.5%
  • ln(5) ~ 1.6094379 còn gần hơn nhiều, sai khác chỉ khoảng 0.5% của một phần trăm
  • Đỉnh nhất là sum(1, 36)

• Nếu độ dài của mét được định nghĩa là độ dài của một con lắc giây, thì g đã chính xác bằng π². Từ phương trình con lắc:
  T = 2π√(L/g)
  Thế T = 2 s, L = 1 m vào thì được:
  2 s = 2π√(1 m / g)
  Giải theo g:
  g = π² m/s²
  Điều này đúng bất kể trọng lực mạnh đến đâu, chỉ là khi đó độ dài của mét sẽ khác đi
  [1]. Thực tế, năm 1790 Talleyrand đã đề xuất điều này. Hãy tưởng tượng một thế giới nơi điều đó thành sự thật

  • Bài viết có giải thích rằng Huygens đã đề xuất điều này vào thế kỷ 17, và cũng đưa ra đúng phép suy ra như vậy :)

• Có một điều liên quan mà tôi thích. Tại sao số Avogadro và hằng số Boltzmann lại như thể là nghịch đảo của nhau, N ~ 1/k? Câu này tự nó vô nghĩa vì đơn vị không khớp, nhưng trong hệ đơn vị MKS thì lại đúng
  Vì khi nhân chúng với nhau, ta được hằng số khí xấp xỉ bằng 1. Cả hai đều là những con số dùng để chuyển từ đơn vị vi mô sang đơn vị ở quy mô con người, nên trong hằng số khí biểu diễn chất khí mà chúng ta trải nghiệm ở quy mô con người, chúng triệt tiêu lẫn nhau

  • Điều thú vị là hằng số Avogadro thực ra bằng 1. Nó được định nghĩa là số Avogadro nhân với mol, bởi vì bản thân mol là một đại lượng không thứ nguyên bằng nghịch đảo của số Avogadro
  • Nhưng dù vậy chẳng phải vẫn là ngẫu nhiên sao? Nk=8.31 là áp suấtthể tích/nhiệt độ của 1 mol khí
    Miền nhiệt độ thì tương đối hẹp (100~1000), và nếu mét, giây, kilogram được định nghĩa khác đi thì cũng chẳng có lý do gì để miền P*V lại không lệch xa khỏi khoảng đó, chẳng hạn như 0.01~0.1

• Gần như không thể giải thích dở hơn thế này được nữa
  Bài này dành cho kiểu độc giả nào vậy. Với người không biết vật lý thì nó quá dài và rối. Việc giải thích tại sao một đơn vị lại phụ thuộc vào đơn vị khác, và vì sao khả năng tự tái tạo hệ mét lại quan trọng, còn quan trọng hơn nhiều so với một bản chép dài dòng về tiêu chuẩn độ dài
  Cũng còn nhiều câu hỏi chưa được trả lời. Giây được định nghĩa bằng gì? Chẳng phải thời gian được đo bằng con lắc sao? Vì sao định nghĩa theo thiên văn học lại đáng tin hơn?
  Với người biết vật lý thì có thể viết ngắn hơn và rõ hơn nhiều. Ví dụ: “Một định nghĩa phổ quát của mét cần một hằng số xuất hiện trong tự nhiên như trọng lực. Có thể đo quãng đường một vật rơi trong một khoảng thời gian cố định, nhưng dùng con lắc thì dễ hơn. Con lắc dao động đều với chu kỳ xấp xỉ 2πsqrt(chiều dài dây/trọng lực). Nếu đặt trọng lực là π² thì π phía sau căn bậc hai sẽ triệt tiêu, nên T = 2*sqrt(Length). Con lắc 1 mét sẽ mất 2 giây cho một vòng qua lại, và 1 giây cho một nhịp, nên rất tiện dụng. Đồng hồ khi đó đã khá chính xác, và giây có thể được tái tạo bằng quan sát thiên văn. Vì vậy người ta có thể mang theo một con lắc, điều chỉnh độ dài để nó lắc đúng mỗi giây một lần, rồi dùng sợi dây hoặc thanh đó để đo bất cứ thứ gì. Trông có vẻ hợp lý nên họ đã thay đổi hằng số trọng lực để nó thành π² (9.87 m/s²). Thu nhỏ mét thì mọi thứ khác sẽ dài ra. Sau này người ta phát hiện trọng lực thay đổi trên bề mặt Trái Đất, và rất khó tái tạo một con lắc toán học hoàn hảo, nên họ chuyển sang định nghĩa dựa trên thiên văn học từ kích thước Trái Đất. Cách đó cũng có vấn đề nên họ cất giữ một thanh vật lý dài 1 mét ở Paris. Từ vài năm trước, các nhà vật lý đã bắt đầu dùng hằng số Planck, khoảng cách nhỏ nhất có thể đo được.”

  • Mét hiện nay (từ 2019 trở đi) được định nghĩa là quãng đường ánh sáng đi được trong chân không trong N chu kỳ của đồng hồ nguyên tử[1]. Để tính đến các hiệu ứng của thuyết tương đối rộng, còn phải chỉ rõ đo ở đâu trên Trái Đất. Vì trọng lực ảnh hưởng đến tốc độ của đồng hồ
    Giờ đây tốc độ ánh sáng không còn là giá trị đo được mà là giá trị được định nghĩa. Điều này khá sâu sắc, vì hệ đơn vị của chúng ta giờ dựa trên tính hiệu lực của thuyết tương đối hẹp
    1 - https://en.wikipedia.org/wiki/Metre

• Một cú lật thú vị trong lịch sử định nghĩa mét, và là một bài viết rất hay
  Đọc nó khiến tôi nghĩ đến những nhà toán học như Ramanujan. Kiểu người đã dành khá nhiều thời gian chơi với các con số ngẫu nhiên và tìm ra những mối liên hệ. Dù vậy, trong trường hợp này có lẽ tác giả đã biết lịch sử ngay từ đầu
  Dù sao thì tôi cũng có cảm giác tấm bằng toán đã phần nào giết chết niềm vui khám phá các quan hệ giữa các con số. Hồi nhỏ tôi rất thích tạo ra và tìm thấy những mối liên hệ như những nét vẽ nguệch ngoạc kỳ lạ, nhưng đến lúc học xong bằng thì tôi lại muốn nghĩ về các mối liên hệ giữa những thành phần cơ bản trừu tượng hơn mà mình đã học
  Dù vậy, có vẻ vẫn có khá nhiều nhà toán học thành công làm việc theo cách này. Họ nhận ra một mối liên hệ kỳ lạ, rồi bổ sung lý thuyết để giải thích vì sao, và đôi khi điều đó dẫn đến những kết quả thực sự thú vị

• Nhân tiện, tôi muốn giới thiệu The Measure of All Things của Ken Alder, nói về nguồn gốc của hệ mét và hội nghị học thuật khoa học đầu tiên. Đọc cuốn này cuốn hút một cách bất ngờ
  https://www.simonandschuster.com/books/The-Measure-of-All-Th...

• Hoàn toàn không liên quan đến nội dung, mà là về chính website
  Khi vào trang thì nó bị vỡ hoàn toàn. Tìm hiểu một lúc tôi thấy nếu bật Stylus (tiện ích chèn CSS) với bất kỳ quy tắc nào, kể cả chỉ có quy tắc toàn cục, thì trang sẽ không dùng được. Vì nó được xây bằng framework React nên không chỉ hiển thị kỳ quặc mà còn hỏng hẳn
  Tôi đã gửi ticket và nhận được phản hồi rất nhanh từ nhà phát triển Stylus; có vẻ website này và mọi website được tạo bằng caseme.io đều sẽ ném lỗi và bị vỡ nếu phát hiện node được chèn vào trong ``
  [1] https://github.com/openstyles/stylus/issues/1803

  • Hiện tôi không dùng Stylus nữa nhưng với tôi nó vẫn bị vỡ. Trông như CSS không hề được áp dụng, hiện ra một ảnh logo lớn và văn bản với phông mặc định. Tôi không biết tiện ích nào gây ra, nhưng có lẽ là Dark Reader. Dù vậy vẫn đọc được nên cũng không phải vấn đề lớn

• Tôi rất nghi ngờ chiến lược “nếu cần mua thêm vải thì hãy gọi người cao nhất làng đến và bảo ông ta đo bằng cubit của mình” có thực sự hiệu quả với người bán vải hay không
  Có thể họ không có đơn vị đo chính thức, nhưng điều đó không có nghĩa là họ ngu ngốc

  • Nhìn vào shrinkflation trơ trẽn ngày nay thì bình luận này lại mang tính mỉa mai một cách thú vị