Chứng minh trực quan của a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)
(futilitycloset.com)- Đây là một ghi chú toán học ngắn dùng hình minh họa để kiểm chứng công thức hiệu hai bình phương
a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) - Điểm cốt lõi là đồng nhất thức phân tích nhân tử biến hiệu của hai biểu thức bình phương thành tích của tổng và hiệu
- Hình minh họa cho thấy sự tương ứng mà trong đó diện tích của
a^2 – b^2trở nên bằng(a + b)(a – b) - Như lời Sophie Germain, bài viết nhấn mạnh rằng đại số và hình học có thể biểu diễn cùng một quan hệ theo những cách khác nhau
- Đây không chỉ là một công thức để học thuộc bằng ký hiệu, mà còn là cách trực quan để kiểm chứng đồng nhất thức thông qua việc sắp xếp lại diện tích
Nhìn hiệu hai bình phương bằng hình minh họa
- Tư liệu trực quan chứa chứng minh trực quan cho
a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) - Đối tượng được chứng minh là đồng nhất thức biểu diễn hiệu hai bình phương thành tích của tổng và hiệu của hai hạng tử
Kết nối giữa đại số và hình học
- Sophie Germain nói rằng: “Người ta vẫn nói rằng đại số chỉ là hình học được viết ra, còn hình học chỉ là đại số được biểu diễn bằng sơ đồ”
- Trích dẫn này được gắn vào ngữ cảnh cho thấy công thức và sơ đồ có thể biểu diễn cùng một quan hệ theo những cách khác nhau
1 bình luận
Các ý kiến trên Hacker News
Nếu thích những thứ như thế này, có một cuốn sách tập hợp riêng các chứng minh trực quan https://www.amazon.com/Proofs-without-Words-Exercises-Classr..., và Wikipedia cũng có mục liên quan https://en.m.wikipedia.org/wiki/Proof_without_words
Vài năm trước, cùng với người hướng dẫn tiến sĩ và một đồng nghiệp, tôi đã vẽ lại nhiều chứng minh trong số đó bằng LaTeX https://www.antonellaperucca.net/didactics/proof-without-wor..., và chúng tôi định in ra làm poster treo trong sự kiện Pi Day, nhưng vì đại dịch nên sự kiện không diễn ra
Sẽ tốt hơn nếu sau khi mọi người tải tệp xuống rồi quên đã lấy từ đâu, họ vẫn có thể ghi công đúng nơi đúng chỗ
Tôi nhớ đến video này nói về lý do cần cẩn thận khi xem các chứng minh trực quan: https://www.youtube.com/watch?v=VYQVlVoWoPY
Trong đó còn có cả một “chứng minh” rằng π đúng bằng 4. Trường hợp này cũng có một giả định chưa được biện minh, như ai đó bên dưới đã chỉ ra, và ít nhất là giả định b < a
Đặc biệt, thầy/cô nói không được nghĩ rằng hình được vẽ đúng tỉ lệ; ngay cả khi một tứ giác trông như hình vuông, nếu đề không ghi đó là hình vuông hoặc không có đủ thông tin để kết luận như vậy, thì phải coi nó là một tứ giác chưa biết. Thầy/cô nói nếu làm vậy trong bài kiểm tra thì “sẽ trừ nhiều điểm hơn cả số điểm của câu hỏi”, và thực tế đã đưa ra một hình trông như hình diều, nhưng điều kiện góc lại chỉ có thể xảy ra với một hình bình hành chứ không phải hình diều, rồi trừ thêm điểm những học sinh nhầm nó là hình diều
Nếu đặt pi(n) là một hàm được định nghĩa trên N ∪ {inf}, cho giá trị mà “pi” có ở bước thứ n của quá trình, và định nghĩa pi(inf) là giá trị trong đường tròn thật, thì đơn giản nó trở thành một hàm có lim n→inf pi(n) ≠ pi(lim n→inf). Với mọi n hữu hạn thì bằng 4, còn tại vô hạn thì là 3.1415...
Cũng có thể diễn đạt lại để không dùng “vô hạn”, nhưng nghĩ như vậy là rõ nhất. Nó không khác mấy so với hàm delta Kronecker delta(t), bằng 1 tại t=0 và bằng 0 ở mọi nơi khác. lim t→0 delta(t) ≠ delta(lim t→0 t)
b < amà không mất tính tổng quátCó chứng minh trực quan cho định lý Pythagoras ở đây: https://www.dbai.tuwien.ac.at/proj/pf2html/proofs/pythagoras...
Định lý Pythagoras với tôi không trực quan ngay lập tức, nên cách này thấy “hữu ích” hơn nhiều. Chứng minh trong bài gốc có vẻ khá dư thừa, vì nó suy ra trực tiếp từ a(b+c)=ab+ac. Việc xây dựng trực giác về tính phân phối của phép nhân là rất quan trọng trong giáo dục toán học, nhưng tôi cảm thấy trực giác về lý do tại sao nó đúng được hình thành tốt hơn khi không dựa vào hình học
Cần cẩn thận. Nếu tin vào các “chứng minh” trực quan, bạn có thể sẽ tin cả những thứ như thế này: https://en.wikipedia.org/wiki/Missing_square_puzzle
Nếu ai đó vừa suy nghĩ về bài toán vừa vẽ hình, họ hẳn đã thể hiện rằng trong hình như vậy hai góc được định là bằng nhau, hoặc ngược lại làm rõ rằng một tam giác có độ dốc 8/3 còn tam giác kia là 5/2 nên độ dốc rõ ràng khác nhau
Một chứng minh trực quan tốt chỉ dùng đường và hình để nói đại số thật sự thay cho ký hiệu, và kết quả theo một nghĩa nào đó vẫn phải mang tính đại số. Ví dụ được liên kết hay chứng minh Pythagoras nổi tiếng cũng vậy. Nếu bạn lấy thước ra bắt đầu đo thì bạn đã lạc đường rồi. Mọi kết quả phải là đại số chứ không phải trực quan, nhưng diễn đạt đại số đó bằng hình vẽ thay vì chữ cái thì không sao
Với người xem, ban đầu có thể gây nhầm lẫn. Vì khó phân biệt sự khác nhau giữa 3/8 và 2/5, và ta giả định hai tam giác có cùng độ dốc. Nhưng chứng minh trực quan đó thực sự cho thấy một cách trung thực rằng chúng không bằng nhau
Cách tương tự cũng hữu ích cho tính nhẩm liên quan đến bình phương. Ví dụ 1005² bằng 1.010.025, vì chỉ cần lấy 1000² cộng thêm hai khối 5×1000 và một khối nhỏ 5²
Ngược lại, 995² bằng 990.025, vì lấy 1000² trừ đi hai khối 5×1000 tương tự rồi cộng thêm 5²
Là người yếu hình học nhưng giỏi đại số, điều này thật sự đáng kinh ngạc. Mình thậm chí còn chưa bắt đầu hiểu được hình này cho thấy công thức đúng như thế nào, kể cả với những ô cụ thể này
Nhưng mình cảm nhận rất rõ mối liên hệ của phép nhân khiến đại số đúng. Không phải nói ví dụ này dở hay hay, mà là thấy kinh ngạc vì con người suy nghĩ khác nhau đến mức nào
Hình vuông nhỏ bên trong có chiều ngang và chiều dọc là b, nên diện tích là b². Về bản chất là loại bỏ hình vuông nhỏ khỏi hình vuông lớn, nên được a² - b². Ở hình cuối cùng bên phải, một cạnh có độ dài (a-b), cạnh phía trên là (a+b), nên diện tích là (a-b)(a+b). Vì vậy a² - b² = (a + b)(a - b), và các bước ở giữa cho thấy quá trình di chuyển diện tích một cách trực quan
Cái đó có vẻ chỉ cho thấy tồn tại một số a và b nào đó khiến đẳng thức đúng. Nó không cho thấy đẳng thức đúng với mọi a và b
Futility Closet từng có một podcast hấp dẫn và thú vị. Nhớ nó thật. Dù vậy vẫn mừng là họ còn viết blog
Mình thích xem vài video YouTube của Mathologer, trong đó thường có các chứng minh trực quan rất hay
https://www.youtube.com/watch?v=DjI1NICfjOk (Fermat về tổng của hai bình phương)
https://www.youtube.com/watch?v=rr1fzjvqztY (Định lý Ptolemy)
https://www.youtube.com/watch?v=yk6wbvNPZW0 (số vô tỉ)
https://www.matematicasvisuales.com/english/index.html cũng đáng xem
Có nhiều hình minh họa trực quan tuyệt vời, trong đó có cả chứng minh định lý Pythagoras mà mình thích nhất
https://www.matematicasvisuales.com/english/html/geometry/tr...