Loạt bài blog về giải tích của 3Blue1Brown

Bản chất của giải tích

• Cung cấp cái nhìn tổng quan về giải tích là gì
• Giải thích theo cách khiến học sinh cảm thấy như mình có thể tự khám phá ra
• Dùng việc khám phá lại công thức diện tích hình tròn làm ví dụ trung tâm, đồng thời nhấn mạnh rằng đây là một ví dụ của định lý cơ bản của giải tích

Nghịch lý của đạo hàm

• Giới thiệu đạo hàm là gì
• Giải thích cách đạo hàm hình thức hóa những ý tưởng có vẻ mâu thuẫn

Quy tắc lũy thừa qua hình học

• Giới thiệu trực quan và bằng hình học về đạo hàm của các hạng tử đa thức
• Đặt mục tiêu để những công thức này không còn là thứ phải học thuộc, mà khiến học sinh cảm thấy mình có thể tự tìm ra

Đạo hàm của hàm lượng giác qua hình học

• Giới thiệu trực quan và bằng hình học về đạo hàm của các hàm lượng giác

Hình dung quy tắc dây chuyền và quy tắc nhân

• Trong giải tích, quy tắc dây chuyền và quy tắc nhân có thể tạo cảm giác như bị rút ra từ trên không
• Khám phá cách suy nghĩ trực quan về chúng

Sự đặc biệt của số Euler e

• Đạo hàm của a^x là gì?
• Vì sao e^x lại là đạo hàm của chính nó?
• Giới thiệu cách tư duy về quy tắc vi phân của hàm mũ

Vi phân ẩn, ở đây thực sự đang diễn ra điều gì?

• Giải thích cách suy nghĩ về vi phân ẩn theo góc nhìn của các hàm có nhiều đầu vào và những thay đổi rất nhỏ của các đầu vào đó

Giới hạn và định nghĩa của đạo hàm

• Giới hạn là gì và được định nghĩa như thế nào
• Giải thích cách giới hạn được dùng để định nghĩa đạo hàm

Định nghĩa giới hạn (ε, δ) "epsilon delta"

• Giải thích cách "epsilon delta" giúp hình thức hóa ý nghĩa của việc một giá trị tiến gần tới một giá trị khác

Quy tắc L'Hôpital

• Giới thiệu quy tắc L'Hôpital là gì và nó giúp ích thế nào trong việc đánh giá giới hạn

Tích phân và định lý cơ bản của giải tích

• Tích phân là gì và vì sao nó được tính như phép ngược của vi phân
• Giải thích định lý cơ bản của giải tích là gì

Mối quan hệ giữa diện tích và độ dốc

• Đạo hàm nói về độ dốc, còn tích phân nói về diện tích
• Giải thích vì sao hai ý tưởng này trông hoàn toàn khác nhau nhưng lại có quan hệ hàm ngược

Đạo hàm bậc cao

• Đạo hàm bậc hai, bậc ba là gì
• Giải thích nên hiểu chúng như thế nào

Chuỗi Taylor

• Chuỗi Taylor rất hữu ích trong toán học và kỹ thuật, nhưng nó là gì
• Giới thiệu vì sao chuỗi Taylor hữu ích và cách hiểu công thức của nó

Góc nhìn hình học về chuỗi Taylor

• Giới thiệu một góc nhìn khác về chuỗi Taylor có liên hệ với định lý cơ bản của giải tích

Một cách khác để trực quan hóa đạo hàm

• Cách trực quan hóa đạo hàm có thể khái quát tốt hơn sang các chủ đề vượt ra ngoài giải tích
• Xem hàm như một phép biến đổi, và giải thích cách đạo hàm đo mức độ một vùng nhất định bị kéo giãn hoặc nén lại

Ý kiến của GN⁺:

• Bài viết này là tài liệu học tập tập trung vào việc hiểu trực quan các khái niệm cốt lõi của giải tích.
• Điều quan trọng là giải thích các khái niệm toán học phức tạp như đạo hàm, tích phân và giới hạn theo cách trực quan để học sinh có thể tự mình khám phá.
• Đặc biệt, tính chất độc đáo của số Euler e và góc nhìn hình học về chuỗi Taylor có thể là những chủ đề rất thú vị đối với học sinh đang học toán.

[GN⁺]

Các ý kiến trên Hacker News

• Nếu bạn tò mò về mã được dùng cho các hoạt ảnh, kho lưu trữ nằm ở đây: https://github.com/3b1b/videos
  Khá ấn tượng, và mỗi video đều được đầu tư rất nhiều công sức
  Một kênh toán học YouTube khác mà tôi thích là eigenchris; loạt bài về giải tích tensor của kênh này thuộc hàng huyền thoại: https://www.youtube.com/playlist?list=PLJHszsWbB6hpk5h8lSfBk...
  Trái ngược hoàn toàn với 3b1b, eigenchris làm toàn bộ video bằng PowerPoint, nghĩ đến cũng thấy buồn cười

  • Một giảng viên toán tuyệt vời khác trên YouTube là Eddie Woo. Đó là các bản ghi hình lớp toán trung học, nhưng khả năng lôi cuốn cả học sinh trong lớp lẫn người xem của anh ấy thật sự rất tốt
  • 3b1b dùng một thư viện Python để tạo những video như vậy
    https://github.com/3b1b/manim
    Với tư cách một nhà giáo dục và người truyền đạt toán học, một trong những video tôi đặc biệt thích là video về nhóm Quái vật
    https://www.youtube.com/watch?v=mH0oCDa74tE
    Nhân nói về PowerPoint, video của Matt Parker dùng Excel theo cách không nên dùng cũng đáng xem
    https://www.youtube.com/watch?v=UBX2QQHlQ_I
  • PowerPoint là một công cụ khá ổn để tạo hoạt ảnh nhẹ
    Nếu biết tận dụng các tính năng như chuyển cảnh morph, bạn có thể tạo ra những hoạt ảnh trông khá thuyết phục hoặc chuyên nghiệp để giải thích khái niệm
    Tôi cũng từng dùng PowerPoint để làm wireframe cho ứng dụng web, ý tưởng thiết kế, logo và đồ họa web, biểu tượng, mẫu tô lặp, các đồ họa vector tùy ý, v.v.
    Tôi cho rằng điểm mạnh của nó là công cụ này rất dễ tiếp cận và phổ biến. Ngay cả khi không có máy cài cùng công cụ thiết kế hoặc không có quyền quản trị để cài đặt, sau này vẫn có thể dễ dàng chỉnh sửa sản phẩm

• Điểm quan trọng nhất của những video này là chúng cố gắng giải thích chủ đề từ góc nhìn tư duy theo nguyên lý đầu tiên
  Nếu có ai đó giải thích đại số tuyến tính như trên kênh YouTube của anh ấy, có lẽ tôi đã thích thú hơn nhiều và tiếp thu tốt hơn so với khi học trên lớp
  Các giáo sư cũng giải thích khá ổn về đại số tuyến tính và tính hữu dụng của nó trong nhiều lĩnh vực, nhưng họ không thật sự giải thích được vì sao việc suy nghĩ về các chủ đề đó từ góc nhìn đại số tuyến tính lại là tự nhiên
  Liên kết cho những ai quan tâm: https://www.3blue1brown.com/topics/linear-algebra

  • Thật đáng kinh ngạc khi ngày nay sinh viên có nhiều tài nguyên tuyệt vời như vậy để học các chủ đề phức tạp. Tôi cũng chưa già đến thế, mới cuối tuổi 30, nhưng khi tôi còn đi học thì tài nguyên thực chất gần như chỉ có sách giáo khoa
    Cũng có các blog toán học, nhưng chủ yếu tập trung vào toán ở trình độ cao hơn

• Grant tạo ra nội dung thật sự xuất sắc
  Nhờ phần trực quan hóa biến đổi Fourier của anh ấy[1], tôi đã hiểu được không chỉ một trong những thuật toán được dùng nhiều nhất trong điện toán làm gì, mà còn hiểu nó diễn ra như thế nào
  [1] https://m.youtube.com/watch?v=spUNpyF58BY

  • Nói một cách đơn giản, tôi từng hình dung nó như đặt một dải đèn LED thẳng, liên tưởng đến con mắt Cylon trong Battlestar Galactica, rồi đóng một chiếc đinh vào giữa và quay vòng vòng
    Tùy vào việc bạn quay nhanh đến đâu, hình dạng khối sáng tạo ra sẽ khác nhau
    Nếu là một dao động đơn giản và quay đúng tốc độ thì nó lại thành một đường thẳng, còn hỗn loạn thuần túy thì luôn tạo thành một khối tròn, đại loại vậy

• Là người học qua chữ viết hiệu quả hơn nhiều so với xem video, tôi thật sự biết ơn những nhà sáng tạo còn làm riêng và công bố cả phiên bản dạng bài viết

• Dwarkesh Patel từng phỏng vấn anh ấy, tôi khuyên nên xem
  https://www.youtube.com/watch?v=oDyviiN4NVo

• Nếu bổ sung thêm một gợi ý về toán học, các kênh toán của Michael Penn trên YouTube rất hay. Chúng đang giúp tôi học các chủ đề nâng cao hơn

  • Tôi đã xem khá nhiều video của Penn và nhìn chung đều thích, nhưng đối tượng rõ ràng có vẻ gần với sinh viên chuyên ngành toán hơn. Tôi có bằng cử nhân và thạc sĩ kỹ thuật điện, cũng cần kha khá toán cao cấp, nhưng vẫn chưa đến mức hiểu trọn vẹn những gì ông ấy trình bày
    Điều đó không có nghĩa là nó dở, nhưng những người không học toán ở bậc đại học thường rất dễ bị choáng ngợp

• Một kênh YouTube toán học tuyệt vời khác là Mathologer. Kênh này có sự hài hước, đồ họa tốt và giải thích rõ ràng, xử lý tốt cả những chủ đề khó
  Ví dụ tiêu biểu ở đây
  https://www.youtube.com/watch?v=LFwSIdLSosI

• Cách anh ấy giải thích chủ đề vượt xa bài giảng của một số giáo sư, và nếu được cung cấp như tài liệu học tập thì có thể giúp ích cho rất nhiều sinh viên. Miễn là giới học thuật đừng quá thiếu tin tưởng những người bên ngoài họ

  • Nhưng chẳng phải anh ấy cũng không hẳn là người ngoài giới học thuật sao? 3b1b không phải có bằng tiến sĩ à? Ít nhất là năm ngoái, trong lớp toán bậc đại học của tôi, chúng tôi đã xem vài video của 3b1b

• Con trai tôi đang học toán A-level, và những video này đã giúp nó có được góc nhìn khác cũng như hiểu sâu hơn

• 3Blue1Brown làm những video xuất sắc. Họ rất giỏi trong việc giới thiệu các chủ đề khó rồi làm cho từng bước trở nên rõ ràng và dễ tiếp cận