- Hình fractal (“wallflower”) bắt nguồn từ những nét vẽ nguệch ngoạc của tác giả khi còn học cấp hai là một cấu trúc độc đáo được tạo ra theo cách khác với thông thường
- Trong quá trình tạo fractal này, tác giả khám phá cách có thể mô tả các đặc trưng của nó bằng toán học thông qua L-system và mã hóa vị trí dựa trên ma trận
- Khi sử dụng các ma trận cụ thể có định thức ±5, có thể giải thích hiệu quả sự thay đổi kích thước và phép quay của hình, cũng như cách nó được lặp lại trong không gian
- Tác giả cũng thử mở rộng sang 3 chiều và 4 chiều, và ở các không gian nhiều chiều hơn, việc thiết kế ma trận có xét đến tính đối xứng và hiệu quả đóng gói là rất quan trọng
- Tác giả phát hiện fractal, đại số tuyến tính và các hệ số có liên hệ với nhau, và chính quá trình khám phá này cho thấy giá trị của việc giải quyết vấn đề một cách sáng tạo
Mở đầu: bí mật của fractal treo trên tường
- Khi còn học cấp hai, tác giả phát hiện một kiểu vẽ nguệch ngoạc trên giấy ô vuông bằng cách sao chép và xoay các hình vuông để lấp đầy mặt giấy (sau này được đặt tên là “wallflower”), và đã quan tâm đến nó trong suốt nhiều năm
- Tác giả cho rằng cấu trúc này rất đặc biệt và có ý nghĩa toán học sâu sắc, nhưng khi đó chưa thể phân tích được
- Về sau, khi kiến thức toán học đã tăng lên, tác giả bắt đầu nghiêm túc khám phá bài toán mà chính bản thân trong quá khứ đã để lại
Cách vẽ fractal
- Bắt đầu từ một hình vuông
- Sao chép hình hiện tại và đặt mỗi bản sao lần lượt sang trái, phải, trên và dưới
- Sau đó xoay nhẹ trạng thái hiện có khoảng 27 độ theo chiều kim đồng hồ, rồi lại sao chép và đặt nó theo bốn hướng
- Lặp lại bước 2 và 3 cho đến khi lấp đầy tờ giấy
- Làm theo cách này sẽ tạo ra một fractal lan tỏa như bông hoa
- Bản thân quá trình này cũng có thể phủ kín toàn bộ mặt phẳng nếu được lặp vô hạn, tương tự như Gosper Curve
Tạo đường biên fractal bằng L-system
- Cũng có thể áp dụng cách dùng L-system (quy tắc thay thế chuỗi): chỉ dùng các phép quay 90 độ sang phải
R hoặc sang trái L
- Quy tắc ban đầu: bắt đầu từ
RRRR, phép thay thế là R→RLR, L→RLL
- Đường biên tạo bằng L-system và đường biên theo cách làm thời cấp hai bắt đầu có khác biệt lớn từ hạng thứ 4
- Cách drag and drop có cách sắp các bản sao khác nhau
- Cách L-system có đặc trưng là sao chép theo hướng chéo
Đặc điểm của wallflower không có hình minh họa
- Wallflower được tạo bằng cách drag and drop hầu như không xuất hiện phổ biến ở bất kỳ đâu trên Internet
- Nó có đặc tính hướng bị đảo lặp đi lặp lại theo quy tắc thay thế
L→RLR, R→LLR
- Có mối liên hệ giữa góc sắp xếp của các bản sao (“27 độ”), cấu trúc ma trận và quy tắc thay thế của L-system
Cách đánh số (mã hóa vị trí của fractal)
- Giống như hàm ghép cặp Cantor, có thể gán số cho từng ô vuông bên trong fractal để nắm bắt không gian một cách hiệu quả
- Ở mỗi vòng lặp, cấu trúc này liên hệ chặt chẽ với bội số của 5, lũy thừa của 5, v.v., và tác giả áp dụng hệ cơ số 5 để mã hóa hiệu quả
- Quan sát mẫu sao chép bên trái và bên phải cho thấy mối liên hệ giữa dịch chuyển hình học và phép cộng, chẳng hạn như “cộng thêm 200”
Ý nghĩa không gian của ma trận và fractal
- Bằng cách biểu diễn vector vị trí bằng phép nhân ma trận, lũy thừa của ma trận được áp dụng cho từng chữ số (giá trị theo hàng)
- Ví dụ với ma trận
M=[−2 1; 1 2], khi det(M)=-5 thì hướng bị đảo lặp đi lặp lại
- Nếu tạo bằng ma trận
M′=[2 1; -1 2], det(M′)=5, sẽ thu được cấu trúc tương tự các fractal kiểu Gosper thông thường
- Trị tuyệt đối của định thức khớp chính xác với tốc độ tăng kích thước của fractal và hiệu quả lấp đầy không gian
- Nếu định thức quá lớn thì sẽ có khoảng trống trong không gian, còn quá nhỏ thì các phần tử va chạm nhau
- Các vector cột của mỗi ma trận nhất thiết phải là số nguyên thì mới khớp chính xác với toàn bộ lưới tọa độ
- Góc của vector
|1,2| là arctan(2/1) ≈ 63.43 độ → đây chính là lý do nó lệch “27 độ” so với trục
Khám phá cấu trúc phép cộng thông qua fractal
- Không thể chỉ dự đoán mọi vị trí bằng cách cộng vector đơn giản (ví dụ,
→2+→2≠→4)
- Các giá trị từ 1 đến 4 được diễn giải thành các hướng (trên, phải, dưới, trái), và xuất hiện hiện tượng “nhớ” theo kiểu hai chiều
- Từ đó có thể liên hệ với generalized balanced ternary và suy ra các hệ số 2D/đa chiều cùng những cấu trúc không có điểm cố định
Khả năng tổng quát hóa lên nhiều chiều hơn (3D, 4D)
Thử mở rộng sang 3 chiều
- Trong ma trận
3x3, mỗi vector cột phải là số nguyên, có khoảng cách Hamming bằng 3, và định thức bằng ±7
- Khi trực quan hóa thực tế, một số vùng nhất định vẫn bị bỏ trống, nên không thể sắp xếp hoàn hảo
- Có thể bù một phần bằng các bản sao bổ sung (dạng “dấu cộng” ở vị trí mới), nhưng rất khó đạt được đối xứng hoàn toàn
Mở rộng sang 4 chiều
- Trong ma trận
4x4, mỗi vector cột phải là số nguyên và thỏa điều kiện ba chữ số ±1 cùng một chữ số 0
- Trong không gian 4 chiều, có thể tạo ra một cấu trúc fractal mới gọi là “orthotopeflower”
- Có thể trực quan hóa hiệu quả toàn bộ cấu trúc trên mặt phẳng bằng một lưới
7x7 của các lưới 7x7
Giới hạn của việc tổng quát hóa đa chiều
- Tổng hợp các ràng buộc về ma trận, điều kiện tăng kích thước và vector nguyên cho thấy cấu trúc này chỉ hợp lý ở các chiều 1, 2 và 4
- Ở các chiều cao hơn, không thể dựng ma trận nguyên thỏa mãn tất cả các điều kiện
Liên hệ với các hệ số khác
- Tương tự quater-imaginary base (hệ số lấy
2i làm cơ số), có thể mở rộng hệ số dựa trên ma trận này sang cả số phức và quaternion
- Tác giả đã thử ý tưởng mã hóa quaternion bằng ma trận 4D (cơ sở:
i+j+k), nhưng để việc kiểm chứng hoàn toàn chặt chẽ cho bản thân trong tương lai xử lý tiếp
Kết luận
- Hành trình dài khám phá fractal, hệ số và đại số tuyến tính của một cá nhân đã dẫn tới những phát hiện toán học đẹp đẽ
- Những nét vẽ nguệch ngoạc tưởng như nhỏ nhặt cùng sự tò mò có thể thực sự trở thành khởi điểm để làm sáng tỏ các nguyên lý sâu sắc
- Đây là một ví dụ cho thấy tính ngẫu nhiên, thử sai và sự bền bỉ trong quá trình khám phá có thể dẫn tới các ý tưởng mới trong toán học và máy tính
- Tác giả cũng nhấn mạnh thái độ chấp nhận rằng những hình ảnh trực quan chưa hoàn hảo hay sai sót trong quy tắc cũng là một phần của quá trình khám phá
1 bình luận
Ý kiến trên Hacker News
Một tác phẩm tuyệt vời và trải nghiệm đọc rất thú vị
Cảm giác đây là một bài viết cực kỳ sâu sắc và cẩn trọng, đặc biệt rất thích phần trực quan hóa 3D, đồng thời nhớ lại một dự án vài năm trước dùng recursive decimation để tạo ra hiệu ứng tương tự fractal từ bất kỳ hình ảnh nào, có thể tự thử tại liên kết https://jsfiddle.net/nicobrenner/a1t869qf/, nhấn Blursort 2x2 vài lần rồi bấm Animate để tạo hoạt ảnh, cũng hỗ trợ sao chép/dán hình ảnh, chạy hoàn toàn trong trình duyệt không cần backend riêng, và chia sẻ thêm là không khuyến nghị trên di động
Tôi đã mong một bài đọc nhẹ nhàng nhưng hóa ra bài khá dài, nên đang làm việc chỉ kịp lướt nhanh một chút, dự định quay lại sau để thử nhiều thứ hơn, và thật sự thấy đây là một bài viết được làm rất tốt
Ý kiến rằng bài viết được chắp bút rất hay, đồng thời muốn tác giả chia sẻ đã nghĩ ra hệ thống đánh số "middle out" như thế nào, vì khi tự giải các bài toán thì những ý tưởng đầy cảm hứng như vậy hiếm khi tự nảy ra
Đang bị cuốn hút thì chợt nghĩ ra một L-system để vẽ fractal "wallflower", có thể xem qua liên kết https://onlinetools.com/math/l-system-generator?draw=AB&skip..., nhưng nghĩ lại thì có lẽ nó lại tạo ra một fractal khác
Khen đây là một bài viết tuyệt vời, đồng thời mong có ảnh chụp fractal được lắp trực tiếp trên tường, nói rằng liên kết video Knuth rất hay nhưng ngạc nhiên là đến giờ mới biết đến nó
Nêu thắc mắc liệu phương pháp tương tự có thể áp dụng để tạo các mẫu dithering có thể tinh chỉnh mức độ chi tiết hay không
Cảm nhận đây là một bài viết hay, đồng thời gợi ý thêm rằng Heighway dragon nổi tiếng từ Jurassic Park cũng khá ấn tượng, kèm liên kết https://en.m.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve
Nhắc rằng nó trông hơi giống cánh quạt
Cảm nhận rằng đây là một trải nghiệm thú vị