Đa tạp là gì?

• Đa tạp (manifold) là khái niệm toán học về không gian trông cục bộ như một mặt phẳng nhưng có cấu trúc phức tạp hơn trên toàn cục
• Khái niệm này do Bernhard Riemann đưa ra vào thế kỷ 19, mở rộng không gian thành đối tượng nghiên cứu độc lập thay vì chỉ là bối cảnh vật lý
• Bằng cách tận dụng tính chất trông giống không gian Euclid tại mỗi điểm, các nhà toán học tính toán diện tích, thể tích, chuyển động bằng những công cụ giải tích truyền thống
• Thông qua biểu đồ tọa độ (chart) và atlas, họ chia không gian phức tạp thành nhiều mảnh để phân tích, rồi kết hợp kết quả nhằm hiểu cấu trúc tổng thể
• Ngày nay, đa tạp đã trở thành ngôn ngữ toán học nền tảng giữ vai trò cốt lõi trong thuyết tương đối rộng, tô pô học, phân tích dữ liệu, vật lý và nhiều lĩnh vực khác

---

Sự hình thành của ý tưởng

• Từ thời cổ đại, hình học là ngành nghiên cứu các đường thẳng và mặt phẳng của không gian Euclid
  • Trong không gian này, khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm là đường thẳng, và tổng các góc trong của tam giác là 180 độ
• Đầu thế kỷ 19, các nhà toán học bắt đầu khám phá không gian cong, phát hiện những hiện tượng như các đường song song có thể gặp nhau hoặc tổng góc trong tam giác thay đổi
• Riemann mở rộng nghiên cứu về mặt cong của Gauss và đưa ra một lý thuyết tổng quát cho phép định nghĩa hình học trong không gian với số chiều bất kỳ
  • Ông công bố khái niệm này trong bài giảng tại Đại học Göttingen năm 1854, và về sau nó trở thành nền tảng của tô pô học hiện đại và thuyết tương đối
• Ban đầu ý tưởng này bị xem nhẹ vì quá trừu tượng, nhưng qua các công trình của Poincaré và Einstein, đến giữa thế kỷ 20 nó đã trở thành một khái niệm chuẩn của toán học

Định nghĩa và cấu trúc của đa tạp

• “Manifold” bắt nguồn từ từ tiếng Đức Mannigfaltigkeit (tính đa dạng) mà Riemann sử dụng
• Đa tạp là không gian trông cục bộ như không gian Euclid; ví dụ, đường tròn là một đa tạp 1 chiều
  • Một con kiến trên đường tròn sẽ không nhận ra rằng nó đang ở trên một đường cong
  • Ngược lại, đường cong hình số 8 không phải là đa tạp vì tại điểm giao cắt nó không trông giống một đường thẳng
• Bề mặt Trái Đất là đa tạp 2 chiều, nhưng đỉnh của hình nón đôi (double cone) thì không phải
• Cốt lõi của đa tạp là tập trung vào các tính chất nội tại
  • Thay vì các tính chất thay đổi theo số chiều của không gian hay hình dạng bên ngoài, ta phân tích bằng xấp xỉ Euclid tại từng điểm
• Để làm điều đó, các nhà toán học chia không gian thành nhiều mảnh (patch) và biểu diễn mỗi mảnh bằng một hệ tọa độ (chart)
  • Họ định nghĩa quy tắc biến đổi tọa độ trên các vùng chồng lấn, và toàn bộ tập hợp này được gọi là atlas
• Nhờ atlas, có thể chia một không gian phức tạp thành những mảnh Euclid nhỏ để tính toán, rồi ghép các kết quả lại nhằm nắm được cấu trúc tổng thể
• Cách tiếp cận này ngày nay được sử dụng như một chuẩn mực trong toán học và vật lý nói chung

Ứng dụng của đa tạp

• Trong thuyết tương đối rộng, không-thời gian là một đa tạp 4 chiều, và trọng lực được biểu diễn bằng độ cong của nó
• Không gian 3 chiều mà chúng ta nhận biết cũng là một đa tạp; cục bộ nó trông như mặt phẳng, nhưng hình dạng tổng thể vẫn chưa được xác định hoàn toàn
• Các nhà vật lý chuyển bài toán sang ngôn ngữ đa tạp để tận dụng các tính chất hình học
  • Ví dụ: nếu biểu diễn mọi trạng thái có thể của con lắc kép (double pendulum) bằng hai góc, thì không gian trạng thái của nó trở thành một đa tạp hình xuyến (torus)
  • Chuyển động của con lắc được biểu diễn như các quỹ đạo trên hình xuyến này, nhờ đó có thể phân tích các chuyển động phức tạp theo cách hình học
• Tương tự, tập nghiệm của các phương trình đại số phức tạp hay dữ liệu nhiều chiều (ví dụ: hoạt động của các nơ-ron trong não) cũng có thể được diễn giải như các đa tạp để hiểu cấu trúc của chúng
• Đa tạp là ngôn ngữ nền tảng của toàn bộ toán học và khoa học, được xem như một công cụ “phổ quát chẳng khác gì việc dùng các con số”

[GN⁺]

Ý kiến trên Hacker News

• Tôi lần đầu học về manifold qua Introduction to Smooth Manifolds của John M. Lee
  Cuốn sách khá cô đọng nhưng được tổ chức rất đẹp, dẫn dắt logic từ tô pô cơ bản đến ánh xạ trơn và không gian tiếp xúc
  Đòi hỏi sự tập trung, nhưng từng định nghĩa đều góp phần làm lộ ra bản chất của hình học. Rất đáng khuyên đọc
  • Tôi thật sự nghĩ đây là cuốn sách hay nhất. Tuy vậy nếu muốn một cách tiếp cận nhẹ nhàng hơn thì tôi khuyên đọc sách của Loring Tu
    Topological Manifolds của Lee cũng tốt, còn bản mới nhất của Riemannian Manifolds thì nên chọn lọc những phần cần thiết để đọc
  • Nói thật thì tôi không hiểu vì sao sách của John M. Lee lại được đánh giá cao đến vậy
    Nó không tệ, nhưng tôi thấy còn thiếu về độ chặt chẽ. Thay vào đó, Manifolds and Differential Geometry của Jeffrey M. Lee tốt hơn nhiều
• Bài viết này nói về lịch sử và tầm quan trọng của manifold rất hữu ích
  Không chỉ là định nghĩa đơn thuần, nó còn giải thích thú vị về cách các khái niệm toán học đã phát triển
  • Trang này có RSS feed, nhưng thẻ header được cấu hình sai nên khó tìm
    Feed thật là https://www.quantamagazine.org/feed/
  • Cá nhân tôi thấy bài đó không hẳn xuất sắc đến vậy
    Ví dụ, nó mô tả toàn bộ không gian trạng thái có thể có của con lắc kép (double pendulum) như một manifold, nhưng không nói rõ vì sao nhất thiết phải nhìn nó như manifold
    Ngoài ra phần giải thích về khái niệm atlas cũng còn thiếu. Ngay cả mặt cầu đơn giản cũng không thể phủ bằng một mặt phẳng duy nhất, nên phải dùng nhiều hệ tọa độ, và việc xử lý các phần chồng lấn mới là mấu chốt
    Nhân tiện, không-thời gian trong thuyết tương đối là không gian Minkowski chứ không phải Riemannian
  • Tôi ngạc nhiên là nhiều người không biết đến Quanta Magazine
    Theo tôi đây là một trong những cơ quan báo chí khoa học chất lượng nhất hiện nay.
    Nghiêm túc, không câu click, và sự kết hợp giữa sơ đồ kỹ thuật và minh họa nghệ thuật rất tuyệt vời
    Podcast cũng ổn, nhưng sẽ tốt hơn nếu có phiên bản đọc toàn bộ các bài viết
    Hơn nữa còn hoàn toàn không có paywall, popup cookie hay kích động chính trị
  • Tôi không phải nhà toán học, và trước giờ chỉ quen manifold như một bộ phận của động cơ
    Nhờ bài viết và hình minh họa, tôi đã hiểu khái niệm này hơn rất nhiều
• Khi người ta nói trong không gian biểu diễn của mạng nơ-ron rằng “dữ liệu nằm trên một manifold chiều thấp”, tôi tự hỏi liệu điều đó có cùng nghĩa với manifold trong định nghĩa toán học hay không
  Hay đó chỉ là cách nói ẩn dụ về một không gian con nội tại
  • Điều này được gọi là giả thuyết manifold (manifold hypothesis)
    Giả định rằng phần lớn dữ liệu thực sự nằm trên một manifold là hợp lý
    Ví dụ như chữ số viết tay ‘6’, dù bị biến dạng trơn tru thì vẫn được nhận ra là ‘6’
    Nhưng nếu dùng hàm kích hoạt ReLU thì tính trơn bị phá vỡ, nên không gian biểu diễn của mạng nơ-ron không phải là manifold thật sự
    Ngược lại, nếu dùng các hàm kích hoạt trơn như Swish thì có thể giữ được cấu trúc đó
  • Có một lĩnh vực gọi là Information Geometry
    Có những nghiên cứu thú vị áp dụng phân tích hình học vào quá trình huấn luyện mạng nơ-ron
    Người ta nói đã phát hiện những hiện tượng tương tự chuyển pha (phase transition) trong lúc huấn luyện
    Information Geometry of Evolution of Neural Network Parameters While Training
  • Trong thực tế có thể xem đó là manifold + nhiễu
    Chẳng hạn dữ liệu kiểu y=sin(x)+noise có thể được coi là một manifold 1 chiều
    Nhưng vì lời nguyền chiều không gian, tôi hoài nghi việc định nghĩa như vậy có thật sự hữu ích về mặt thuật toán hay không
• Tôi lần đầu thấy Calabi–Yau manifold khi đọc sách về lý thuyết dây
  Liên kết Wikipedia
  Thành thật mà nói tôi không hiểu hết, nhưng hình ảnh thì thật sự rất đẹp
  Tìm kiếm hình ảnh trên Google
  • Trước đây tôi từng học về Calabi–Yau manifold, và đến giờ vẫn nhớ nó khó thế nào
    Đây là một không gian đặc biệt trơn và đối xứng, cục bộ thì phẳng nhưng tổng thể lại cong phức tạp
    Độ cong cân bằng hoàn hảo nên nhìn chung không có sự giãn nở hay co lại
    Trong lý thuyết dây, manifold này được dùng để giải thích các chiều ẩn, và hình dạng của nó ảnh hưởng đến tính chất của hạt và lực
• Tôi nhớ đến cách các nhà vật lý định nghĩa tensor là “một đối tượng biến đổi theo một cách nhất định khi hệ tọa độ thay đổi”
  Bề ngoài có vẻ như ngụy biện vòng tròn, nhưng thực ra chính tính chất biến đổi đó phân biệt tensor với các mảng số khác
  Ở mức trừu tượng, cách nhìn này tiện ở chỗ không bị trói buộc bởi hình dung trực quan
  • Đôi khi đọc khá khó vì các nhà vật lý có xu hướng tập trung vào phép biến đổi tọa độ
    Nhưng bản chất là một cấu trúc hình học không phụ thuộc hệ tọa độ
    Ví dụ, không gian Minkowski của thuyết tương đối hẹp có thể được định nghĩa mà không cần tọa độ
    Sẽ rõ ràng hơn nhiều nếu hiểu tensor là ánh xạ đa tuyến tính nhận vector và đối vector rồi cho ra số thực
  • Kiểu định nghĩa của vật lý ngược lại còn làm tôi thấy rối hơn
    Chỉ học quy tắc biến đổi mà thiếu giải thích vì sao lại như vậy
    Trong khi đó, định nghĩa toán học giúp hiểu tận gốc hơn nhiều thông qua vi phân dạng và đối vector
  • Câu “tensor hạng hai là một đối tượng biến đổi như tensor hạng hai” rõ ràng là định nghĩa vòng tròn
    Vì nó bao hàm chính nó trong định nghĩa
• Có thể nghĩ manifold là “một không gian mà tại bất kỳ điểm nào trên bề mặt cũng có thể đặt một đĩa hình CD lên trên”
  Bán kính chỉ cần lớn hơn 0 là được
  • Ban đầu tôi thấy lạ vì độ cứng của chiếc CD, nhưng với manifold 2 chiều thì đây là một phép ví von chính xác
  • “Đặt một vật thể hình CD lên trên” thực ra là đang nói đến một tập mở (open set)
• Tôi nhớ đến cụm “giải tích và tô pô đại số của metric Euclid cục bộ trên đa tạp Riemann khả vi vô hạn lần” của Lobachevsky
  • Tôi lại nghĩ đến câu đùa “Plagiarize!”
• Tôi thấy lạ là khái niệm manifold gần như không được áp dụng vào phép chiếu bản đồ (cartographic projection)
  Nó trông gần như là một ví dụ hoàn hảo của manifold, nên tôi thắc mắc vì sao lại như vậy
  • Nếu chỉ xử lý bài toán trải mặt cầu lên mặt phẳng thì lý thuyết manifold là công cụ quá nặng
    Nhà bản đồ học chủ yếu làm việc với độ méo (distortion) nên đã có sẵn phương pháp luận phù hợp
    Hơn nữa manifold được định nghĩa bằng hệ tọa độ cục bộ (local charts) chứ không phải hệ tọa độ toàn cục (global coordinates), nên tọa độ của các vùng khác nhau không nhất thiết khớp nhau
    Về mặt lịch sử, ngành bản đồ học cũng đã tồn tại từ rất lâu trước khi khái niệm manifold ra đời
• Tôi thấy thú vị khi trong thuật ngữ toán học tiếng Anh, thứ “trông cục bộ như Rⁿ” thì gọi là manifold, còn “tập điểm không của đa thức” thì gọi là variety
  Ở các ngôn ngữ khác đôi khi cả hai lại dùng chung một từ. Ví dụ trong tiếng Ý, cả hai đều là varietà
  • “manifold” bắt nguồn từ Mannigfaltigkeit của Riemann, trong tiếng Đức có nghĩa là “variety” hoặc “multiplicity”
  • Trong tiếng Anh, không phải mọi variety đều là manifold
    Xem giải thích liên quan tại câu trả lời trên math.stackexchange
• Thật thú vị khi manifold trong ô tô và manifold trong toán học là cùng một từ, nhưng lại được hiểu khác nhau
  • Tôi tra thử thì thấy cả hai đều bắt nguồn từ tiếng Anh cổ/tiếng Germanic với nghĩa “many + fold”
  • Sự trùng tên kiểu này dễ gây bối rối khi học một khái niệm mới
    Nghĩa đã biết từ trước cứ lưu lại trong đầu và cản trở việc hiểu nghĩa mới
    Tôi nghĩ sẽ hữu ích hơn nhiều nếu người ta giải thích thêm cả từ nguyên của thuật ngữ
  • Manifold trong ô tô là một cấu trúc mà không gian được bao bởi các vách mỏng nối với nhiều cổng (port)
    Thường có hai không gian đan xen vào nhau, như ở hệ nạp và xả