Cơ sở Euclid dành cho kỹ sư phần mềm - 0. Giới thiệu

📘 Cơ sở Euclid: Vì sao nên đọc lại toán học cổ đại

• Nội dung của Cơ sở Euclid có bao gồm một phần trong toán tiểu học và trung học cơ sở, nhưng khi hình học tọa độ xuất hiện trong chương trình trung học phổ thông thì trên thực tế nó gần như bị loại bỏ.
• Tuy vậy, Cơ sở phù hợp để học toán như một môn khai phóng hoặc sở thích, và trong quá khứ cũng từng được xem là sách giáo dưỡng thiết yếu.
• Bằng cách chứng minh chặt chẽ ngay cả những điều trực giác tưởng như hiển nhiên, tác phẩm này giúp rèn luyện tư duy logic dựa trên những gì ta đã biết.

📖 Kế hoạch loạt bài

• Thay vì bao quát toàn bộ Cơ sở, bài viết sẽ chọn lọc và giải thích chủ yếu những nội dung tạo hứng thú.
• Sẽ tập trung vào chiều sâu và bổ sung diễn giải hơn là bám theo thứ tự.

📐 Cấu trúc của Cơ sở

• Định nghĩa: Giải thích các thuật ngữ cơ bản (điểm, đường thẳng, v.v.), nhưng một số thuật ngữ lại không được định nghĩa riêng → được xem là “thuật ngữ không định nghĩa”.
• Tiên đề và lẽ thường: Là những tiền đề được chấp nhận mà không cần chứng minh; theo cách hiểu hiện đại, tất cả đều thuộc về tiên đề.
• Tiên đề nói về các đối tượng hình học.
• Lẽ thường là các mệnh đề trừu tượng áp dụng cho toàn bộ toán học.

🔎 Mệnh đề là gì?

• Là câu có thể được chứng minh một cách logic dựa trên định nghĩa, tiên đề, v.v.
• Cách dựng hình cũng được xem là mệnh đề, và tương tự cũng được chứng minh chỉ bằng định nghĩa và tiên đề.

📏 Mệnh đề I.1 — Dựng tam giác đều

• Bắt đầu từ đoạn thẳng AB, vẽ hai đường tròn có bán kính là AB, gọi giao điểm là C, rồi nối AC, BC để tạo tam giác đều ABC.
• Theo các định nghĩa, tiên đề và lẽ thường đã dùng, suy ra AC=AB, BC=AB, và AC=BC, từ đó có AC=BC=AB.

⚠️ Phê bình và thảo luận

• Giả định rằng hai đường tròn có giao điểm không nằm trong các tiên đề được nêu rõ.
• Cũng không có bảo đảm rằng chỉ tồn tại một giao điểm; trên thực tế có thể có hai.
• Việc tam giác ABC là một hình phẳng cũng không được chứng minh một cách logic.