Bài giảng nhận Huy chương Fields của giáo sư June Huh

Trích đoạn từ bài giảng đại chúng của giáo sư June Huh, người đoạt Huy chương Fields.

Quan hệ và ranh giới

• Hồi nhỏ tôi rất hay chơi trò tra từ điển: tra định nghĩa của một từ bất kỳ, rồi từ những từ xuất hiện trong định nghĩa đó lại chọn một từ mình thích để tra tiếp định nghĩa của nó, và cứ thế nối tiếp mãi.

• Nếu cứ tiếp tục nối các định nghĩa của từ theo cách đó, đến một lúc nào đó ta sẽ quay trở lại từ ban đầu. Vì số lượng từ mà chúng ta có là hữu hạn, nên luôn có thể tạo ra một vòng lặp quay về điểm xuất phát.

• Thoạt nghe thì việc dùng chính từ đang cần định nghĩa để tự định nghĩa nó có vẻ là một lối lập luận tồi, nhưng trong cuộc sống hằng ngày, chúng ta biết bằng trải nghiệm rằng ngôn ngữ mình có thực sự vận hành rất tuyệt vời, và thông qua ngôn ngữ, ta làm được nhiều điều đáng kinh ngạc.

• Còn toán học thì sao?

• Toán học trông giống như một cái cây có vài tiên đề làm gốc rễ, nhưng nếu nhìn toàn bộ toán học, nó giống với một ngôn ngữ hơn, trong đó mọi phần đều nâng đỡ lẫn nhau.

• Nếu biểu diễn chứng minh toán học bằng hình vẽ, ta sẽ thấy các mệnh đề như những điểm được nối với nhau bằng các mũi tên.

• Có những mệnh đề ta đã biết là đúng, và có những mệnh đề ta muốn biết. Chứng minh một mệnh đề nghĩa là từ những điểm đã biết, thông qua một số hữu hạn bước suy luận, vươn các mũi tên ra phía trước.

• Có những mệnh đề ở rất gần nên có thể suy ra dễ dàng, nhưng cũng có những điểm ở rất xa nên việc suy luận trở nên khó khăn. Cứ như thể không gian của các mệnh đề có một cấu trúc hình học gọi là khoảng cách.

• Nếu hình dung không gian được tạo nên bởi toàn bộ các mệnh đề toán học thì nó sẽ trông như thế nào? Dù đây là một phép so sánh khá phi lý, có lẽ nó sẽ giống cấu trúc vĩ mô của vũ trụ: các thiên hà không phân bố đồng đều, mà có nơi rộng lớn trống rỗng, có nơi lại dày đặc các kết nối.

• Nếu chỉ chú ý đến hai ví dụ rất nổi tiếng trong không gian các mệnh đề ấy, thì đó là định lý bốn màu và định lý cuối cùng của Fermat.

• Trong vô số mệnh đề, vì sao các nhà toán học lại trân trọng định lý bốn màu và định lý cuối cùng của Fermat, và khiến chúng đặc biệt nổi tiếng?

• Chắc chắn có lý do khiến những mệnh đề này đặc biệt thú vị hơn các mệnh đề khác.

• Những từ ngữ và cách diễn đạt được dùng trong các mệnh đề này đều rất quen thuộc và đơn giản. Nhưng để chứng minh chúng, người ta phải đi qua những con đường vòng vô cùng gian nan.

• Tưởng như chỉ cần bước vài bước từ mệnh đề nơi ta đang đứng là tới, nhưng trên thực tế, dù dùng cách nào cũng không thể đến đó một cách dễ dàng.

• Điều đó có nghĩa là tồn tại một cấu trúc khổng lồ chắn ngang giữa nơi này và nơi kia, ngăn chúng ta lại, giống như khoảng tối mênh mông trong cấu trúc vĩ mô của vũ trụ.

• Dù cấu trúc ấy không hiện ra trước mắt, chỉ riêng việc mệnh đề đó khó chứng minh đến vậy cũng đủ để ta suy ra sự tồn tại của nó.

• Những điều này thú vị vì chúng gợi ý rất mạnh mẽ về cách con người chúng ta suy nghĩ.

• Bằng việc lặp đi lặp lại những trải nghiệm như vậy, ta có thể hiểu thêm về chính mình: ta có kiểu trực giác nào, và mang những dạng thiên kiến nào.

• Điều mà các nhà toán học rốt cuộc muốn làm là vẽ nên càng chi tiết càng tốt vô số mối quan hệ trong không gian các mệnh đề, để hiểu được chúng ta suy nghĩ theo cách nào.

• Với riêng tôi, toán học là quá trình dần hiểu ra những thiên kiến và giới hạn của bản thân; còn nói rộng hơn, đó là việc suy ngẫm về cách loài người chúng ta tư duy, và có thể suy nghĩ sâu đến mức nào.

• Việc giải quyết những vấn đề cốt lõi của toán học và khám phá các giả thuyết mới quan trọng ở chỗ nó liên tục đòi hỏi ta phải bước ra ngoài ranh giới.

• Đây là một trong những giá trị quan trọng mà toán học thuần túy dạy cho chúng ta: nó trao cho ta cơ hội vượt qua những thiên kiến bẩm sinh của chính mình.

[gmlwo530]

Cảm ơn :)

[ohyecloudy]

Hóa ra có thể nghĩ như vậy. Cảm ơn vì phần giới thiệu.

[nicewook]

Cảm ơn bạn. :-)

[budlebee]

Có thể xem bản gốc của bài giảng tại đây.

Bài giảng của giáo sư Huh Jun sẽ bắt đầu từ phút thứ 23. Đây là một bài giảng rất xuất sắc, nên tôi rất khuyến khích bạn xem bằng video.