Phát hiện hình dạng đầu tiên không thể tự đi xuyên qua chính nó

• Các nhà toán học lần đầu tiên phát hiện một hình dạng 3 chiều không thể đi xuyên qua chính nó, một khám phá làm lung lay trực giác hình học trước nay
• Hầu hết các đa diện đều có thể cho một bản sao của chính nó đi xuyên qua nhờ một tổ hợp quay và tịnh tiến nhất định gọi là lối đi Rupert (Rupert passage), nhưng hình dạng lần này được xác nhận là không thể theo bất kỳ hướng nào
• Các nhà nghiên cứu đã tạo ra và kiểm chứng bằng thuật toán hàng trăm triệu đa diện, và dù tìm được lối đi trong gần như mọi trường hợp, vẫn tồn tại một số ngoại lệ cực hiếm
• Hai nhà toán học đã lấy cảm hứng từ một video YouTube để phát triển thuật toán riêng, và trong bài báo năm 2021 đã phỏng đoán rằng một đa diện cụ thể có thể là không thể đi xuyên qua; nghiên cứu lần này càng củng cố khả năng đó
• Phát hiện này mở ra hướng đi mới cho nghiên cứu về đối xứng hình học và thuật toán khám phá không gian, đồng thời được xem là ví dụ cho thấy những giới hạn căn bản của các hình dạng toán học

---

Tính hiếm và quá trình tìm kiếm các hình dạng Nopert

• Các nhà nghiên cứu xác nhận rằng những ứng viên Nopert (hình dạng không thể tự đi xuyên qua) là cực kỳ hiếm
  • Murphy đã tạo ra hàng trăm triệu đa diện để thử nghiệm từ năm 2023
  • Bao gồm đa diện ngẫu nhiên, các cách sắp xếp đỉnh trên mặt cầu, các đa diện có cấu trúc đối xứng và những hình dạng được cố ý biến đổi một số đỉnh
• Thuật toán của ông gần như luôn dễ dàng tìm ra lối đi Rupert ở hầu hết mọi hình dạng, nhưng với một số hình dạng thì rốt cuộc vẫn không tìm thấy lối đi
  • Hiện vẫn chưa rõ những hình dạng ngoại lệ này có thực sự là Nopert hay chỉ đơn giản là các trường hợp khó tìm lối đi
• Những kết quả đó đã gợi ý mạnh mẽ cho giới toán học về khả năng tồn tại của Nopert thực sự
  • Tuy nhiên, cho đến trước tháng 8 năm 2024 vẫn chưa có bằng chứng chắc chắn

“No Passage” — phát hiện ra hình dạng không có lối đi

• Steininger (30 tuổi) và Yurkevich (29 tuổi) là những người bạn và đối tác nghiên cứu xuất thân từ cùng cộng đồng Olympic Toán học, vẫn cùng nhau theo đuổi các bài toán chưa được giải ngay cả sau khi rời học giới
  • Phát biểu trong phỏng vấn rằng “3 giờ trước chúng tôi còn ăn pizza và gần như chỉ nói chuyện toán” cho thấy niềm đam mê của họ
• Năm năm trước, hai người bị cuốn hút bởi bài toán Rupert sau khi xem một video YouTube trong đó một khối lập phương đi xuyên qua một khối lập phương khác
  • Sau đó họ phát triển thuật toán tìm lối đi Rupert của riêng mình và dần tin rằng có những hình dạng không thể đi xuyên qua
• Trong bài báo năm 2021, họ phỏng đoán rhombicosidodecahedron (khối 62 mặt đều) có thể không phải là một hình Rupert
  • Điều này được xem là giả thuyết đầu tiên về một “khối rắn không thể đi xuyên qua” được nêu ra trước cả nghiên cứu gần đây của Murphy và Grimmer
• Steininger nói: “Đó là công trình đầu tiên trong đó chúng tôi phỏng đoán rằng có thể tồn tại những khối rắn không có tính chất này”

Các điều kiện toán học để chứng minh Nopert

• Để chứng minh một hình dạng là Nopert, cần phải chỉ ra rằng không tồn tại lối đi Rupert với mọi tổ hợp hướng và phép quay có thể có
  • Mỗi hướng có thể được biểu diễn bằng một tập các góc quay
  • Tập hợp các góc này có thể được biểu diễn như một điểm trong không gian tham số nhiều chiều (parameter space)
• Vì vậy, quá trình chứng minh quy về bài toán khảo sát toàn bộ không gian tham số để xác nhận sự vắng mặt của lối đi
  • Đây là một bài toán cực kỳ phức tạp về mặt tính toán, và để có chứng minh đầy đủ thì phải xét đến vô hạn tổ hợp hướng
• Các kết quả hiện tại vẫn dựa trên việc kiểm chứng các trường hợp hữu hạn bằng tìm kiếm trên máy tính, và một chứng minh toán học hoàn chỉnh vẫn đang được tiếp tục

[GN⁺]

Ý kiến trên Hacker News

• Thật thú vị khi không thể kiểm tra mọi trường hợp, nên họ chọn một trường hợp rồi loại trừ rất nhiều khả năng xung quanh nó
  Gần đây tôi xem một video rất hay về chủ đề Rupert/Nopert, nên thật vui khi nghiên cứu này lại xuất hiện đúng vào cùng thời điểm như một sự trùng hợp thú vị
  • Thực ra cũng không hẳn là trùng hợp. Bài viết cũng nhắc đến tom7, và ở phần cuối video của anh ấy có nhắc trực tiếp đến bài báo này. Tức là tom7 cũng đã cố gắng chứng minh cùng một vấn đề
• Tiêu đề có phần gây hiểu nhầm. Cụ thể là những hình dạng khác như hình cầu (sphere) vốn từ lâu đã được biết là không thể tự đi xuyên qua chính nó, còn điểm mới lần này là đây là khối đa diện (polyhedron) đầu tiên không thể tự đi xuyên qua chính nó
  • Chính xác hơn là khối đa diện lồi (convex). Dù vậy, góp ý về tiêu đề vẫn hợp lý
  • Hình cầu có thể được xấp xỉ bằng đa diện. Nói chung các đa diện như vậy có vẻ sẽ có tính chất Rupert, nhưng Nopert lần này khác ở chỗ các đỉnh gần những mặt phẳng trên và dưới có góc thoải hơn so với trục thẳng đứng.
    Tự nhiên tôi thắc mắc liệu có thể cho tetromino hình chữ T đi xuyên qua chính nó hay không
  • Với người không chuyên, có lẽ viết tiêu đề kiểu “đã tìm ra hình dạng đầu tiên không có đường cong” sẽ rõ ràng hơn
  • Tôi thắc mắc tại sao hình cầu lại không thể đi xuyên qua chính nó. Khi chiếu thành bóng thì nó có kích thước bằng đúng đường kính, nên có vẻ như phải làm được chứ
• Nó có hai mặt phẳng nên không thể dùng làm xúc xắc D&D. Tôi vẫn đang ủng hộ rhombicosidodecahedron
• Tôi thích mức độ chi tiết trong bài viết. Nó không sa đà vào chi tiết toán học, nhưng vẫn đủ để thực sự hiểu được nội dung nghiên cứu
• Tôi chỉ biết Prince Rupert qua thứ mang tên ông là “Prince Rupert’s drops”, nhưng hóa ra ông ấy còn hoạt động trong rất nhiều lĩnh vực khác
  Có thể xem thêm trên Wikipedia
• Thật khó tin là đến giờ vẫn chưa có thuật ngữ kiểu “anisotransient” cho tính chất này
• Nếu ngay cả việc tìm ra một trường hợp như thế này cũng đã khó, thì kết quả tiếp theo có lẽ sẽ là “gần như mọi khối đa diện lồi đều không thể tự đi xuyên qua chính nó”
• Có nhất thiết phải đi xuyên qua theo đường thẳng không? Tôi cũng hình dung ra trường hợp vừa xoay vừa đi xuyên qua, kiểu như trò xếp hình khối hay xoay ghế sofa qua góc cua vậy
  Bài viết giới hạn ở việc đi xuyên theo đường thẳng, và phần lớn phân tích cũng dùng kỹ thuật chiếu bóng nên lấy đường thẳng làm chuẩn. Nhưng điều kiện cá cược ban đầu chỉ đơn giản là “cho một bản sao đi xuyên qua nó”, nên tôi nghĩ cho phép xoay cũng có thể là một cách tiếp cận hợp lệ
  • Nhưng vì bài toán này chỉ giới hạn ở đa diện lồi, nên có lẽ việc xoay cũng sẽ không giúp ích gì
• Tôi tự hỏi tại sao người ta lại dành thời gian cho kiểu nghiên cứu này. Chỉ là sự tò mò đơn thuần hay rồi cuối cùng cũng sẽ có giá trị thực tiễn nào đó? Cảm giác nó gần với nghệ thuật hơn
  • Bản thân bài toán có thể không thực dụng, nhưng những kỹ thuật được phát triển để giải nó có thể được ứng dụng sang lĩnh vực khác.
    Hơn nữa, nghiên cứu chỉ vì tò mò thuần túy cũng đã đủ giá trị rồi
  • Ví dụ, trong nhiều thập kỷ người ta nghiên cứu những thứ toán học trừu tượng như biến đổi ma trận và pháp tuyến bề mặt, rồi đến thập niên 1980 chúng trở thành công nghệ cốt lõi trong đồ họa máy tính
  • Những nghiên cứu như vậy đôi khi cũng dẫn tới các phát minh thực dụng như Velcro hay cơ chế tự khóa. Chỉ cần ai đó tìm ra mối liên hệ, nó có thể dần dần thay đổi thế giới
• Từ góc nhìn người bình thường, tôi thấy các ứng viên Nopert có vẻ ngày càng giống hình cầu hơn, đúng không? Mà hình cầu thì không thể có đường hầm Rupert
  • Đúng vậy. Càng nhiều mặt thì nhìn càng giống hình cầu. Nhưng hình cầu thì hiển nhiên là non-Rupert, còn câu hỏi thú vị hơn là liệu đa diện lồi có thể là non-Rupert hay không
  • Tôi tò mò nếu cứ tiếp tục thêm mặt thì sẽ đi xuyên qua được đến mức nào. Có thể là luôn luôn làm được đến vô hạn, hoặc thỉnh thoảng lại xuất hiện Nopert. Cũng có thể là Nopert sẽ ngày càng nhiều lên và khó tìm hơn. Tôi muốn tự mình thử nghiệm
  • Nhưng điều quan trọng là, chúng khác với hình cầu