Học tô pô qua bài toán hình vuông nội tiếp [video]
(youtube.com)- Bài toán hình vuông nội tiếp do Toeplitz nêu ra năm 1911 là một bài toán mở, hỏi liệu mọi đường cong liên tục khép kín có nhất thiết có bốn điểm làm đỉnh của một hình vuông hay không; phiên bản hình chữ nhật dễ hơn có thể được tiếp cận bằng tô pô
- Hình chữ nhật xuất hiện khi hai cặp điểm có cùng trung điểm và cùng khoảng cách, vì vậy nếu gửi mọi cặp điểm trên đường cong thành một điểm trong không gian 3 chiều, các giao cắt tự thân sẽ tương ứng với hình chữ nhật nội tiếp
- Toàn bộ các cặp điểm không có thứ tự tự nhiên tạo thành một dải Möbius, còn các cặp điểm chọn cùng một điểm hai lần là biên của nó và nằm trên mặt phẳng chứa đường cong ban đầu
- Nếu ghép dải Möbius này với ảnh phản xạ của nó qua phía dưới mặt phẳng, ta được chai Klein; tính chất không thể biểu diễn trong 3 chiều mà không có giao cắt tự thân trở thành mấu chốt của chứng minh sự tồn tại hình chữ nhật
- Bài toán hình vuông khó hơn vì còn phải theo dõi cả góc của cặp điểm; khác với kết quả cho đường cong trơn của Joshua Andrew Lobb năm 2020, các đường cong gồ ghề như fractal vẫn là bài toán khó
Bài toán hình vuông nội tiếp và bài toán hình chữ nhật dễ hơn
- Đường cong liên tục khép kín có thể được xem là một vòng lặp có thể vẽ mà không nhấc bút và quay về điểm bắt đầu
- Nếu bốn điểm trên đường cong trở thành các đỉnh của một hình vuông, hình vuông đó là hình vuông nội tiếp của đường cong
- Liệu mọi đường cong liên tục khép kín có nhất thiết có hình vuông nội tiếp hay không là bài toán mở do Toeplitz nêu ra năm 1911, thường được gọi là inscribed square problem
- Một câu hỏi dễ hơn một bậc là liệu mọi vòng lặp khép kín có nhất thiết có hình chữ nhật nội tiếp hay không; chứng minh này dựa trên ý tưởng của Herbert Vaughan
- Thay vì tìm các ứng dụng đã biết, trọng tâm là cho thấy cấu trúc giải quyết vấn đề được tạo ra như thế nào khi giải một câu đố thuần túy
Biến hình chữ nhật thành giao cắt tự thân của một ánh xạ 3 chiều
- Điều kiện để bốn điểm tạo thành hình chữ nhật có thể được chuyển thành điều kiện hai đoạn thẳng có cùng trung điểm và cùng độ dài
- Nếu tâm của hai đoạn thẳng trùng nhau và độ dài bằng nhau, bốn đầu mút sẽ tạo thành một hình chữ nhật
- Với mỗi cặp điểm trên đường cong, ta ghi lại thông tin sau
- Tọa độ x, y của trung điểm của cặp điểm
- Khoảng cách d giữa hai điểm
- Ba giá trị này trở thành một điểm trong không gian 3 chiều, tạo ra một ánh xạ liên tục từ toàn bộ các cặp điểm trên đường cong vào không gian 3 chiều
- Nếu hai cặp điểm khác nhau đi tới cùng một điểm 3 chiều, thì hai cặp điểm đó có cùng trung điểm và cùng khoảng cách, nên tạo thành hình chữ nhật nội tiếp
- Tất cả các điểm đầu ra khả dĩ tạo thành một bề mặt phức tạp trong không gian 3 chiều, và giao cắt tự thân của bề mặt này tương ứng với hình chữ nhật nội tiếp
- Trong trường hợp đường tròn, nhiều cặp điểm tụ về một điểm ở đỉnh vòm, và đường tròn có vô số hình chữ nhật nội tiếp
- Nếu ép méo thành elip, nhiều giao cắt xuất hiện như một đường thẳng đứng
- Ở đây, giao cắt tự thân không có nghĩa là hình dạng nhìn thấy bên ngoài, mà là “tình huống các cặp điểm khác nhau đi tới cùng một đầu ra”
Quá trình không gian của các cặp điểm trở thành dải Möbius
- Nếu gán tọa độ từ 0 đến 1 cho mỗi điểm của vòng lặp, thì 0 và 1 biểu thị cùng một điểm trên vòng lặp, nên phải dán hai đầu lại với nhau
- Các cặp điểm có thứ tự có thể được biểu diễn bằng một điểm của hình vuông đơn vị
- Tọa độ x là điểm thứ nhất
- Tọa độ y là điểm thứ hai
- Nếu dán lần lượt các cạnh trái-phải và trên-dưới, toàn bộ cấu trúc trở thành một hình xuyến
- Trong chứng minh hình chữ nhật, thứ tự của cặp điểm không quan trọng
- Nếu coi a,b và b,a là hai thứ khác nhau, sẽ sinh ra trùng lặp vô nghĩa trong điều kiện có cùng trung điểm và cùng khoảng cách
- Vì vậy phải xem x,y và y,x là cùng một cặp điểm
- Khi gấp hình vuông đơn vị theo đường chéo, rồi cắt và dán theo các định danh ở mép, kết quả là một dải Möbius
- Dải Möbius này không phải một hình đồ chơi tùy ý, mà là không gian tự nhiên biểu diễn liên tục mọi cặp điểm không có thứ tự trên vòng lặp
- Mỗi điểm của dải tương ứng với một cặp điểm không có thứ tự trên vòng lặp
- Mỗi cặp điểm không có thứ tự trên vòng lặp cũng tương ứng với một điểm của dải
- Khi di chuyển một phía một chút, phía kia cũng chỉ di chuyển một chút, không có bước nhảy đột ngột
- Biên màu đỏ đến từ đường chéo x,x là toàn bộ các cặp điểm chọn cùng một điểm hai lần; trong ánh xạ 3 chiều nói trên, nó phải đi lên mặt phẳng xy chứa vòng lặp ban đầu
Vai trò của chai Klein trong chứng minh
- Xét một ánh xạ liên tục từ dải Möbius tới một bề mặt 3 chiều, biên của dải phải nằm trên mặt phẳng chứa vòng lặp ban đầu
- Ban đầu có vẻ cần trực giác rằng “không thể đặt biên của dải Möbius trên một mặt phẳng rồi nhúng nó vào 3 chiều mà không có giao cắt tự thân”, nhưng phát biểu đó nguyên dạng lại không đúng
- Nhà toán học Asimov đã tạo ra một cấu hình nhúng dải Möbius vào 3 chiều sao cho biên là một đường tròn trên mặt phẳng
- Trong cấu hình này, phần bên trong của dải đi qua cả phía trên lẫn phía dưới của đường tròn
- Bề mặt tạo từ các cặp điểm của vòng lặp dùng khoảng cách d làm độ cao, nên mọi điểm bên trong đều nằm phía trên mặt phẳng xy
- Vì vậy điều kiện cần thiết có dạng “không thể đặt một dải Möbius có biên nằm trên mặt phẳng và phần bên trong nằm phía trên mặt phẳng vào không gian mà không có giao cắt tự thân”
- Nếu phản xạ bề mặt này xuống dưới mặt phẳng rồi dán với bề mặt ban đầu theo biên, ta được một bề mặt khép kín tạo từ hai dải Möbius
- Bề mặt thu được bằng cách dán biên của hai dải Möbius có thể được xem là chai Klein
- Chai Klein là một bề mặt không định hướng tiêu biểu, không thể phân chia rõ ràng bên trong và bên ngoài
- Trong 3 chiều, nó không thể được biểu diễn đúng cách mà không có giao cắt tự thân; ở chiều cao hơn, nó có thể tồn tại thoải mái hơn
- Vì chai Klein không thể tránh giao cắt tự thân trong 3 chiều, bề mặt các cặp điểm của vòng lặp và ảnh phản xạ của nó cũng phải có giao cắt tự thân
- Giao cắt tự thân đó có nghĩa là hai cặp điểm khác nhau có cùng trung điểm và cùng khoảng cách, do đó tồn tại hình chữ nhật nội tiếp
Bài toán hình vuông, tính trơn và vai trò của tô pô
- Để có được hình vuông, cần theo dõi không chỉ trung điểm và độ dài của hai cặp điểm mà cả góc của đoạn thẳng
- Nếu hai đoạn thẳng có cùng trung điểm, cùng độ dài và góc lệch nhau 90 độ, chúng tạo thành một hình vuông
- Khi thông tin tăng lên thành bốn giá trị, hướng suy nghĩ tự nhiên là xét việc nhúng dải Möbius và chai Klein trong không gian 4 chiều
- Năm 2020, Joshua Andrew Lobb đã mở rộng kết quả này cho các đường cong trơn
- Với đường cong trơn, sự tồn tại hình vuông đã được biết đến
- Kết quả của Lobb cho thấy trong trường hợp đặc biệt này có thể tìm thấy hình chữ nhật với mọi tỷ lệ khung hình khả dĩ
- Thảo luận đó có sự xuất hiện của các phép nhúng dải Möbius và chai Klein trong một không gian 4 chiều cụ thể
- Với đường cong trơn, mọi điểm đều có tiếp tuyến được xác định rõ
- Khi cặp điểm tiến lại gần nhau, trung điểm và khoảng cách có hành vi giới hạn gọn gàng
- Ngay cả khi theo dõi góc, khi hai điểm càng gần nhau thì góc của đoạn thẳng càng tiến tới góc tiếp tuyến tại điểm đó
- Với các đường cong gồ ghề như fractal, góc có thể không có hành vi giới hạn như vậy
- Lý do bài toán hình vuông nội tiếp khó là vì nó phải bao gồm cả mọi đường cong gồ ghề
- Trong tô pô, những hình dạng như dải Möbius và chai Klein không chỉ là các đối tượng kỳ lạ, mà hoạt động như công cụ logic để phán đoán điều gì có thể và không thể dưới các tương ứng liên tục
1 bình luận
Ý kiến trên Hacker News
Video này thật sự rất hay. Tôi có bằng tiến sĩ về tô pô đại số và cũng đã học khá nhiều tô pô nên nội dung khá quen thuộc, nhưng không biết liệu mình có thể giải thích những khái niệm này rõ ràng đến vậy, hay kết nối thế giới tô pô khó hiểu với một vấn đề “thực tiễn” như thế hay không.
Sau tiến sĩ, tôi trải qua nhiều công việc và hiện làm kỹ sư phần mềm nghiên cứu trong mảng AI. Tôi thường nhớ toán thuần túy, đôi khi hơi tiếc vì đã rời học thuật, nhưng việc quay lại toán học hàn lâm gần như có vẻ bất khả thi. Các video của 3B1B luôn nhắc tôi rằng toán học rộng mở với tất cả mọi người, và ngay cả khi không được một trường đại học tuyển làm nhà toán học, ta vẫn có thể tận hưởng, học hỏi và khám phá toán học
Để ở tuyến đầu nghiên cứu của một lĩnh vực cụ thể thì có lẽ phải làm nhà toán học chuyên nghiệp, nhưng ngoài điều đó ra, tôi nghĩ vì nền tảng của toán học không thay đổi nên bất kỳ ai đủ quan tâm và đam mê đều có thể tiếp cận được
Tôi nhớ những chuyên ngành cũ, và cũng nhớ thời trẻ ở đại học
3B1B cho thấy điều gì là khả thi trong giáo dục toán học. Tôi rất mong chờ tương lai của lĩnh vực này, nhưng tiếc là có lẽ sẽ còn lâu cách này mới được đưa vào dạy toán
Hơn nữa, chúng ta học khi xem video này vì chúng ta muốn học. Ngay khi bấm nút phát, ta đã nhập tâm vào chủ đề. Ngược lại, trong các lớp phổ thông hay đại học, đa số nghe giảng không phải vì muốn mà vì phải học, và không có sự nhập tâm ban đầu. Giảng viên cũng không thể ngay lập tức chỉ ra như video một sinh viên bắt đầu gà gật ở hàng thứ ba từ cuối lớp.
Nó hoạt động rất tốt với những người muốn học, nhưng cũng có thể khiến những người không muốn tiếp thu nội dung đó bị tụt lại xa hơn
Rốt cuộc, nếu không có độ phức tạp và ký hiệu học được từ phương pháp giáo dục truyền thống mà bạn đang chê bai, thì khó có thể tạo ra những cách giải thích được đơn giản hóa mạnh như thế này. Tuy vậy, những sinh viên có năng khiếu thường đã có sẵn các hình ảnh như vậy trong đầu nên trực giác rất rõ ràng; để giúp những sinh viên ít quen thuộc hơn hoặc kém năng khiếu hơn theo kịp, cách tiếp cận này rất hợp lý
Rất vui vì vấn đề này được nhắc lại. Vài năm trước, video gốc về chủ đề này đã khiến tôi lập tức mê 3B1B
Từ nhỏ tôi đã biết dải Möbius, và đầu tuổi thiếu niên cũng đã biết ý tưởng chứng minh tồn tại kiểu như một hàm liên tục nhất định phải đi qua đâu đó.
Nhưng tôi chưa từng nghĩ dải Möbius có thể là thứ gì đó hơn một món đồ kỳ lạ vô dụng, và giờ tôi cảm thấy như mình phải xin lỗi nó vì đã xem nhẹ quá mức. Vai trò của nó trong chứng minh này thật đáng kinh ngạc và khiến đầu óc tôi ngứa ngáy một cách dễ chịu
https://www.youtube.com/watch?v=SXHHvoaSctc&list=PLTBqohhFNB...
Tôi hầu như không biết toán ngoài những thứ rất cơ bản, nhưng nội dung như thế này thật cuốn hút, và để hiểu thì tôi cần hình minh họa. Quả là một video tuyệt vời.
Khi trong video giới thiệu cách ánh xạ 2 chiều sang 3 chiều, suy nghĩ đầu tiên của tôi là “đây có phải là cách ánh xạ 3 chiều sang 4 chiều không?” Về sau họ có nhắc đến 4 chiều. Cái này thì tôi khó hình dung, cũng khó hiểu cho đúng
Ngay cả trong 3 chiều, ta cũng có thể nghĩ theo kiểu “hai vật không thể tồn tại ở cùng một nơi và cùng một thời điểm”, “các đường thẳng song song gặp nhau ở vô cực”, “các đường thẳng song song không bao giờ gặp nhau”. Chỉ là trong 3 chiều, ta có hình dung và trực giác nên không phải lúc nào cũng phân rã mọi thứ một cách hình thức
Thấy Lobb được nhắc đến thật vui. Vài năm trước, à khá lâu trước đây, tôi học đại số tuyến tính 1 với Lobb. Ông là một giảng viên tuyệt vời, và tôi vẫn mỉm cười nhớ lại vẻ mặt tuyệt vọng của ông mỗi khi chúng tôi không hiểu điều gì đó
Tôi bắt đầu cảm thấy có vấn đề từ mốc 4:15 của video. Có vẻ như người trình bày đã nhảy thẳng đến kết luận rằng với mỗi trung điểm chỉ có một khoảng cách duy nhất. Nhưng trung điểm đó là kết quả của việc chọn hai điểm trên biên, và ta cũng có thể dễ dàng chọn hai điểm khác có cùng trung điểm nhưng khoảng cách khác nhau
Video không xử lý ngay điểm đó, và trong 2 phút tiếp theo ý nghĩ ấy cứ lởn vởn trong đầu tôi. Khi video vẫn tiếp tục đi theo hướng đó mà không giải thích, tôi đã dừng lại vì nghĩ hoặc mình đã bỏ sót điều gì đó, hoặc những khán giả giỏi toán hơn đã giải quyết câu hỏi còn bỏ ngỏ ấy chỉ trong vài giây, còn tôi thì không đủ thiên hướng toán học để thuộc nhóm khán giả mà video nhắm tới
Tôi nghĩ một video giáo dục hay là kết quả của quá trình trong đó khán giả thử nghiệm nêu ra những điểm như vậy và video được liên tục tinh chỉnh, để bản cuối cùng cũng tốt với cả những người hay nghi ngờ mọi điểm
Ở đây không cần tính duy nhất. Ngược lại, điểm then chốt là biến việc tìm hình chữ nhật nội tiếp thành việc tìm các cặp hai điểm có cùng trung điểm và cùng khoảng cách; đúng 1 phút 15 giây sau thời điểm bạn nêu, anh ấy nói ngay như vậy
Tuy vậy, nếu định nghĩa bằng trực quan thì rất tự nhiên để hiểu nhầm như bạn đã làm. Lý do là hình trông giống đồ thị của một hàm nhận trung điểm làm đầu vào và trả về khoảng cách tương ứng với trung điểm đó; như bạn đã chỉ ra, cách đó không được định nghĩa tốt. Nếu hiểu như vậy thì phần còn lại của video sẽ hoàn toàn lạc hướng, vì phần còn lại dành để giải thích rằng miền xác định của hàm này, khi xem như các cặp điểm không có thứ tự {A, B}, trở thành một dải Möbius
Rốt cuộc, nếu không có phiên bản hình thức 100% của một mệnh đề, một số người sẽ diễn giải khác với ý định ban đầu. Điều đó không liên quan đến việc khán giả thông minh đến đâu. 3Blue1Brown cũng biết điều này và có vẻ đang thử nghiệm các hình thức thay thế; video này cũng được cung cấp dưới dạng một bài blog tương tác, trong đó hàm được ghi rõ là “f(A, B) = (x, y, z)” và các biến cũng được giải thích: https://www.3blue1brown.com/lessons/inscribed-rect-v2
“Với một lượng khán giả đủ lớn, dù chỉ gồm những người rất thông minh, mỗi cách giải thích phi hình thức đều sẽ sinh ra những diễn giải khác nhau” là một khó khăn cốt lõi của giáo dục toán học. Trong môi trường có thể tương tác, người ta có thể dừng bài giảng để đặt câu hỏi, nhưng như vậy lại tạo động lực tập trung nhiều hơn vào chủ nghĩa hình thức, và có thể còn ít thời gian hơn để giải thích trực quan hóa và trực giác
Trả lời câu hỏi cụ thể: anh ấy hoàn toàn không giả định rằng mỗi trung điểm chỉ có một khoảng cách. Anh ấy không nói vậy, và phần trực quan hóa cũng không thể hiện như vậy
Một góc nhìn khác về tô pô có trong General Topology của John L. Kelley, D. Van Nostrand, Princeton, 1955
Trên tập số thực R, nếu x, y ∈ R và x < y thì (x,y) = { z | x < z < y } là tập mở, còn nếu x <= y thì [x,y] = { z | x <= z <= y } là tập đóng. Một tập con của R nếu đóng và bị chặn thì compact, và đó là một tính chất mạnh trong những thứ như tích phân Riemann
Những khái niệm kiểu này được mở rộng từ trục số thực và các khoảng mở/đóng sang các không gian tô pô tổng quát hơn rất nhiều. Có lẽ vì thế mà tên sách có chữ “General”. Hồi năm tư khoa toán ở đại học tôi đã đọc Kelley và còn giảng cho giáo sư, nhưng hiện nay cũng có những định nghĩa khác về tô pô
Nhờ video này mà tôi biết được tô pô là gì
Có ai khác thấy bất an khi xem cái này không? Có vẻ vẫn còn sót lại nỗi sợ thất bại hoặc sự lo âu của kiểu người thành tích quá mức
Tôi có bằng tiến sĩ toán và phần lớn đã rời khỏi các theo đuổi học thuật. Điều giúp tôi trụ được đến khi lấy bằng không phải là khao khát thành công hay thành tựu học thuật, mà là tình yêu dành cho hành trình đó. Sau khi đi làm, trong một thời gian toán học trở thành thứ tối tăm và đáng sợ, còn video này giống như một luồng không khí trong lành
Mong bạn tìm được một nguồn vui mà bạn có thể dốc lòng vào. Bạn có thể phát triển từ những gốc rễ như vậy. Không nhất thiết phải là công việc. Thật ra tôi tin rằng đáy sâu của lo âu là một thị trường việc làm đầy rủi ro. Gốc rễ của tôi không phải sự nghiệp, mà là gia đình tôi lựa chọn. Khi có cảm giác ổn định như vậy, tâm trí dễ lang thang hơn, và bạn cũng có thể thử nắm lấy những câu đố như các bài toán mở kiểu này. Điểm khởi đầu là sự tò mò
Trước đây tại một hội nghị, John H. Conway từng thừa nhận với tôi rằng ở giai đoạn đầu sự nghiệp, ông cũng từng có đúng cảm giác như bạn
Nói về thất bại, tôi đã nảy ra một ý tưởng để tiếp cận bài toán mở này và vội viết mã áp dụng nó cho bông tuyết Koch. Khi đang ghi ra, tôi thấy một vấn đề hiển nhiên trong cách tiếp cận; nếu chỉ nói kết luận không kèm ngữ cảnh thì trước khi viết dòng mã đó, tôi đã phát hiện ra phép chia cho 0. Vì chẳng có lý do gì bắt buộc nó phải thành công nên thất bại ấy lại vui, và phát hiện lỗi trước khi viết ra luôn là điều thỏa mãn