Các nhà toán học tuổi teen tìm thấy mọi nút thắt trong một fractal kỳ diệu
(quantamagazine.org)- Khi còn là nghiên cứu sinh tại Đại học Toronto, Malors Espinosa đang tìm một bài toán nghiên cứu mà cả học sinh trung học cũng có thể thử chứng minh, và đã đặt câu hỏi liệu mọi nút thắt có thể nằm bên trong Menger sponge hay không
- Menger sponge là một fractal được tạo bằng cách khoét rỗng lặp đi lặp lại một khối lập phương, và Karl Menger đã chứng minh vào năm 1926 rằng cấu trúc này là một đường cong phổ quát có thể chứa mọi đường cong
- Joshua Broden, Noah Nazareth, Niko Voth đã rời rạc hóa các nút thắt thành lưới bằng arc presentation, rồi tạo ra cách dùng tọa độ Cantor set để tránh các lỗ của sponge
- Sau vài tháng họp Zoom hằng tuần, ba học sinh đã chứng minh rằng mọi nút thắt đều có thể nằm bên trong Menger sponge, và bài báo đã được công bố trên arXiv
- Với phiên bản tứ diện, họ cho thấy có thể đặt được trefoil knot và cả họ pretzel knot rộng hơn, nhưng việc có mở rộng được cho mọi nút thắt hay không vẫn là câu hỏi còn bỏ ngỏ
Định lý nút thắt–fractal bắt đầu từ một bài toán nghiên cứu cho học sinh trung học
- Mùa thu năm 2021, Malors Espinosa đang tìm một bài toán toán học vừa có giá trị nghiên cứu, vừa đủ để học sinh trung học có thể tự chứng minh
- Anh đã dạy các ý tưởng cơ bản của nghiên cứu toán học và cách viết chứng minh trong một workshop mùa hè dành cho học sinh trung học địa phương, và một số học sinh đã sẵn sàng xử lý những bài toán không có đáp án sẵn
- Sau khi gặp lại Menger sponge trong sách giáo khoa về lý thuyết hỗn loạn, điều đó dẫn đến một câu hỏi kết hợp fractal này với lý thuyết nút thắt
Menger sponge và đường cong phổ quát
- Menger sponge được tạo bằng cách chia một khối lập phương như Rubik’s cube, loại bỏ khối lập phương nhỏ ở chính giữa và các khối lập phương nhỏ ở trung tâm sáu mặt, rồi lặp lại vô hạn cùng quy trình trên 20 khối lập phương còn lại
- Khi quá trình lặp tiếp diễn, số lỗ tăng theo cấp số nhân; sau vô hạn lần lặp, thể tích giảm về 0 còn diện tích bề mặt tăng đến vô hạn
- Khi định nghĩa sponge này vào năm 1926, Karl Menger đã chứng minh rằng bất kỳ đường cong nào cũng có thể được biến dạng để nằm ở đâu đó trên sponge mà không tự cắt
- Đường thẳng và đường tròn đơn giản
- Các cấu trúc trông như cây hoặc bông tuyết
- Những đường cong giống bụi fractal
- Vì tính chất này, Menger gọi sponge là universal curve
Liệu mọi nút thắt đồng phôi với đường tròn cũng có thể nằm trong đó?
- Câu hỏi của Malors bắt đầu từ việc định lý của Menger không phân biệt các đường cong đồng phôi (homeomorphic) với nhau
- Nút thắt toán học là một vòng khép kín được tạo bằng cách nối hai đầu của một sợi dây đã xoắn và buộc; từ góc nhìn của một con kiến đi trên đó, nó quay trở lại điểm xuất phát giống như đi trên một đường tròn
- Theo nghĩa này, mọi nút thắt đều đồng phôi với đường tròn, nhưng chứng minh của Menger chỉ đảm bảo rằng đường tròn nằm được trong sponge
- Mục tiêu là chứng minh rằng có thể tìm thấy mọi nút thắt trong Menger sponge mà vẫn giữ nguyên các vòng và sự đan cài của nút thắt
Rời rạc hóa nút thắt bằng arc presentation
- Ba học sinh Joshua Broden, Noah Nazareth, Niko Voth đã xử lý bài toán bằng cách biểu diễn nút thắt dưới dạng arc presentation trên lưới phẳng
- Arc presentation chuyển thông tin về việc các đoạn của nút thắt đi trước hay sau nhau thành một bố trí các điểm trên lưới, trong đó mỗi hàng và mỗi cột có đúng hai điểm
- Nối các điểm bằng các đoạn ngang và dọc; khi hai đoạn giao nhau, đoạn dọc được vẽ đi phía trước đoạn ngang
- Mọi nút thắt đều có thể được biểu diễn theo dạng lưới như vậy, giúp nghiên cứu các tính chất quan trọng của nút thắt dễ hơn
Tránh các lỗ của sponge bằng tọa độ Cantor set
- Các học sinh dùng ý tưởng đặt các đoạn ngang của arc presentation lên một mặt của Menger sponge, còn các đoạn dọc lên mặt đối diện
- Phần khó nhất là khi nối hai mặt qua bên trong sponge tại mỗi góc của arc presentation, đường đi không được rơi vào lỗ
- Để làm điều này, họ sử dụng Cantor set, một fractal một chiều
- Chia đoạn thẳng thành ba phần bằng nhau và loại bỏ một phần ba ở giữa
- Lặp lại vô hạn thao tác đó với hai đoạn còn lại
- Kết quả là còn lại một tập hợp các điểm rời rạc
- Nếu xem Menger sponge và Cantor set đã trải qua cùng số bước loại bỏ, thì trên mặt sponge, những điểm có cả hai tọa độ đều thuộc Cantor set sẽ không có lỗ
- Do cấu trúc lặp của sponge, ngay phía sau các điểm đó cũng không được có lỗ, nên nút thắt có thể đi qua mà không rời khỏi vật liệu của sponge
Chứng minh đặt mọi nút thắt vào trong Menger sponge
- Nhiệm vụ còn lại là chứng minh rằng có thể nén hoặc kéo giãn arc presentation của một nút thắt bất kỳ để mọi góc đều khớp với tọa độ Cantor set
- Việc nén và kéo giãn này không thay đổi cấu trúc tổng thể của arc presentation, nên bản thân nút thắt được biểu diễn không thay đổi
- Broden, Nazareth, Voth đã chứng minh rằng có thể biến đổi một arc presentation bất kỳ sao cho các điểm giao giữa đoạn dọc và đoạn ngang nằm trong Cantor set
- Kết quả này đảm bảo rằng cả số lượng góc lớn hơn cũng có thể khớp với Cantor set, và cuối cùng cho phép đặt nút thắt đã cho vào một bước lặp nào đó của Menger sponge
- Ba học sinh đã cho thấy rằng mọi nút thắt đều có thể nằm bên trong Menger sponge
Bài toán mở rộng sang sponge tứ diện
- Sau khi giải quyết câu hỏi ban đầu, các học sinh bắt đầu khảo sát liệu mọi nút thắt có thể nằm trong phiên bản tetrahedral của Menger sponge hay không
- Trong trường hợp này, phương pháp cũ dùng hai mặt đối diện chính xác không còn hoạt động, khiến bài toán trở nên khó hơn
- Malors từng nghĩ rằng trefoil knot không thể nằm trong tứ diện, nhưng ba học sinh không đồng ý và đã tìm ra một cách bố trí mới
- Sau đó, họ cũng chứng minh rằng điều tương tự là khả thi với toàn bộ họ nút thắt tổng quát hơn chứa trefoil, tức pretzel knot
- Việc các loại nút thắt khác có thể nằm trong tetrahedral sponge hay không vẫn là một bài toán mở
Khả năng nhìn độ phức tạp của fractal qua nút thắt
- Malors cho rằng phương pháp của các học sinh có thể trở thành một cách đo độ phức tạp của fractal theo nghĩa rộng hơn
- Không phải fractal nào cũng có thể chứa mọi loại nút thắt, nên việc nút thắt nào có thể chứa và nút thắt nào không thể chứa có thể trở thành một tiêu chí để hiểu cấu trúc fractal
- Năm 2014, những người yêu toán học từng thực hiện một dự án toàn cầu tên MegaMenger, tạo ra một Menger sponge hữu hạn nặng 200 pound bằng danh thiếp
- Allison Moore cho rằng kết quả này có thể dẫn đến những tác phẩm nghệ thuật toán học mới được làm từ vật liệu vật lý
- Cả ba học sinh đều đã tốt nghiệp trung học; chỉ Broden tiếp tục xử lý bài toán tứ diện song song với các lớp đại học, và cả ba đều đang cân nhắc con đường theo đuổi toán học
1 bình luận
Ý kiến trên Hacker News
Đây là một trò đố trên trình duyệt được làm dựa trên lý thuyết nút, không chắc mình đã học được gì khi chơi, nhưng khá vui
https://brainteaser.top/knot/index.html
Quanta đúng là một tạp chí tuyệt vời. Lần này mình mới biết đến
Có phần giải thích về câu “mọi nút đều đồng phôi (homeomorphic) với đường tròn” ở đây
https://math.stackexchange.com/questions/3791238/introductio...
Điều bài gốc muốn nói là nếu giới hạn lên ảnh, thì ta có một phép đồng phôi từ đường tròn tới ảnh đó. Vì đó là một phép nhúng của đường tròn
Nếu xem như các ánh xạ giữa các không gian tô pô, và vì thông thường ta chọn trong phạm trù trơn hoặc phạm trù tuyến tính từng đoạn nên sẽ có thêm ràng buộc, thì cách diễn giải gần tự nhiên nhất với “đẳng cấu” là một cặp đồng phôi f:S^1 -> S^1, g:S^3 -> S^3 thỏa Kf=gK. Tức là tương ứng với một biến đổi tự nhiên hoặc một hình vuông giao hoán
Như vậy gần như có được điều mong muốn, nhưng đồng phôi có thể đảo hướng của không gian hoặc hướng của nút, điều này không khớp với hiện tượng nút vật lý. Vì thế cần gán hướng cho không gian, và để làm điều đó người ta chuyển sang phạm trù tuyến tính từng đoạn/trơn, hoặc dùng đồng luân/đẳng isotopy
Thực ra nút là một ánh xạ liên tục song ánh từ đường tròn tới ảnh của ánh xạ đó, tức chính nút. Câu trả lời được liên kết cũng nói như vậy
Sửa: xem lại bài viết thì thấy phần giải thích trực giác này đã có sẵn bằng ví dụ con kiến
Mình rất thích Quanta. Ước gì có ấn bản in
Chỉ là ngày nay có thể giới trẻ không vào thư viện, nên có lẽ phải rải tạp chí ở nhà vệ sinh, hành lang, quán cà phê
“Phiên bản tứ diện của Menger sponge” thường được biết đến nhiều hơn với tên Sierpiński tetrahedron, và là phiên bản 3D của Sierpiński triangle
Không hiểu vì sao nhất thiết phải dùng fractal. Chỉ dùng lưới 3D không được sao? Một lưới có độ phân giải phù hợp chẳng phải cũng đóng vai trò tương tự à?
Hay là họ muốn chứng minh rằng ngay cả trong một tập con bị giới hạn như vậy của lưới 3D vẫn có thể làm được mọi thứ?
Như bạn nói, Menger sponge là một tập con của lưới 3D, nên các học sinh phải tìm cách dựng sao cho tránh được các lỗ. Cá nhân mình không thấy kết quả quá bất ngờ, nhưng nó đẹp
Tuy vậy, phần thật sự hay trong bài theo mình là bài toán mở ở cuối. Có thể nhúng mọi nút vào trong Sierpiński tetrahedron không?
Mình thích việc chứng minh sơ cấp và dễ hiểu. Nó gần như làm mình nhớ tới các chứng minh định lý Pythagoras, nhưng đồng thời có vẻ vẫn có ý nghĩa khá đáng kể
Rất tuyệt. Ước gì họ cũng cho thấy bằng hình dung tương tự cách họ giải trong Sierpiński gasket