Mọi nhà toán học chỉ có vài mẹo nhỏ (2020)

• Tập trung vào nguyên lý "các ma trận giao hoán với nhau có thể được chéo hóa đồng thời", bài viết giải thích cách phân tích nhiều hệ thống từ góc nhìn vật lý
• Trong các hệ có đối xứng tịnh tiến, có thể dùng biến đổi Fourier để giải nhiều hiện tượng vật lý như phương trình sóng, phương trình nhiệt
• Trong các cấu trúc tinh thể có đối xứng tịnh tiến rời rạc, lý thuyết Bloch-Floquet được dùng để giải thích cấu trúc dải năng lượng và làm rõ sự khác biệt giữa chất dẫn và chất cách điện
• Với đối xứng quay, bài toán trị riêng của nguyên tử hydro được giải bằng cách chéo hóa toán tử quay, và biểu diễn SO(3) liên hệ với cấu trúc lớp electron trong bảng tuần hoàn
• Thông qua đối xứng SU(3), việc phân loại hạt trong vật lý hạt phức tạp được hệ thống hóa, và các biểu diễn đối xứng cho thấy cấu trúc tổ chức của các hạt

---

Nguyên lý cơ bản của toán tử và chéo hóa

• Khái niệm cốt lõi là tính chất toán học "hai ma trận giao hoán với nhau thì có thể chéo hóa đồng thời"
  • Khi biết các vectơ riêng của một toán tử, việc chéo hóa toán tử còn lại trở nên đơn giản hơn nhiều
  • Trong vật lý, người ta thường giả định rằng phần lớn các ma trận đều có thể chéo hóa

1) Hệ bất biến theo tịnh tiến

• Vì các vectơ riêng của toán tử tịnh tiến có dạng ( e^{ikx} ), nên việc sử dụng biến đổi Fourier là điều tự nhiên
  • Cách này được áp dụng để giải phương trình sóng trong ánh sáng, âm thanh, electron tự do, phương trình nhiệt trong môi trường đồng nhất và nhiều hiện tượng khác

2) Đối xứng tịnh tiến rời rạc và lý thuyết Bloch-Floquet

• Sự sắp xếp nguyên tử trong chất rắn tạo thành cấu trúc tinh thể có đối xứng tịnh tiến rời rạc
  • Dùng vectơ riêng của toán tử ( T_a\phi(x) = \phi(x+a) ) dưới dạng ( \phi_k(x+a) = e^{ik\cdot a}\phi_k(x) )
  • Từ đó suy ra lý thuyết Bloch-Floquet, trong đó phổ được chia thành cấu trúc dải
  • Đây là một mô hình tiêu biểu của vật lý vật chất ngưng tụ để giải thích sự khác biệt giữa chất dẫn và chất cách điện

3) Đối xứng quay và nguyên tử hydro

• Trong các hệ có bất biến quay, cần chéo hóa toán tử quay trước
  • Nhờ đó có thể tìm được các trị riêng và vectơ riêng của nguyên tử hydro
  • Không gian riêng của nguyên tử hydro ổn định dưới phép quay và tạo thành các biểu diễn hữu hạn chiều của SO(3)
  • Kích thước các biểu diễn bất khả quy của SO(3) là 1, 3, 5, …; khi tính đến spin electron, chúng tương ứng với các cột của bảng tuần hoàn (2, 6, 10, 14, …)

4) Đối xứng SU(3) và vật lý hạt

• Vật lý hạt rất phức tạp, nhưng bên dưới có đối xứng SU(3)
  • Khi xét các biểu diễn của SU(3), nhiều loại hạt khác nhau có thể được sắp xếp thành một hệ phân loại có hệ thống và có tổ chức hơn
  • Nhờ đó, “phân loại kiểu động vật học (zoology)” của các hạt hiện ra theo một dạng được sắp xếp gọn gàng

Đề cập thêm

• Ngoài bốn ví dụ trên, nguyên bản còn có 39 bình luận bổ sung, nhưng trong phần thân bài này không nêu nội dung cụ thể

[GN⁺]

Ý kiến Hacker News

• Bố tôi không phải là nhà toán học mà là một kỹ sư, và mọi bài toán phi tuyến đều được ông giải bằng Newton-Raphson
  Một trong những ký ức lập trình đầu tiên của tôi là hồi nhỏ ngồi viết Newton-Raphson bằng BASIC trên HP85a
  Sau này tôi còn cài nó bằng RPN trên máy tính HP, rồi gỡ lỗi cho những chương trình BASIC khủng khiếp của bố
  Bố tôi chỉ học một phương pháp tìm nghiệm số và cách tính đạo hàm bậc hai, vậy mà dùng chúng suốt cả sự nghiệp với tư cách là kỹ sư quy trình hóa chất
  Nhân tiện, tài liệu liên quan có thể xem ở đây
  Và bố tôi sống theo niềm tin rằng “một lập trình viên FORTRAN đủ quyết tâm có thể viết FORTRAN bằng bất kỳ ngôn ngữ nào”

  • Lập trình viên giỏi nhất mà tôi từng làm việc cùng đã giải vô số bài toán đại số tuyến tính chỉ bằng SVD(phân rã giá trị kỳ dị)
    Nếu biết dùng đúng cách, SVD thật sự là một công cụ cực mạnh trong tính toán kỹ thuật
  • Bố tôi cũng là kỹ sư và rất yêu Fortran
    Có lần tôi giải thích OOP cho ông, ông kết luận ngay là “vô dụng” rồi chẳng bao giờ nhìn lại nữa
  • Newton-Raphson là kiểu thuật toán khiến người ta thấm thía câu nói nổi tiếng của Knuth: “Tôi đã chứng minh rồi, nhưng chưa chạy thử”
    Với ví dụ đơn giản thì nó hoạt động hoàn hảo, nhưng với bài toán thực tế thì nhiều khi thất bại thảm hại
  • Nó làm tôi nhớ đến câu “Tôi không sợ người đã luyện 1000 cú đá khác nhau.
    Nhưng tôi sợ người đã luyện một cú đá 1000 lần”
    Có vẻ đúng là phép so sánh chuẩn xác cho người bố đã dùng Newton-Raphson cả đời
  • Differential Evolution cũng là một kỹ thuật đơn giản có thể áp dụng rất rộng
    Nó cũng dễ triển khai, và đọc giải thích trên wiki thì khá thú vị

• Có vẻ các kỹ sư cũng có chủ đề giải quyết vấn đề của riêng mình
  Có đồng nghiệp lúc nào cũng tìm ra cách hack đơn giản nhất, còn người khác thì yêu bản thân mã nguồn nên luôn theo đuổi cách biểu đạt thanh lịch nhất
  Một cựu nhà vật lý thì lúc nào cũng đọc những mailing list ít người biết để xây dựng hiểu biết sâu sắc
  Còn tôi thì có xu hướng đào thật lâu vào cấu trúc của vấn đề, và rồi nhận ra các công cụ có được trong quá trình đó còn hữu ích hơn cả lời giải cuối cùng

  • Cũng có kiểu khác nữa
    Có một kỹ sư hạ tầng chuyên thấy gì trên Reddit là mang đi thử ngay, giờ chắc tài sản khoảng 50 triệu USD
    Một kỹ sư khác thì tích hợp mọi công nghệ bằng cách trực tiếp học qua các buổi training
    Và có một kỹ sư nổi tiếng viết chú thích hay nhất thế giới — như những bài luận, ghi lại vấn đề, trade-off, hiệu năng, cả những phần còn dang dở
    Cuối cùng, các kỹ sư giỏi nhất đều có chung một đặc điểm là “cứ thử cho đến khi được”
  • Tôi chủ yếu trace mã hoặc pipeline để tìm xem kết quả đã được tạo ra như thế nào
    Đặc biệt hữu ích khi kết quả bị sai
    Tôi nghĩ tính năng “Go To Definition” là công cụ mạnh nhất

• Điều tôi cảm nhận từ các lớp khoa học máy tính là toán học rất phụ thuộc vào nhận diện mẫu và mẹo
  Không biết các mẹo thì gần như không tiến triển được, mà trong lớp thì hiếm khi ai dạy trực tiếp những trick như thế
  Các giáo sư hoặc là cho rằng sinh viên đã biết, hoặc nghĩ rằng nếu không biết thì là do lười

• Feynman từng nói trong tự truyện rằng ông thành công vì có những mẹo toán học khác người

  • Điều thú vị là Feynman’s trick, phương pháp tính tích phân ông hay dùng, thực ra là cách mà Euler đã nghĩ ra từ 250 năm trước
    Giải thích liên quan có thể xem ở đây
  • Feynman đọc đi đọc lại chính cuốn sách của mình và nói rằng “mọi thứ đều ở trong đó”
    Ông liên tục tự cập nhật sự hiểu biết của bản thân
  • Phần lớn các mẹo của ông đều nằm trong phạm vi giải tích cổ điển
    Không hào nhoáng, nhưng ông đã làm chủ hoàn toàn phạm vi giới hạn đó

• Thời đại học, có lần giáo sư đang giải thích bài toán mà thấy tôi gật gù ngủ thì gọi tên tôi
  Tôi mơ màng đáp “định lý số dư Trung Hoa”, và đúng tới 90% trường hợp
  Đó là lớp đại số, nên nó hiệu quả thường xuyên đến thế

• Có lần trong giờ giảng, giáo sư cũng không giải được bài
  Ông nghỉ một lát rồi vào phòng làm việc lấy cuốn sổ ra, trong đó chỉ có đúng một dòng — “dùng mẹo đi”

• Có người giới thiệu Tricki.org, một wiki về kỹ thuật giải bài toán toán học, khá thú vị
  Giờ nó không còn được bảo trì nữa, nhưng vẫn đáng tham khảo

  • Có người phản hồi là cảm ơn vì đã chia sẻ. Đúng là tài liệu rất ổn

• Với lập trình viên thì tư duy đồ thị rất hữu ích
  Có người nói SAT cũng là một mẹo hay, nhưng tôi chưa từng tự dùng nó

  • Các kỹ thuật như SAT, SMT, ILP, MILP cũng được nhắc đến cùng nhau

• Trong toán ứng dụng có một câu đùa thế này — “Bọn tôi giống Taco Bell vậy. Trộn cùng sáu nguyên liệu rồi ra các món khác nhau”
  Tôi cũng có vài kỹ thuật mình dùng đi dùng lại
  Rốt cuộc số ý tưởng thật sự vận hành thế giới cũng không nhiều, và có một giáo sư từng nói rằng “đổi mới thực sự trong vài chục năm gần đây chỉ có compressed sensing”

• Phần khó của compiler là parser
  Chỉ cần tìm parser sẵn có rồi xuất nó dưới dạng web template cho ngôn ngữ đó là được
  Truy vấn cơ sở dữ liệu thì tốt hơn nên chuyển thành inverted index,
  và trên hết phải cân nhắc cẩn thận tính cục bộ dữ liệu(locality)