Khả năng tạo ra toán học mới của vật lý học
(nautil.us)- Toán học từ lâu đã được dùng như ngôn ngữ của vật lý, nhưng giờ đây trực giác của vật lý cũng đang trở thành nguồn mở ra các bài toán khó và những cấu trúc mới trong toán học
- Các nhà vật lý ít bị ràng buộc bởi chứng minh nghiêm ngặt hơn so với việc thăm dò nhanh, nên họ có thể phát hiện trước những khái niệm và kết nối mới mà các nhà toán học sẽ kiểm chứng sau này
- Lý thuyết dây, thông qua các đa tạp Calabi-Yau, K3 surface và M-theory, đã tạo ra những quan hệ bất ngờ giữa hình học đại số với tô pô vi phân, lý thuyết nhóm và tô pô học
- Ngay cả các lý thuyết vật lý đã bị loại bỏ cũng có thể tồn tại rất lâu trong toán học; vortex theory của Lord Kelvin đã biến mất, nhưng phần toán học của nó dẫn tới sự phát triển của lý thuyết nút và việc hiểu các phân tử rối như DNA
- Ở những bài toán lớn như Langlands program, Riemann hypothesis và Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, ranh giới giữa vật lý và toán học càng hạ thấp thì khả năng xuất hiện đột phá mới càng lớn
Sự đảo chiều của dòng chảy khi toán học từng giúp vật lý
- Albert Einstein xem việc toán học thuần túy đi trước hơn nửa thế kỷ lại mô tả chính xác cấu trúc không-thời gian trong thuyết tương đối rộng năm 1915 là “chiến thắng thực sự” của toán học
- Ban đầu, toán học được tạo ra để đo đạc, tính toán và hiểu thế giới vật lý, và người Sumer ở Mesopotamia đã để lại các bảng đất sét ghi bảng nhân để đếm hàng hóa và tài sản
- Sau đó, từ chỗ là công cụ hỗ trợ chính quyền và thương mại, toán học mở rộng sang những miền trừu tượng cao độ và tiếp tục nâng đỡ các bước đột phá lớn của vật lý
- Gần đây, hướng đi đã đảo ngược: các quy luật và mẫu hình của vật lý đang thúc đẩy những lĩnh vực toán học bị bế tắc lâu năm
Cách các nhà vật lý rà quét địa hình toán học
- Timothy Gowers cho rằng các nhà vật lý ít bị trói buộc bởi chứng minh nghiêm ngặt hơn nhà toán học, nên có thể thăm dò địa hình toán học nhanh hơn
- Nếu nhà toán học đo đạc sâu một vùng nhỏ, thì nhà vật lý có thể lướt nhanh qua vùng rộng lớn chưa được khai phá và phát hiện trước những khái niệm hay mối liên hệ mạnh mẽ
- Sau đó, nhà toán học quay lại các phát hiện ấy để cố gắng chứng minh hoặc bác bỏ
- Dòng chảy này đã lặp lại từ rất lâu
- Archimedes từng viết rằng các quy luật cơ học đã dẫn tới những khám phá toán học quan trọng
- Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz đã phát triển giải tích trong khi cố gắng hiểu chuyển động của các vật rơi
Sự đứt đoạn giữa thế kỷ 20 và cầu nối của Michael Atiyah
- Vào giữa thế kỷ 20, dòng chảy toán học mới từ vật lý gần như cạn kiệt, và cả nhà toán học lẫn nhà vật lý đều không quá quan tâm đến lĩnh vực của nhau
- Trong toán học, Bourbaki group tìm cách làm cho toán học chính xác đến mức tối đa và tái xây dựng nhiều lĩnh vực từ đầu
- Trong vật lý, các ý tưởng như Standard Model phát triển, nhưng với nhiều nhà vật lý, toán học chỉ là công cụ tiện dụng và họ ít quan tâm đến quan niệm toán học nghiêm ngặt kiểu Bourbaki
- Từ giữa thập niên 1970, Michael Atiyah xem vật lý lý thuyết là nguồn ý tưởng mới hứa hẹn nhất và thúc đẩy sự tương tác giữa hai lĩnh vực
- Giải quyết các bài toán toán học do nhà vật lý nêu ra
- Chứng minh các kết quả toán thuần túy bằng ý tưởng vật lý
- Truyền đạt cho các nhà vật lý những phần quan trọng của toán học hiện đại mà họ chưa quen thuộc
Những kết nối toán học do lý thuyết dây tạo ra
- Edward Witten trở thành cộng sự lâu dài của Atiyah sau khi gặp ông năm 1977, và sau đó là người tiên phong của lý thuyết dây
- Lý thuyết dây là ý tưởng cho rằng thành phần cơ bản của vũ trụ không phải là các hạt trong Standard Model mà là những dây dao động một chiều cực nhỏ
- Trong vật lý, nó vẫn chưa trở thành “lý thuyết của mọi thứ”, nhưng đã để lại ảnh hưởng lớn lên các lĩnh vực toán học trừu tượng như hình học đại số và tô pô vi phân
- Witten cùng các nhà lý thuyết dây khác đã đưa ra những phỏng đoán chính xác mà các nhà toán học về sau chứng minh được
-
Đa tạp Calabi-Yau và hình học liệt kê
- Năm 1991, Philip Candelas, Xenia de la Ossa và các cộng sự đã áp dụng lý thuyết dây vào một bài toán lâu đời của hình học liệt kê
- Hình học liệt kê là nhánh toán học đếm xem một bài toán hình học có bao nhiêu nghiệm
- Nó xử lý các câu hỏi như: có một đường thẳng đi qua hai điểm trên mặt phẳng, hay có tám đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước
- Họ dùng công cụ của lý thuyết dây để giải bài toán đếm số đường cong nhất định trong một đa tạp Calabi-Yau
- Kết quả đã kết nối symplectic geometry và complex geometry, hai lĩnh vực mà các nhà toán học đã nghiên cứu tách biệt suốt nhiều thập kỷ
- Khi hai lĩnh vực vốn được xem là không liên quan lại được kết nối, thì công cụ của bên này có thể giải bài toán của bên kia, và đó được xem là kết quả sâu sắc trong toán học
-
M-theory và duality
- Năm 1995, Witten đề xuất rằng năm lý thuyết dây khác nhau, vốn đòi hỏi 10 chiều, thực ra là những khía cạnh khác nhau của một khái niệm 11 chiều duy nhất là M-theory
- M-theory vẫn chưa được chứng minh, nhưng trong quá trình truy vết các tương ứng giữa các lý thuyết khác nhau, nhiều khám phá toán học đáng kinh ngạc đã xuất hiện
- Yang-Hui He cho rằng lý thuyết dây đang mang đến cho các nhà toán học những cấu trúc mới theo cách chưa từng có
K3 surface và những cấu trúc toán học bất ngờ
- Yang-Hui He và Federico Carta, khi nghiên cứu K3 surface là đa tạp Calabi-Yau đơn giản nhất, đã phát hiện ra một quan hệ mới
- Quan hệ này nằm giữa homotopy groups dùng để phân loại hình trong tô pô học và nhóm đối xứng Matthieu 24
- Một kết nối bất ngờ cũng được hé lộ giữa tô pô học và lý thuyết nhóm, vốn là những lĩnh vực khác nhau của toán thuần túy
- He cho rằng có vô hạn mẫu hình và cấu trúc mà nhà toán học có thể nghiên cứu, nhưng những gì xuất phát từ thực tại là các đối tượng mà ở một mức độ nào đó con người có thể có trực giác về chúng
- Nigel Hitchin cũng cho rằng nghiên cứu toán học không vận hành trong chân không; ý tưởng mới cần kết tinh quanh một cảm nhận nào đó về thực tại, hoặc cảm nhận của ai đó về thực tại
Khi vật lý “tệ” sinh ra toán học tốt
- Vật lý có thể cung cấp cho toán học động lực mạnh hơn và điểm hội tụ rõ hơn trong thăm dò
- Khi có trực giác về cách thế giới thực phải vận hành và về một đích đến có vẻ hợp lý, nhà toán học có thể tiến nhanh hơn trong bài toán
- Trong khung này, ngay cả lý thuyết vật lý đã bị loại bỏ cũng có thể tạo ra toán học tốt
- William Thomson, tức Lord Kelvin, trong vortex theory đã xem nguyên tử là những vòng xoáy quay bị thắt nút phức tạp và gán mỗi nút với một nguyên tố hóa học
- Lý thuyết này bị loại bỏ sau khi electron được phát hiện, nhưng phần toán học của nó dẫn đến sự phát triển của lý thuyết nút
- Lý thuyết nút đã trở thành một lĩnh vực nghiên cứu phong phú của toán thuần túy
- Nó cũng có những ứng dụng bất ngờ trong cơ học chất lưu và việc hiểu các phân tử rối như DNA
Bộ não con người, thế giới vật lý và vẻ đẹp toán học
- Atiyah liên hệ mối quan hệ giữa vật lý và toán học với quá trình tiến hóa của bộ não con người
- Con người là sản phẩm của một tiến trình tiến hóa dài, và bộ não mạnh mẽ mang lại lợi thế cho sự sống sót và thành công trong thế giới vật lý
- Bộ não con người tiến hóa để giải quyết các bài toán vật lý, và từ đó dẫn đến cách diễn giải rằng con người phải phát triển đúng kiểu toán học phù hợp cho mục tiêu ấy
- Một nghiên cứu chụp ảnh não năm 2014 mà Atiyah đồng tham gia kết luận rằng trải nghiệm về vẻ đẹp toán học kích thích những vùng não giống như khi thưởng thức âm nhạc, nghệ thuật và thơ ca đẹp
- Toán học xuất phát từ nghiên cứu thực tại có thể là kiểu toán học mà bộ não con người ưa thích
Liệu các quy luật vật lý cũng tất yếu như định lý toán học?
- Trong bài báo năm 2023, Daniele Molinini đối đáp với tiểu luận năm 1960 của Eugene Wigner “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences” bằng bài “The Unreasonable Effectiveness of Physics in Mathematics”
- Câu trả lời của ông là một số quy luật vật lý có thể không thể bác bỏ, theo cách giống như định lý toán học
- Nói chung, các nhà triết học xem chân lý toán học là chân lý tất yếu phải đúng trong mọi thế giới khả dĩ, còn các sự kiện kinh nghiệm về tự nhiên là chân lý ngẫu nhiên có thể khác đi
- Molinini cho rằng nguyên lý bảo toàn có thể là ứng viên cho các quy luật vật lý mang tính tất yếu
- Trong vật lý, một số tính chất của hệ như năng lượng hay động lượng không thay đổi
- Một người đi xe đạp xuống dốc chuyển thế năng hấp dẫn thành động năng, nhưng tổng năng lượng của người và xe vẫn giữ nguyên
- Nếu bảo toàn là tất yếu, điều đó có thể giải thích vì sao Archimedes đã suy ra thành công chân lý của chứng minh hình học thông qua các cân nhắc cơ học
Giới hạn của quan điểm cho rằng vũ trụ được làm bằng toán học
- Quan điểm được Galileo nêu ra từ đầu thế kỷ 17 và được nhiều nhà toán học ủng hộ là vũ trụ được viết bằng ngôn ngữ của toán học
- Ý tưởng này có nguồn gốc cổ xưa, ngược về tận Pythagoras và các môn đồ của ông
- Mathematical universe hypothesis của Max Tegmark còn cực đoan hơn
- Vũ trụ không chỉ được mô tả bằng toán học mà còn được cấu thành từ toán học
- Vũ trụ của chúng ta chỉ là một trong vô hạn vũ trụ song song, và mọi khả năng toán học đều được hiện thực hóa ở đâu đó
- Mark Colyvan cho rằng có mối liên hệ mật thiết giữa khoa học thực nghiệm và toán học, và từ đó có thể rút ra kết luận rằng bản thân thế giới là toán học theo một nghĩa nào đó
- Tuy nhiên, vì phần toán học của vật lý đã biết chỉ là một phần cực nhỏ của toàn bộ toán học, nên chỉ riêng quan điểm này khó giải thích đầy đủ vì sao toán học nảy sinh từ vật lý lại đặc biệt phong phú đến vậy
Chiều ngược lại khó giải thích bằng mapping
- Molinini thách thức mapping, một cách tiếp cận triết học phổ biến để giải thích tính khả dụng của toán học
- Mapping là cách ghép các khái niệm vật lý như khối lượng hay khoảng cách với các đối tượng toán học như phương trình trong định luật hấp dẫn của Newton, rồi ánh xạ kết quả tính toán ngược trở lại các tính chất vật lý
- Nếu đảo ngược quá trình ấy để giải thích toán học xuất hiện từ vật lý như thế nào, mapping sẽ không còn hoạt động tốt
- Lâu nay các nhà triết học tập trung vào vì sao toán học có thể áp dụng cho khoa học thực nghiệm, nhưng giờ đây câu hỏi vì sao vật lý lại hiệu quả trong toán học cũng trở nên quan trọng
Vật lý và toán học sẽ ngày càng gần nhau hơn
- Yang-Hui He cho rằng vật lý hiện đại đang cung cấp cho các nhà toán học rất nhiều công cụ mới và đầu mối bất ngờ, và để giải được các bài toán lớn của toán thuần túy thì hai lĩnh vực cần hợp tác chặt chẽ hơn
- Langlands program là một trong những vùng như vậy
- Được Robert Langlands hình dung từ thập niên 1960 và được gọi là “grand unified theory của toán học”
- Một nhánh là geometric Langlands gần đây được cho là đã được giải bằng bộ chứng minh gồm 5 bài, dài 800 trang
- Một phần cốt lõi của chứng minh đó dựa vào những trực giác đến từ conformal field theory, một trong các nền tảng của lý thuyết dây
- Các nhà toán học cũng đã dùng vật lý để tìm cách tiến triển với Riemann hypothesis và Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
- He cho rằng liên minh giữa hai lĩnh vực có thể là chìa khóa để mở các bài toán khổng lồ này
- Vật lý và toán học đang lại gần nhau như thời Newton và Gauss, và một số công cụ toán học còn kỳ lạ, tinh vi hơn có lẽ thậm chí vẫn chưa được phát minh
1 bình luận
Các ý kiến trên Hacker News
Một nhà vật lý trên đường về nhà vào buổi tối thấy một đồng nghiệp toán học đang nhìn xuống đất dưới cột đèn đường, bèn hỏi: “Có chuyện gì vậy?” Nhà toán học đáp: “Tôi làm rơi chìa khóa.” Nhà vật lý muốn giúp nên hỏi: “Rơi ở khoảng đâu?” Nhà toán học chỉ sang phía kia và nói: “Ở đằng kia.” Nhà vật lý hỏi: “Vậy sao không tìm ở đằng kia?” Nhà toán học đáp: “Vì ở đây sáng hơn.”
Nói rõ luôn, tôi là nhà toán học.
Người phỏng vấn hỏi: “Lần này vẫn tình huống đó, nhưng cái búa nằm trên sàn. Bạn sẽ làm gì?” Nhà toán học đáp: “Tôi sẽ chuyển cái búa từ sàn lên bàn để quy về bài toán đã được giải.”
Một câu đùa liên quan đến bài này là: nhà toán học dành thời gian thiết kế tô pô của chiếc áo khoác cho người có 3 tay, còn nhà vật lý thì tìm ra một người như vậy.
Câu đùa tôi thích nhất là khi con trai của một nhà toán học lần đầu đến trường, giáo viên hỏi: “Ai biết 1+2 bằng bao nhiêu?” Cậu bé đứng dậy đáp: “Em không biết bằng bao nhiêu, nhưng em biết trong monoid số tự nhiên, phép cộng thỏa mãn tính giao hoán, nên nó bằng 2+1.”
Nói rõ luôn, tôi là nhà phát triển phần mềm.
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Nasreddin#cite_ref-32
Nhà vật lý đánh rơi chìa khóa. Nhà toán học: “Eureka!”
Câu nói của Hitchin rằng “nghiên cứu toán học không vận hành trong chân không” có vẻ gần với trọng tâm. Không phải chỉ có vật lý mới thúc đẩy toán học thú vị, và mối quan hệ kiểu này cũng không phải mới xuất hiện gần đây.
Theo ý kiến khiêm tốn của tôi, toán học là ngôn ngữ chuyên biệt theo miền tối thượng. Nó là công cụ dùng để mô hình hóa một thứ gì đó, và sau này bản thân mô hình đó thường trở nên thú vị.
Khi cố mô hình hóa những đối tượng mới, chẳng hạn một khái niệm mới về thực tại, ta sẽ có các mô hình thú vị theo những cách mới hoặc tái ngữ cảnh hóa các mô hình hiện có; vì thế cần tái cấu trúc, cô đọng và khái quát hóa, nhờ đó lĩnh vực phát triển.
https://en.wikipedia.org/wiki/A_Mathematician%27s_Apology
Ta dễ nghĩ rằng toán học mô tả chính địa hình nền tảng, nhưng thực ra nó vận hành trên mô hình mà chúng ta chia sẻ về địa hình đó. Vì vậy khi chúng ta xét đến những thứ khác, toán học cũng đi theo.
Thời đại học, một giảng viên vật lý của tôi từng nói thoáng qua rằng sự phân biệt giữa vật lý và toán học là một ý tưởng của thế kỷ 20. Ở thế kỷ 19 hoặc trước đó không có sự phân biệt như vậy, và sang thế kỷ 21 dường như nó lại đang biến mất.
Ngày nay ranh giới đó mờ đi vì lý do hoàn toàn ngược lại. Người ta nghĩ bất cứ thứ gì được hình dung bằng toán học vững chắc đều phải đúng, còn quan sát bị đẩy xuống hàng sau.
Toán học không có yêu cầu như vậy và cũng không cần mô hình hóa hiện tượng tự nhiên. Vị giảng viên vật lý đó nghe giống một người theo chủ nghĩa Platon.
Sự phát triển nền tảng của giải tích vào cuối những năm 1600 đã cho phép gom các chủ đề này dưới một phương pháp nghiên cứu và phân tích chung, và đó là thứ ngày nay ta gọi là vật lý.
Vì nhiều phần của toán học hiện đại cũng xuất phát từ dòng dõi của giải tích, ranh giới giữa đối tượng được mô hình hóa và công cụ mô hình hóa tự nhiên là mờ, nhưng trong suốt giai đoạn đó sự phân biệt vẫn tồn tại khá mạnh. Chẳng hạn nhìn vào xác suất hay đại số, dù nhiều nhà nghiên cứu theo đuổi cả vật lý lẫn toán học, họ vẫn biết hai chủ đề này là khác nhau.
Sang thế kỷ 21, sự phân biệt đó không thể biến mất. Vì toán học không còn bị ràng buộc vào thế giới vật lý nữa. Toán học là việc tạo ra các định lý, bất kể các tiên đề và định lý đó có áp dụng được cho thế giới vật lý hay không.
Toán học dùng trong vật lý chỉ là một phần rất nhỏ của toàn bộ toán học khả dĩ.
— V.I. Arnold, On teaching mathematics (1997)
Hãy thử tạo ra một sản phẩm phần mềm đột phá mà không nói một lời nào với người dùng, rồi bạn sẽ hiểu vì sao vật lý lại giỏi trong việc tạo ra toán học mới.
Vật lý cũng rất hữu ích cho machine learning, nhưng cách tiếp cận có thể khá trái trực giác. Chẳng hạn, truyền thông điệp và lan truyền niềm tin để mô hình hóa biến tiềm ẩn trên cây/đồ thị thường được dạy bằng phép ví von về xác suất biên của cửa sổ và thời tiết mưa, rồi tách các phương trình Bayes/thống kê thành các thành phần con bằng quy tắc dây chuyền của phép lấy biên.
Ngược lại, các nhà vật lý có xu hướng dạy những thứ này bằng mô hình Ising và spin từ, một phép ví von hoàn toàn khác.
Các mô hình machine learning sinh tạo mới hơn cũng dùng nhiều cách tiếp cận dựa trên phương trình vi phân hoặc phân bố Boltzmann; như trong mô hình không gian trạng thái hay mô hình dựa trên năng lượng, phần hình thức hóa thống kê gần như được mượn nguyên từ vật lý thống kê/cơ học thống kê rồi gắn vào mạng nơ-ron và hệ thống tự động vi phân.
Ví dụ hay nhất có lẽ là thuật toán Metropolis-Hastings do các nhà nghiên cứu liên quan đến hạt nhân tạo ra.
https://web.archive.org/web/20150603234436/http://flynnmicha...
https://arxiv.org/abs/1503.03585
Một trong các giáo sư vật lý của tôi từng nói: “Toán học là vật lý không có mục đích.”
Vì ông ấy từng là một nhà vật lý khá thành công, nên có thể tôi cũng thiên lệch.
Tôi không phải thiên tài vật lý hay toán học, nhưng tôi nghĩ mối quan hệ giữa hai lĩnh vực này giống một vòng tuần hoàn tích cực hơn.
Tôi nhớ đã đọc rằng thế kỷ 20 mang tính cách mạng nhờ sự kết hợp giữa vật lý và toán học. Quaternion quan trọng với thuyết tương đối, còn toán rời rạc nằm rải rác khắp cơ học lượng tử và Mô hình Chuẩn. U(1) mô tả lực điện từ, SU(2) mô tả lực yếu, SU(3) mô tả lực hạt nhân mạnh. Đặc biệt, khối lượng của ba boson truyền lực yếu đã trực tiếp dẫn tới việc lý thuyết hóa cơ chế Higgs, và cuối cùng cũng được xác nhận bằng thực nghiệm.
Một trong những thành tựu lớn của thế kỷ 20 là đã tìm ra toàn bộ các nhóm hữu hạn theo cách có thể chứng minh được, và những nhóm như vậy tiếp tục xuất hiện trong vật lý.
Bài viết nói rằng lý thuyết dây đã dẫn tới toán học mới, điều này thật sự thú vị. Tôi hoài nghi lý thuyết dây vì không có bằng chứng thực nghiệm cho các “chiều cuộn lại” và nó trông giống như chắp vá, nhưng việc giả định lý thuyết dây là đúng lại tạo ra các kết quả hữu ích cho cả vật lý lẫn toán học cũng rất thú vị.
Có ai biết liệu vật lý có tạo ra toán học mới tốt hơn các lĩnh vực khác không? Ví dụ máy tính cũng đã tạo ra rất nhiều toán học mới, còn thống kê học thì gần như được thúc đẩy hoàn toàn bởi áp lực bên ngoài từ y học, khoa học xã hội và kinh doanh.
Tài chính và kinh tế học cũng tạo ra nhiều toán học quanh mô hình hóa và xác suất, và còn nhiều ví dụ tương tự khác.
Bản thân số học là hệ quả của bảo toàn vật lý. Nếu bạn có một nhóm 4 quả sồi và một nhóm 3 quả sồi, rồi gộp chúng lại mà không làm rơi quả nào, thì bạn phải có một nhóm 7 quả sồi.
Nhờ hiểu biết vật lý sâu sắc của chúng ta về không gian và quan hệ nhân quả, số học đơn giản trở nên đúng một cách trực giác với hầu hết, có lẽ là tất cả, động vật có xương sống.
Nếu một con sóc sau khi gộp lại chỉ có 6 quả sồi, thì phải có một lời giải thích nhân quả cho sự khác biệt về số lượng đó. Có thể một con sóc khác đã đánh cắp một quả từ đống cũ, hoặc nó đã rơi xuống một cái lỗ.
Cũng cần có câu “nấu bia giỏi một cách vô lý trong việc tạo ra thống kê học mới”