- Vì không thể chọn đều trên toàn bộ các số tự nhiên, nên ta định nghĩa “số nguyên ngẫu nhiên” bằng cách chọn đều từ 1 đến N rồi xét giới hạn khi N → ∞
- Trong Those Fascinating Numbers có nêu rằng xác suất để ước nguyên tố thứ hai của một số nguyên ngẫu nhiên nhỏ hơn 37 xấp xỉ 1/2, và điều này được kiểm chứng bằng tính toán mật độ và thực nghiệm
- Các số nguyên tố nhỏ thường xuất hiện làm ước nguyên tố nhỏ của số nguyên, nên có thể hình dung vì sao một số nhỏ như 37 lại trở thành trung vị
- Phương pháp của De Koninck và Tenenbaum tính λ₂(p) bằng cách kết hợp các điều kiện chia hết cho những số nguyên tố nhất định, tương tự như sàng Eratosthenes
- Khi cộng λ₂(p) theo từng số nguyên tố, mật độ tích lũy đạt khoảng 0.5002 tại 37, và cũng rất gần với giá trị tính trực tiếp 0.5002501 khi N=10⁷
Nguồn gốc của con số 37
- Lời mở đầu của Those Fascinating Numbers có câu nói rằng 37 là trung vị của ước nguyên tố thứ hai của một số nguyên
- Tức là xác suất để ước nguyên tố thứ hai của một số nguyên được chọn ngẫu nhiên nhỏ hơn 37 xấp xỉ 1/2
- Ban đầu 37 có vẻ quá nhỏ để tin được, nhưng nếu nghĩ đến việc các số nguyên tố nhỏ rất thường xuất hiện làm ước nguyên tố nhỏ của số nguyên thì điều này lại khá hợp lý
- Ví dụ, khoảng một nửa số nguyên có 2 là ước nguyên tố nhỏ nhất
- Mục tiêu là tự kiểm chứng điều này bằng thực nghiệm, và dựa trên bài báo của De Koninck và Tenenbaum để tính ra vì sao 37 xuất hiện
Cách định nghĩa “số nguyên ngẫu nhiên”
- Không tồn tại phân phối đều trên toàn bộ các số tự nhiên, nên trước hết ta cố định một số lớn N
- Chọn ngẫu nhiên một số nguyên từ 1 đến N, rồi xét giới hạn của xác suất khi N → ∞
- Khi N nhỏ, có thể trực tiếp tìm ước nguyên tố thứ hai của từng số nguyên để kiểm tra trung vị
- Khi chạy với N=10⁷, giá trị xấp xỉ của xác suất tích lũy thu được là 0.5002501
- Trên SageCell trực tuyến, việc phân tích thừa số ở quy mô này có thể mất nhiều thời gian và bị timeout, nên cần chạy cục bộ
λ₂(p): mật độ để p là ước nguyên tố thứ hai
- Bài báo Sur la loi de répartition du k-ième facteur premier d’un entier của De Koninck và Tenenbaum ký hiệu mật độ của các số nguyên mà p là ước nguyên tố thứ hai là λ₂(p)
- Cốt lõi của phép tính là, tương tự sàng Eratosthenes, đếm mật độ bằng cách kết hợp điều kiện có chia hết cho các số nguyên tố nhất định hay không
- Trường hợp ước nguyên tố thứ hai là 5 chỉ có hai khả năng
2^a 3^0 5^b ...: là bội của 2 và 5, nhưng không là bội của 32^0 3^a 5^b ...: là bội của 3 và 5, nhưng không là bội của 2
- Mật độ của trường hợp đầu là
1/2 × 2/3 × 1/5 = 1/15 - Mật độ của trường hợp thứ hai là
(1 - 1/2) × 1/3 × 1/5 = 1/30 - Hai tập này không giao nhau nên có thể cộng lại, và mật độ các số nguyên có ước nguyên tố thứ hai là 5 bằng 1/10
Công thức tổng quát cho số nguyên tố p bất kỳ
- Để p là ước nguyên tố nhỏ thứ hai, cần có một số nguyên tố q < p xuất hiện, còn các số nguyên tố r < p khác ngoài q và p thì không xuất hiện
- Điều kiện này có thể được biểu diễn bằng dạng phân tích thừa số sau
[ p^b q^a \prod_{q \neq r \lt p} r^0 ]
- Tính mật độ cho từng q < p rồi cộng lại, ta được công thức sau
[ \lambda_2(p) = \sum_{q \lt p} \frac{1}{p} \frac{1}{q} \prod_{q \neq r \lt p} \left ( 1 - \frac{1}{r} \right ) ]
- Cùng biểu thức đó có thể được viết gọn lại như sau
[ \lambda_2(p) = \frac{1}{p} \left[ \prod_{q \lt p} \left(1 - \frac{1}{q}\right) \right] \sum_{q \lt p} \frac{1}{q} \left(1 - \frac{1}{q}\right)^{-1} \]
Phép tính cho thấy 37 là trung vị
- Số nguyên tố (p^) cần tìm là điểm mà tổng mật độ để ước nguyên tố thứ hai không vượt quá (p^) xấp xỉ bằng 1/2
[ \lambda_2(2) + \lambda_2(3) + \lambda_2(5) + \ldots + \lambda_2(p^*) \approx \frac{1}{2} ]
- Khi hiện thực λ₂(p) và cộng theo từng số nguyên tố, mật độ tích lũy đạt khoảng 1/2 tại 37
- Mật độ kỳ vọng thực tế được tính ra xấp xỉ 0.5002
- Giá trị 0.5002501 thu được từ thực nghiệm dựa trên phân tích thừa số trực tiếp với N=10⁷ cũng rất gần với kết quả này
Mở rộng sang ước nguyên tố thứ k
- Công thức tổng quát cho mật độ λₖ(p) để p là ước nguyên tố thứ k là như sau
[ \lambda_k(p) = \frac{1}{p} \left[ \prod_{q \lt p} \left(1 - \frac{1}{q}\right) \right] s_{k-1}(p) \]
- Ở đây (s_j(p) = \sum \frac{1}{m}), trong đó tổng lấy trên các m có đúng j ước nguyên tố và tất cả các ước nguyên tố đó đều nhỏ hơn p
- Tiệm cận của trung vị (p_k^*) của ước nguyên tố thứ k là
[ \log \log p_k^* = k - b + O\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right) \]
- Trong đó b là giá trị dưới đây
[ b = \frac{1}{3} + \gamma - \sum_p \left( \log((1-1/p)^{-1}) - 1/p \right) \]
- (\gamma) là hằng số Euler-Mascheroni
1 bình luận
Các ý kiến trên Hacker News
Điều này không có nghĩa là bản thân 37 có gì đặc biệt thú vị
Điều thú vị hơn là ở đây tồn tại một trung vị hữu hạn. Một khi điều đó đúng, vì trung vị được định nghĩa là một phần tử của danh sách, nó buộc phải là một số nguyên tố nào đó. Trong danh sách này, tình cờ nó là 37; hoàn toàn có thể là giá trị khác
Để 37 thật sự trở nên thú vị, ta phải nới lỏng định nghĩa để trung vị có thể là một giá trị ngoài tập hợp, vậy mà giới hạn vẫn hội tụ về 37. Nếu vậy thì mới khá đáng kinh ngạc
Các giá trị nhỏ hơn 37 chỉ chiếm khoảng 49,061%, còn các giá trị lớn hơn 37 chỉ chiếm khoảng 49,975%. Từ một thời điểm nào đó trở đi, với N chẵn, luôn có hai số 37 ở hai phía của mốc 50%, nên trung vị chính xác là 37 chứ không phải giá trị nào khác. Tôi đã viết giải thích dài hơn trong một bình luận khác [0]
[0] https://news.ycombinator.com/item?id=38245162
Sự tồn tại của trung vị gợi ý rằng mọi phân vị khác cũng có thể có giới hạn. Xa hơn nữa, với bất kỳ số nào, tỷ lệ giới hạn của các số nguyên có thừa số nguyên tố thứ hai lớn hơn số đó có thể tồn tại, và ở 37 thì tỷ lệ đó tình cờ là 0,5
Tôi thích cách bài viết giải thích rất rõ câu trả lời cho câu hỏi đầu tiên nảy ra trong đầu: “Rốt cuộc chứng minh cái này thế nào?”
Thú vị là 37 cũng xuất hiện trong bài toán dừng tối ưu / bài toán thư ký
Thật trùng hợp, 37 cũng là số nguyên tố không chính quy đầu tiên. Nó liên quan đến lý do Định lý cuối cùng của Fermat khó
https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_prime
Bài viết nói “các số có số nguyên tố thứ hai là 2 là 0.000000000000000”, nhưng tiêu đề có đúng không nếu không nêu rõ là không tính trùng lặp?
Vì nếu viết hoàn toàn rõ ràng bằng tiếng Anh thì thường sẽ trở nên dài dòng. Nếu viết “số nguyên tố không trùng lặp thứ hai”, ai đó có thể lại nói rằng cũng phải viết “nhỏ thứ hai” hay “theo thứ tự tăng dần”. Trong bài báo, những thuật ngữ như vậy thường được định nghĩa hình thức cùng với ký hiệu toán học chính xác hơn, nhưng vẫn không hoàn toàn tỉ mỉ tuyệt đối
Tôi không định bắt bẻ, mà là vì việc để con người suy luận những phần “vô hình” trong toán học, thay vì bắt họ nêu rõ từng chi tiết, giúp tăng mạnh tính khả dụng của các trình chứng minh định lý. Bài nói liên quan của Andrej Bauer rất hay: https://www.youtube.com/watch?v=wZSvuCJBaFU
Tôi tò mò liệu có định lý hay kết quả thú vị nào trong mảng hàm L hoặc dạng modular bao quát kết quả này không
Gần đây tôi đang học và chủ đề này rất hấp dẫn
Tôi biết đến nó khi xem video https://www.peakmath.org/quest-for-f1, và http://lmfdb.org cũng đáng để khám phá
Tôi nghĩ sự thật này khiến 37 khá thú vị
Ít nhất thì chắc chắn thú vị hơn 31
31 cũng là số nguyên tố nên cũng có phần thú vị, nhưng như vừa biết, nó không thú vị bằng 37, trung vị của thừa số nguyên tố thứ hai của các số nguyên
Có ứng viên số nguyên nào thú vị hơn không? Và liệu có tồn tại một số có thể gọi là số nguyên thú vị nhất không?
Chúng lần lượt là phiên bản big-endian và little-endian của chuỗi ASCII “the most interesting”
Điều thú vị là dù số nguyên tố không chính quy chiếm khoảng 41% toàn bộ số nguyên tố, nó lại xuất hiện lần đầu muộn như vậy. Tham khảo: https://encyclopediaofmath.org/wiki/Irregular_prime_number#:~:text=An%20odd%20prime%20number%20p,prime%20numbers%20are%20called%20regular
Số nguyên tố thú vị nhất là gì phụ thuộc vào việc bạn thấy điều gì thú vị hơn. Nếu thích trung vị của thừa số nguyên tố thứ hai thì 37 là nhất, và nếu thích số nguyên tố không chính quy đầu tiên thì 37 cũng là nhất. Cuối cùng là vấn đề góc nhìn
Một lý do khác khiến 37 hay là nó kết thúc bằng 7 nên khi ai đó bảo nói một con số, nó “nghe có vẻ ngẫu nhiên”; nó tốt hơn 27 vì là số nguyên tố. 7 thì quá thấp, còn 17 có sắc thái xui xẻo. Dù vậy 37 cũng là một con số khá đáng sợ. Chỉ riêng việc là số nguyên tố đã khá bất quy tắc rồi, lại còn là số nguyên tố không chính quy nữa
Vì vậy hệ thống thời gian và lượng giác có lẽ đã dựa trên 60. 360 = 6*60, và 360 có 24 ước
Thật ngạc nhiên là chứng minh lại đơn giản đến vậy. 37 đã trở thành số nguyên tố yêu thích mới của tôi
Tôi tò mò tốc độ tăng của giá trị trung bình của thừa số nguyên tố thứ hai sẽ như thế nào. Có vẻ nó sẽ tăng vô hạn, nhưng có thể là tăng khá chậm
Cả đời tôi đã bị ám ảnh bởi con số này. Mỗi lần nhìn đồng hồ, mỗi lần nhìn biển số xe phía trước, tôi đều có cảm giác thấy 37
Cũng có những thứ liên quan ngẫu nhiên như Channel 37: https://en.wikipedia.org/wiki/Channel_37