Trung vị của ước nguyên tố thứ hai của các số nguyên là 37

Những sự thật đáng kinh ngạc về con số 37 đầy cuốn hút trong toán học

• Nhà toán học Chris Grossack đã phát hiện ra một sự thật đáng kinh ngạc về số 37 thông qua cuốn sách Those Fascinating Numbers.
• Số 37 là trung vị của ước nguyên tố thứ hai của các số nguyên, nghĩa là xác suất để ước nguyên tố thứ hai của một số nguyên được chọn ngẫu nhiên nhỏ hơn 37 xấp xỉ bằng 1/2.
• Ban đầu điều này có vẻ khó tin, nhưng khi xét rằng các số nguyên tố nhỏ xuất hiện thường xuyên hơn trong vai trò ước nguyên tố nhỏ nhất của các số, thì điều đó trở nên hợp lý.

Kiểm chứng bằng mã Sage

• Đã viết mã SageMath để kiểm tra liệu ước nguyên tố thứ hai của một số nguyên được chọn ngẫu nhiên có nhỏ hơn 37 hay không.
• Xác suất được tính bằng cách cố định một số lớn N và chọn ngẫu nhiên một số nguyên từ 1 đến N.
• Kết quả chạy mã cho thấy trung vị thực sự là 37, và tỷ lệ các số nguyên có ước nguyên tố thứ hai nhỏ hơn hoặc bằng 37 vào khoảng 0.5015.

Chứng minh toán học

• Trong bài báo của De Koninck và Tenenbaum, tác giả trình bày cách tính mật độ của các số nguyên có ước nguyên tố thứ hai bằng một số nguyên tố cụ thể p bằng cách áp dụng sàng Eratosthenes.
• Từ đó, họ chứng minh rằng mật độ của các số nguyên có ước nguyên tố thứ hai không vượt quá 37 xấp xỉ bằng 0.5002.
• Xa hơn nữa, cũng có thể dùng ý tưởng từ bài viết blog này để tính trung vị của ước nguyên tố thứ ba, hoặc tìm tiệm cận mô tả cách trung vị của ước nguyên tố thứ k thay đổi theo k.

Ý kiến của GN⁺

Điểm quan trọng nhất của bài viết này là sự thật đáng kinh ngạc rằng số 37 là trung vị của ước nguyên tố thứ hai của một số nguyên được chọn ngẫu nhiên, đồng thời cho thấy các phương pháp toán học và lập trình máy tính được kết hợp như thế nào để chứng minh điều đó. Bài viết đưa ra một ví dụ thú vị về cách toán học và khoa học máy tính tương tác với nhau, cũng như cách chúng có thể giúp hiểu và kiểm chứng những khái niệm toán học phức tạp. Với các kỹ sư phần mềm mới bắt đầu, đây là cơ hội để học hỏi và tìm cảm hứng thông qua quá trình hiện thực hóa và kiểm chứng một sự thật toán học bằng mã nguồn.

[GN⁺]

Ý kiến Hacker News

• Sự thú vị của số nguyên tố thứ 37

  • Không hẳn vì 37 là một số nguyên tố đặc biệt thú vị, mà điều thú vị nằm ở chính việc tồn tại một trung vị của danh sách các số nguyên tố.
  • Vì trung vị phải là một phần tử của danh sách số nguyên tố, nên việc đó rơi vào số nguyên tố nào chỉ là sự trùng hợp.
  • Nếu ngay cả khi trung vị là một giá trị nằm ngoài danh sách mà vẫn hội tụ về 37, thì điều đó còn đáng kinh ngạc hơn.

• So sánh 37 với các số nguyên tố khác

  • 37 thú vị hơn 31 ở chỗ nó là trung vị của ước nguyên tố thứ hai của một số nguyên cụ thể.
  • Có các ý kiến đề xuất những số nguyên thú vị hơn khi so với các số nguyên tố khác, hoặc bàn luận về số nguyên thú vị nhất.

• Những sự thật vui về 37

  • Có các bình luận cho biết 37 đã trở thành số nguyên tố yêu thích mới của họ.
  • Có nhắc đến việc có thể dùng nó làm ý tưởng cho thiệp sinh nhật.

• Phản ứng với bài viết và chứng minh

  • Có lời cảm ơn vì bài viết đã giải thích rõ cách chứng minh.
  • Có bình luận bày tỏ sự ngạc nhiên trước sự đơn giản của chứng minh.

• Câu hỏi kỹ thuật liên quan đến dự đoán số nguyên tố

  • Có câu hỏi liệu đã có ai thử dùng mạng Transformer để dự đoán số nguyên tố hay chưa.

• Thắc mắc về tiêu đề bài viết

  • Có thắc mắc liệu tiêu đề bài viết có còn chính xác nếu không nêu rõ một cách tường minh tính "không lặp" hay không.

• Sự xuất hiện của 37 trong các bài toán toán học khác

  • Có bình luận nhắc rằng 37 cũng xuất hiện trong bài toán dừng tối ưu/bài toán thư ký.

• Câu hỏi về ký hiệu toán học

  • Có câu hỏi liệu cơ số của log được dùng trong biểu thức biểu thị số nguyên tố thứ k của trung vị có phải là log tự nhiên hay không.
  • Có đề xuất rằng nên dùng ln để tránh mơ hồ.

• Đánh giá tổng thể về bài viết

  • Có bình luận đánh giá đây là một trong những bài viết hay nhất họ đọc được sau một thời gian dài.