Khả năng nghiệm lớn nhất của đa thức ngẫu nhiên hệ số thực là số thực cao hơn số phức

(mathoverflow.net)

1 điểm bởi GN⁺ 2024-05-12 | 1 bình luận | Chia sẻ qua WhatsApp

Liệu nghiệm lớn nhất của một đa thức ngẫu nhiên có nhiều khả năng là số thực hơn số phức không?

Số nghiệm thực của một đa thức ngẫu nhiên với hệ số thực ít hơn rất nhiều so với số nghiệm phức
- Giả sử các hệ số được lấy ngẫu nhiên độc lập và phân bố đều trong khoảng (-1, 1)
- Số nghiệm thực của đa thức bậc n tiệm cận với (2 log n) / π + o(1), còn số nghiệm phức xấp xỉ n - (2 log n) / π
Nghiệm lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của đa thức được định nghĩa là nghiệm có trị tuyệt đối lớn nhất (hoặc nhỏ nhất)
Dù số nghiệm thực ít hơn số nghiệm phức theo cấp số mũ, dữ liệu thực nghiệm cho thấy:
- Xác suất để nghiệm lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) là số thực cao hơn xác suất nó là số phức
- Xác suất này giảm về một giá trị gần 1/2 khi n tiến tới vô hạn
Điều này đi ngược trực giác ở chỗ dù nghiệm thực ít hơn rất nhiều so với nghiệm phức, chúng lại có khả năng cao hơn để đồng thời chứa cả nghiệm lớn nhất và nhỏ nhất

Xác suất để nghiệm lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của đa thức bậc n là số thực có hội tụ hay không (về một giá trị gần 1/2 khi n tiến tới vô hạn)?

Cho đến nay, việc xác suất nghiệm lớn nhất/nhỏ nhất là số thực hội tụ về 1/2 dường như vẫn là một giả thuyết chưa được chứng minh. Có vẻ vẫn cần một chứng minh chặt chẽ cho điều này
Ta biết rằng các nghiệm của đa thức ngẫu nhiên hệ số thực phân bố theo góc gần như đồng đều quanh đường tròn đơn vị và có lực đẩy rất cục bộ giữa các nghiệm. Tuy nhiên, nghiệm phức có thể lan ra quanh đường tròn đơn vị, trong khi do lực đẩy giữa các nghiệm thực, các nghiệm thực buộc phải nhỏ hơn nữa hoặc lớn hơn nữa.
Dù số nghiệm thực chỉ tăng theo logarit so với số nghiệm phức, vẫn có thể xem là có khá nhiều nghiệm thực.
Từ góc nhìn này, việc nghiệm nhỏ nhất là số thực không hẳn là điều đáng ngạc nhiên.
Có vẻ cần những nghiên cứu sâu hơn về phân bố nghiệm của đa thức ngẫu nhiên hệ số thực. Đặc biệt, cần một chứng minh chặt chẽ về giá trị giới hạn của xác suất nghiệm lớn nhất/nhỏ nhất là số thực.

GN⁺ 2024-05-12

Thật đáng ngạc nhiên khi xác suất nghiệm thực lớn nhất nằm đâu đó giữa ngẫu nhiên và 1/phi
Số nguyên tố không phải là ngẫu nhiên mà phát sinh đệ quy từ các số nguyên tố trước đó, nên có thể kỳ vọng các mẫu tăng trưởng tự nhiên sẽ phản ánh e và phi
R có hỗ trợ tích hợp sẵn cho các thí nghiệm số kiểu này
```
plot(polyroot(runif(101,-1,1)))
```
Có thêm các câu hỏi được nêu ra như định nghĩa của tính ngẫu nhiên là gì và liệu có xét đến sự khác biệt giữa bậc lẻ/bậc chẵn hay không
Có suy đoán rằng khi scale các hệ số, sẽ tạo ra phân phối không đồng đều đối với mọi hệ số ngoại trừ hệ số lớn nhất

Đã từng thích toán ở đại học nhưng sau khi tốt nghiệp 2 năm hầu như không làm nhiều, nên cần học lại
Được gợi ý tìm những ý tưởng thú vị như Project Euler hoặc giải lại các bài tập trong giáo trình

Nếu chọn các nghiệm ngẫu nhiên trên mặt phẳng phức thì gần như không thể thu được một đa thức có hệ số thực, nên trực giác thấy khả năng xuất hiện nhiều nghiệm thực hơn có vẻ hợp lý hơn
Có thử một cách tiếp cận trực quan dựa trên đối xứng phản xạ và suy ngẫm về các giới hạn của nó
Đa thức bậc 5 trở lên không có công thức nghiệm tổng quát, nên khó phân biệt giữa nghiệm thực và nghiệm phức
Có người đặt câu hỏi liệu hệ số của đa thức ngẫu nhiên là số thực hay số phức
Dù mặt phẳng phức lớn hơn rất nhiều so với trục số thực nên tưởng rằng xác suất có nghiệm thực sẽ gần về 0, kết quả này vẫn gây ngạc nhiên