Nghiệm cực đại của đa thức ngẫu nhiên hệ số thực có khả năng là số thực cao hơn số phức

• Đa thức ngẫu nhiên có hệ số thực độc lập phân bố đều chỉ có tổng số nghiệm thực xấp xỉ 2log n/π, nhưng trong thực nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn nhất/nhỏ nhất lại có xác suất là số thực cao hơn
• Trong 10^5 lần mô phỏng Monte Carlo theo từng bậc, xác suất này giảm về gần 1/2 khi n tăng, và quan sát tương tự vẫn giữ khi lấy hệ số theo phân bố chuẩn rồi co giãn về (-1,1)
• Một câu trả lời cho rằng bài toán nghiệm cực trị ở bậc hữu hạn hội tụ về bài toán hỏi nghiệm nhỏ nhất của chuỗi lũy thừa ngẫu nhiên P(x)=a₀+a₁x+a₂x²+… có phải là số thực hay không
• Giá trị giới hạn có thể khác nhau tùy phân bố: phân bố đều [-1,1] khoảng 51%, phân bố chuẩn tiêu chuẩn khoảng 52%, phân bố chuẩn với phương sai 1/k! là 62%, còn phân bố rời rạc ±1 có vẻ ở đầu vùng 40%
• Người trả lời hoài nghi cách diễn giải “hội tụ về 1/2”; trong 40.000 thí nghiệm so sánh bậc 200 và 300, tính chất nghiệm nhỏ nhất có là số thực hay không đều được giữ nguyên, nên họ nghiêng mạnh về khả năng giới hạn lớn hơn 50%

---

Thiết lập bài toán: ít nghiệm thực, nhưng nghiệm cực trị lại lệch về phía số thực

• Với đa thức ngẫu nhiên có hệ số thực, số nghiệm thực trong toàn bộ các nghiệm ít hơn rất nhiều so với nghiệm phức
  • Nếu các hệ số độc lập theo phân bố đều (-1,1), số nghiệm thực của đa thức bậc n tiệm cận 2log n/π + o(1)
  • Số nghiệm phức xấp xỉ n - 2log n/π
  • Theo bài báo được liên kết, công thức tiệm cận tương tự cũng đúng với các phân bố hệ số khác
• Ở đây “nghiệm lớn nhất” và “nghiệm nhỏ nhất” lần lượt có nghĩa là nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn nhất và nghiệm có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất
• Nếu nghiệm thực ít hơn rất nhiều thì có vẻ nghiệm cực trị cũng sẽ là số phức, nhưng dữ liệu thực nghiệm của người hỏi lại cho thấy chiều ngược lại

Quan sát Monte Carlo và câu hỏi mở

• Trọng tâm của dữ liệu quan sát được gồm ba điểm
  • Xác suất nghiệm lớn nhất hoặc nghiệm nhỏ nhất là số thực lớn hơn xác suất nó là số phức
  • Xác suất này dường như giảm về một giá trị gần 1/2 khi n tăng
  • Với mỗi giá trị n, đã thực hiện 10^5 lần mô phỏng Monte Carlo
• Người hỏi viết rằng ngay cả khi hệ số được lấy từ phân bố chuẩn trung bình 0, độ lệch chuẩn 1 thay vì phân bố đều rồi co giãn về (-1,1), quan sát và xác suất giới hạn tương tự vẫn được giữ
• Câu hỏi được thu hẹp thành hai ý
  • Vì sao nghiệm lớn nhất và nghiệm nhỏ nhất lệch về phía số thực
  • Ở bậc n, xác suất tương ứng có hội tụ về một giá trị gần 1/2 khi n→∞ hay không
• Độ lệch quan sát được được biểu diễn bằng xác suất có điều kiện như sau
  • P(L|R)=P(S|R)≈π/(4log n)
  • P(L|C)=P(S|C)≈π/(2nπ-4log n)

Cập nhật: chứng minh cận dưới và thí nghiệm bổ sung với n=1000

• Trong bài viết Math StackExchange được liên kết, đã chứng minh rằng xác suất nghiệm lớn nhất là số thực ít nhất bằng giá trị sau
  • (23-16√2)/6 ≈ 6.2%
• Bản cập nhật ngày 11/5/2024 bổ sung kết quả gần 60.000 thí nghiệm với đa thức bậc n=1000
  • Kết quả nhất quán với đồ thị quan sát được ở n≤125
  • Khi số lần thử tăng lên, xác suất nghiệm lớn nhất là số thực có xu hướng giảm, và người hỏi viết rằng có khả năng nó hội tụ về 1/2

Câu trả lời: liên hệ với nghiệm nhỏ nhất của chuỗi lũy thừa ngẫu nhiên

• Dựa trên Math StackExchange và bài blog Thurston, Selberg, and random polynomials Part II, với các phân bố hệ số phù hợp, giới hạn của trường hợp bậc hữu hạn dẫn đến bài toán nghiệm nhỏ nhất của chuỗi lũy thừa ngẫu nhiên
  • P(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…
  • Giới hạn của xác suất nghiệm nhỏ nhất ở bậc hữu hạn là số thực trở thành xác suất nghiệm nhỏ nhất của chuỗi lũy thừa ngẫu nhiên này là số thực
• Dùng định lý Rouché, có thể dễ dàng chỉ ra xác suất này lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1
• Giá trị giới hạn có thể thay đổi tùy theo phân bố của hệ số aᵢ
  • Nếu aᵢ theo phân bố đều [-1,1] thì khoảng 51%
  • Nếu là Gaussian trung bình 0, phương sai 1 thì khoảng 52%
  • Nếu là Gaussian nhưng phương sai là 1/k! thì khoảng 62%
  • Nếu là phân bố rời rạc của 1 và -1 thì có vẻ ở đầu vùng 40%
• Vì vậy, thay vì nói “trong mọi trường hợp hợp lý đều lớn hơn 50%”, cách nói chính xác hơn là tùy mô hình, nó có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn 50%

Vì sao dù ít nghiệm thực, nghiệm thực vẫn có thể chiếm nghiệm cực trị

• Trong nhiều mô hình, các nghiệm có xu hướng tụ quanh đường tròn đơn vị và phân bố góc trở nên đều, còn ở thang rất cục bộ thì xuất hiện lực đẩy (repulsion) giữa các nghiệm
• Nghiệm phức có thể trải quanh chu vi của đĩa đơn vị, nhưng lực đẩy giữa các nghiệm thực được cho là “ép” các nghiệm thực trở nên nhỏ hơn hoặc lớn hơn
• Theo góc nhìn này, dù tổng số nghiệm thực chỉ ở mức logarit, vẫn có thể có đủ nhiều nghiệm thực để chiếm vị trí nghiệm nhỏ nhất hoặc nghiệm lớn nhất
• Phần còn lại là làm thế nào biến các giá trị dễ tính bằng Monte Carlo thành ước lượng số nghiêm ngặt

Ý tưởng tạo ước lượng nghiêm ngặt bằng định lý Rouché

• Giả sử phân bố đều aᵢ∈[-1,1], một cách được đề xuất là chia không gian hệ số của các đa thức bậc thấp thành những hộp nhỏ
  • Ví dụ, với đa thức bậc dưới 100, chia mỗi aᵢ thành 1000 khoảng có cùng độ dài
  • Trong câu trả lời có viết rằng kết quả sẽ là 100^1000 đa thức
• Từ góc nhìn Monte Carlo, kỳ vọng rằng phần lớn đa thức có thể được chia vào hai tập sau
  • Trường hợp nghiệm nhỏ nhất là số thực và có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 9/10
  • Trường hợp hai nghiệm nhỏ nhất là một cặp phức liên hợp và có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 9/10
• Trong cả hai trường hợp, nếu chứng minh được |P| > (9/10)^100 trên biên của đĩa chỉ chứa nghiệm đó, thì có thể dùng định lý Rouché để bảo đảm tính chất của nghiệm nhỏ nhất được giữ nguyên
• Cách này không có trở ngại lý thuyết, nhưng khối lượng tính toán thực tế có thể quá lớn, nên có thể cần tính toán ở mức đa thức bậc dưới 10 và 10^10 đa thức, hoặc cần một cách phân hoạch hiệu quả hơn

Phản bác cách diễn giải hội tụ về 1/2 và tính toán bổ sung

• Người trả lời cho rằng cách diễn giải “có lẽ hội tụ về 1/2” của người hỏi chưa đủ thuyết phục, và nêu ra làm phản chứng rằng những mô hình tự nhiên, đối xứng khác không hội tụ về 1/2
• Khi tạo 1000 đa thức ngẫu nhiên bậc 500 và kiểm tra giá trị tuyệt đối của nghiệm nhỏ nhất, trong mọi trường hợp giá trị tuyệt đối đều nhỏ hơn 0,91
  • Nếu mở rộng điều này sang chuỗi lũy thừa ngẫu nhiên, phần thay đổi của hàm trong đĩa |z|<0.91 là ở cỡ 10^-20 hoặc nhỏ hơn
  • Để định lý Rouché không áp dụng được, nghiệm nhỏ nhất hoặc cặp phức liên hợp phải cực kỳ gần nghiệm kế tiếp về mặt giá trị tuyệt đối
• Để ước lượng tốc độ hội tụ tốt hơn, thí nghiệm sau được đề xuất
  • Tính 50.000 đa thức ngẫu nhiên bậc 500
  • Giữ nguyên các hạng đầu và tính 50.000 đa thức được mở rộng lên bậc 1000
  • Kiểm tra ở hai bậc, nghiệm nhỏ nhất có là số thực hay không và tính chất này thay đổi thường xuyên đến mức nào khi tăng bậc
• Trực giác của người trả lời là khi đi từ bậc 500 lên 1000, trường hợp thay đổi sẽ rất hiếm
  • Nếu cả hai giá trị đều quanh 51% và tỷ lệ thay đổi nhỏ hơn rất nhiều so với 1%, thì có thể xem đó là tín hiệu rằng giới hạn lớn hơn 50% một cách nghiêm ngặt

Thí nghiệm so sánh thực tế: bậc 200 và 300

• Do tính toán ở bậc lớn mất nhiều thời gian, so sánh thực tế được tiến hành với bậc 200 và 300
• Kết quả chạy 40.000 đa thức:
  • Trong các đa thức bậc 200, 20.287 đa thức có nghiệm nhỏ nhất là số thực
  • Khi mở rộng các đa thức này lên bậc 300, tính chất đó được giữ nguyên trong mọi trường hợp
• Kết quả này gợi ý rằng kỳ vọng ở bậc 200, 300, 1000 có thể đã rất gần với kỳ vọng ở bậc vô hạn
• Giá trị tính được là khoảng 50,7%, và tính toán của người hỏi cũng ở mức tương tự 50,7%, nên đây được nêu như bằng chứng nghiêng về phía giới hạn lớn hơn 1/2
• Người trả lời nói họ tin chắc “giới hạn lớn hơn 50%” và thêm rằng sẽ trả 100 USD cho ai chứng minh được họ sai

Sự ổn định nhanh của chuỗi lũy thừa bị cắt

• Là bằng chứng bổ sung, với đa thức cắt Pₖ(x)=Σᵢ₌₀ᵏaᵢxᶦ của chuỗi lũy thừa ngẫu nhiên P(x)=Σaᵢxᶦ, người trả lời kiểm tra từ k=1 đến 1000 xem thời điểm tính chất nghiệm nhỏ nhất là số thực hay số phức ổn định
• Trong 200 đa thức ngẫu nhiên, điểm bắt đầu ổn định hầu hết rất nhỏ
  • Nhiều trường hợp đã ổn định ngay từ k=1 hoặc k=2
  • Giá trị lớn nhất trong danh sách là 22
• Kết quả này cũng củng cố nhận định rằng thí nghiệm bậc hữu hạn có thể nhanh chóng tiến gần đến giới hạn bậc vô hạn

[GN⁺]

Ý kiến trên Hacker News

• Thật sự rất kỳ diệu khi nó nằm đâu đó giữa mức ngẫu nhiên và 1/φ
  Trong bài viết MSE được liên kết, giờ đây người ta đã chứng minh rằng xác suất nghiệm lớn nhất là số thực ít nhất là 6,2%, thậm chí còn lớn hơn 1/10 của 1/φ. Tôi thấy mối liên hệ giữa số nguyên tố và φ là tự nhiên. Số nguyên tố không ngẫu nhiên như người ta thường hiểu nhầm, mà được sinh ra một cách đệ quy từ các số nguyên tố trước đó, vì chúng là những “khoảng trống” mà các bội số của các số nguyên tố trước đó không chiếm được. Vì vậy có lý do để kỳ vọng một dạng mẫu tăng trưởng tự nhiên nào đó như e hay φ sẽ lộ ra. Đó là những mẫu ở cấp độ rất nền tảng như chân lý và vẻ đẹp

  • Cách e xuất hiện trong số nguyên tố có thể thấy ở trung bình kích thước của tập chỉ gồm các khoảng cách tăng dần, ví dụ (2,3,5)(7,11)(13,17)... hoặc các khoảng cách không giảm như (2,3,5,7,11)(13,17)(19,23,29)...
    Đó không hẳn là tính chất của riêng số nguyên tố, mà là tính chất của sự tăng trưởng, và còn khớp hơn với các tập số ngẫu nhiên
  • Đẹp thật. φ dường như luôn xuất hiện khi một thứ gì đó bị dồn đặc lại

• Có hai câu hỏi hiện ra ngay lập tức

  1. “Ngẫu nhiên” ở đây nghĩa là gì? Có vẻ như họ đã làm thí nghiệm số, và trông giống như dùng các hệ số nguyên đồng đều trên một tập bị chặn, mà như vậy thì kết quả có thể khác đi rất nhiều
  2. Tôi muốn biết họ xét bậc lẻ, nơi luôn đảm bảo có nghiệm thực, hay bậc chẵn, hay cả hai
     Tôi không có ý hạ thấp bài viết thú vị này
  • Đúng như trong định nghĩa, phân phối ở đây là các hệ số đồng đều độc lập trên khoảng (-1,1)
  • Đúng vậy. Phát biểu bài toán ban đầu có tính nghịch lý. Không thể lấy mẫu đồng đều từ một tập vô hạn. Bài gốc có lẽ đã dùng các số dấu phẩy động ngẫu nhiên bị chặn
    Nhưng phần quan trọng của câu hỏi là nó có thể được đặt ra cho bất kỳ phân phối khả dĩ nào trên số thực

• Nếu muốn thử làm thí nghiệm số với chuyện này, R có sẵn hỗ trợ tích hợp cho mục đích như vậy
  plot(polyroot(runif(101,-1,1)))
  Cách này sẽ cho bạn hình dung các nghiệm của một đa thức bậc 100

• “Giả sử các hệ số là độc lập và ngẫu nhiên đồng đều trên (−1,1). Nếu không, ta có thể chia mỗi hệ số cho hệ số có trị tuyệt đối lớn nhất để scale mọi hệ số vào (−1,1).”
  Tôi không chắc trực giác của mình có đúng không, nhưng khi chia để scale như vậy thì phân phối của các hệ số còn lại, trừ hệ số lớn nhất, có trở thành phân phối không đồng đều không?

  • Điều quan trọng là nhân đa thức với một hằng số không làm thay đổi nghiệm
  • Đúng, nhưng bạn không thể chọn ngẫu nhiên đồng đều một số thực. Ở đâu đó vẫn phải nhượng bộ

• Không có công thức cho đa thức bậc 5 trở lên, vậy làm sao phân biệt nghiệm thực với thực + epsilon*i?

  • Có thể dùng định lý Budan https://en.wikipedia.org/wiki/Budan%27s_theorem để chứng nhận rằng trong khoảng (r - ɛ, r + ɛ] có đúng một nghiệm thực, hoặc đúng 0 nghiệm thực
    Nếu giá trị ước lượng r nằm trong khoảng ɛ của một nghiệm nào đó, thì ngay cả khi không có giá trị chính xác, ta vẫn có thể phân biệt nghiệm thực với nghiệm phức. Tất nhiên cũng có những trường hợp định lý Budan không cho câu trả lời. Ví dụ rõ ràng nhất là khi trong khoảng đó có nhiều hơn một nghiệm
  • Việc không thể có công thức chính xác cho nghiệm của đa thức bậc cao không có nghĩa là ta cũng không thể tìm ra phân bố nghiệm của những đa thức đó. Câu hỏi ở đây là về phân phối chứ không phải một đa thức cụ thể, nên định lý Abel không phải rào cản
    Ví dụ, nếu xét đa thức a_n x^n + ... + a_0 trong đó các hệ số a_i là các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập cùng phân phối, thì ngay cả khi bậc n lớn (>4), ta vẫn có thể tự tin nói rằng đa thức như vậy có xác suất 1/2 có nghiệm thực tại x = 0. Trong câu hỏi được liên kết cũng có một lập luận tương tự nhưng tinh vi hơn đang hoạt động
  • Nếu là đa thức hệ số nguyên, có thể chặn trên nghiệm lớn nhất và nghiệm nhỏ nhất bằng một lũy thừa nào đó của giá trị tuyệt đối lớn nhất của hệ số. Có lẽ cũng có một cận tương tự cho phần ảo nhỏ nhất mà một nghiệm có thể có
    Nếu hệ số là số thực thì ngay cả có công thức cũng không giúp được gì. Ta vẫn gặp cùng một vấn đề là không thể quyết định liệu một số có bằng 0 hay không. Chẳng hạn trong công thức nghiệm bậc hai, biệt thức có thể là -epsilon; nếu epsilon bằng 0 thì không có nghiệm ảo, còn nếu khác 0 thì có
  • Có vẻ ở đây có thể dùng đạo hàm. Nếu x+iy và x-iy là hai nghiệm phức và y rất nhỏ, thì đạo hàm tại x cũng phải nhỏ. Nếu y=0 thì đó là nghiệm kép nên p'(x)=0
    Vì vậy nếu p'(x) đủ xa 0 thì có thể xem đó là một nghiệm thực đơn. Và với các hệ số ngẫu nhiên, nghiệm kép có lẽ gần như không xảy ra
  • Ước lượng ở đây dựa trên suy luận chứ không phải tính toán số. Ví dụ, đa thức nhận giá trị thực là ổn định theo liên hợp phức, nên nếu có một nghiệm phức thì liên hợp của nó cũng nhất thiết là nghiệm. Vì vậy một đa thức có ba nghiệm phân biệt thì bắt buộc phải có một nghiệm thực. Bằng những suy luận kiểu này, ta có thể biết nghiệm là thuần thực hay phức
    Còn về công thức, không có công thức tổng quát cho bậc 5 trở lên. Công thức tổng quát chỉ tồn tại cho đa thức bậc 4 trở xuống
    Tất nhiên, một số loại đa thức bậc cao cụ thể có thể có công thức riêng. Nhưng với đa thức bậc 5 tổng quát trở lên thì không có, và điều này đã được chứng minh từ lâu

• Hơi lạc đề một chút, nhưng tôi lúc nào cũng thích đọc những bài viết toán học như thế này
  Tôi thực sự rất thích toán ở đại học, và dù học khoa học máy tính, niềm vui của các giáo sư luôn truyền cảm hứng cho tôi. Tôi muốn học thêm và thử dấn thân vào việc giải quyết vấn đề bằng toán học. Có lẽ tôi sẽ nghiêng về phía giải tích số.
  Tuy nhiên, tôi đã tốt nghiệp được 2 năm và từ đó đến nay không đụng vào nhiều, nên có lẽ sẽ phải học lại khá nhiều. Tôi đang tự hỏi nên bắt đầu từ đâu, hoặc có nơi nào để tìm những chủ đề thú vị không. Không phải giải tích số, nhưng hồi đại học tôi đã giải khá nhiều bài của Project Euler; liệu còn thứ gì tương tự không? Mọi ý tưởng đều được chào đón.
  Hay là trước tiên tôi nên giải lại toàn bộ bài tập trong giáo trình? ;-)

  • Với những ai đã biết kha khá toán ở mức đại học và có tính tò mò, Mathematics and Its History (https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4419-6053-5) là một cuốn sách thực sự rất thú vị
    Proofs from THE BOOK (https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-57265-8) cũng có lẽ sẽ là một cuốn đọc rất vui
  • Hơi khác với câu hỏi, nhưng nếu bạn thích toán thì rất đáng để xem The Math Sorcerer: https://www.youtube.com/@TheMathSorcerer
  • Tôi đã quay lại đại học để học toán sau khi rời trường được 6–7 năm, và lúc đó dù điểm toán trước đây của tôi khá ổn, tôi gần như đã quên hết. Không có cách nào tốt hơn việc giải lại toàn bộ các bài tập mà tôi từng làm trước đây, và thực ra tôi nhận ra mình không hề quên sạch như tưởng tượng. Chúc may mắn.

• Có thể là vì tôi không biết dạng toán này
  Trong đầu tôi, tôi lấy một đa thức “ngẫu nhiên” và chỉ nhìn vào hai nghiệm lớn nhất. Sau đó tôi nghĩ đến hai phép đối xứng: đối xứng qua phía dưới/trên của đường cong và đối xứng qua trục x. Nếu hai nghiệm đứng đầu đó không suy biến, thì có vẻ trong bốn đường cong thu được từ tổ hợp các phép đối xứng, hai đường cong sẽ có nghiệm thực lớn nhất và hai đường cong sẽ có nghiệm ảo lớn nhất. Nếu suy biến thì nghiệm lớn nhất là số thực.
  Vì vậy tôi có xu hướng kết luận rằng (1) số trường hợp nghiệm lớn nhất là số thực nhiều hơn trường hợp là số ảo, và (2) vì số đường cong có nghiệm lớn nhất không suy biến là vô hạn nhiều hơn số trường hợp suy biến, nên “ưu thế” đó nhỏ đến mức biến mất.
  Có lẽ ai cũng sẽ thấy là tôi hầu như không biết thuật ngữ. Có thể tôi đang bỏ sót chuyện tính đồng đều của các hệ số ngẫu nhiên không dẫn tới phân bố đồng đều trong không gian. Hoặc các phép đối xứng của tôi phá vỡ một trong những điều kiện, chẳng hạn điều kiện hệ số thực. Hoặc đơn giản là tôi sai.

  • Tôi không hiểu rõ bạn muốn nói gì với phép đối xứng. Đối xứng đồ thị của đa thức p(x) qua trục x có nghĩa là biến p(x) thành p(-x). “Đối xứng qua phía dưới/trên của đường cong” nghĩa là gì? Qua trục y à? Nếu vậy thì p(x) sẽ biến thành -p(x)
  • “Đối xứng qua phía dưới/trên của đường cong” nghĩa là gì?
    Còn “tổ hợp” ở đây có lẽ là lấy (đa thức + đa thức đã đối xứng)/2 sao?

• Tôi không thực sự hiểu vì sao việc số thực có khả năng cao hơn lại bị xem là phản trực giác
  Nếu thay vì lấy các hệ số thực ngẫu nhiên phân bố đều trong một khoảng, ta chọn ngẫu nhiên các nghiệm phân bố đều trong một đĩa tâm tại gốc trên mặt phẳng phức rồi dựng đa thức, thì xác suất thu được một đa thức hệ số thực là gần như bằng không. Ngược lại, nếu các nghiệm ngẫu nhiên là số thực thì đa thức nhất định sẽ có hệ số thực. Vì vậy xét theo trực giác ban đầu thì cả hai đáp án đều không đáng ngạc nhiên, và với tôi thì phương án số thực có vẻ thậm chí còn trực quan hơn một chút. Tất nhiên điều đó không phải là tất yếu.

  • Đa thức bậc n có n nghiệm, bao gồm cả nghiệm thực lẫn nghiệm phức. Với một đa thức ngẫu nhiên, trong số đó sẽ có khoảng log(n) nghiệm thực và n - log(n) nghiệm không thực.
    Khi n lớn, log(n) là rất nhỏ so với n, nên việc trong hơn một nửa số trường hợp, nghiệm lớn nhất lại thuộc về nhóm nghiệm thực ít ỏi đó là điều rất đáng ngạc nhiên.

• Lần theo các liên kết ở đây thì có vẻ một trong các câu trả lời của Boris Hanin đã giải đáp một thắc mắc mà tôi giữ trong đầu bấy lâu nay.

• Mà tôi đang thắc mắc liệu đa thức ngẫu nhiên ở đây là đa thức có hệ số thực hay hệ số phức

  • Nếu cho phép hệ số phức thì phân bố sẽ đối xứng quay trên mặt phẳng phức. Vì vậy xác suất một nghiệm nằm trên trục thực sẽ không lớn hơn xác suất nó nằm trên bất kỳ đường thẳng nào khác đi qua gốc. Các đa thức có nghiệm lớn nhất là số thực gần như sẽ biến mất.
  • Câu hỏi được nêu ra đã nói rõ là hệ số thực. Về thực nghiệm, có vẻ họ chọn các hệ số ngẫu nhiên phân bố đều trong khoảng [-1, 1], và cũng kiểm tra một dạng phân bố chuẩn có scale.
  • Ngay dòng đầu của câu hỏi có chữ “real”