Bước tiến đáng chú ý về giả thuyết Riemann
(mathstodon.xyz)- Guth và Maynard lần đầu tiên cải thiện đáng kể cận năm 1940 của Ingham về các nghiệm không của hàm zeta Riemann, nhưng vẫn còn khá xa mới có thể giải được bản thân giả thuyết Riemann
- Đối tượng cốt lõi là số lượng nghiệm không N(σ,T) có phần thực ít nhất là σ và phần ảo có độ lớn không vượt quá T; cận hiện có tại σ=3/4 đã gần như không có tiến triển lớn nào trong hơn 80 năm
- Kết quả mới hạ cận tại σ=3/4 từ
3/5=0.6xuống13/25=0.52, đồng thời đưa ra ước lượng mật độ nghiệm không dạngN(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)} - Nhờ cải thiện này, khoảng áp dụng để chứng minh định lý số nguyên tố trên gần như mọi khoảng ngắn
(x, x+x^θ)được mở rộng từθ > 1/6thànhθ > 2/15 - Kết quả lần này siết chặt mạnh hơn khả năng tồn tại “nhiều vi phạm giả thuyết Riemann ở mức trung bình”, nhưng không phải là tiến triển về miền không có nghiệm không (zero-free region), vốn dùng để loại trừ một vi phạm đơn lẻ nhưng lớn
Cận mật độ nghiệm không được Guth–Maynard cải thiện
- Bài báo của Guth và Maynard New large value estimates for Dirichlet polynomials chứng minh một cận mới về tần suất mà đa thức Dirichlet đạt giá trị lớn
- Cụ thể, bài báo xử lý trường hợp tới hạn khi một đa thức Dirichlet độ dài
Nđạt độ lớn gầnN^{3/4}, vốn là nút thắt của nhiều ước lượng trong số học giải tích liên quan đến số nguyên tố và hàm zeta Riemann N(σ,T)là số nghiệm không của hàm zeta Riemann có phần thực ít nhất là σ và trị tuyệt đối của phần ảo không vượt quá T- Giả thuyết Riemann có thể được xem dưới dạng: với mọi
σ > 1/2, ta cóN(σ,T)bằng 0 - Hiện chưa thể chứng minh điều này một cách vô điều kiện, nên thay vào đó người ta chứng minh ước lượng mật độ nghiệm không, tức một cận trên không tầm thường cho
N(σ,T)
- Giả thuyết Riemann có thể được xem dưới dạng: với mọi
Cận Ingham bị chặn suốt hơn 80 năm
σ=3/4là giá trị then chốt trong bài toán này- Năm 1940, Ingham thu được cận
N(3/4,T) ≪ T^{3/5+o(1)} - Trong hơn 80 năm sau đó, cận này về cơ bản không được cải thiện đáng kể, chủ yếu chỉ có những tinh chỉnh nhỏ ở hạng sai số
o(1) - Giới hạn này đã kìm hãm nhiều bài toán trong số học giải tích
- Để có được định lý số nguyên tố tốt trên gần như mọi khoảng ngắn
(x, x+x^θ), từ lâu người ta phải dừng ở phạm viθ > 1/6 - Trở ngại chính là chưa thể cải thiện cận Ingham
- Để có được định lý số nguyên tố tốt trên gần như mọi khoảng ngắn
Các con số mới dẫn tới kết quả về khoảng ngắn của số nguyên tố
- Guth–Maynard cải thiện cận Ingham từ
3/5=0.6xuống13/25=0.52 - Bài báo bao gồm ước lượng mật độ nghiệm không dạng
N(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)} - Với các khoảng ngắn của số nguyên tố, họ suy ra công thức tiệm cận trên các khoảng có độ dài
x^{17/30+o(1)} - Phạm vi của định lý số nguyên tố trên gần như mọi khoảng ngắn
(x, x+x^θ)cũng được cải thiện tương ứng- Trước đây:
θ > 1/6 = 0.166... - Sau cải thiện:
θ > 2/15 = 0.133...
- Trước đây:
- Nếu giả thuyết Riemann đúng, phạm vi này có thể mở ra toàn bộ
θ > 0
Những thao tác bất ngờ được dùng trong chứng minh
- Lập luận nhìn chung mang tính chất phân tích Fourier
- Một phần các bước đầu khá chuẩn mực, quen thuộc với các nhà số học giải tích từng cố phá vỡ cận Ingham
- Sau đó, nhiều lựa chọn không trực quan lại đóng vai trò then chốt
- Kiểm soát ma trận pha
n^{it}=e^{it log n}bằng cách lấy lũy thừa bậc 6 của nó - Với một số tích phân Fourier phức tạp, họ không đơn giản hóa bằng stationary phase mà giữ lại dạng phân tích nhân tử hữu ích về sau, dù phải chấp nhận tổn thất ở số mũ
- Chia trường hợp theo additive energy của các vị trí mà chuỗi Dirichlet đạt giá trị lớn là nhỏ, trung bình hay lớn, rồi áp dụng các lập luận khác nhau
- Kiểm soát ma trận pha
- Dạng chính xác của hàm pha
t log nnội tại trong chuỗi Dirichlet trở nên cực kỳ quan trọng - Đây không phải cách xử lý các tổng mũ thông thường trong giải tích điều hòa, mà là cách khai thác tính đặc thù của các tổng mũ xuất hiện trong số học giải tích
Mật độ nghiệm không và miền không có nghiệm không là hai chuyện khác nhau
- Kết quả lần này giúp giảm khả năng xuất hiện “nhiều vi phạm ở mức nào đó nhưng chưa quá cực đoan” của giả thuyết Riemann
- Những cải thiện như vậy đặc biệt hữu ích để hiểu số nguyên tố trong các khoảng ngắn
- Tuy nhiên, nó không mới loại trừ được “một vi phạm đơn lẻ nhưng rất tệ” của giả thuyết Riemann
- Việc đó thuộc về miền không có nghiệm không
- Khi nghiên cứu số nguyên tố trên các khoảng dài, miền không có nghiệm không đóng vai trò trung tâm
- Miền không có nghiệm không tốt nhất đã biết về mặt tiệm cận vẫn là Vinogradov–Korobov zero-free region
- Theo ký hiệu này, nếu
σ ≥ 1 - log^{-2/3-o(1)} TthìN(σ,T)biến mất hoàn toàn - Kết quả này cũng gần như không thay đổi kể từ năm 1958
- Theo ký hiệu này, nếu
- Ở q-aspect, việc loại bỏ Siegel zero của các L-hàm cũng là một đột phá lớn theo hướng miền không có nghiệm không
- Xét theo cách trực quan hóa, số mũ
θ(σ)đã biết càng thấp thì cận càng tốt- Đường cong mới của Guth–Maynard cải thiện so với cận tốt hơn giữa Ingham và Huxley gần vùng
σ=3/4 - Nhưng trong vùng này vẫn chưa chạm tới density conjecture
- Giả thuyết Riemann tương ứng với việc hạ toàn bộ sơ đồ xuống trục x
- Đường cong mới của Guth–Maynard cải thiện so với cận tốt hơn giữa Ingham và Huxley gần vùng
1 bình luận
Ý kiến trên Hacker News
Có một bản trực quan hóa hàm zeta viết bằng JavaScript, có thể phóng to vô hạn và cũng có thể chỉnh các tham số: https://amirhirsch.com/zeta/index.html
Nó có thể giúp hiểu một cách trực quan vì sao giả thuyết này nhiều khả năng là đúng. Nó render các tổng riêng phần và theo dõi quỹ đạo của zeta
Trong phần render, nó bao gồm mọi tổng riêng phần cho đến N-critical được tính tự động, tức điểm mà chênh lệch pha giữa hai hạng tử nhỏ hơn π, hay chính là giới hạn Nyquist. Sau đó, hành vi của các tổng riêng phần trở nên đơn điệu
Các cụm trông giống như các mode aliasing di chuyển tới lui khi tần số tức thời của các hạng tử nằm giữa kπ và (k+1)π, còn vùng random walk là khu vực chỉ có một điểm cho mỗi mode aliasing. Đường màu xanh lá nhấn mạnh tính đối xứng của các tổng riêng phần, với các cụm giữ đối xứng với vùng random walk. Tính đối xứng này được trình bày rất rõ trong bài báo này: https://arxiv.org/pdf/1507.07631
zeta(s) là biến đổi Laplace của
sum(delta(t-ln n)), được lấy mẫu tại thời điểm t=(ln n) với các số nguyên n>0, và tốc độ lấy mẫu tăng rất nhanhCó thể hình dung đây là đáp ứng xung đi ra từ một hộp đen, và tùy theo tham số phần thực mà đáp ứng xung có thể là tín hiệu năng lượng hữu hạn hoặc tín hiệu công suất. Nếu giả sử năng lượng
sum(|1/s|^2)là hữu hạn, tứcreal(s) > 1/2, thì giả thuyết Riemann về cơ bản nói rằng tổng đó không bằng 0. Nó hơi giống như nói rằng một bộ lấy mẫu log không thể phá hủy thông tin khi còn chưa cắm nguồnTôi nghĩ nhìn trong ba chiều sẽ hữu ích: https://github.com/atonalfreerider/riemann-zeta-visualization
Dù vậy, thật thú vị khi có nhiều người thử làm cái này đến thế. Kết quả vừa đẹp mắt vừa là một bài tập lập trình vui
James Maynard thường xuất hiện trên Numberphile, nên nếu muốn nghe phần giải thích toán học dễ tiếp cận từ một trong các tác giả bài báo này thì rất đáng xem: https://www.youtube.com/playlist?list=PLt5AfwLFPxWJdwkdjaK1ogByEGiVHdEnM
Nguồn: https://www.youtube.com/watch?v=eupAXdWPvX8&list=PLt5AfwLFPxWJdwkdjaK1ogByEGiVHdEnM&index=3&t=10m
Nếu đang tìm một tài liệu nhập môn về giả thuyết Riemann đi sâu hơn đa số video nhưng vẫn đủ dễ tiếp cận với người học STEM, thì loạt video này của zetamath thật sự rất hay
Tôi cũng đã hiểu được toàn bộ bài viết gốc của giáo sư Tao cho tới đoạn “kiểm soát ma trận cốt lõi của pha”, nên rõ ràng là các video đó đã dạy được điều gì đó
[1] https://www.youtube.com/watch?v=oVaSA_b938U&list=PLbaA3qJlbE93DiTYMzl0XKnLn5df_QWqY
Thật khiến người ta phải tưởng tượng cảm giác sẽ như thế nào khi Terence Tao nói rằng chính ông cũng đã thử một điều tương tự nhưng thất bại, rồi tóm tắt lập luận của bạn
“Lập luận phần lớn mang tính phân tích Fourier. Những bước đầu tiên khá tiêu chuẩn, và nhiều nhà lý thuyết số giải tích từng cố vượt qua rào cản Ingham, bao gồm cả tôi, sẽ nhận ra chúng. Nhưng họ đã thực hiện một số nước đi thông minh và bất ngờ.”
Ngoài ra, ông cũng thường viết rất nhiều về các công cụ và giới hạn của chúng. Tôi thực sự khuyên nên đọc blog của ông
[0]: https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth
[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/James_Maynard_(mathematician)
Hơn nữa, nó cũng có thể cho thấy một nền tảng và sự thấu hiểu vững chắc đến mức người ta không kỳ vọng hành động của ai đó nhất thiết phải tương ứng với danh tiếng của họ. Điều này đặc biệt đúng khi việc tạo ra kết quả không phải là cuộc thi về mức độ được yêu thích, mà là nỗ lực của cá nhân hoặc của một nhóm nghiêm túc, chặt chẽ
Với những ai làm việc trong môi trường kinh doanh thông thường, tập đoàn lớn, VC hay học thuật, nơi chính trị chi phối, trọng dụng thực tài chỉ còn là khẩu hiệu tạo động lực dễ nghe, còn mức độ nổi tiếng mới là đồng tiền thực sự, thì điều này có thể nghe khá xa lạ
Bài viết này giải thích tầm quan trọng tiềm năng liên quan đến chứng minh được đề xuất vào năm 2018 là một tài liệu nhập môn hữu ích
[1] https://www.sciencenews.org/article/why-we-care-riemann-hypothesis-math-prime-numbers
Một sự thật thú vị: một trong các tác giả, Larry Guth, là con trai của nhà vật lý lý thuyết Alan Guth, người nổi tiếng với vũ trụ học lạm phát (https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth)
Tôi tự hỏi nên nghĩ thế nào về mọi định lý phụ thuộc vào việc lấy giả thuyết Riemann làm một trường hợp của luật bài trung
Những người theo chủ nghĩa kiến tạo bác bỏ luật bài trung, vì họ cho rằng để chứng minh “A hoặc B” thì phải thực sự có chứng minh của A hoặc chứng minh của B. Nhưng hiện giờ chưa ai có chứng minh của RH, cũng chưa ai có chứng minh của ~RH
Điều này quan trọng trong các hệ logic được gọi là không đầy đủ, nơi một số định lý không thể được chứng minh cũng không thể bị bác bỏ, và trong các hệ như vậy thì luật bài trung là một tiên đề không thể chấp nhận được
Nếu RH là không thể chứng minh theo cả hai hướng, thì chắc chắn không thể tồn tại phản ví dụ cho RH. Vì nếu có phản ví dụ, ta có thể tìm ra nó và chứng minh RH là sai
Do đó nếu RH là không thể chứng minh thì nó phải là đúng. Tuy vậy, điều này dường như đang dùng logic nằm ngoài hệ logic mà RH hoạt động trong đó
Phần bình luận này kỳ lạ là đầy những người thực ra không hiểu chủ đề nhưng lại muốn trông có vẻ thông minh, và kết quả là phản tác dụng
Mọi người nên bớt lo lắng đi. Thành thật nói rằng mình không hiểu điều gì đó cũng không sao cả. Ai cũng có nhiều thứ không hiểu hơn là hiểu
https://news.ycombinator.com/item?id=40571995#40576767
Trái lại, bình luận của bạn lại có vẻ khá trịch thượng, và giống như một sự phóng chiếu hơn là một đóng góp có ý nghĩa
Có ai giải thích được cho người không phải nhà toán học không?
zeta(z)=0đều có một dạng cụ thể nào đóHầu như mọi nhà toán học còn sống vào một thời điểm nào đó trong đời đều đã thử giải nó. Giả thuyết này có những hệ quả sâu sắc đối với lý thuyết số, chẳng hạn như phân bố của các số nguyên tố
Trong bài báo gần đây, một số nhà toán học tuyên bố đã đưa ra được các cận mạnh hơn về nơi các nghiệm đó có thể nằm. Trong bài viết được liên kết, Terrence Tao, một trong những nhà toán học hàng đầu hiện nay, đánh giá bài báo đó rất cao
Cá nhân tôi nghĩ nó vẫn chưa đến mức trở thành chủ đề cực kỳ đáng quan tâm đối với người không phải nhà toán học. Đây là một kết quả cực kỳ kỹ thuật, và trong quá trình thẩm định thêm có thể sẽ lộ ra là sai hoặc chưa hoàn chỉnh
Có rất nhiều tài liệu để đọc về giả thuyết Riemann, các hệ quả của nó, và những nỗ lực nhằm giải quyết nó
Nếu giả thuyết Riemann là đúng, ta sẽ biết sai số của phép xấp xỉ này là nhỏ và được kiểm soát tốt, từ đó có thể chứng minh nhiều kết quả xấp xỉ khác. Có rất nhiều kết quả dạng “nếu giả thuyết Riemann là đúng thì…”
Đúng lúc thật. Tôi đang nghe The Humans của Matt Haig, và câu chuyện bắt đầu sau khi ai đó chứng minh được giả thuyết Riemann