Những suy nghĩ về các phương pháp đã hiệu quả trong một câu lạc bộ toán học
(buttondown.email)- Trong câu lạc bộ toán học với 7 em nhỏ 7~8 tuổi diễn ra suốt khoảng 7 tháng, đã lộ ra khoảng cách lớn giữa những chủ đề mà người lớn nghĩ sẽ thú vị và những chủ đề mà bọn trẻ thực sự say mê
- Các hoạt động trực quan và thao tác như SET, câu đố gấp-cắt, tessellation, flexagon, hay dựng hình bằng thước và compa không hiệu quả như kỳ vọng, trong khi những bài toán có cốt truyện như câu đố kẻ nói dối lại nhận được phản ứng rất mạnh
- Chỉ với hình học hay mẫu số, sự quan tâm nhanh chóng giảm đi, nhưng trong các tình huống có nghi ngờ và manh mối như “ai là kẻ nói dối”, bọn trẻ bắt đầu cân nhắc các khả năng và mâu thuẫn, từ đó hình thành cảm giác về chứng minh
- Bài toán Seven Bridges bắt đầu bằng một câu chuyện, nhưng khi bọn trẻ tự tìm cách xác định bài toán cây cầu bất khả thi nhỏ nhất, các em đã trải nghiệm việc đơn giản hóa bài toán rồi tăng lại độ phức tạp
- Cách tiếp cận để toán học tự cất tiếng nói có thể phù hợp với những nhóm vốn đã quan tâm, nhưng với những đứa trẻ chưa có sẵn hứng thú thì cần khung truyện cuốn hút hơn để tạo sự nhập tâm
Sự khác biệt về mức độ hứng thú bộc lộ sau 7 tháng câu lạc bộ toán học
- Nhóm gồm 7 bé trai và gái đang ở độ tuổi từ 7 đến 8, và sau khoảng 7 tháng tổ chức câu lạc bộ toán học, tác giả nhìn lại xem điều gì thực sự hiệu quả
- Có một khoảng cách lớn giữa các chủ đề toán học mà người lớn thấy hấp dẫn và các chủ đề mà bọn trẻ thật sự tập trung vào
Những hoạt động không hiệu quả như mong đợi
- Những hoạt động sau được kỳ vọng là trẻ sẽ thích, nhưng thực tế gần như thất bại
- The game SET
- Fold-and-cut puzzles
- Geometry snacks
- Cutting a Mobius strip
- Tessellations: Tooti Tooti
- làm flexagons
- dựng hình bằng thước và compa
- Đặc biệt, hình học nhận phản ứng rất kém, và những bài toán xử lý diện tích của hình bất kỳ hay vùng tô bóng rất khó bọc trong một câu chuyện hấp dẫn
- Tessellation không khiến bọn trẻ thấy đẹp, còn ở các hoạt động gấp-cắt và flexagon, kỹ năng tay để cắt và gấp giấy đủ tốt còn thiếu nên cảm giác thất vọng tăng lên
Những chủ đề thành công ngoài dự đoán
- Có những hoạt động được dự đoán là trẻ sẽ không thích, nhưng thực tế lại nhận phản ứng rất mạnh
- Knights and Knaves puzzles, cùng các chủ đề logic mệnh đề như blue-eyed islanders
- Tự sắp lịch thi đấu thể thao theo thể thức vòng tròn và tìm cách giảm thời gian trì hoãn của cả giải đấu
- Ban đầu được đặt thành giải bóng đá, nhưng vì đứa trẻ thích bóng đá nhất vắng buổi đó nên đổi thành cuộc thi nhảy, và điều này lại vui hơn
- Bài toán Seven Bridges và việc tìm bài toán cây cầu “bất khả thi” nhỏ nhất
- Đánh giá ai đá penalty giỏi hơn dựa trên số lần thành công và thất bại
- Tự tạo các mẫu dạng Pascal’s triangle
- Cũng có những hoạt động đúng như dự đoán là trẻ thích
- Trò chơi Function Machine: đoán một hàm có thể được truy vấn như hộp đen
- Các biến thể của Nim
- The Turing Tumble
- Chia bánh công bằng bằng cookie thật và topping phân bố không đều
- Các trò chơi lý thuyết trò chơi như Prisoner’s dilemma và Chicken
- Làm mocktail cho 3 người dựa trên công thức cho 1 ly và 5 ly
- Đây là bài luyện về phân số, và đơn vị đo được dùng theo mức 1/4 ounce
Cấu trúc câu chuyện tạo ra sự tham gia
- Trong bài viết năm 2019 Attention spans for math and stories, tác giả tổng kết kinh nghiệm dùng kể chuyện để trẻ tham gia hoạt động và cảm thấy mình được chào đón trong nhóm
- Khi đọc tài liệu về câu lạc bộ toán học, tác giả dần tiếp nhận quan điểm rằng “toán học nên tự nói lên điều của nó”, và trong một số buổi, storytelling đã không hoạt động tốt
- Theo cách này, người dẫn bắt đầu bằng một bí ẩn mở như “liệu có thể vẽ một hình hoàn hảo không?”, rồi im lặng chờ cho đến khi người tham gia tự đặt câu hỏi và khám phá
- Cách tiếp cận này có thể phù hợp với học sinh lớn tuổi hơn hoặc những em vốn đã có chút quan tâm đến toán
- Trên thực tế, nhóm tham gia là kiểu trẻ em tầng lớp trung lưu khá giả đi câu lạc bộ toán sau buổi tập bóng đá, và khi chán thì chúng nghịch ngợm hoặc đùa kiểu vật lộn
- Bọn trẻ chưa từng chơi “Among Us”, nhưng vẫn liên tục gọi mọi thứ là “sus”
- Ngay cả các mẫu số cũng không thu hút được mấy nếu không được bọc trong một hình thức hấp dẫn hơn
Cách Knights and Knaves gieo cảm giác về chứng minh
- Bối cảnh “trong hai người có một kẻ nói dối thối tha, và phải dựa vào các manh mối trong lời nói để tìm ra ai là kẻ nói dối” đã hoạt động cực kỳ tốt
- Câu đố Knights and Knaves đầu tiên được triển khai bằng cách viết lời của Alice và Bob lên giấy, gắn vào ống hút nhựa rồi giơ lên như biển hiệu
- Alice: Bob is a liar!
- Bob: Neither of us are liars
- Bọn trẻ lập tức chỉ ra ai trông “sus” nhất, và ban đầu cho rằng Alice đáng nghi vì cô ấy đổ lỗi cho Bob
- Qua thảo luận, các em nhận ra lời của Alice và Bob mâu thuẫn với nhau, nên không thể cả hai đều đang nói thật
- Bọn trẻ chưa biết từ “mâu thuẫn”, nên thường gọi điều đó là “opposites”
- Khi xét các khả năng có thể, ban đầu các em nghĩ chỉ có 2 trường hợp, rồi đi đến kết luận là có 4
- Cả hai đều là kẻ nói dối
- Alice là kẻ nói dối, Bob là người nói thật
- Alice là người nói thật, Bob là kẻ nói dối
- Cả hai đều nói thật
- Sau khi kiểm tra từng trường hợp, cả nhóm đồng ý rằng khả năng duy nhất là Alice nói thật và Bob nói dối
- Khi định chuyển sang câu đố tiếp theo, bọn trẻ hỏi liệu mình đã giải đúng câu đầu chưa, và sau câu hỏi “các con có nghĩ là mình đúng không?” thì phản ứng cho thấy các em vẫn chưa thật sự chắc chắn
- Từ đó, cả nhóm quyết định tiếp tục suy nghĩ cho đến khi mọi người chắc chắn bằng chứng minh, và sau này một em đã nói: “Không, trường hợp đó mình đã chứng minh rồi mà!”
Những thay đổi tiếp nối thể hiện qua Seven Bridges và flexagon
- Bài toán Seven Bridges of Königsberg bắt đầu bằng câu chuyện, nhưng bọn trẻ nhanh chóng bỏ qua phần truyện để tập trung vào chính thử thách
- Ở các buổi sau, các em muốn quay lại bài toán này và muốn tìm “bài toán cây cầu bất khả thi nhỏ nhất”
- Dù không giải được bài gốc, quá trình đơn giản hóa bài toán, làm nó nhỏ hơn, rồi tăng lại độ phức tạp đến mức còn giải được đã hiện ra rất rõ
- Hoạt động làm flexagon thì bị ghét, nhưng ở món quà cuối buổi, tác giả đưa cho các em một hexaflexagon làm theo mẫu, với hình ảnh sáng và phân biệt rõ trên từng mặt
- Mẫu đã dùng là printed template
- Vài tuần sau, cha của một em kể rằng đứa trẻ đã mê mẩn chiếc hexaflexagon đó và mới gần đây mới phát hiện ra mặt thứ sáu
- Chuyển động của flexagon cũng có thể được vẽ thành bản đồ như bản đồ Seven Bridges để nhìn toàn bộ không gian cấu hình rõ hơn
Cách tiếp cận cần có nếu bắt đầu một nhóm mới
- Theo thời gian, ngay cả nhóm này cũng dần quen hơn với việc thưởng thức toán học vì chính toán học
- Nếu bắt đầu lại với một nhóm trẻ mới chưa có tình yêu sẵn có với toán học, sẽ cần thiết kế chủ đích hơn để bọc các bài toán trong những câu chuyện cuốn hút
1 bình luận
Ý kiến trên Hacker News
Những đứa trẻ này thật sự cực kỳ may mắn khi được tiếp xúc với các khái niệm và bài toán như vậy từ một giáo viên đầy nhiệt huyết ở độ tuổi còn rất nhỏ như thế
Ngay cả trong số những người làm giáo viên toán K-12, có lẽ cũng không nhiều người có thể dạy tốt một chương trình như vậy; xem blog của tác giả thì có vẻ anh ấy không làm việc này để nhận khoản tiền lớn, mà làm miễn phí, và thậm chí còn cố thuyết phục các phụ huynh khác cho con tham gia: https://buttondown.email/j2kun/archive/a-foray-into-math-cir...
Trong giáo dục toán học có một khoảng cách đặc quyền lớn mà những người ngoài giới toán thường không biết đến. Học sinh chỉ đi theo chương trình chuẩn hoặc chương trình tăng tốc thường ít được chuẩn bị cho sự nghiệp toán học hơn so với những học sinh từ nhỏ đã được tiếp xúc với các khái niệm phi chuẩn như thế này qua gia sư, trường năng khiếu hoặc cha mẹ là nhà toán học
Chương trình chuẩn cho đến khoảng năm hai đại học hầu như vẫn chủ yếu là tính toán kiểu học thuộc, rồi đột ngột chuyển sang các bài toán mở và chứng minh; trong khi thế giới mà các nhà toán học chuyên nghiệp sống đòi hỏi năng lực áp dụng logic một cách sáng tạo. Những học sinh được tiếp xúc từ nhỏ như vậy sẽ vượt qua bước chuyển này dễ hơn nhiều, đồng thời cũng sớm tích lũy được các tài sản cho sự nghiệp toán học như bài báo, thành tích thi đấu
Các phụ huynh khác có thể không biết rõ, nhưng OP đang cung cấp một dịch vụ rất có giá trị, thứ ở một số khu vực rất khó tìm và một số phụ huynh sẵn sàng trả rất nhiều tiền
Tôi không phải là kém toán, nhưng cũng không đặc biệt chín sớm; tôi từng vài lần đại diện trường cấp hai dự các cuộc thi toán khu vực nhưng không đạt thành tích gì. Nhìn lại thì việc hoàn toàn không có ai giúp tôi chuẩn bị có vẻ hơi lạ
Trong 1–2 năm gần đây, khi nghĩ nhiều hơn về điều này, tôi đã chuyển một phần đáng kể các khoản quyên góp của mình sang các chương trình kiểu math circle. Khả năng kiểm chứng thấp hơn so với các nguyên nhân theo kiểu vị tha hiệu quả trước thời longtermism, nhưng tôi cho rằng kiểu tư duy toán học đó rất có giá trị và khó có được nếu thiếu các chương trình như vậy
Tôi nhớ một câu chuyện ở Pháp: khi hỏi học sinh lớp 2 rằng 2×3 bằng bao nhiêu, em ấy chỉ biết tính giao hoán của phép nhân và trả lời “3×2”
Nếu muốn tham gia math circle trực tuyến với tư cách phụ huynh hoặc giảng viên tiềm năng, hãy xem https://theglobalmathcircle.org
Jeremy, tác giả của bài viết này, cũng đã tốt nghiệp chương trình đào tạo ở đó
Trò chơi cỗ máy hàm số là thứ tôi thấy trên HN và thử chơi khi con tôi 6 tuổi, bé rất thích
Khi con học các phép toán nâng cao hơn, tôi thêm chúng vào hộp công cụ; khi đổi vai và con có thể trả lời chính xác các truy vấn của tôi, tôi biết là con đã nắm được khái niệm đó
Nếu bạn hứng thú với những hoạt động như vậy, cũng có một số lựa chọn trả phí tương tự, dù không nhiều
Nhóm toán sau giờ học dành cho trẻ 7–11 tuổi ở San Francisco: https://www.meetup.com/chess-games-inner-fire/events/2956372...
Các math circle sau giờ học tại một số trường SFUSD: https://www.sfmathcircle.org/jose-ortega https://www.sfmathcircle.org/starr-king
Một tổ chức phi lợi nhuận từ xa 501(c)(3) vận hành các buổi toán thi đấu trực tuyến hằng tuần cho học sinh tiểu học và trung học cơ sở: https://mrmathonline.com/
Nếu đang tìm thứ nằm khoảng giữa lớp học và circle, Engaging Math Circles(https://emc.school) hoặc Russian School of Math(RSM) cũng đáng xem
Nếu muốn biết thêm về math circle, có tài liệu này: https://www.msri.org/people/staff/levy/files/MCL/Zvonkin.pdf
Nhân tiện, tôi có thể giới thiệu Mammoth Math cho trẻ em
https://www.penguinrandomhouse.com/books/704500/mammoth-math...
Dù nhóm tuổi khác, tôi từng dùng chủ đề đào Bitcoin để thu hút học sinh trung học
Đó là một hoạt động kéo dài khoảng 15 phút sau bài giảng về blockchain trong một seminar mật mã học
Thuật toán proof-of-work gốc của Bitcoin là thay đổi phần đầu vào ở giữa của hàm băm để kết quả bắt đầu bằng nhiều bit 0 nhị phân, tức là tìm
xsao chosha256(sha256(a || x || b)) < H. Tôi đã đơn giản hóa thànhx^2 % N < 10^H, cho phép dùng máy tính bỏ túi và máy tính, đồng thời cho phép tự do thay đổiNvàHHọc sinh rất thích hoạt động này; tôi nghĩ đó là vì nó có tính thời sự hơn các câu đố cũ, có cạnh tranh với nhau, phần thưởng mang tính nửa ngẫu nhiên nên các đội nhanh hơn hoặc thông minh hơn có lợi thế, phần thưởng là “Bitcoin vật lý” dưới dạng đồng xu sô-cô-la, và tuy gần như có thể thắng bằng vét cạn nhưng vẫn có nhiều đường tắt để tìm ra
Thật tiếc là dựng hình bằng thước thẳng và compa không thu hút được sự hứng thú của bọn trẻ
Vì hiện tôi đang số hóa bản dịch tiếng Hebrew của Euclid's Elements, tôi đã kỳ vọng khía cạnh vật lý gần như một giờ mỹ thuật sẽ thú vị hơn phần lý thuyết, và việc nó độc lập với con số cũng sẽ khiến các em thấy ít đáng sợ hơn so với giờ toán thông thường
Tôi cho rằng Euclid's Elements ngoài tầm quan trọng lịch sử còn có giá trị giáo dục, nhưng có lẽ suy nghĩ của tôi rằng nó sẽ thú vị hơn với đa số trẻ em trong bối cảnh giáo dục là sai
Nếu có những em quan tâm đến một môn thể thao cụ thể, hoạt động dùng số lần ghi bàn/sút hỏng để xem ai đá penalty giỏi hơn là một cách tốt để dạy đại số tuyến tính. 'Who's #1? - The Science of Rating and Ranking' trình bày chi tiết nhiều phương pháp đánh giá và xếp hạng, và từng là một trong những sách bắt buộc trong chương trình thạc sĩ khoa học dữ liệu của tôi
Tuy vậy tôi không chắc nó có phải tốt nhất để học hay không. Thông thường, điểm cốt lõi là tương tác chủ động với tài liệu, chẳng hạn tự dựng hình trực tiếp mà không cần mô hình, nhưng quy tắc hiệu quả với trẻ em có thể khác
Việc bọn trẻ hứng thú với logic mệnh đề thì trái lại là điều đáng mừng. Vì nó có thể trở thành nền tảng cho tư duy nhất quán. Tôi cũng như tác giả, đã đoán rằng các em sẽ thích hoạt động làm bằng tay hơn
Ngay từ đầu, động cơ ban đầu của việc dựng hình bằng thước thẳng và compa là gì? Những ý tưởng như tính đầy đủ, tính đối xứng, khả năng dựng được đều khá trừu tượng
https://www.euclidea.xyz/ thì thú vị, nhưng tôi cũng thích vẽ các mẫu Girih và cũng không phải trẻ 8 tuổi
Tôi nhớ trò chơi Euclidea là một cách hay để cho trẻ em thấy Euclid thú vị: https://www.euclidea.xyz/
Không hẳn vì khía cạnh tiên đề, mà là vì những câu hỏi làm lung lay giả định toán học kiểu “qua hai điểm có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng? Tùy bạn!”, cùng các sơ đồ thú vị. Mô hình mặt phẳng xạ ảnh Fano và mô hình đĩa Poincaré cũng hấp dẫn, và còn có cả hoạt hình lẫn phần mềm tương tác
Dù vậy khoảng một tuần sau thì tôi chán. Có vẻ một buổi 2 tiếng dành cho các loại hình học và dựng hình khác nhau là vừa phải
Hình học tiên đề kiểu Euclid's Elements rất thú vị và có thể phù hợp với chương trình trung học phổ thông. Trước khi học sinh học đại số, các em khó có được cảm giác đúng về việc dẫn xuất phương trình hay chứng minh từ một điểm xuất phát nhỏ, còn hình học tọa độ thì thực dụng hơn nhiều. Với thước thẳng và compa, ngay từ đầu cũng có những thứ không thể dựng được
Cách tiến cấp, hệ thống điểm số, và cơ chế giải chứng minh để mở “công cụ” mới được làm rất tốt
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.hil_hk.euc...
Với hoạt động dạy trẻ ở độ tuổi tương tự, tôi muốn thêm trò đếm đến 1000 bằng ngón tay
Với lập trình viên thì đây là chuyện tự nhiên, nhưng nó có những yếu tố cốt lõi hữu ích cho giáo dục toán học
Câu hỏi “Con có biết đếm đến 1000 bằng ngón tay không?” trông như ma thuật hay siêu năng lực đối với trẻ nên các em thấy vui. Lúc đầu, hãy cho các em xem cách đếm đến khoảng 20, và lướt nhanh qua 4 và 6. Sau đó cho các em dự đoán một cách bố trí ngón tay cụ thể không nhìn thấy; nếu đoán sai thì lại cho xem
Khi đã quen với mẫu, hãy ra câu đố hỏi trạng thái tất cả các ngón tay duỗi ra là số mấy. Thường các em sẽ bí, nhưng nếu gợi ý “Nếu có thêm một ngón tay nữa và chỉ ngón đó duỗi ra, còn tất cả ngón còn lại đều gập lại thì là số mấy? Từ đó có thể tìm ra số kia không?” thì dù mất thời gian, gần như lúc nào các em cũng giải được
Cái đẹp là rào cản bắt đầu rất thấp. Trẻ chỉ cần biết nhân với 2 và biết tên các số đến 1024. Đồng thời, nó có thể dạy nhiều cách biểu diễn, việc hình thức hóa phù hợp với mục tiêu, và cảm giác có được “siêu năng lực” bằng cách thoát khỏi kỳ vọng của người bình thường
Câu đố trên cũng cho thấy rằng tìm được mẫu hình sẽ giúp giải bài tốt hơn. Thay vì cách vét cạn là cộng giá trị từng ngón tay, có thể dùng điểm mốc rằng vị trí gợi ý chỉ lệch một đơn vị so với vị trí cần tìm. Điểm mốc là một khái niệm rất quan trọng trong toán học, và nằm ở gốc rễ của nhiều lời giải nổi tiếng
Đi sâu hơn nữa có thể nói đến chứng minh và thiết kế thuật toán. Cũng có thể giải thích thuật toán giống như chứng minh quy nạp. Ở bước bắt đầu, lòng bàn tay hướng về phía người dùng và tất cả ngón tay đều gập lại; bắt đầu từ bên phải và tăng ngón ngoài cùng bên phải. Ở bước thứ n, bắt đầu từ mép phải, nếu ngón tay đang gập thì duỗi ra; nếu đang duỗi thì gập lại rồi tăng đệ quy ngón tay kế tiếp bên phải theo cùng điều kiện
Với bất kỳ “trò chơi” nào, lấy thứ trẻ thích nhất làm trung tâm là tốt nhất. Nếu trẻ gặp khó ở một trò, hãy dùng một trò khác mà trẻ giỏi để dạy trò khó đó. Suy cho cùng toán học là ngôn ngữ, và nhiều thứ có thể được diễn đạt lại
Tôi cho rằng một trong những khó khăn là nhiều người đã nội tâm hóa toán học như một thứ quá nghiêm ngặt. Nếu dạy theo kiểu “đây là cách đúng” và không công nhận các cách khác, khả năng khái quát hóa khái niệm sẽ thấp đi. Bài toán có lời văn cố giải quyết điều này, nhưng nó có cảm giác giống một cách tiếp cận vét cạn, gần với việc dạy máy hơn là dạy người
Thêm vào đó là việc ở tuổi nhỏ, nhiều người thường học từ những người không có đam mê với toán. Sự thờ ơ đó truyền từ giáo viên sang học sinh. Có lẽ nhiều người còn nhớ cảm giác mới mẻ khi may mắn gặp được một giáo viên yêu toán và khuyến khích mặt sáng tạo. Bản thân tôi cho đến khi gặp một lớp học như vậy vào năm hai trung học phổ thông vẫn ghét toán, dù học giỏi toán và ở lớp nâng cao
Năm ngoái, tôi cùng con gái đã dạy SET cho lớp 1 của con. Phần lớn thiết kế bài học là do tôi làm, nhưng bọn trẻ vẫn học được và cũng tỏ ra hứng thú
Đây không phải là môi trường câu lạc bộ toán mà là giờ học cho cả lớp, nên có lẽ sẽ thú vị nếu xem khác biệt nằm ở đâu
Có rất nhiều toán học có thể khai thác từ trò này. Có thể bắt đầu từ số học modular đơn giản, rồi bàn đến khái niệm trừu tượng hóa các thuộc tính thành 0, 1, 2. Đi xa hơn một chút, cũng có thể nói về lý thuyết nhóm và việc trò chơi tương ứng với
Z3^4, tức bốn bản sao củaZ3Nếu các em hứng thú với lý thuyết nhóm, có thể in ra và dùng thử các trò chơi bài tương tự biểu diễn những nhóm khác, rồi bàn về các tiên đề của nhóm, cách trò chơi biểu diễn một nhóm, và vì sao điều đó hợp lý
Cũng có thể giới thiệu nhẹ về lập trình. Dựa trên tính chất bất biến trong định nghĩa của một tập hợp là
sum c_i = 0với mọii, có thể giải thích cách dạy máy tính chơi trò này. Cũng dễ khái quát hóa độ dài trò chơi bằng cách thêm hoặc bớt các đặc tính như màu nền của lá bàiDù sao thì trò này vẫn là tuyệt nhất
Sau vài ván, con tìm được set nhanh gần như chúng tôi, nhưng kỹ năng và mức độ hứng thú thay đổi tùy theo việc con có bị phân tâm hay mệt không
Nếu muốn một trò Set chơi một mình, có một phiên bản mã nguồn mở khá ổn: https://playset.netlify.app/
Ở đây, ‘AI’ tìm lời giải một cách ngẫu nhiên. Ở chế độ dễ, cứ mỗi 2 giây nó chọn ngẫu nhiên hai lá bài đang hiển thị, rồi kiểm tra xem lá cần để hoàn thành một set có trên màn hình hay không
Nếu trẻ mới làm quen với Set, có thể nên chỉnh độ trễ lên khoảng 5 giây. Tất nhiên Set vẫn vui hơn khi chơi đối kháng với người khác