Thứ tự nhìn qua hình minh họa của lý thuyết phạm trù

• Cấu trúc thứ tự được hình thành khi một quan hệ hai ngôi trên một tập phần tử thỏa mãn các quy luật như phản xạ, bắc cầu, phản đối xứng
• Thứ tự tuyến tính là cấu trúc mà mọi cặp phần tử đều có thể so sánh được; bỏ tính toàn phần thì trở thành thứ tự bộ phận
• Trong thứ tự bộ phận, có thể nắm cấu trúc qua chain, phần tử lớn nhất·nhỏ nhất, join·meet, và biểu đồ Hasse
• Pha màu, tính chia hết, và quan hệ bao hàm giữa các tập hợp là các ví dụ của thứ tự bộ phận; khi đều có cả join và meet thì tạo thành lattice
• Preorder là cấu trúc chỉ có tính phản xạ và bắc cầu; mọi preorder đều có thể được diễn giải như một phạm trù mà giữa hai đối tượng có nhiều nhất một cấu xạ

---

Thứ tự

• Thứ tự gồm một tập phần tử và một quan hệ hai ngôi trên đó; khi thỏa một số quy luật nhất định thì hình thành một cấu trúc toán học
  • Điều cốt lõi không nằm ở chính tiêu chuẩn sắp thứ tự, mà ở việc quan hệ giữa các phần tử có những tính chất nào
  • Quan hệ hai ngôi là quan hệ giữa hai phần tử của một tập, và cũng có thể biểu diễn bằng mũi tên
• Trong lý thuyết tập hợp, thứ tự có thể được biểu diễn như một tập con của tích Descartes của một tập với chính nó; trong lập trình, nó có thể được biểu diễn dưới dạng hàm so sánh hai đối tượng
  • Tuy nhiên, không phải mọi hàm so sánh hay mọi tập các cặp phần tử đều định nghĩa được một thứ tự; để cho ra kết quả nhất quán bất kể cách sắp ban đầu, cần có các quy tắc nhất định

Thứ tự tuyến tính

• Thứ tự tuyến tính** là thứ tự trong đó mọi phần tử đều có vị trí tương đối với nhau, một cấu trúc mà việc** phần tử nào đứng trước phần tử nào không hề mơ hồ

  • Ví dụ được đưa ra là thứ tự màu theo độ dài bước sóng ánh sáng hoặc theo cách sắp xếp trong cầu vồng
  • Thứ tự tuyến tính được định nghĩa là quan hệ hai ngôi thỏa mãn phản xạ, bắc cầu, phản đối xứng, và toàn phần
  • Bốn quy luật này là các điều kiện cấu thành quan hệ thứ tự

• Phản xạ

  • Mọi phần tử phải lớn hơn hoặc bằng chính nó; với mọi $a$ đều có $a \le a$
  • Đây là quy tắc xử lý trường hợp cơ sở; ngược lại, nếu định nghĩa sao cho một phần tử không quan hệ với chính nó thì sẽ hình thành một kiểu khác gần với strict order

• Bắc cầu

  • Nếu $a \le b$ và $b \le c$ thì phải có $a \le c$
  • Đây là quy luật quyết định phần lớn bản chất của thứ tự

• Phản đối xứng

  • Đây là quy tắc cấm kết quả so sánh mâu thuẫn; trường hợp $x \le y$ và $y \le x$ chỉ được phép khi $x = y$
  • Có thể tóm lại là không cho phép hòa hạng giữa các phần tử khác nhau

• Toàn phần

  • Mọi cặp phần tử đều phải so sánh được; với hai phần tử bất kỳ luôn có $a \le b \lor b \le a$
  • Tức là với bất kỳ hai phần tử nào, một trong hai phải lớn hơn hoặc bằng phần tử còn lại
  • Vì tính toàn phần bao gồm cả trường hợp $a$ và $b$ bằng nhau, nên nó bao hàm tính phản xạ như một trường hợp đặc biệt
  • Bỏ tính toàn phần thì ta có thứ tự bộ phận; thứ tự tuyến tính cũng được gọi là total order

• Thứ tự của số tự nhiên

  • Các số tự nhiên tạo thành một thứ tự tuyến tính dưới quan hệ lớn hơn hoặc bằng
  • Mọi thứ tự tuyến tính hữu hạn đều đẳng cấu với một tập con của số tự nhiên theo cách ánh xạ phần tử thứ nhất thành 1, phần tử thứ hai thành 2
  • Vì vậy, mọi thứ tự tuyến tính hữu hạn có cùng kích thước đều đẳng cấu với nhau
  • Từ góc nhìn lý thuyết phạm trù, cũng có nhắc đến việc sơ đồ của mọi thứ tự tuyến tính hữu hạn và phần lớn thứ tự tuyến tính vô hạn trông giống hệt nhau

Thứ tự bộ phận

• Thứ tự bộ phận là cấu trúc thu được khi bỏ tính toàn phần khỏi thứ tự tuyến tính, và chỉ giữ lại phản xạ, bắc cầu, phản đối xứng
  • Tên gọi partially-ordered set, hay poset, cũng được dùng
• Mọi thứ tự tuyến tính đều là thứ tự bộ phận, nhưng không phải mọi thứ tự bộ phận đều là thứ tự tuyến tính
• Thứ tự bộ phận cũng liên hệ với quan hệ tương đương; đó là cấu trúc trong đó phản đối xứng thay cho đối xứng của quan hệ tương đương
• Trong ví dụ so sánh trình độ bóng đá, nếu chỉ có một số người có thể được so sánh trực tiếp hoặc gián tiếp thì vẫn có thể có thứ tự tuyến tính; nhưng nếu có người chưa từng thi đấu với nhau thì cấu trúc sẽ trở thành phi tuyến, từ đó hình thành thứ tự bộ phận
  • Thứ tự bộ phận có thể không luôn đưa ra được câu trả lời dứt khoát cho câu hỏi ai giỏi hơn ai

• Chain

  • Một thứ tự bộ phận có thể gồm nhiều tập con tuyến tính; các tập con tuyến tính như vậy được gọi là chain
  • Ví dụ đưa ra hai chain là $m \to g \to f$ và $d \to o$
  • Các chain không nhất thiết phải tách biệt hoàn toàn; miễn là mọi liên kết không nối một-một để gộp thành một chain duy nhất thì vẫn giữ nguyên tính chất của thứ tự bộ phận
  • Trong ví dụ, có thể biết $d \le g$ và $f \le g$, nhưng quan hệ giữa $d$ và $f$ vẫn chưa xác định

• Phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất

  • Nếu một phần tử $a$ thỏa $x \le a$ với mọi phần tử khác $x$, thì phần tử đó là greatest element
  • Một số thứ tự bộ phận có tồn tại phần tử như vậy; trong sơ đồ ví dụ, $m$ là greatest element
  • Dù có nhiều phần tử đều lớn hơn các phần tử khác, nếu chúng không đồng nhất với nhau thì vẫn không tồn tại greatest element
  • Tương tự như vậy cũng định nghĩa được least element

• Join

  • Cận trên bé nhất của hai phần tử có liên hệ được gọi là join
  • Điều kiện định nghĩa có hai điểm
    • $A \le G$ và $B \le G$ phải đúng
    • Với mọi phần tử khác $P$ lớn hơn cả $A$ và $B$, phải có $G \le P$
  • Nếu một phần tử lớn hơn phần tử kia thì join chính là phần tử lớn hơn đó
  • Trong thứ tự tuyến tính, join của mọi cặp phần tử chính là phần tử lớn hơn
  • Nếu có nhiều cận trên cùng mức mà không có cận trên bé nhất duy nhất thì join không tồn tại; join phải là duy nhất

• Meet

  • Trong số các phần tử đều nhỏ hơn hoặc bằng cả hai phần tử đã cho, phần tử lớn nhất được gọi là meet
  • Các quy tắc giống join nhưng theo chiều ngược lại

• Biểu đồ Hasse

  • Các sơ đồ dùng trong mục này là Hasse diagrams
  • Có thêm quy tắc là phần tử lớn hơn luôn được đặt ở phía trên
  • Nếu có mũi tên, điểm mà mũi tên hướng tới luôn nằm cao hơn
  • Nhờ cách bố trí này, chỉ cần nhìn quan hệ trên-dưới của hai điểm là có thể so sánh; join cũng có thể được nhận ra bằng cách tìm phần tử thấp nhất trong số các phần tử cùng nối tới hai điểm đó

• Thứ tự bộ phận của việc pha màu

  • Bài viết đưa ra color-mixing partial order, trong đó mỗi màu hướng tới màu có chứa chính nó
  • Join của hai màu bất kỳ là màu thu được khi trộn hai màu đó

• Thứ tự bộ phận của các số theo phép chia

  • Nếu sắp các số không theo độ lớn mà theo khả năng chia hết, ta sẽ được một thứ tự bộ phận
  • Định nghĩa rằng nếu $a$ chia hết $b$ thì $a$ đứng trước $b$
  • Ví dụ, vì $2 \times 5 = 10$ nên 2 và 5 đứng trước 10, còn 3 thì không đứng trước 10
  • Trong thứ tự này, join là bội chung nhỏ nhất, còn meet là ước chung lớn nhất

• Thứ tự bộ phận theo bao hàm

  • Khi có nhiều tập hợp chứa một phần các phần tử chung, ta có thể định nghĩa inclusion order
  • Nếu tập $a$ chứa $b$, hay nói cách khác $b$ là tập con của $a$, thì $a$ đứng trước $b$
  • Trong trường hợp này, join là hợp, còn meet là giao
  • Nếu trộn các màu có trong từng tập hợp, ta sẽ thu được cùng một cấu trúc như thứ tự bộ phận pha màu ở trên
  • Thứ tự chia hết của các số đẳng cấu với thứ tự bao hàm của tập hợp các số nguyên tố hoặc prime powers khi cho phép lặp lại
  • Điều này được bảo đảm bởi định lý cơ bản của số học rằng mọi số đều được biểu diễn duy nhất theo một cách thành tích của các số nguyên tố

Định lý biểu diễn của Birkhoff

• Thứ tự bộ phận pha màu và thứ tự bộ phận theo phép chia của các số đều có thể được biểu diễn như thứ tự bao hàm trên các tổ hợp tập hợp khả dĩ của một số phần tử cơ bản
  • Với trường hợp đầu, phần tử cơ bản là các màu cơ bản; với trường hợp sau, đó là số nguyên tố hoặc lũy thừa của số nguyên tố
• Birkhoff’s representation theorem xác định khi nào một thứ tự bộ phận hữu hạn có thể được biểu diễn theo cách này
  • Có hai điều kiện
    • Với mọi cặp phần tử đều tồn tại join và meet
    • Join và meet phải phân phối đối với nhau. Dùng ký hiệu $∨$, $∧$ thì có $x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)$
• Một thứ tự bộ phận mà mọi phần tử đều có join và meet được gọi là lattice
• Nếu các phép toán đó phân phối lẫn nhau thì đó là distributive lattice
• Các phần tử “mang tính nguyên tố” dùng để cấu thành inclusion order là những phần tử không thể biểu diễn thành join của các phần tử khác, và được gọi là join-irreducible elements
• Định lý cũng có thể phát biểu dưới dạng mỗi distributive lattice đều đẳng cấu với inclusion order của các join-irreducible elements của chính nó
• Một thứ tự bộ phận không phải distributive lattice vẫn có thể đẳng cấu với một inclusion order, nhưng khi đó nó tương ứng với một inclusion order không chứa mọi tổ hợp khả dĩ

Lưới

• Lattice là một thứ tự bộ phận trong đó mọi cặp phần tử đều có join và meet
  • Mọi lattice đều là thứ tự bộ phận, nhưng không phải mọi thứ tự bộ phận đều là lattice
• Nhiều thứ tự bộ phận được tạo ra theo một quy tắc nào đó là distributive lattice, và các ví dụ ở mục trước nếu vẽ đầy đủ cũng sẽ trở thành distributive lattice
• Trong ví dụ pha màu, cần thêm viên bi đen ở phía trên và viên bi trắng ở phía dưới
  • Nếu không, ba phần tử phía trên sẽ không có join, còn ba phần tử phía dưới sẽ không có meet

• Lưới bị chặn

  • Lattice có cả greatest element và least element được gọi là bounded lattice
  • Trong lattice pha màu, viên bi đen là greatest element, còn viên bi trắng là least element
  • Bài viết cũng nhắc rằng mọi lattice hữu hạn đều là bounded

Đẳng cấu thứ tự

• Đẳng cấu thứ tự là một hàm khả nghịch giữa các tập nền của hai thứ tự, đồng thời bảo toàn các mũi tên thứ tự
• Lấy ví dụ thứ tự chia hết của các số và thứ tự bao hàm của các số nguyên tố, ta có hai hàm
  • Hàm từ thứ tự bao hàm các số nguyên tố sang thứ tự của các số là phép nhân các phần tử của tập
  • Hàm từ thứ tự của các số sang thứ tự bao hàm các số nguyên tố là prime factorization, tức phân tích số thành thừa số nguyên tố
• Điều kiện cốt lõi của đẳng cấu thứ tự là với hai phần tử $a$, $b$, $a \le b$ khi và chỉ khi $F(a) \le F(b)$
• Các hàm như vậy được gọi là hàm order-preserving

Tiền thứ tự

• Preorder là cấu trúc thu được khi bỏ phản đối xứng khỏi thứ tự tuyến tính, và chỉ giữ lại phản xạ và bắc cầu
• Xét theo khả năng so sánh thì
  • Thứ tự tuyến tính có $a \le b$ hoặc $b \le a$
  • Thứ tự bộ phận có thể rơi vào một trong hai, hoặc cả hai đều không đúng
  • Tiền thứ tự có thể là một trong hai, cả hai đều không đúng, hoặc cả hai đều đúng
• Tiền thứ tự khác với nghĩa thông thường của “thứ tự”, vì từ một điểm bất kỳ có thể có mũi tên đi tới điểm khác
  • Bài viết đưa ra ví dụ trong bóng đá: mô hình hóa “ai thắng ai”, kể cả các chiến thắng gián tiếp
• Do tính bắc cầu, chiến thắng gián tiếp cũng được thêm vào như quan hệ trực tiếp; kết quả là nếu có quan hệ vòng thì nhiều đối tượng sẽ tạo thành một cấu trúc mà tất cả đều nối với nhau

• Tiền thứ tự và quan hệ tương đương

  • Tiền thứ tự là cấu trúc trung gian giữa thứ tự bộ phận và quan hệ tương đương
  • Vì điểm khác biệt giữa chúng là (phản) đối xứng đã bị bỏ đi
  • Trong tiền thứ tự, các phần tử nối hai chiều với nhau thỏa đối xứng, nên tạo thành một quan hệ tương đương
  • Gom các phần tử như vậy lại thì ta thu được các equivalence classes của tiền thứ tự
  • Nếu chỉ chuyển các liên kết giữa các lớp tương đương đó thì các liên kết này sẽ thỏa phản đối xứng, từ đó tạo thành một thứ tự bộ phận
  • Vì vậy, với mọi tiền thứ tự đều có thể định nghĩa một thứ tự bộ phận trên các lớp tương đương của nó

Tiền thứ tự và phạm trù

• Tính bắc cầu của tiền thứ tự là quy tắc rằng nếu có $a \le b$ và $b \le c$ thì sinh ra $a \le c$; điều này có thể được diễn giải như hợp thành của các quan hệ
• Định nghĩa của phạm trù bao gồm hai điều kiện sau
  • Mỗi đối tượng có một cấu xạ đồng nhất
  • Có thể hợp thành hai cấu xạ thích hợp, và phép hợp thành đó phải có tính kết hợp
• Trong tiền thứ tự, tính bắc cầu đảm nhiệm vai trò hợp thành, còn phản xạ đóng vai trò cấu xạ đồng nhất
• Vì vậy mọi tiền thứ tự đều là một phạm trù
• Trong phạm trù tổng quát, có thể có nhiều cấu xạ giữa hai đối tượng; nhưng trong tiền thứ tự, giữa hai đối tượng bất kỳ chỉ có nhiều nhất một cấu xạ
  • Hoặc có $a \le b$, hoặc không có, chỉ một trong hai
• Cũng như monoid là phạm trù chỉ có một đối tượng, thứ tự có thể được mô tả là phạm trù trong đó giữa hai đối tượng có nhiều nhất một cấu xạ
• Chính vì tính chất này mà trong tiền thứ tự, mọi sơ đồ đều giao hoán

• Tính chất phạm trù của thứ tự bộ phận và tiền thứ tự

  • Thứ tự bộ phận và tiền thứ tự đều là các trường hợp đặc biệt của tiền thứ tự, nên cũng là phạm trù
  • Trong lý thuyết phạm trù, tiền thứ tự còn được nhắc đến như skeletal categories, tức các phạm trù mà các đối tượng đẳng cấu không cùng tồn tại như những đối tượng phân biệt

• Tích và đối tích

  • Định nghĩa coproduct trong phạm trù được cấu thành từ hai cấu xạ $A \to A + B$, $B \to A + B$ cùng với tính chất phổ quát
  • Nó có đúng cùng hình thức với định nghĩa của join trong thứ tự
  • Trong thứ tự, mọi cấu xạ đều là duy nhất nên “lớn hơn” tương ứng với “tồn tại một cấu xạ duy nhất”
  • Vì vậy, coproduct phạm trù trong phạm trù của tiền thứ tự chính là join
  • Theo tính đối ngẫu, product tương ứng với meet

• Định nghĩa hình thức

  • Trong lý thuyết phạm trù, các phạm trù mà giữa hai đối tượng có nhiều nhất một cấu xạ như thứ tự được gọi là thin categories
  • Mọi tiền thứ tự đều có thể được xem như một thin category; và ngược lại, các phạm trù như vậy có thể được diễn giải như tiền thứ tự
  • Thin category được dùng để khám phá khái niệm phạm trù trong một bối cảnh dễ hiểu hơn so với phạm trù tổng quát
  • Hiểu meet và join cũng giúp hiểu các khái niệm phạm trù tổng quát hơn là product và coproduct
  • Đây cũng là một khuôn khổ hữu ích khi không quan tâm đến sự khác biệt giữa nhiều cấu xạ giữa các đối tượng mà chỉ cần một cấu trúc đơn giản

[GN⁺]

Ý kiến trên Hacker News

• Nếu muốn học category theory theo cách chính thống hơn, nhiều người khuyên dùng cuốn miễn phí Basic Category Theory của Tom Leinster. Tôi cũng định sớm đọc kỹ từng bước; theo ấn tượng khi lướt qua, nó toán học hơn các tài liệu kiểu TFA nhưng khá ổn. Đặc biệt, nó thuyết phục hơn trong việc giải thích vì sao category theory có thể đứng vững như một lĩnh vực nghiên cứu riêng
  • Tuy vậy, cuốn này cũng như sách category theory nói chung phần lớn được viết với giả định người đọc đã quen với toán bậc đại học. Nếu chưa quen với algebraic structures, linear algebra hay topology thì rất có thể sẽ phải tra thêm tài liệu khác ở nhiều chỗ. Và category theory gây ấn tượng mạnh hơn khi bạn đã biết phần nào bối cảnh ngữ nghĩa mà nó cố gắng thống nhất. Ví dụ, sách có thể giới thiệu initial property như thể đó là điều hiển nhiên, nhưng mấu chốt là phải nhận ra rằng với cấu trúc bất kỳ thì điều đó không tự nhiên đúng
• Ngay cả khi đọc bài với thiện chí mà không định kiểm tra từng phép toán, chỉ riêng ví dụ JavaScript này cũng đủ làm tôi mất niềm tin: [1, 3, 2].sort((a, b) => { if (a > b) { return true } else { return false } }) không phải là một comparator hợp lệ. API mong đợi số âm, 0 hoặc số dương, nhưng đoạn này lại trả về boolean, và trên Chrome của tôi thì kết quả vẫn là [1, 3, 2]. Theo tôi, độ chính xác toán học của bài cũng ở mức tương tự, và tôi đã ghi lại các chỉ ra chi tiết trong bình luận này
  • Tôi không hiểu vì sao lại phải giả định đoạn code đó là JavaScript. Theo những gì tôi thấy thì bản gốc không hề ghi rõ ngôn ngữ
• Theo tôi, rào cản thật sự của toán học trừu tượng nói chung, đặc biệt là category theory, không phải vì mọi người không hiểu "linear order". Vấn đề lớn hơn là cảm giác nó vô dụng vì quá xa rời đời sống hằng ngày. Nó giống như đổ nước lên một tấm kính hoàn toàn nhẵn vậy
  • Tôi tò mò không biết phía category theory có những sự thật gây choáng váng nào khi mới nghe tới hay không. Ngày trước khi lần đầu nghe rằng group theory có thể được dùng để chứng minh đa thức bậc lớn hơn 5 không có nghiệm giải tích tổng quát, tôi thật sự rất kinh ngạc; tôi muốn hỏi category theory có điều gì tương tự như vậy không
  • Tôi thấy nhận xét này còn đúng hơn tưởng tượng. Nếu mục tiêu của toán học là tư duy chính xác, thì bài đó quá thiếu chính xác. Điều khiến tôi ngạc nhiên hơn là dường như không ai để tâm hoặc nhận ra điều đó, nên tôi đã ghi một danh sách lỗi, tuy còn rất thiếu, trong bình luận khác của tôi. Kết luận của tôi là bài kiểu này không giúp ích nhiều cho độc giả phổ thông. Nếu toán học sai cũng được tiêu thụ giống như toán học đúng, thì tính hữu dụng của nó lại càng đáng nghi hơn
  • Tôi nghĩ đây là vấn đề ở cách giảng dạy. Order theory rất hữu ích trong lập trình. Mấu chốt là phải bỏ thói quen nhìn thế giới qua comparator totally ordered, và tôi thấy preorder đặc biệt mạnh. Chẳng hạn, transition của state machine trong một số trường hợp có thể được xem là một preorder, và nếu mô hình hóa được như vậy thì ta có thể rút cả một bài kiểm thử phức tạp về thành việc kiểm tra xem <= có đúng hay không. Dĩ nhiên để quen với cách nghĩ đó cần khá nhiều thời gian, nhưng ngược lại, nếu cứ lôi nó vào các công việc thường ngày thì dần dần nó sẽ trở nên quen thuộc. Rồi đến lúc bạn nhìn một bài test và nghĩ kiểu như "điều kiện này có thể mô hình hóa bằng một preorder nào đó"
  • Tôi chỉ thật sự nhận ra điều này một cách có ý thức vào khoảng năm thứ hai của chương trình tiến sĩ. Và ngay khoảnh khắc đó, tôi biết rằng sau khi lấy bằng xong thì mình muốn rời khỏi lĩnh vực này
• Văn phong của tác giả và việc lạm dụng dấu ngoặc khiến tôi rất khó chịu. Tôi nghĩ parenthetic material thực sự không xuất hiện nhiều đến thế, và viết kỹ thuật tốt thì phải tiết chế dấu ngoặc hơn nhiều
  • Tôi cảm thấy trên Internet nói chung, đặc biệt là trong bình luận HN, người ta dùng cách diễn đạt bằng dấu ngoặc quá mức. Tôi đôi khi cũng vậy, nhưng sẽ khá hữu ích nếu có một tiện ích trình duyệt tự động thu gọn hoặc gạch bỏ các dấu ngoặc lồng nhau vượt quá một mức thiết lập nào đó
  • Tôi đùa thôi, nhưng đôi khi có cảm giác có thể đoán được phần nào khuynh hướng ADHD của một người qua số lượng dấu ngoặc họ dùng. Tất nhiên, lập trình viên Lisp có thể là ngoại lệ
• Tôi chưa đọc sâu category theory, nhưng nó cho tôi cảm giác như một phiên bản diễn đạt toán học hơn của những gì lập trình viên vốn đã làm từ trước. Nó khá giống kiểu tư duy nâng hạ mức trừu tượng, xử lý graph, và làm việc với các hàm biến object kiểu này thành object kiểu khác
• Tôi nghĩ cũng có thể giải thích category theory gần như là lý thuyết chỉ về các mũi tên. Theo định nghĩa, mọi object đều có một identity arrow, nên có thể đồng nhất identity arrow đó với chính object. Nhìn từ góc độ ấy, object có vẻ như một dạng syntactic sugar
  • Tôi vừa mở bài ra, thấy đầy những hình M&M đủ màu, lập tức cảm thấy điều này gần như hiển nhiên nên đóng lại ngay
• Tôi từng thấy ai đó vẽ những sơ đồ kiểu này bằng vở và bút chì. Lúc ấy tôi nghĩ đó là graph theory, và khá tiếc vì đã bỏ lỡ thời điểm bắt chuyện. Người đó trông như đang làm vì sở thích nên tôi càng tò mò hơn. Tôi muốn hỏi những người làm thực tế hay nghiên cứu xem có câu đố nào dễ tạo từ loại lý thuyết hay toán học này không
  • Tôi từng làm về s-arc transitive graphs trong algebraic graph theory, nhưng ngạc nhiên là hầu như không phải tự tay vẽ graph thật. Phần lớn công việc là suy luận bằng group actions, automorphisms, arc-stabilisers và những thứ tương tự. Để ai tò mò hình dung thực tế nó ra sao, tôi có đăng một ghi chú ngắn ở đây. Nó không nói về chính s-arc-transitivity mà tôi nghiên cứu, nhưng có thể cho cảm giác về không khí của lĩnh vực này. Một phần lớn của graph theory diễn ra mà không cần vẽ bất kỳ graph cụ thể nào
• Khi học category theory trong chương trình thạc sĩ năm 2015, tôi nhận ra quan hệ thứ tự ảnh hưởng đến rất nhiều thứ, từ data structures đến algorithms. Nó có vẻ vừa cơ bản vừa cốt lõi
• Đọc cái này làm tôi nhớ đến type classes trong Haskell. Cách nó định nghĩa khái niệm order một cách thanh nhã bằng một tập quy tắc riêng, đồng thời nắm bắt các quan hệ rất gọn, trông khá giống nhau
• Tôi thấy tài liệu này giải thích order relations rất rõ ràng. Việc trực quan hóa cấu trúc khiến các khái niệm trừu tượng dễ tiếp thu hơn nhiều