- Britta Späth và Marc Cabanes đã hoàn tất chứng minh giả thuyết McKay, một bài toán lớn chưa được giải trong lý thuyết nhóm, mở rộng khả năng hiểu các nhóm hữu hạn phức tạp thông qua những nhóm con nhỏ hơn rất nhiều
- Giả thuyết này bắt đầu từ một sự trùng khớp bất ngờ rằng một nhóm hữu hạn và Sylow normalizer của nó có đúng cùng một số lượng biểu diễn (representation) thuộc một loại nhất định
- Sau khi việc phân loại các nhóm hữu hạn hoàn tất vào năm 2004, Isaacs, Navarro và Malle đã rút bài toán về một mệnh đề mạnh hơn trên một tập nhóm hẹp hơn, và rào cản cuối cùng là các nhóm kiểu Lie
- Späth và Cabanes lần lượt xử lý bốn phạm trù của các nhóm kiểu Lie; sau khi chỉ còn lại một phạm trù cuối cùng vào năm 2018, họ tiếp tục dành thêm 6 năm để xác nhận cả các quy tắc đối ứng biểu diễn cần thiết
- Giờ đây các nhà toán học có thể nghiên cứu những tính chất quan trọng của nhóm thông qua Sylow normalizer dễ xử lý hơn, dù vẫn chưa có lời giải thích vì sao một tập con nhỏ lại chứa nhiều thông tin đến vậy về nhóm lớn
Giả thuyết McKay nói gì
- Giả thuyết McKay bắt đầu từ một sự trùng khớp số học mà John McKay phát hiện vào thập niên 1970
- Đối tượng là nhóm hữu hạn (finite group), tức nhóm có số phần tử hữu hạn
- Nhóm là đối tượng trừu tượng biểu diễn tính đối xứng của các hệ toán học
- Khi số phần tử tăng lên và cấu trúc trở nên phức tạp, việc nghiên cứu trực tiếp toàn bộ nhóm sẽ trở nên khó khăn
- McKay cho rằng chỉ cần nhìn vào một phần nhỏ của nhóm gốc cũng có thể thu được thông tin quan trọng
- Cụ thể, ông chú ý đến Sylow normalizer, một nhóm nhỏ đặc biệt nằm trong nhóm gốc
- Sylow normalizer có thể chỉ chứa một phần cực nhỏ các phần tử của nhóm gốc, và cấu trúc của nó cũng có thể rất khác với nhóm ban đầu
- Cốt lõi của giả thuyết là số lượng biểu diễn (representation) thuộc một loại nhất định là hoàn toàn bằng nhau giữa nhóm hữu hạn ban đầu và Sylow normalizer
- Biểu diễn là cách viết lại các phần tử của nhóm dưới dạng ma trận
- Số lượng này được dùng để hiểu các phần tử của nhóm liên hệ với nhau ra sao và để tính các tính chất quan trọng khác
Vì sao sự trùng khớp này gây kinh ngạc
- Sự trùng khớp mà McKay quan sát được không phải là xấp xỉ hay xu hướng chung, mà là một đẳng thức chính xác tuyệt đối
- Ví dụ, một nhóm có 72 phần tử có thể được phân tích thành 2³ × 3²
- Ta có thể xét một nhóm con gồm 8 phần tử hoặc một nhóm con gồm 9 phần tử
- Từ đó có thể thêm một số phần tử nhất định để tạo thành 2-Sylow normalizer và 3-Sylow normalizer
- Không có lý do hiển nhiên nào để những cấu trúc nhỏ này lại có đúng cùng số lượng biểu diễn với toàn bộ nhóm gốc
- Gabriel Navarro ví điều này như việc tỷ lệ phiếu bầu của toàn bộ một cuộc bầu cử ở Mỹ và tỷ lệ phiếu bầu của một thị trấn nhỏ ở Montana không chỉ “gần giống” mà còn chính xác bằng nhau
- Nếu giả thuyết là đúng, các nhà toán học có thể nghiên cứu tính chất của các nhóm hữu hạn lớn thông qua Sylow normalizer dễ xử lý hơn thay vì phải làm việc trực tiếp với nhóm lớn
Định lý phân loại và việc quy giản bài toán
- Dự án khổng lồ nhằm phân loại toàn bộ các khối cấu thành của nhóm hữu hạn đã kéo dài hơn 100 năm và hoàn tất vào năm 2004
- Mọi khối cấu thành đều thuộc một trong ba phạm trù, hoặc nằm trong danh sách 26 ngoại lệ
- Từ lâu, các nhà toán học đã kỳ vọng phép phân loại này có thể đơn giản hóa những bài toán như giả thuyết McKay
- Năm 2004, Marty Isaacs, Gabriel Navarro và Gunter Malle đã tìm ra cách biến giả thuyết McKay thành một mệnh đề mạnh hơn trên một tập nhóm hẹp hơn
- Không chỉ yêu cầu số lượng biểu diễn phải bằng nhau, mà các biểu diễn còn phải đối ứng với nhau theo những quy tắc nhất định
- Nếu mệnh đề mạnh này đúng với các nhóm đó, thì giả thuyết McKay cho toàn bộ các nhóm hữu hạn sẽ suy ra theo
- Trong những năm sau đó, phép quy giản này đã được dùng để giải quyết phần lớn các trường hợp của giả thuyết McKay
- Cùng cách tiếp cận đó cũng đóng vai trò như một bản thiết kế để quy giản các giả thuyết liên quan khác, nơi người ta nghiên cứu toàn thể thông qua một phần của nó thay vì toàn bộ đối tượng
Các nhóm kiểu Lie, bài toán khó cuối cùng
- Sau khi quy giản, vẫn còn một lớp là các nhóm kiểu Lie (groups of Lie type) chưa được giải quyết
- Các nhóm kiểu Lie rất quan trọng về mặt toán học vì chúng là những khối cấu thành phổ biến nhất của các nhóm khác, nhưng các biểu diễn của chúng lại cực kỳ khó nghiên cứu
- Späth biết đến giả thuyết McKay vào năm 2003 khi là nghiên cứu sinh của Malle tại University of Kassel
- Từ đó cô đi sâu vào nghiên cứu biểu diễn nhóm và liên tục theo đuổi giả thuyết này
- Năm 2010, Späth gặp Cabanes tại Paris Cité University
- Cabanes là chuyên gia về tập nhóm hẹp nằm ở trung tâm của phiên bản quy giản của giả thuyết McKay
- Hai người cùng dấn sâu vào bài toán, và Cabanes gọi đó là “nỗi ám ảnh” của họ
- Các nhóm kiểu Lie có bốn phạm trù, và Späth cùng Cabanes đã dành hơn 10 năm để lần lượt chứng minh từng phạm trù
- Trong quá trình đó họ đã công bố nhiều kết quả quan trọng
- Họ vận dụng những lý thuyết khó từ các lĩnh vực toán học khác nhau để phát triển hiểu biết sâu sắc về các nhóm kiểu Lie
Chứng minh cuối cùng và những câu hỏi còn lại
- Đến năm 2018, trong bốn phạm trù của các nhóm kiểu Lie chỉ còn lại đúng một phạm trù cuối cùng, và phải mất thêm 6 năm nữa mới giải được trường hợp này
- Späth và Cabanes đã chỉ ra rằng trong phạm trù cuối cùng, số lượng biểu diễn cũng trùng khớp với Sylow normalizer, đồng thời thỏa mãn cả các quy tắc đối ứng biểu diễn cần thiết
- Khi trường hợp cuối cùng được hoàn tất, toàn bộ giả thuyết McKay tự động trở thành đúng
- Tháng 10/2023, hai người đã trình bày chứng minh trước hơn 100 nhà toán học, và một năm sau thì công bố trực tuyến
- Radha Kessar đánh giá đây là “một thành tựu rực rỡ tuyệt đối”
- Giờ đây các nhà toán học có thể nghiên cứu những tính chất quan trọng của nhóm chỉ bằng cách nhìn vào Sylow normalizer
- Đây là một cách tiếp cận dễ hơn so với làm việc với nhóm ban đầu
- Nó cũng có thể có những ứng dụng thực tiễn
- Tuy vậy, vì sao một tập con nhỏ lại cung cấp nhiều thông tin đến vậy về nhóm mẹ lớn hơn vẫn còn là một bí ẩn
- Kessar nói rằng “phải có một lý do cấu trúc nào đó khiến các con số này bằng nhau”
- Đã có một số nghiên cứu sơ bộ, nhưng mối liên hệ đó vẫn chưa được hiểu rõ
- Späth và Cabanes hiện đang tìm bài toán tiếp theo để dồn tâm sức
- Späth nói rằng cho đến nay vẫn chưa có gì cuốn hút cô mạnh như giả thuyết McKay
1 bình luận
Ý kiến trên Hacker News
Có lẽ có lý do khiến câu “việc đơn độc theo đuổi một bài toán khó như thế này có nguy cơ gây hại cho sự nghiệp học thuật, nhưng Späth vẫn dồn toàn bộ thời gian vào nó” xuất hiện trong hầu hết mọi bài viết
Thật may là có những con người bền bỉ như vậy, và tôi cũng muốn nâng ly vì cả những khả năng phản thực tế thậm chí không được nhắc đến
Không thể vừa đi theo mô hình vừa thay đổi mô hình đó. Tôi nghĩ nếu hạ thấp vai trò của những “ngựa ô” thì sẽ thiệt hại lớn. Nhiều trường hợp thất bại, có lẽ đa số sẽ thất bại, nhưng xét đến mức độ ảnh hưởng, chỉ cần một tỷ lệ nhỏ thành công cũng đủ đáng để khuyến khích
Thế nhưng trên thực tế, những việc đi ngược số đông thường bị can ngăn vì các lý do như nỗi sợ thất bại. Trong nghiên cứu, phần lớn thử nghiệm thất bại, nhưng chỉ những thất bại không học được gì mới là thất bại thật sự. Hiện nay rất khó công bố kết quả âm, nên bản thân các nỗ lực như vậy cũng giảm đi, và hệ thống về bản chất khuyến khích các nghiên cứu “an toàn”, vốn chỉ có thể mang tính tiệm tiến. Trớ trêu là trong khi đó, rất nhiều bài báo vẫn bị từ chối vì “thiếu tính mới”
Những ánh mắt phán xét vẫn sẽ còn, nhưng có thể phớt lờ. Cá nhân tôi nghĩ chính phủ nên hỗ trợ nhiều hơn cho các nghiên cứu kiểu moonshot, rủi ro cao/phần thưởng cao của cá nhân hoặc nhóm nhỏ. Nếu phân tán cho nhiều người, độ biến động sẽ giảm và có thể tạo ra thành quả. Nhưng dòng tài trợ nghiên cứu hiện nay ở Mỹ dường như đang đi theo hướng hoàn toàn ngược lại, nên tôi không mấy lạc quan
Cuối cùng ông ấy đã thành công, và tôi luôn đánh giá cao ban lãnh đạo đã ủng hộ ông ấy
Không phải ai cũng phải cống hiến sự tồn tại của mình cho việc tối đa hóa cơ hội nghề nghiệp, cứ để họ yên là được
Tôi thích đoạn “Khi cặp vợ chồng đó công bố kết quả, các đồng nghiệp đã kinh ngạc thán phục. Persi Diaconis của Stanford University nói: ‘Tôi đã muốn có một cuộc diễu hành. Sau nhiều năm làm việc thật sự, thật sự, thật sự vất vả, cô ấy đã làm được, và họ đã làm được’”
Một trong những điều tôi thích khi làm các bài toán tổ hợp là kiểu ủng hộ tích cực như vậy. Những người như Persi Diaconis hay D.J.A. Welsh rất tử tế, khiến cả lĩnh vực có cảm giác chào đón hơn
Và những gợn sóng đó, tùy theo ý định và hành động, sẽ vọng lại trong ta thành hạnh phúc hoặc điều ngược lại
“Positive vibration, yeah.” --Bob Marley
Tôi hiểu đại khái giả thuyết McKay nói thế này
Giả sử ta muốn biểu diễn một nhóm nào đó bằng các ma trận số phức. Thường có nhiều cách làm như vậy, và mỗi cách có một đặc trưng (character) giống như dấu vân tay của biểu diễn đó
Mặt khác, người ta biết rằng mọi nhóm đều có một nhóm con lớn có kích thước là lũy thừa của một số nguyên tố nào đó. Gọi nó là P. Nhóm này có một nhóm chuẩn hóa trong đó P là nhóm con chuẩn tắc, gọi là N(P)
Điều đáng ngạc nhiên là số đặc trưng của toàn bộ G lại bằng số đặc trưng của N(P), vốn chỉ là một phần nhỏ của G
Về mặt kỹ thuật, trong cả hai trường hợp đều loại trừ các biểu diễn có bậc là bội của p
Thú vị ở chỗ giả thuyết được chứng minh bằng phân tích theo từng trường hợp, và mỗi trường hợp lại cần kỹ thuật khác nhau
Việc mọi nhóm hữu hạn đều có tính chất này trông gần như là ngẫu nhiên. Vì mỗi nhóm có tính chất đó vì những “lý do” khác nhau
Nhưng theo bài viết, các nhà toán học giờ đang tìm kiếm lý do cấu trúc sâu xa hơn khiến giả thuyết này đúng. Một khi đã biết kết quả là đúng, nhiều nhà toán học hơn có thể nghiêm túc lao vào nghiên cứu
Việc chia những đối tượng liên quan thành các phần rồi chứng minh cho từng nhóm là chuyện phổ biến. Có chứng minh thì đơn giản, nhưng có cái cần kỹ thuật cao cấp hơn nhiều và vẫn là bài toán mở trong nhiều năm
Bài báo: https://arxiv.org/abs/2410.20392
Tình cờ là sau khi gần đây thấy bài trên HN, tôi đang đọc phần về nhóm trong Infinite Napkin
Tôi hiểu các định nghĩa này nọ, nhưng vẫn chưa có cảm giác vì sao nhóm lại quan trọng đến mức cốt lõi như vậy
Chẳng hạn bài viết nói có 50 nhóm bậc 72, còn ChatGPT nói có 50 nhóm không giao hoán và 5 nhóm giao hoán, nhưng tôi không hiểu đây là insight quan trọng về điều gì
Nhóm bậc 72 gồm 44 nhóm không giao hoán và 6 nhóm giao hoán. Tôi không nghĩ các con số cụ thể này cực kỳ quan trọng, nhưng bản thân các con số đúng là như vậy
Nếu có một phép toán giữ cho một đối tượng không đổi, ví dụ phép quay một tam giác đều sao cho một đỉnh chuyển sang vị trí của đỉnh khác, thì phép đó khả nghịch, và phép nghịch đảo của nó cũng giữ đối tượng không đổi. Các phép toán như vậy khi hợp thành vẫn duy trì tính bất biến, và hàm đồng nhất thì luôn giữ mọi thứ bất biến. Vì thế các phép đối xứng tạo thành một nhóm
Điểm khó hơn một chút là mọi nhóm đều là tập các phép đối xứng của một thứ nào đó. Vì vậy nhóm nắm bắt chính xác khái niệm đối xứng. Với nhà toán học, “nhóm” và “đối xứng” gần như là đồng nghĩa
Nhóm hữu hạn thú vị vì, như các đối xứng xoay các nguyên tử trong phân tử vào vị trí của nhau, chúng có thể cho biết cấu trúc phân tử, mức năng lượng, phổ, khả năng liên kết, v.v.; còn nhóm vô hạn xuất hiện trong vật lý theo kiểu các định luật vật lý vẫn như nhau dù ta tùy ý quay hay tịnh tiến hệ tọa độ. Đối xứng cũng xuất hiện như một cách nghiên cứu các đối tượng toán học khác, và các nhà toán học cũng muốn biết mọi nhóm khả dĩ trông như thế nào
Không ai nhất thiết cố giải thích vì sao các số nguyên tố nằm cách nhau như vậy; thay vào đó, khi giải thích một hiện tượng nào đó, người ta chỉ ra một thứ cụ thể có phải là số nguyên tố hay không
Ví dụ có một công thức gọn gàng để phân tích đa thức bậc hai, tức công thức nghiệm; bậc ba và bậc bốn cũng có công thức nhưng thường không bắt học thuộc. Nhưng với bậc năm thì không có công thức như thế. Các nhà toán học đã mất thời gian để chứng minh rằng thứ đó không tồn tại, nhưng cách chứng minh là những công thức như vậy phải có một nhóm hữu hạn nhỏ hơn một kích thước nhất định nằm bên dưới; khi liệt kê các nhóm đó, ta thấy không có nhóm nào tương ứng với công thức bậc năm, nên cũng không có công thức bậc năm
Vì vậy nhóm hữu ích như một dạng độ phức tạp nguyên thủy có thể tham chiếu mà không cần giải thích chi tiết. Tính chất của các nhóm nhỏ có thể kiểm tra bằng tay, và khi biết rồi thì hóa ra khá nhiều thứ, nếu nhìn theo cách đó, đều tạo thành nhóm
Ví dụ bài toán đang xét có giao hoán không? Nếu có, thì nó nhất định phải có dạng như X hay Y
Chứng minh của họ: https://arxiv.org/abs/2410.20392 (2024)
Quả là một sự cống hiến đáng kinh ngạc. Tôi đặc biệt thích câu chuyện cá nhân trong bài, và đó không phải là thứ lúc nào cũng thấy trong các bài viết STEM
Mong rằng mối quan hệ của hai người sẽ thích nghi tốt trong thực tại mới, khi mục tiêu chính đã đạt được
Nếu chỉ cho thấy kết quả cuối cùng, nó khiến người khác cảm thấy như việc đó thật dễ với họ, đến mức bỏ cuộc ngay cả trước khi cố gắng hiểu hay đóng góp. Đặc biệt trong toán học, bản thân ý tưởng phải đơn giản. Vì chúng ta đâu phải kiểu người như Ramanujan, cộng các chuỗi vô hạn trong đầu. Chỉ là ý tưởng đó bị che khuất sau vô số thuật ngữ ký hiệu chuyên ngành
Tôi nhớ đến diễn giải trừu tượng do vợ chồng Patrick Cousot và Radhia Cousot cùng tạo ra [1]
Đó là một kỹ thuật hữu ích, tôi đã học trong môn kiểm chứng hình thức
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_interpretation
Bài viết thật sự rất hay
Nó khiến tôi dành vài giờ tìm đọc các công trình liên quan, trong đó có cả công trình của John Conway
Nói thêm, trình độ toán của tôi chỉ ở mức BSEE. Dù vậy tôi có một cuốn The Algebraic Eigenvalue Problem, một trong những sách bài tập mà các giáo sư đại học hay tham khảo, và thỉnh thoảng vẫn mở ra xem lướt qua