Hannah Cairo, 17 tuổi, lật ngược một phỏng đoán toán học 40 năm tuổi bằng phản ví dụ
(english.elpais.com)- Phỏng đoán Mizohata-Takeuchi, vốn được xem là đúng trong nhiều thập kỷ trong giải tích điều hòa, đã được xác nhận là không phải một mệnh đề phổ quát nhờ phản ví dụ của Hannah Cairo, 17 tuổi
- Nếu phỏng đoán này đúng, nó có thể tự động củng cố nhiều kết quả quan trọng trong lĩnh vực, nên bản thân việc bác bỏ đã làm lung lay đáng kể kỳ vọng của các nghiên cứu trước đây
- Cairo biết đến phỏng đoán gốc qua một bài tập tự chọn trong lớp học tại UC Berkeley; sau vài tháng cố chứng minh, cô chuyển hướng sang xây dựng phản ví dụ bằng cách khai thác cấu trúc của sự khó khăn
- Phản ví dụ sử dụng nhiều công cụ, trong đó có fractal; sau đó, khi nhìn lại bài toán trong không gian tần số, cô cũng tìm ra một cách thiết kế phản ví dụ đơn giản hơn
- Cairo, người đạt được thành quả nghiên cứu trước khi hoàn tất trung học, dự kiến bắt đầu chương trình tiến sĩ tại University of Maryland vào mùa thu này dưới sự hướng dẫn của Zhang
Phỏng đoán Mizohata-Takeuchi bị một thiếu niên 17 tuổi bác bỏ
- Hannah Cairo đã cố chứng minh phỏng đoán trong vài tháng, nhưng sau khi hiểu vì sao việc chứng minh lại khó, cô nhận định có thể dùng chính cấu trúc đó để tạo ra phản ví dụ
- Sau nhiều lần thất bại, cô xây dựng được một trường hợp không thỏa tính chất đang được nghiên cứu; trường hợp này cho thấy mệnh đề không đúng một cách phổ quát
- Việc xây dựng phản ví dụ cần đến nhiều công cụ, bao gồm fractal, và từng yếu tố phải được bố trí cực kỳ cẩn thận
- Cô cũng mất thời gian để thuyết phục Ruixiang Zhang rằng đề xuất của mình thực sự đúng
Vì sao điều này quan trọng trong giải tích điều hòa
- Bài toán Cairo giải quyết là Mizohata-Takeuchi conjecture, một vấn đề được nêu ra lần đầu vào thập niên 1980 và được các nhà nghiên cứu giải tích điều hòa theo đuổi suốt nhiều thập kỷ
- Phỏng đoán này từng được tin rộng rãi là đúng; nếu đúng, nó có thể tự động xác minh nhiều kết quả quan trọng trong lĩnh vực
- Giải tích điều hòa là lĩnh vực phân rã các hàm thành những thành phần đơn giản hơn, chẳng hạn như sóng sin
- Nén tệp âm thanh và video số
- Thiết kế hệ thống truyền thông
- Hiểu nhiều hiện tượng vật lý và toán học
Lý thuyết Fourier và trực giác của phỏng đoán
- Giải tích điều hòa bắt nguồn từ việc Joseph Fourier nghiên cứu phương trình nhiệt mô tả sự khuếch tán nhiệt bên trong vật rắn vào đầu thế kỷ 19
- Ý tưởng cốt lõi của Fourier là phân rã các hàm phức tạp thành tổng của sin và cosin; kỹ thuật này được biết đến với tên Fourier series
- Cairo giải thích rằng trong giải tích điều hòa, mọi thứ đều được tạo thành từ sóng, và nếu dùng đủ nhiều sóng thì có thể tạo ra bất cứ thứ gì
- Fourier restriction theory nghiên cứu việc có thể tạo ra đối tượng nào chỉ bằng một tập sóng bị giới hạn
- Theo cách Cairo giải thích, phỏng đoán Mizohata-Takeuchi là mệnh đề nói rằng nếu chỉ dùng một số loại sóng nhất định thì sẽ thu được các dạng được tạo thành từ những đường thẳng
Nghiên cứu bắt đầu từ một bài tập trên lớp
- Cairo sinh ra tại Nassau, Bahamas; sau khi chuyển đến Mỹ, cô tham gia hệ thống giáo dục với tư cách học sinh trung học nhưng vẫn theo học các lớp tại UC Berkeley
- Cô cho các giáo sư biết những cuốn sách mình đã đọc trong lĩnh vực quan tâm và xin được dự lớp; nhiều giáo sư, trong đó có Zhang, đã đồng ý
- Một ngày nọ, Zhang giao bài tập chứng minh một trường hợp đặc biệt đơn giản hơn rất nhiều của phỏng đoán, và cũng đưa phỏng đoán gốc vào như một bài tập tự chọn
- Cairo bị cuốn vào bài toán tự chọn đó; trong lúc cố chứng minh, cô chuyển sang hướng xây dựng phản ví dụ
- Sau khi có phản ví dụ đầu tiên, cô phát biểu lại toàn bộ bài toán trong không gian tần số; từ việc quan sát cấu trúc của mình trông như thế nào, cô tìm ra một phương pháp thiết kế phản ví dụ đơn giản hơn
Hội nghị El Escorial và bài trình bày quốc tế đầu tiên
- Cairo tham dự 12th International Congress on Harmonic Analysis and Partial Differential Equations, diễn ra từ ngày 9 đến 13 tháng 6 tại San José Residence ở El Escorial
- Sự kiện này do Institute of Mathematical Sciences và Autonomous University of Madrid tổ chức, và được biết đến với tên El Escorial Meetings
- Trong gần 50 năm lịch sử, sự kiện này đã trở thành một trong những hội nghị uy tín trong lĩnh vực
- Đây là chuyến đi khoa học quốc tế đầu tiên của Cairo, và cô cũng có bài trình bày nằm trong chương trình hội nghị
- Cairo nói rằng cô thích nói trước công chúng, và đôi khi cũng thích dạy các sinh viên lớn tuổi hơn mình
Con đường học toán và bước tiếp theo
- Cairo bắt đầu tự đọc các giáo trình toán học phức tạp từ khi còn nhỏ
- Ban đầu cô nghĩ mình sẽ theo đuổi lý thuyết số; cô nhớ lại rằng khi 13–14 tuổi, cô đã viết một bài báo về lý thuyết số, nhưng đó là một vấn đề không ai quan tâm
- Trong đại dịch COVID-19, trại hè Berkeley Math Circle được tổ chức trực tuyến, nhờ đó Cairo, lúc đang ở Bahamas, cũng có thể tham gia
- Math Circle là chương trình dành cho học sinh trước đại học cùng hợp tác giải các bài toán khó
- Cairo xem đây không phải là kiểu học thuộc như toán ở trường, mà là hoạt động khám phá và chia sẻ ý tưởng với bạn bè
- Giám đốc chương trình nhận ra tài năng toán học nổi bật của Cairo và sau đó mời cô làm giảng viên
- Cairo sẽ bắt đầu chương trình tiến sĩ tại University of Maryland vào mùa thu này và tiếp tục nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của Zhang
- Mathematics Intensive Programme của ICMAT Tây Ban Nha cũng đặt mục tiêu phát hiện và hỗ trợ các nhà toán học trẻ triển vọng
1 bình luận
Ý kiến trên Hacker News
https://archive.is/Nr1hH
Có video Hannah Cairo giải thích về giả thuyết và kết quả của mình [1]
Ngoài ra, Terence Tao gần đây có ám chỉ về những tiến triển bổ sung [2], không biết có ai biết thêm không
[1]: https://www.youtube.com/watch?v=3ZeH_8sTyKA
[2]: https://mathstodon.xyz/@tao/114003793236630744
Tôi cũng dùng cách giảng bài tương tự với máy tính bảng, nhưng phần trình bày của cô ấy vượt xa của tôi. Thật sự rất đẹp
Bài báo ở đây: https://arxiv.org/abs/2502.06137
Hồi cao học tôi từng có cơ hội học môn giải tích điều hòa, nhưng lúc đó nó chỉ liên quan gián tiếp đến nghiên cứu của tôi nên tôi bỏ qua
https://www.nytimes.com/interactive/2025/06/30/science/math-...
Trong toán học, làm được điều gì đó độc đáo và mới mẻ ở bất kỳ độ tuổi nào cũng cực kỳ khó
Nếu làm được ở tuổi 17 thì đó là tài năng phi lý đến mức khó tin. Xin chúc mừng
“Một ngày nọ, ông ấy giao bài tập chứng minh một trường hợp đặc biệt đơn giản hơn rất nhiều của giả thuyết đó, và kèm cả giả thuyết gốc như một bài tự chọn”
Có một bài học ở đây. Nếu có thể, hãy cho mọi người cơ hội để xuất sắc
Tôi nghĩ rằng nếu một bài toán được phát biểu đơn giản như vậy thì lời giải hẳn cũng đơn giản tương tự, nên muốn khám phá xem lời giải sẽ trông như thế nào
Khi lớn tuổi hơn và hiểu rõ hơn năng lực trí tuệ của mình, tôi chọn giải các vấn đề thực dụng có khả năng thành công cao hơn nhiều và hoàn toàn không mang tính đột phá
Dù vậy, cảm giác được nhìn nhận nghiêm túc ngay từ đầu là rất tốt, và tôi cho rằng việc thử giải các bài toán khó trước khi bị mắc kẹt trong thế giới thực là điều quan trọng
Chuyện một người trẻ hơn lại khám phá ra nội dung thường được dạy cho những người lớn tuổi hơn mình xảy ra thường xuyên đến mức nào?
Euler 41 tuổi khi phát hiện ra đẳng thức nổi tiếng, và đó là loại kiến thức được học ở trường
Newton cũng 21 tuổi khi tạo ra giải tích, nên đây là nội dung mà người cuối tuổi thiếu niên cũng có thể học
Galois thì chênh khoảng bao nhiêu tuổi? Ông mất năm 20 tuổi, và có vẻ nội dung đó được dạy khoảng giữa bậc đại học
Danh sách “Child prodigies” cũng còn nhiều ứng viên khác
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_child_prodigies
Đồng thời, người trẻ đó cũng phải cực kỳ có động lực và có tố chất để làm được. Tức là cần cả điều kiện bối cảnh lẫn năng lực cá nhân
Có thể đây là một câu hỏi ngớ ngẩn, nhưng nếu mùa thu này cô ấy bắt đầu chương trình tiến sĩ thì chẳng phải cô ấy đã đạt được mục tiêu rồi sao?
Tôi tò mò cơ sở lý thuyết nào khiến người ta kỳ vọng một người đã giải được một bài toán tồn tại hàng thập kỷ phải làm “một điều thứ hai” nào đó để chứng minh rằng mình đã mở rộng ranh giới tri thức của nhân loại
Việc giải được một bài toán cực kỳ khó không có nghĩa là không cần quá trình rèn luyện đó nữa. Đặc biệt, phản ví dụ đôi khi có thể là vấn đề của tài năng thuần túy và may mắn hơn là kỹ thuật, nên càng khó đánh giá hơn
Nếu muốn lấy bằng tiến sĩ rồi ở lại giới học thuật, bước tiếp theo là postdoc. Chỉ vì giải được một bài toán không có nghĩa là đã có một chương trình nghiên cứu rõ ràng hoặc bằng chứng về khả năng công bố đều đặn cần thiết cho một vị trí postdoc tốt
Khó mà tưởng tượng việc tuyển một người trẻ như vậy làm giáo sư. Có vẻ cũng không tệ nếu tiếp tục vài năm hợp tác hiệu quả, đồng thời được cố vấn cả những phần phi toán học cần thiết để trở thành một nhà toán học
Có lẽ cô ấy quan tâm đến phần đó. Hoặc cũng có những nơi cấp bằng tiến sĩ dựa trên các bài báo đã xuất bản, đặc biệt như một số đại học ở EU
Cô ấy cũng có thể gom bài báo phản ví dụ của mình (https://arxiv.org/pdf/2502.06137) thành luận án để tốt nghiệp. Đôi khi thậm chí có thể làm vậy mà không cần người hướng dẫn
Hannah về thực chất đã làm được điều mà nhiều người có bằng tiến sĩ thất bại, tức là đóng góp nghiên cứu mới
Nếu chỉ nói theo chuẩn Mỹ, các chương trình tiến sĩ gần đây chủ yếu tập trung vào a) chuẩn bị cho giới học thuật, bao gồm giảng dạy và nhiều môn học, b) nghiên cứu phục vụ công việc trong công nghiệp. Với khá nhiều bạn cùng khóa của tôi đến từ Trung Quốc hay Ấn Độ, đó là con đường dẫn tới việc làm ở Mỹ
Tôi đồng ý rằng chương trình tiến sĩ nên tập trung thuần túy vào nghiên cứu và mở rộng tri thức nhân loại. Nhưng trên thực tế, nó gần giống một mô hình kinh doanh nơi sinh viên đi hội nghị để quảng bá nghiên cứu của giáo sư hướng dẫn, đại học có được giảng viên giá rẻ dưới dạng trợ giảng, còn nhiều sinh viên bình thường viết những bài báo tiệm tiến kiểu “hãy thay đổi một chút cái này rồi xem kết quả biến đổi ra sao” để giành vị trí R&D
Tôi rất ấn tượng với nghiên cứu của Hannah, và cho rằng nó thể hiện rõ tính vị tha của nghiên cứu, thứ ngày nay đã mất đi rất nhiều. Tôi đã thấy quá thường xuyên cảnh những người không muốn bước vào giới học thuật nơi việc giải các bài toán tưởng như bất khả được tôn trọng, lại chọn con đường tiến sĩ ít trở lực nhất để đẩy nhanh sự nghiệp của mình
Việc mỗi người cố tối đa hóa lợi ích của mình có thể là điều tự nhiên, nhưng cần nhớ rằng khám phá thường phụ thuộc vào sự theo đuổi vị tha đối với những vấn đề khó và điều bất khả. Đây là suy nghĩ cá nhân của tôi dựa trên những gì tôi thấy từ các bạn cùng khóa và tại hơn 30 hội nghị
Cô ấy tài năng khủng khiếp, nhưng bản thân việc một kết quả như thế này đến từ một thiếu niên thì không làm tôi ngạc nhiên
Những phát hiện toán học lớn thường đến từ những người ở giữa độ tuổi 20, và phát hiện càng lớn thì càng có xu hướng nghiêng về đầu tuổi 20 và tuổi thiếu niên. Tôi nghĩ đó là vì toán học thuần túy là một lĩnh vực sáng tạo đến mức như vậy
Nó cũng tối ưu hóa hệ thống cho tư duy ngắn hạn thay vì những cuộc chơi dài hơi. Dĩ nhiên có những ngoại lệ như các viện nghiên cứu, nhưng vì vậy tôi nghĩ người trẻ là những người có đầu óc sáng suốt nhất
Ví dụ Andrew Wiles đã chứng minh định lý cuối cùng của Fermat ở tuổi 40, và có rất nhiều nhà toán học vẫn năng suất khi lớn tuổi
Hơn nữa, những nhận định này có vẻ thiên về các bài toán lớn hào nhoáng. Việc xây dựng khung toán học, tìm ra các trực giác cấu trúc, và phát hiện liên kết giữa những lĩnh vực xa nhau không chỉ cần sự tập trung của tuổi trẻ mà còn cần kinh nghiệm rộng
Nếu nói đến trường hợp gần đây nhất có đóng góp lớn ở độ tuổi 20, có lẽ là Évariste Galois vào khoảng thời Cách mạng Pháp
Còn tuổi thiếu niên? Hoàn toàn không. Tôi nghĩ về cơ bản là chưa từng có
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Einstellung_effect
Có ai có link tới bài báo về lý thuyết số mà nghe nói là bài đầu tiên cô ấy viết không?
Tôi nghi ngờ phản ví dụ của cô ấy. Có vẻ cô ấy dùng các phương pháp tiệm cận khá lỏng lẻo