Vì sao Gauss muốn khắc hình 17 cạnh đều lên bia mộ
(scientificamerican.com)- Johann Carl Friedrich Gauss ở tuổi 18 đã chứng minh khả năng dựng hình 17 cạnh đều, đưa ra lời giải quyết định cho một bài toán hình học cổ đại kéo dài hơn 2.000 năm
- Gốc rễ của bài toán này nằm ở dựng hình bằng compa và thước thẳng của Euclid, với trọng tâm là liệu có thể thực sự dựng một hình chỉ bằng thước không chia vạch và compa hay không
- Euclid đã dựng được tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều và các dạng mở rộng của chúng, nhưng những hình như hình 7 cạnh đều, hình 11 cạnh đều vẫn là bài toán chưa giải trong thời gian dài
- Thay vì trực tiếp vẽ hình, Gauss đã chứng minh khả năng dựng hình bằng cách biểu diễn độ dài cosine(2π/17) cần cho hình 17 cạnh đều chỉ bằng các phép toán đại số được phép
- Về sau, cùng với chứng minh chặt chẽ của Pierre Wantzel, người ta có thể phân biệt đa giác đều nào dựng được và đa giác đều nào không thể dựng được
Hình mà Gauss muốn để lại trên bia mộ
- Trong số nhiều thành tựu toán học, Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855) đặc biệt tự hào về chứng minh hình 17 cạnh đều
- Khi mới 18 tuổi, Gauss đã dùng hình này để giải một bài toán kinh điển từng làm khó các nhà toán học suốt hơn 2.000 năm
- Bài toán này nối kết hình học cổ đại, vốn tìm cách thực sự dựng các hình, với góc nhìn hiện đại phân tích các phương trình chi phối hình học
Dựng hình bằng compa và thước thẳng của Hy Lạp cổ đại
- Trong hình học Hy Lạp cổ đại, dựng hình gần giống một trò chơi nghiêm ngặt: chỉ được dùng thước không chia vạch và compa để tạo hình
- Compa là công cụ vẽ một đường tròn tâm tại một điểm và đi qua điểm còn lại khi cho trước hai điểm; thước dùng để vẽ đường thẳng nối hai điểm
- Hai công cụ này không có vạch chia, nên không thể trực tiếp đo khoảng cách hay góc
- Những quy tắc này bắt nguồn từ Elements của Euclid vào thế kỷ 3 TCN
- Thay vì giả định sự tồn tại của các hình, Euclid tìm cách dựng chúng một cách tường minh từ những vật liệu đơn giản là đường thẳng và đường tròn
Chia đôi đoạn thẳng và tam giác đều
- Khi có hai điểm A và B, nếu vẽ đường tròn tâm A đi qua B và đường tròn tâm B đi qua A, hai đường tròn sẽ cắt nhau tại hai điểm
- Nối hai giao điểm này bằng thước sẽ tạo ra một đường thẳng chia đôi chính xác đoạn thẳng AB ban đầu
- Cách dựng tương tự cũng tạo ra góc vuông giữa hai đường thẳng, một kết quả không hề tầm thường khi chỉ dùng các công cụ bị giới hạn
- Nếu nối thêm vài điểm, có thể tạo ra tam giác đều, trong đó mọi cạnh có cùng độ dài và mọi góc có cùng độ lớn
- Mỗi cạnh của tam giác đều là bán kính của các đường tròn có cùng kích thước, nên ba cạnh bằng nhau
- Điều này tương ứng với mệnh đề đầu tiên trong Quyển I của Elements của Euclid
Sự bế tắc trong dựng đa giác đều
- Trong các hình có thể dựng bằng compa và thước thẳng, đa giác đều có vị thế đặc biệt
- Đa giác là hình được bao bởi các cạnh thẳng, còn đa giác đều là hình có mọi cạnh cùng độ dài và mọi góc cùng độ lớn
- Dựng một tam giác bất kỳ thì dễ, nhưng các đa giác đều có tính đối xứng hoàn hảo như tam giác đều đòi hỏi cách dựng tinh vi hơn
- Euclid đã biết cách dựng tam giác đều, hình vuông và ngũ giác đều
- Với một đa giác đều đã dựng được, có thể tăng gấp đôi số cạnh
- Tam giác đều có thể mở rộng thành lục giác đều, hình 12 cạnh đều, v.v.
- Hình vuông có thể dẫn đến bát giác đều, hình 16 cạnh đều, v.v.
- Ngũ giác đều có thể tăng thành thập giác đều, hình 20 cạnh đều, v.v.
- Euclid cũng chỉ ra cách “nhân” tam giác đều và ngũ giác đều để tạo hình 15 cạnh đều
- Tuy nhiên, người ta không biết liệu hình 7 cạnh đều và hình 11 cạnh đều có thể dựng chỉ bằng compa và thước thẳng hay không, và khoảng trống này tồn tại suốt 2.000 năm
Bước chuyển sang đại số của Gauss
- Cho đến năm 1796, chưa có thêm đa giác đều mới nào được biết là dựng được, nhưng các nhà toán học đã hiểu sâu hơn về chính việc dựng hình bằng compa và thước thẳng
- Gauss biết rằng việc dựng đa giác đều có thể được quy về bài toán dựng đoạn thẳng có độ dài cụ thể
- Để dựng hình 17 cạnh đều, chỉ cần chọn một điểm A trên đường tròn đơn vị có bán kính 1, rồi tạo điểm B trên chu vi cách A đúng 1/17 vòng tròn
- Nếu tạo được điểm B, có thể lặp lại thao tác đó trên toàn bộ chu vi rồi nối các điểm bằng thước để thu được hình 17 cạnh đều
- Vì vậy, điểm cốt lõi là liệu có thể vẽ một đoạn thẳng có độ dài cụ thể x hay không; dưới dạng công thức là x = cosine(2π/17)
Các độ dài dựng được và năm phép toán
- Vào thời Gauss, người ta đã biết tiêu chuẩn để xác định độ dài nào có thể dựng bằng compa và thước thẳng
- Một độ dài có thể dựng chính xác khi nó có thể được biểu diễn từ các số nguyên chỉ bằng cộng, trừ, nhân, chia và căn bậc hai
- Ví dụ, √(99/5) có thể dựng được vì đó là dạng áp dụng phép chia và căn bậc hai cho 99 và 5
- Ngược lại, π và căn bậc ba của 2 không thể biểu diễn chỉ bằng năm phép toán này, nên không thể dựng được
- Những thao tác mà công cụ dựng hình của Hy Lạp cổ đại cho phép khớp với các phép toán tự nhiên của đại số hiện đại
- Đó là vì các phương trình của đường thẳng và đường tròn chỉ dùng năm phép toán này, một góc nhìn mà Euclid thời tiền đại số khó có thể hình dung
Chứng minh và phân loại hình 17 cạnh đều
- Gauss thực ra không vẽ hình 17 cạnh đều
- Thay vào đó, ông biểu diễn độ dài cosine(2π/17) cần cho hình 17 cạnh đều chỉ bằng năm phép toán đại số mà compa và thước thẳng cho phép, qua đó chứng minh rằng về nguyên lý, hình này có thể dựng được
- Biểu thức đó phức tạp, cho thấy Gauss khi còn là thiếu niên đã bỏ rất nhiều công sức cho bài toán này
- Hơn nữa, Gauss còn đặc trưng hóa được đa giác đều nào có thể dựng được và đa giác đều nào không thể dựng được
- Năm 1837, Pierre Wantzel đưa ra một chứng minh chặt chẽ cho thấy phân loại của Gauss không bỏ sót trường hợp nào
- Kết quả là hình 7 cạnh đều và hình 11 cạnh đều không thể dựng chỉ bằng compa và thước thẳng, và có vô số hình khác cũng bất khả thi theo cách tương tự
Không có trên bia mộ, nhưng còn dấu vết trên tượng đài
- Theo nhà viết tiểu sử G. Waldo Dunnington, Gauss rất tự hào vì đã giải được một bài toán hàng nghìn năm tuổi, và từng nói với một người bạn rằng ông muốn khắc hình 17 cạnh đều lên bia mộ của mình
- Trên bia mộ thực tế không có khắc hình 17 cạnh đều
- Thay vào đó, mặt sau tượng đài tại Brunswick, Đức, nơi Gauss sinh ra, có khắc một ngôi sao 17 đỉnh
- Người thợ đá đã chọn hình ngôi sao vì cho rằng mọi người sẽ không phân biệt được hình 17 cạnh đều với hình tròn
1 bình luận
Ý kiến trên Hacker News
Dù đã 200 năm trôi qua sau Gauss và toán học đã phát triển rất nhiều, ta vẫn chưa biết trong số các đa giác đều có số cạnh lẻ có thể dựng theo kiểu Euclid, đa giác lớn nhất về mặt lý thuyết là gì
Nói thêm cho ai tò mò: câu trả lời được quy về các tổ hợp bội số của số nguyên tố Fermat, nhưng vì không ai biết liệu có tồn tại số nguyên tố Fermat nào sau 3, 5, 17, 257, 65537 hay không. Tham khảo: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon
Có một loạt 2 video YouTube rất hay về chứng minh này
Vấn đề đa giác đều dựng được và phác thảo chứng minh: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM
Giải thích đầy đủ chứng minh: https://www.youtube.com/watch?v=Gdy1u4lsjDw
Ở đoạn cuối có phần dựng hình được dùng thay cho số nhà ở mặt tiền tòa nhà Mathematical Sciences Research Institute (MSRI) tại 17 Gauss Way, UC Berkeley
Phần “chỉ những độ dài có thể biểu diễn bằng cách áp dụng phép cộng, trừ, nhân, chia và căn bậc hai lên các số nguyên mới có thể dựng chính xác” rất thú vị
Quan điểm ở đây là thước thẳng và compa của Hy Lạp cổ đại khớp chính xác với các phép toán tự nhiên của đại số hiện đại là +, –, ×, /, √ vì phương trình của đường thẳng và đường tròn chỉ dùng năm phép toán này. Liên quan: https://en.wikipedia.org/wiki/CORDIC
Tôi khuyên mọi người nên tự thử vài phép dựng hình bằng compa và thước thẳng. Việc này có thể khá thỏa mãn và mang tính thiền
Oliver Byrne đã tạo một ấn bản màu cực kỳ đẹp của Euclid's Elements, và có thể xem trực tuyến. Chỉ cần chuẩn bị bút, giấy, một sợi dây để vẽ đường tròn, cạnh sách để vẽ đường thẳng, rồi bắt đầu từ Proposition 1 và làm bao nhiêu tùy thích: https://www.c82.net/euclid/book1/#prop1
Cũng có bản tái bản vật lý của Byrne's Elements (ISBN:9783836577380). Đây là một trong những món bổ sung tuyệt nhất cho thư viện của tôi, và thực sự rất đẹp
Tôi tò mò không biết mặt sau bia mộ của Gauss có thực sự có ngôi sao 17 cánh không. Tôi không tìm được ảnh trên mạng
Có thể nói là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời[2], muốn một lời tri ân cụ thể cho thành tựu ông đạt được khi còn thiếu niên, cũng là lời giải cho một bài toán chưa được giải trong hơn 2000 năm, nhưng ai đó đã không làm vì ngại phiền. Câu chuyện đầy đủ, cùng với toàn bộ cách dựng, được trình bày rất hay ở đây: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM
[1] Ảnh: https://www.atlasobscura.com/places/grave-of-carl-friedrich-...
[2] Phiếu của tôi là Euler, nhưng nhiều người chọn Gauss
Thay vào đó, có một bức tượng có ngôi sao đó: https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F#/medi...
Điều khiến kết quả này thú vị là nó cho thấy đại số học, sau hàng trăm năm phát triển, quay trở lại để cải thiện hình học Euclid
Nếu không có kiến thức nền, có lẽ tôi đã không biết vì sao bài toán này thú vị. Động lực khá giống với Langlands program
Nếu chỉ đọc phần lớn các bài viết về toán học, có thể cảm giác như các nhà toán học thời Trung cổ chẳng đóng góp gì
Lạ là các tác giả không bỏ qua đóng góp của các nhà toán học Hy Lạp như Euclid, nhưng trong trường hợp này lại tiện tay và thiếu hiểu biết mà nhảy qua gần một nghìn năm, đi thẳng tới các nhà toán học hậu Phục Hưng như Gauss, nhân vật chính ở đây
Trong khoảng một nghìn năm đó, các nhà toán học Ấn Độ và Trung Đông giữ vai trò dẫn dắt, và những nhân vật như Āryabhaṭa, Brahmagupta, Al-Khwarizmi đã có các đóng góp quan trọng cho hiểu biết toán học hiện đại
Thật sự thú vị; tôi muốn hỏi ai đó hiểu rõ hơn về chứng minh của Gauss. Vì sao ngũ giác có thể dựng bằng thước thẳng và compa, nhưng thất giác hay 11 giác thì không? Vì sao một số số nguyên tố thì được, còn một số thì không?
Với trường hợp 17, Gauss đã phát hiện ra rằng có thể viết cos(360°/17) chỉ bằng các phép toán cơ bản: https://www.heise.de/imgs/18/2/1/2/3/3/6/4/siebzehneck-b95b5...
Về sau ông chứng minh rằng mọi đa giác n cạnh đều dựng được nếu $n=2^k*p_1…*p_r$ và p_i là số nguyên tố Fermat (số nguyên tố có dạng 2^(2^m)+1; hiện chỉ biết các số 3, 5, 17, 257, 65537). Chiều ngược lại, tức là mọi n còn lại đều không dựng được, mãi vài năm sau mới được chứng minh. Cứ tìm “định lý Gauss-Wantzel” là được. Tôi chỉ đọc lướt chứng minh, nhưng có vẻ nó tổng quát hóa khái niệm dựng cos của một góc bằng lý thuyết Galois. Sửa: hoặc xem https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon
Trong số phức, các đỉnh của ngũ giác là z^5-1=0. Có thể phân tích nó thành (z^4+z^3+z^2+z+1)*(z-1)=0, và phần khó là giải z^4+z^3+z^2+z+1=0
Phương trình này không phân tích tiếp được và có bậc 4. Các nghiệm có một tính chất nào đó liên quan đến bậc của phương trình, và điều quan trọng là tính chất đó bằng 4
Bằng compa và thước thẳng, ta chỉ có thể giải các phương trình bậc 2, tức tương đương với việc lấy căn bậc hai. Lặp lại việc này thì có thể giải một số phương trình bậc 4. Vì vậy, qua vài mẹo, ta có thể giải phương trình và vẽ ngũ giác
Với 17, phương trình là z^16+z^15+...+z+1=0. Vì vậy tính chất đó là 16, và cần dùng căn bậc hai nhiều lần. Mỗi lần tính chất của nghiệm lại nhân đôi, đi từ 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16. Ở công thức phía dưới bài có thể thấy rất nhiều căn bậc hai lồng nhau và lặp lại
Với 7, phương trình là z^6+z^5+...+z+1=0. Tính chất của nghiệm là 6. Bằng căn bậc hai thì chỉ có thể làm tính chất này nhân đôi, nên đi theo 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16 -> 32 ..., nhưng sẽ không bao giờ chạm tới nghiệm có tính chất 6
Còn có nhiều chi tiết kỹ thuật hơn. Chẳng hạn để vẽ đa giác 17 cạnh thì có thể giải một phần phương trình bậc 16, nhưng không phải mọi phương trình bậc 16 đều giải được
Video khá dài cũng đừng ngạc nhiên, vì kênh dành thời gian cho cả những phần dễ để khán giả phổ thông cũng có thể hiểu tương đối các ý cơ bản
[1]: https://youtube.com/@anotherroof
Tôi chưa từng cảm thấy thất giác là vấn đề đến mức như vậy
Không thể làm chính xác, nhưng có thể đạt đến độ chính xác mong muốn. Ít nhất là trước khi chạm giới hạn độ chính xác của compa và thước thẳng
Vì 1/7 = 1/8 + 1/64 + 1/512 + 1/4096 + 1/32768... nên rất nhanh sẽ chạm tới giới hạn độ chính xác của con người
Nói chung 1/(2^n - 1) có thể biểu diễn bằng một tổng vô hạn, hoặc một chuỗi tiến gần vô hạn. 1/(2^n - 1) = tổng của 1/(2 ^ (x * n)) khi x chạy từ 1 đến vô hạn. Và ai cũng biết cách chia độ dài cung theo các phân số có mẫu là lũy thừa của 2
Bắt đầu từ một vòng tròn đầy đủ, lấy mảnh đầu tiên, rồi lại chia mảnh thứ hai và lấy mảnh đầu tiên, cứ thế cộng thêm các mảnh nhỏ thì sẽ đủ gần với 1/7. Đo độ dài đó bằng compa rồi lại chia phần còn lại; nếu đệ quy đủ để khi đánh dấu thêm 6 điểm, điểm cuối gần như chạm điểm đầu thì không cần quá lo
Dù vậy, chỉ riêng việc đạt tới độ chính xác 1/4096 bằng compa và thước thẳng đã có vẻ đáng kinh ngạc, còn 1/32768 thì chắc chắn không ai làm nổi
Đó là tuyên bố rằng đường cong Hilbert phủ kín toàn bộ hình vuông; hình vuông chứa mọi điểm bị chặn có dạng [số thực, số thực]. Nhưng trong cấu tạo hữu tỉ của bộ sinh đỉnh đệ quy, một trong hai giá trị của mỗi cặp tọa độ nhất định phải là số hữu tỉ. Chỉ là mẫu số có dạng lũy thừa nguyên vô hạn của 2 mà thôi
Ngay cả nếu nó phủ toàn bộ [số thực, số hữu tỉ] + [số hữu tỉ, số thực], mà thực ra cũng không phải vậy, thì vẫn không thể đạt tới toàn bộ [số thực, số thực]
Về thực chất, 100% mặt phẳng không nằm trên đường cong, đồng thời 100% mặt phẳng nằm trong khoảng cách vô cùng nhỏ tới đường cong
Tôi nghĩ cách nói này thú vị hơn là nói toàn bộ nằm trong đó. Vì thực tế là không nằm trong đó
Nếu cho phép chuỗi vô hạn thì bằng chuỗi Taylor có thể xấp xỉ bất cứ thứ gì
Chỉ cần tìm đoạn thẳng dài 2*sin(π/7) lần bán kính. Giá trị là 0,86777, bình phương lên là 0,7530, khá gần 0,75, tức 1 - (1/2)^2
Vì vậy, nếu dựng một tam giác có chiều cao bằng một nửa bán kính và cạnh huyền bằng bán kính, cạnh còn lại sẽ là 0,8660. Sai khác với giá trị thực dưới 0,001, nên chính xác hơn rất nhiều so với khả năng tôi có thể vẽ bằng thước và compa