Từ đường tròn đến epicycle (Phần 1) - Giới thiệu hoạt hình về chuỗi Fourier
Mục lục
- Đường tròn
- Số π
- Radian
- Sin và cos
- Cos dẫn trước sin
- Tính đối xứng của cos và sin
- Số phức và đường tròn đơn vị
- Nhân với i là phép quay π/2
- Đồng nhất thức Euler
- Công thức Euler, mối liên hệ giữa e, π, i
- Dạng mũ của sin và cos
- Sóng sin
- Tính linh hoạt của sóng sin
- Sóng sin phức
- Sự triệt tiêu của sóng sin
- Tổng các sóng sin tạo ra độ phức tạp
- Cộng sóng sin cho vui
- Tetris sóng sin
- Sóng sin và sóng vuông
- Epicycle - lần gặp đầu tiên
- Epicycle - hiểu trực quan
- Epicycle - bông hoa
- Chuỗi Fourier
- Dạng mũ của chuỗi Fourier
- Ví dụ: chuỗi Fourier của hàm hộp
- Ví dụ: chuỗi Fourier của sóng tam giác
- Ví dụ: chuỗi Fourier của sóng răng cưa
- Cỗ máy chuỗi Fourier
Đường tròn
- Đường tròn là một hình hình học có tâm P(a, b) và bán kính r.
- Đường tròn đơn vị là đường tròn có tâm tại (0, 0) và bán kính bằng 1.
- Đường tròn là đỉnh cao của tính đối xứng.
Số π
- π là tỷ lệ giữa chu vi và đường kính của đường tròn.
- π xấp xỉ 3.14 và được dùng để tính chu vi cùng diện tích.
- π là một số vô tỉ và siêu việt.
Radian
- Radian là đơn vị thực tế để đo góc.
- Để đổi góc sang radian, nhân góc với π rồi chia cho 180.
Sin và cos
- Sin và cos được định nghĩa trên đường tròn đơn vị.
- Sin biểu diễn tọa độ y, còn cos biểu diễn tọa độ x.
- Cả hai đều là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π.
Cos dẫn trước sin
- Cos đi trước sin một khoảng π/2.
- sin(x + π/2) = cos(x)
Tính đối xứng của cos và sin
- Cos là hàm chẵn nên cos(x) = cos(-x).
- Sin là hàm lẻ nên sin(-x) = -sin(x).
Số phức và đường tròn đơn vị
- Trên mặt phẳng phức, các điểm trên đường tròn được định nghĩa bởi z = cos(θ) + i*sin(θ).
Nhân với i là phép quay π/2
- Nhân một số phức với i sẽ quay nó ngược chiều kim đồng hồ một góc π/2.
Đồng nhất thức Euler
- Hàm mũ tự nhiên được ký hiệu là e^x, trong đó e xấp xỉ 2.71828.
- Có một mối liên hệ mạnh mẽ giữa e và đường tròn.
- e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)
Công thức Euler, mối liên hệ giữa e, π, i
- Công thức Euler: e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)
- Khi x = π, e^(iπ) + 1 = 0
Dạng mũ của sin và cos
- cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2
- sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)
Sóng sin
- Sóng sin được định nghĩa là A*sin(2πft + φ).
- A là biên độ, f là tần số, ω là tần số góc, còn φ là độ lệch pha.
Tính linh hoạt của sóng sin
- Sóng sin có thể được điều chỉnh với nhiều biên độ, tần số và pha khác nhau.
Sóng sin phức
- Sóng sin phức nắm bắt hành vi của hai sóng sin (cos và sin).
- Phần thực hoạt động như cos, phần ảo hoạt động như sin.
Sự triệt tiêu của sóng sin
- Hai sóng sin có cùng biên độ nhưng tần số đối ngược sẽ triệt tiêu lẫn nhau.
Tổng các sóng sin tạo ra độ phức tạp
- Cộng hai sóng sin sẽ tạo ra các mẫu phức tạp.
Cộng sóng sin cho vui
- Cộng nhiều sóng sin sẽ tạo ra các mẫu còn phức tạp hơn.
Tetris sóng sin
- Có thể tạo trò chơi Tetris bằng sóng sin.
Sóng sin và sóng vuông
- Nếu chọn các sóng sin phù hợp, có thể tạo ra các mẫu có thể dự đoán được.
- Ghép nhiều sóng sin lại có thể tạo thành sóng vuông.
Epicycle - lần gặp đầu tiên
- Sóng sin tương ứng với các đường tròn quay.
- Cộng nhiều sóng sin có thể vẽ ra các hình phức tạp.
Epicycle - hiểu trực quan
- Mỗi epicycle tương ứng với một sóng sin cụ thể.
- Cộng các sóng sin có thể được rút gọn thành phép cộng vector.
Epicycle - bông hoa
- Nếu chọn các sóng sin phù hợp, có thể vẽ ra hình dạng mong muốn.
Chuỗi Fourier
- Chuỗi Fourier là một quá trình toán học mở rộng hàm tuần hoàn thành tổng các hàm lượng giác.
- Biểu diễn hàm f(x) dưới dạng tổng các hàm lượng giác.
Dạng mũ của chuỗi Fourier
- Dùng công thức Euler, có thể biểu diễn chuỗi Fourier thành tổng các sóng sin phức.
Ví dụ: chuỗi Fourier của hàm hộp
- Có thể xấp xỉ sóng vuông bằng tổng các sóng sin.
- y(x) = (4/π) * Σ (sin((2k-1)ωx) / (2k-1))
Ý kiến của GN⁺
- Chuỗi Fourier rất hữu ích trong việc phân tích và tổng hợp các tín hiệu tuần hoàn.
- Nếu hiểu được các khái niệm cơ bản của sóng sin và cos, sẽ rất hữu ích cho việc xử lý tín hiệu phức tạp.
- Số phức và công thức Euler đóng vai trò quan trọng trong phân tích tín hiệu.
- Chuỗi Fourier được sử dụng trong nhiều lĩnh vực ứng dụng như xử lý tín hiệu âm thanh, nén ảnh, v.v.
- Bài viết này giải thích dễ hiểu các khái niệm cơ bản của chuỗi Fourier nên rất hữu ích cho các kỹ sư mới bắt đầu.
1 bình luận
Bình luận trên Hacker News
Tôi đã mất rất nhiều thời gian để hiểu biến đổi Fourier. Sau khi hiểu Discrete Fourier Transform (DFT), tôi tự nhiên cũng hiểu được FFT nghịch đảo, định lý Plancherel, và định lý Parseval. Sau khi hiểu đại số tuyến tính, việc mở rộng sang biến đổi Fourier liên tục trở nên dễ dàng. Với tôi, nhìn công thức còn dễ hơn xem tài liệu trực quan.
Liên kết mã nguồn bị sai. Liên kết đúng là ở đây. Có vẻ như tác giả đã dùng Processing để làm hoạt ảnh.
Có thể tìm thấy phần giải thích về biến đổi Fourier trong các bài giảng của Feynman. Liên kết
Để hiểu FFT, tôi đã học khóa
Introduction to Graduate Algorithmscủa Georgia Tech và tự cài đặt mọi thứ bằng Python. Đó là một khóa học thực sự rất hay. Liên kếtTôi có hiểu biến đổi Fourier ở mức độ nào đó, và rất nhiều người đã nói về nó. Sẽ hay hơn nếu cũng có phần về biến đổi Laplace. Tôi từng dùng nó để phân tích mạch điện tử nhưng giờ đã quên mất rồi. Liên kết
Hoạt ảnh epicycle đã giúp tôi rất nhiều trong việc hiểu cách biểu diễn phức của chuỗi Fourier. Bài viết này còn vượt xa trang đó rất nhiều. Tôi sẽ chia sẻ nó với mọi người sau này.
Hướng dẫn này rất tuyệt nếu dùng kèm giáo trình. Tôi thích các hoạt ảnh và hoạt ảnh tương tác. Tuy vậy, nó vẫn cần được hiệu đính.
Cảm ơn vì ví dụ tuyệt vời và website đẹp mắt. Trang này rất nhẹ và dễ dùng, trong khi phần lớn các trang tin tĩnh lại thường xuyên làm trình duyệt của tôi bị crash.
Có một tài liệu nhập môn rất hay về xử lý tín hiệu. Tôi khuyên dùng cho những ai thích trực quan hóa. Liên kết
Người này còn có những công trình thú vị khác nữa. Liên kết