Hàm là vector

 (thenumb.at)
2 điểm bởi GN⁺ 2023-07-31 | 1 bình luận | Chia sẻ qua WhatsApp
  • Nếu xem hàm như vector vô hạn chiều, ta có thể dùng ngôn ngữ của đại số tuyến tính để mô tả các bài toán như xử lý ảnh·hình học, khớp đường cong và machine learning
  • Không gian các hàm thực thỏa mãn các tiên đề không gian vector bằng cách cộng giá trị giữa các hàm và nhân đầu ra với một vô hướng; đa thức có thể được biểu diễn bằng các cơ sở như (1,x,x^2,\dots)
  • Vì phép vi phân bảo toàn tổ hợp tuyến tính nên nó trở thành một toán tử tuyến tính; trong cơ sở đa thức, có thể xem nó như một ma trận vô hạn tác động lên vector hệ số
  • Nếu định nghĩa tích trong bằng tích phân, ngay cả trong không gian hàm cũng có thể xử lý độ dài, trực giao và cơ sở trực chuẩn; toán tử tự liên hợp liên quan đến định lý phổ
  • Góc nhìn chéo hóa Laplacian giải thích Fourier series, nén ảnh 2D, spherical harmonics và xử lý hình học dựa trên mesh Laplacian như một câu chuyện thống nhất về đổi cơ sở và nén

Cách xem hàm như vector

  • Vector thường bắt đầu từ một danh sách số thực, nhưng không gian vector cũng có thể chứa các đối tượng khác như danh sách số phức, chu trình trong đồ thị, hay ma phương
  • Vector (N) chiều vừa là danh sách có độ dài (N), vừa có thể được diễn giải như một ánh xạ từ chỉ số sang giá trị
  • Với miền xác định vô hạn đếm được như số tự nhiên, có thể biểu diễn hàm bằng một danh sách dài vô hạn
    • Ví dụ: (\mathbf{v}_i=i) có thể biểu diễn (f(x)=x) trên (x\in\mathbb{N})
  • Với miền xác định vô hạn không đếm được như số thực, không thể gán chỉ số nguyên cho từng phần tử nên không thể biểu diễn bằng danh sách
    • Khi đó vector trở nên gần với một hàm tùy ý
    • Giải tích hàm xử lý các định nghĩa chặt chẽ để biểu diễn hàm như vector vô hạn chiều
  • Mục tiêu không phải là chứng minh nghiêm ngặt các kết quả vô hạn chiều, mà là xây dựng trực giác bằng phép tương tự với đại số tuyến tính hữu hạn chiều

Không gian hàm trở thành không gian vector như thế nào

  • Trong không gian các hàm thực, trường vô hướng là (\mathbb{R}), tập vector là các hàm (\mathbb{R}\to\mathbb{R}), và vector không là hàm trả về 0 với mọi đầu vào
  • Phép cộng hàm cộng giá trị của hai hàm tại cùng một đầu vào
    • ((f+g)[x]=f[x]+g[x])
    • Đây là dạng tổng quát hóa phép cộng theo từng phần tử của vector từ góc nhìn chỉ số hàm
  • Phép nhân vô hướng co giãn kết quả của hàm
    • ((\alpha f)[x]=\alpha f[x])
    • Nó tương ứng với phép toán vector scale giá trị tại từng chỉ số
  • Với các định nghĩa này, có thể chứng minh tính giao hoán và kết hợp của phép cộng, vector không, phần tử đối cộng, phần tử đơn vị và tính kết hợp của phép nhân vô hướng, cùng các luật phân phối
  • Có thể nghĩ cơ sở chuẩn của hàm là hàm cơ sở (\mathbf{e}_\alpha), bằng 1 chỉ tại mỗi chỉ số (\alpha) và bằng 0 ở các nơi khác
    • Trên toàn bộ tập số thực có số lượng hàm cơ sở không đếm được, nên khó viết bằng tổng đơn giản, nhưng nó cho trực giác rằng tại một đầu vào cụ thể (x), chỉ (\mathbf{e}_x) còn lại

Toán tử tuyến tính và phép vi phân

  • Ma trận mã hóa biến đổi tuyến tính bảo toàn tổ hợp tuyến tính, và các vector cột có thể được diễn giải là định nghĩa một cơ sở mới
  • Nếu cũng xem hàm là vector, ta có thể nghĩ đến một đối tượng vô hạn chiều tương ứng với ma trận, ký hiệu là toán tử tuyến tính (\mathcal{L})
    • Trên thực tế, không thể viết toàn bộ toán tử vô hạn chiều không đếm được dưới dạng ma trận
    • Dù vậy, cấu trúc trong đó mỗi “cột” biểu diễn một hàm cơ sở mới của không gian hàm vẫn hữu ích
  • Phép vi phân thỏa mãn tính tuyến tính
    • (\frac{\partial}{\partial x}(\alpha f[x]+\beta g[x])=\alpha\frac{\partial f}{\partial x}+\beta\frac{\partial g}{\partial x})
  • Trong không gian đa thức (\mathcal{P}), (1,x,x^2,x^3,\dots) trở thành một cơ sở vô hạn đếm được
    • (p[x]=a+bx+cx^2+dx^3+\cdots) có thể được viết thành vector hệ số ([a,b,c,d,\dots]^T)
    • Phép vi phân được biểu diễn bằng một ma trận vô hạn biến vector hệ số thành ([b,2c,3d,\dots]^T)
  • Hàm giải tích có thể được biểu diễn bằng Taylor series quanh 0, nên có thể được biểu diễn như tổ hợp tuyến tính của cơ sở đa thức
    • Taylor expansion tương ứng với đổi cơ sở sang cơ sở lũy thừa

Chéo hóa và hàm riêng

  • Trong hữu hạn chiều, ma trận (\mathbf{A}) có thể chéo hóa nếu có đủ vector riêng độc lập tuyến tính và trị riêng thực
    • (\mathbf{A}=\mathbf{U\Lambda U^{-1}})
    • Đây là quá trình chuyển sang cơ sở riêng, scale theo trị riêng, rồi chuyển lại về cơ sở chuẩn
  • Trong không gian hàm, cũng có thể nghĩ đến hàm riêng thỏa mãn (\mathcal{L}f=\psi f) đối với toán tử tuyến tính (\mathcal{L})
  • Hàm riêng của toán tử vi phân có dạng (p_0e^{\psi x})
    • Chuỗi của hàm mũ xuất hiện từ điều kiện hệ số (p_i=\frac{\psi^i}{i!}p_0)
  • Tuy nhiên, trong toàn bộ không gian các hàm giải tích thực, không thể chéo hóa phép vi phân bằng cơ sở hàm mũ
    • Nếu giả sử (f[x]=x) được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các hàm mũ, sẽ xuất hiện mâu thuẫn khi lấy đạo hàm hai lần
    • Các hàm không hằng có đạo hàm bậc (n) bằng 0, hoặc các hàm tuần hoàn như sine·cosine, cũng gặp vấn đề tương tự
  • Nếu mở rộng sang không gian hàm phức, có thể chéo hóa nhiều toán tử hơn
    • Phép vi phân có thể được chéo hóa trong không gian hàm (\mathbb{C}\to\mathbb{C}) bằng Laplace transform
    • Laplace transform hữu ích để giải phương trình vi phân, nhưng phép biến đổi ngược không dễ nên không bàn thêm

Tích trong của hàm và định lý phổ

  • Tích trong Euclid cho biết một vector được đo theo hướng của vector khác bao nhiêu; tích trong với chính nó cho bình phương độ dài
  • Trong không gian hàm, ta định nghĩa tích trong bằng cách thay tổng hữu hạn bằng đối ứng liên tục của nó là tích phân
    • Hàm thực: (\langle f,g\rangle=\int_a^b f[x]g[x],dx)
    • Hàm phức: (\langle f,g\rangle=\int_a^b f[x]\overline{g[x]},dx)
  • Không phải mọi hàm đều khả tích, nên không gian tích trong được giới hạn ở các hàm bình phương khả tích trên khoảng ([a,b])
    • ([a,b]) cũng có thể là ([-\infty,\infty])
  • Tích trong của hàm phức phải thỏa mãn đối xứng liên hợp, tính tuyến tính theo đối số thứ nhất và tính xác định dương
    • Để xử lý chặt chẽ tính xác định dương, dùng các lớp tương đương của những hàm bằng 0 “hầu khắp nơi”
  • Định lý phổ được tổng quát hóa sang không gian hàm; toán tử tự liên hợp có trị riêng thực và cơ sở hàm riêng trực chuẩn
    • Trong hữu hạn chiều, ma trận đối xứng có cơ sở vector riêng trực chuẩn, và chiều ngược lại cũng đúng
    • Trong vô hạn chiều, các điều kiện và chứng minh chặt chẽ phức tạp hơn

Chéo hóa Laplacian

  • Với hàm một chiều, Laplacian là đạo hàm bậc hai
    • (\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2})
  • Dùng tích phân từng phần hai lần, có thể xác nhận Laplacian có tính chất gần với tự liên hợp
    • Hạng biên ((f^\prime[x]g[x]-f[x]g^\prime[x])|_a^b) phải bằng 0
    • Vì vậy, giới hạn miền xác định vào các hàm tuần hoàn có chu kỳ (b-a)
    • Để đơn giản hóa, lấy khoảng là ([0,1])
  • Hàm riêng tuần hoàn của Laplacian là (e^{2\pi \xi i x}), trong đó (\xi) là số nguyên
    • Theo công thức Euler, góc nhìn sine·cosine tương ứng với góc nhìn hàm mũ phức
    • Trị riêng là (-(2\pi\xi)^2)
  • Các hàm riêng này trực giao với nhau trên ([0,1]) và có norm bằng 1
    • Khi (\xi_1-\xi_2) là số nguyên khác 0, tích trong bằng 0
    • Tích trong của một hàm với chính nó bằng 1
  • Việc biến đổi sang cơ sở hàm riêng trực chuẩn của Laplacian cũng giống như tính các hệ số Fourier
    • (\hat{f}[\xi]=\int_0^1 f[x]e^{-2\pi\xi i x},dx)
    • Biến đổi ngược là (f[x]=\sum_{\xi=-\infty}^{\infty}\hat{f}[\xi]e^{2\pi\xi i x})
    • Toàn bộ Laplacian ánh xạ hàm thực sang hàm thực, nhưng biểu diễn trung gian có thể có giá trị phức

Fourier series và ứng dụng xử lý tín hiệu

  • Fourier transform là một đổi cơ sở sang cơ sở riêng của Laplacian
  • (\hat{f}[\xi]) đo xem hàm (f) được biểu diễn bởi sóng có tần số nguyên (\xi) nhiều đến mức nào
    • Biểu diễn này chuyển hàm sang miền tần số
  • Vì là cơ sở trực chuẩn, Fourier series có thể dễ dàng biến đổi ngược bằng cách kết hợp lại các hệ số với sóng
  • Nếu bỏ các hệ số Fourier trên một ngưỡng nhất định, có thể tạo ra bản tái dựng mượt của hàm
    • Kỹ thuật này được gọi là bộ lọc thông thấp (low-pass filter)
  • Vì có thể lưu chỉ một vài hệ số Fourier để tái dựng xấp xỉ hàm, nó hữu ích về mặt tính toán cho nén dữ liệu

Nén ảnh và hàm điều hòa cầu

  • Ở nơi có thể định nghĩa Laplacian, có thể tìm Fourier transform tương ứng
  • Trong 2D, Laplacian là tổng các đạo hàm riêng bậc hai
    • (\Delta f[x,y]=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2})
  • Trên ([0,1]\times[0,1]), hàm riêng có dạng (e^{2\pi i(nx+my)}), trong đó (n,m) là số nguyên
    • Giống như phân rã hàm 1D thành tập các sóng 1D, ảnh 2D được phân rã thành tập các sóng 2D
  • Một biến thể của 2D Fourier transform nằm ở lõi của nhiều thuật toán nén ảnh, bao gồm JPEG
  • Trên mặt cầu đơn vị cũng có thể định nghĩa Laplacian, và cơ sở hàm riêng trực chuẩn của nó là spherical harmonics
    • (Y_\ell^m[\theta,\phi]=N_\ell^mP_\ell^m[\cos[\theta]]e^{im\phi})
    • (\ell\ge0), (m\in[-\ell,\ell])
    • Trong game engine, chúng thường được dùng để nén diffuse environment map và global illumination probe
    • Spherical harmonics cũng có thể được xem là orbital electron; cơ học lượng tử chủ yếu xử lý các hàm riêng của toán tử tuyến tính

Xử lý hình học và các hướng tìm hiểu thêm

Bài viết liên quan

1 bình luận

 
GN⁺ 2023-07-31
Ý kiến trên Hacker News

  • Bài này hay đến mức tôi muốn upvote hai lần; đây là phần nhập môn hay nhất về các khái niệm cơ bản của giải tích hàm mà tôi từng thấy
    Một tổng quan tốt khác đi sâu hơn về mặt toán học là https://arxiv.org/abs/1904.02539
    Một ứng dụng tuyệt vời mà trang web không nhắc đến là toán tử Koopman. Trong lý thuyết điều khiển, các hệ thống thực như drone tự hành, ô tô, cánh tay robot phần lớn được mô tả bằng động lực học phi tuyến khó xử lý; toán tử Koopman cung cấp một xấp xỉ tuyến tính hữu ích trên toàn cục cho các hệ phi tuyến
    Nói cách khác, ta có thể xử lý một hệ phi tuyến như một hệ tuyến tính với độ chính xác khá cao, nhờ đó việc điều khiển và ước lượng được đơn giản hóa đáng kể xét từ góc độ tính toán. Việc tuyến tính hóa kiểu này cũng có thể học từ dữ liệu
    Tài liệu về lý thuyết Koopman của Steve Brunton rất tốt: https://youtube.com/playlist?list=PLMrJAkhIeNNSVXUvppZTYNHKQ..., https://arxiv.org/abs/2102.12086; cũng có các ứng dụng như điều khiển robot mềm https://arxiv.org/abs/1902.02827

    • Điều đầu tiên tôi nghĩ đến là nó giống biến đổi Fourier một cách đáng ngạc nhiên về mặt khái niệm. Thật sự rất thú vị, nên tôi định tìm hiểu sâu thêm
    • Tôi thật sự biết ơn nội dung của Steve Brunton. Nếu 10 năm trước, khi còn học thạc sĩ, tôi có thể xem những tài liệu như thế này, có lẽ nhờ niềm đam mê của ông với lĩnh vực này và mức độ giải thích của ông mà tôi đã học tiếp lên tiến sĩ
      Khi đó tôi đã mệt mỏi với việc tìm kinh phí nghiên cứu, rồi lại phải tự đọc những cuốn sách khô khan một mình, nên chán ngán giới học thuật và rời đi
      Những nhà giáo dục giỏi trên YouTube đang tạo ra các cơ hội tương lai khổng lồ, và cuối cùng tất cả mọi người sẽ hưởng lợi từ đó. Lý thuyết điều khiển cho thấy các điểm kết nối giữa nhiều lĩnh vực, nên với những ai thích nhìn thấy mẫu hình và cấu trúc ở khắp nơi, nó có thể là một niềm vui lớn. Tôi nhớ gần đây Steve cũng đã đăng video về lý thuyết điều khiển cho các mô hình xã hội

  • Nhận ra rằng hàm có thể được xem như phần tử của một không gian vector trừu tượng vô hạn chiều là một bước ngoặt trong lịch sử toán học, và điều này dẫn đến sự ra đời của phân ngành gọi là giải tích hàm
    Ý nghĩa của sự chuyển đổi góc nhìn này nằm ở chỗ nó cho phép áp dụng trực giác hình học thu được từ việc nghiên cứu các không gian hữu hạn chiều như không gian Euclid 3 chiều vào những bài toán khó liên quan đến hàm, chẳng hạn sự tồn tại nghiệm của một số phương trình vi phân
    Lịch sử của thay đổi này bắt nguồn từ cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20, và rất thú vị. Khi đó, công cuộc xây dựng nền tảng tiên đề cho toán học đang tạo ra xu hướng hệ thống hóa bằng cách nắm bắt cấu trúc của các đối tượng toán học trong một danh sách tiên đề ngắn gọn
    Chẳng hạn, khái niệm không gian vector trừu tượng cũng ra đời theo cách này, bao quát không chỉ không gian Euclid mà cả các không gian hàm vô hạn chiều
    Một tài liệu đã thể hiện sự chuyển đổi góc nhìn này, dù ở dạng ban đầu, là hồi ký năm 1889 của Vito Volterra https://projecteuclid.org/journals/acta-mathematica/volume-1...
    Luận án tiến sĩ năm 1906 của Maurice Fréchet https://zenodo.org/record/1428464/files/article.pdf đã kết tinh mô thức mới này và trình bày nó dưới dạng hiện đại, có thể xem là một trong những công trình có ảnh hưởng nhất, trở thành tài liệu tham khảo cốt lõi trong nửa đầu thế kỷ 20
    Dĩ nhiên đó chỉ là hai trong số rất nhiều công trình thời đó; nếu nhìn vào các phát triển về sau thì cũng khó bỏ qua cuốn sách năm 1932 của Stefan Banach http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/teoria-operacji-...

    • Để làm giải tích hàm thì không nhất thiết phải là không gian vector; tôi nghĩ thứ thật sự cần là tích trong. Tuy nhiên, tôi thừa nhận rằng vì tích trong phải tuyến tính nên rốt cuộc nó vẫn phải nằm trong một không gian vector
    • Không phải phần không gian vector là không thú vị, nhưng lý do nó được gọi là giải tích hàm là vì có thể xử lý nhiều dạng giới hạn, tính nửa liên tục, hoàn bị hóa không gian, v.v., và những thứ đó có các tính chất tốt
      Vì vậy tôi cho rằng điểm cốt lõi là các không gian vector này thực ra mang tính tô pô

  • Tôi luôn rất thích góc nhìn này. Tôi đang đọc rất hào hứng các bài giảng của Vito Volterra ở Madrid về phương trình vi phân và phương trình vi-tích phân, và đồng thời ông cũng góp phần tạo nên giải tích hàm
    Ở đây, phiếm hàm là khái niệm tương ứng với vector đối ngẫu. Volterra liên tục sử dụng phương pháp loại suy khi chuyển từ cấu trúc hữu hạn biến sang vô hạn biến, thậm chí là số biến không đếm được
    Đến mức có đoạn ông còn tự thấy ngại rằng liệu mình có đang lặp lại cùng một ý tưởng quá nhiều không. Nếu bạn là người giảng dạy thì đáng để cùng xem qua
    https://searchworks.stanford.edu/view/526111

    • Givental cũng dùng góc nhìn này trong ghi chú bài giảng về phương trình vi phân của mình. Nó có thể giúp ích cho những sinh viên cảm thấy có sự đứt gãy giữa tính độc lập tuyến tính của hàm và tính độc lập tuyến tính của vector

  • Tôi chưa từng thấy kiểu dùng các hàm chỉ mục như thế này làm cơ sở siêu hạn của không gian vectơ. Hàm đó trông không giống một điểm giới hạn của một dãy hữu hạn các hàm cơ sở, mà giống một tổng siêu hạn kỳ lạ gồm các hạng mục hầu hết bằng 0 hơn
    Cũng có vẻ không thể nào mọi hàm đều có thể biến đổi Fourier. Có lẽ có thể dễ dàng phản bác bằng phương pháp chéo hóa rằng nó không đem lại kết quả hữu ích
    Ngay cả không gian Hilbert thường cũng chỉ được đánh chỉ mục bằng số nguyên. Một cơ sở như vậy hoàn toàn không đưa ra điều kiện liên tục hay khả vi nào
    Những gì tôi đã thấy trong giải tích hàm đều dùng một điều kiện liên tục nào đó và cơ sở đếm được. Ngoài ra, đây là một góc nhìn rất hữu ích về hàm, và khá gần với điểm khởi đầu để hiểu hình thức luận của cơ học lượng tử

    • Đây chính là điểm gây khó chịu nhất trong bài viết này. Nó hữu ích cho trực giác, nhưng dấu "..." phía sau tổng không có ý nghĩa toán học
      Đây cũng là vấn đề thường gặp ngay cả trong cơ học lượng tử dạy ở mức nhập môn. Tuy vậy, bài này có vẻ cũng tập trung vào việc tạo động lực cho các khái niệm giải tích hàm như một bài giảng cơ học lượng tử nhập môn, và dù không chặt chẽ thì vẫn hữu ích để giải thích
    • Bài này gần giống bản tóm tắt của một cuốn sách nhiều chương. Đến một đoạn nào đó, không gian được giới hạn thành không gian con của các hàm tuần hoàn, và cơ sở được đổi từ delta Dirac sang các hàm sin có tần số 2pi*k/(b-a), với k là số tự nhiên
      Mọi hàm trong không gian con này đều có biến đổi Fourier
    • Để là cơ sở, mỗi phần tử phải được biểu diễn bằng tổ hợp tuyến tính hữu hạn. Tất nhiên, trong các cách chọn cơ sở kiểu khác cũng có khái niệm cho phép tổ hợp tuyến tính đếm được
      Có lẽ vì lý do chính đáng, bài này hoàn toàn bỏ qua lựa chọn thường khá khó trong giải tích hàm là “sẽ dùng không gian vectơ nào”
      Không gian vectơ gồm các hàm được định nghĩa theo từng điểm như ở đây hầu như luôn là lựa chọn ít hữu dụng nhất. Tuy nhiên, nếu mục đích là dạy bức tranh tổng thể của chủ đề thì bản thân nó vẫn khá có giá trị
      Về câu “không thể nào mọi hàm đều có thể biến đổi Fourier”, trong những không gian như vậy, ngay cả một khái niệm khoảng cách hữu ích cũng khó có được
    • Mẹo kỳ lạ mà các nhà toán học ghét: cách tạo cơ sở cho không gian vectơ các hàm thực mà không cần tiên đề chọn

  • Điều này chạm tới định nghĩa thực sự của hàm. Hàm là ánh xạ giữa các tập hợp, trong đó mọi phần tử của tập thứ nhất đi tới đúng một phần tử của tập thứ hai
    Vấn đề với cách dùng vectơ là vectơ không tổng quát như tập hợp, nên có những hàm không thể biểu diễn bằng vectơ
    Ví dụ, vectơ không thể xử lý các giá trị chưa xác định hoặc các phần tử không phải là số

    • Hàm cũng không thể xử lý giá trị chưa xác định. Một hàm f là ánh xạ từ một tập hợp sang một tập hợp khác, và mỗi phần tử của tập xuất phát phải tương ứng với đúng một phần tử của tập đích
      Theo định nghĩa, mọi giá trị trong tập xuất phát phải được ánh xạ tới một thứ gì đó trong tập đích, nên không có giá trị chưa xác định theo nghĩa đó
      Lý do không phải lúc nào cũng có thể xem không gian hàm là không gian vectơ là vì có thể không có khái niệm cộng các hàm hoặc nhân vô hướng, và ngay cả khi có thì chúng có thể không phù hợp với cấu trúc cộng mà các hàm thỏa mãn
    • Đó không phải là định nghĩa của hàm, mà gần với hàm song ánh hơn. Một ví dụ đơn giản không song ánh nhưng có thể cho hai giá trị khác nhau là sqrt(x)

  • Điều này chỉ đúng khi đối miền có cấu trúc cần thiết cho các phép toán vectơ. Hàm tổng quát hơn vectơ

    • Đúng. Cụ thể hơn, đối miền phải là nhóm Abel. Hơn nữa chỉ vậy thôi vẫn chưa đủ; trường vô hướng còn phải tác động lên đối miền đó với các tính chất phù hợp

  • Trông thật sự rất hay và tôi muốn đọc kỹ hơn sau. Nếu là chương trình cử nhân vật lý thông thường thì có lẽ phần lớn nội dung này đều được đề cập
    Dù vậy, giống như một bộ phim hay hay một cuốn sách hay, bản thân các khái niệm đã thú vị đến mức đáng xem lại hơn một lần
    Từ góc nhìn của lập trình viên, một số kỹ thuật này trông khá giống hack. Ban đầu bắt đầu bằng các chỉ số nguyên rất hợp lý, rồi nhận ra có thể khái quát hóa chỉ số và nhồi vào chỉ số nhiều thông tin hơn rất nhiều so với ý định ban đầu
    Điều thật sự đáng kinh ngạc là những ý tưởng trông ngớ ngẩn và có vẻ bị lạm dụng như vậy về sau lại luôn dẫn tới một điều gì đó sâu sắc và hữu ích. Hơi giống phép thuật

  • Tôi muốn giới thiệu thư viện Funsor mà tôi đã tạo cùng Eli Bingham để dùng trong các ngôn ngữ lập trình xác suất Pyro và NumPyro
    Chúng tôi lấy góc nhìn “hàm là tensor” và cố tạo ra một thư viện kiểu NumPy cho hàm, chủ yếu nhắm tới các hàm mật độ log của phân phối xác suất
    Bài báo: "Functional Tensors for Probabilistic Programming" (2019) https://arxiv.org/abs/1910.10775
    Mã nguồn: https://github.com/pyro-ppl/funsor

  • Tôi nghĩ bài này đi theo hướng ngược lại nên tạo trực giác không tốt. Thứ khiến các hàm tạo thành không gian vectơ không phải là đầu vào mà là đầu ra
    Các hàm từ một tập X nào đó tới trường F có thể tạo thành không gian vectơ, ngay cả khi X không có thứ tự

    • Không phải đầu vào hay đầu ra, mà là sự tương ứng đưa đầu vào thành đầu ra, tức bản thân hàm

  • Đây là một góc nhìn rất thú vị trong phạm vi tôi còn theo kịp, nhưng tiếc là tôi không theo được nhiều
    Tôi tự hỏi liệu kiểu logic hình thức này có giúp suy ra các hàm mô tả vectơ hay không
    Trong phân tích dữ liệu lớn, chẳng hạn như huấn luyện mạng nơ-ron, những điểm kém hiệu quả và nút thắt lớn nhất dường như vẫn quy về cách tìm một hàm xấp xỉ đầu ra giống như vectơ kỳ vọng
    Dù cách đó là hồi quy ký hiệu hay nhiều tầng biến đổi thì cũng vậy. Nếu có thể thao tác chỉ trên vectơ như một hàm mà không cần bằng cách nào đó trích xuất hay nén quan hệ giữa đầu vào và đầu ra thì sẽ giống như “phép thuật”

    • Có thể. Bạn có thể áp dụng biến đổi Fourier lên vectơ, bỏ đi một số hạng có đóng góp thấp, tức các tần số, rồi chỉ lưu các hệ số còn lại
      Về bản chất, đây là ý tưởng cơ bản của nén MP3 và JPEG. Tất nhiên đó là đánh đổi không gian lấy thời gian, nên để thu được xấp xỉ của vectơ ban đầu, trước tiên phải áp dụng biến đổi Fourier ngược
    • Có thể bạn đang nghĩ vectơ ở đây là một tập hợp các giá trị cụ thể như [x y z] trong R^3
      Bài này bàn về không gian vectơ trừu tượng, các tính chất của nó như phép cộng vectơ và nhân vô hướng, và đặc biệt nói rằng hàm thỏa mãn định nghĩa đó nên tạo thành không gian vectơ của các hàm, tức không gian hàm
      Ví dụ, nếu có hai hàm f, g và một vô hướng b, ta có thể xử lý như sau
      f + g = g + f
      b(f + g) = bf + bg
      Ngoài ra tồn tại (-f) sao cho f + (-f) = 0, trong đó 0 là hàm không, và không gian hàm cũng phải chứa hàm không này