6174: Số tự nhiên được biết đến là hằng số Kaprekar
(en.wikipedia.org)- 6174 là số tự nhiên nằm giữa 6173 và 6175, và trong toán học được phân loại là Kaprekar's Constant
- Phân tích thành thừa số nguyên tố là 2 × 3² × 7³, và là một 7-smooth number vì mọi thừa số nguyên tố đều không vượt quá 7
- 6174 có thể được biểu diễn thành 18³ + 18² + 18¹, và tổng các chữ số của nó cũng là 18
- Nếu lấy các thừa số nguyên tố, tính bình phương rồi cộng lại có tính cả lặp lại, ta được 169 = 13², tiếp tục là một số chính phương
- Có liên kết tới video của Numberphile cùng mã ví dụ bằng Perl, Python và C để xem cách tính Kaprekar's Constant
Định nghĩa cơ bản của 6174
- 6174 là số tự nhiên đứng sau 6173 và đứng trước 6175
- Cách đọc trong hệ thập phân là “six thousand one hundred seventy-four”, và dạng số thứ tự là 6174th
- Phân tích thành thừa số nguyên tố là 2 × 3² × 7³
- Các ước số là 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 49, 63, 98, 126, 147, 294, 343, 441, 686, 882, 1029, 2058, 3087, 6174
Biểu diễn trong nhiều hệ đếm
- Nhị phân: 1100000011110₂
- Tam phân: 22110200₃
- Lục phân: 44330₆
- Bát phân: 14036₈
- Thập nhị phân: 36A6₁₂
- Thập lục phân: 181E₁₆
- Ký pháp số Hy Lạp là ,ϚΡΟΔ´, và ký pháp số La Mã là V MCLXXIV hoặc VI CLXXIV
Tính chất toán học
- 6174 là Kaprekar's Constant
- Là một 7-smooth number, tức là không có thừa số nguyên tố nào lớn hơn 7
- Có thể tạo ra 6174 từ tổng của ba lũy thừa đầu tiên của 18
- 18³ + 18² + 18¹ = 5832 + 324 + 18 = 6174
- 6 + 1 + 7 + 4 = 18, nên tổng các chữ số cũng bằng 18
- Tổng bình phương các thừa số nguyên tố là một số chính phương
- 2² + 3² + 3² + 7² + 7² + 7² = 4 + 9 + 9 + 49 + 49 + 49 = 169 = 13²
Tài liệu bên ngoài liên quan
- 6174 is Kaprekar's Constant: video Numberphile
- Sample (Perl) code to walk any four-digit number to Kaprekar’s Constant: mã ví dụ Perl
- Sample (Python) code to walk any four-digit number to Kaprekar’s Constant: mã ví dụ Python
- Sample (C) code to walk the first 10000 numbers and their steps to Kaprekar’s Constant: mã ví dụ C về 10000 số đầu tiên và số bước để tới Kaprekar’s Constant
1 bình luận
Các ý kiến trên Hacker News
Rõ ràng có liên quan đến một mẹo kế toán thủ công tiêu chuẩn dùng khi tìm lỗi trong sổ sách kế toán kép. Trước tiên kiểm tra xem số tiền sai lệch có chia hết cho 9 hay không; nếu có thì giả định rằng ở đâu đó đã đảo chỗ hai chữ số trở lên
Lý do có thể chứng minh như sau: với hai chữ số bất kỳ x, y, giá trị đúng là 10x + y, còn giá trị bị đảo là x + 10y. Hiệu là (10x - x) + (y - 10y), rút gọn thành 9x - 9y, và cuối cùng phân tích thành 9(x - y)
Tổng chữ số ở hai vế của biểu thức a - rev_a = b sẽ càng lặp càng tiến gần nhau. Đôi khi chúng giữ nguyên khoảng cách, nhưng không bao giờ xa hơn. Và sự hội tụ đó chỉ xảy ra ở 18
Ví dụ:
5200 (tổng 7) - 0025 = 5175 (tổng 18, chênh 11)
7551 (tổng 18) - 1557 = 5994 (tổng 27, chênh 9)
9954 (tổng 27) - 4599 = 5355 (tổng 18, chênh 9)
5553 (tổng 18) - 3555 = 1998 (tổng 27, chênh 9)
9981 (tổng 27) - 1899 = 8082 (tổng 18, chênh 9)
8820 (tổng 18) - 0288 = 8532 (tổng 18, chênh 0)
8532 (tổng 18) - 2358 = 6174 (tổng 18, chênh 0)
7641 (tổng 18) - 1467 = 6174 (tổng 18, chênh 0)
Có vẻ đây là manh mối đầu tiên. Thời điểm hai vế có tổng chữ số bằng nhau chỉ có thể là khi cả hai đều là 18; tổng hai vế dần tiến lại gần nhau rồi cuối cùng phải bằng nhau, và điểm đó phải là 18. Nếu đào sâu, có lẽ đây là một biến thể của quy tắc tổng chữ số mod 9 cổ điển
Sau đó, khi tổng chữ số của hai vế đều trở thành 18, có vẻ từ đó chúng phải hội tụ về 6174
Tức là trước hết tổng chữ số luôn hội tụ để bằng nhau ở hai vế, và sự hội tụ đó luôn xảy ra khi tổng chữ số của hai vế trong biểu thức đều là 18. Tính chất này có lẽ có thể chứng minh bằng quy tắc mod 9 cổ điển, nhưng sẽ cần làm thêm một chút
Sau đó tính chất thứ hai phát huy tác dụng: mọi số bốn chữ số có tổng chữ số ở cả hai vế của biểu thức này đều là 18 sẽ hội tụ về 6174. Đây là một tập số bị giới hạn hơn. Vì có thể xét riêng sự hội tụ về 18 ở trên, ta chỉ cần xét các số có dạng a - a_rev = b và tổng chữ số của cả a lẫn b đều là 18
Tôi hoàn toàn không biết vì sao điều này quan trọng, nhưng đây là thứ hay nhất tôi thấy trên HN gần đây
Tôi không hề là dân mê toán và hồi đi học cũng tránh toán hết mức có thể, nhưng những thứ như thế này thật sự vừa thú vị vừa kỳ lạ. Rốt cuộc người ta đã phát hiện ra chuyện này như thế nào, và vì lý do gì? Bản thân tính chất của con số này đã đủ thú vị, nhưng quá trình phát hiện ra nó mới thật sự kỳ quặc
Cuối cùng quá trình này sẽ dẫn tới một số đối xứng, tức không đổi khi đảo chữ số. Nhưng những số như 196 dường như không bao giờ tạo ra số đối xứng. Không ai biết điều đó có thật không, hay chỉ là số đối xứng quá lớn nên máy tính vẫn chưa tìm thấy
Các bài liên quan:
Mysterious number 6174 - https://news.ycombinator.com/item?id=2625832 - tháng 6 năm 2011 (64 bình luận)
6174 - https://news.ycombinator.com/item?id=1625606 - tháng 8 năm 2010 (1 bình luận)
Mysterious number 6174 - https://news.ycombinator.com/item?id=480200 - tháng 2 năm 2009 (41 bình luận)
Một số bốn chữ số thú vị khác liên quan đến một nhà toán học Ấn Độ là 1729: https://en.wikipedia.org/wiki/1729_(number)
Thật đáng kinh ngạc. Có trực giác không chính thức nào giải thích vì sao lại tồn tại dù chỉ một hằng số bốn chữ số có tính chất như vậy không? Theo trực giác, tôi nghĩ đồ thị này sẽ có nhiều chu trình
Tôi kiểm tra thì khi áp dụng quá trình này cho mọi số bốn chữ số, chỉ có 55 kết quả khác nhau, và nếu loại 0000 thì còn 54. Vì vậy không còn nhiều chỗ để sinh ra nhiều chu trình
Nhìn qua thì có vài mẫu hình. Ví dụ trong những cơ số có số Kaprekar hai chữ số, tổng chữ số sẽ bằng cơ số-1. Có lẽ có một lời giải thích theo lý thuyết số ở đây
https://plus.maths.org/content/mysterious-number-6174
Nhớ đến một thiết bị hình trụ mà tôi đã thấy ở Exploratorium tại San Francisco hơn 10 năm trước. Có vẻ nó còn được giới thiệu trước đó trong chuyên mục Mathematical Recreations hoặc Computer Recreations của Scientific American
Hình như đó là một hình trụ nằm ngang lớn phủ đầy các chữ số, và có thể có một vòng hoặc một dạng con trỏ nào đó. Khi xoay, nó thực hiện một phép toán nào đó, và giống như 6174 này, dường như sau vài lần lặp thì sẽ hội tụ về một con số duy nhất bất kể trạng thái ban đầu
Giá mà tôi nhớ được đó là gì
Tôi đã cố tìm bài báo gốc của Kaprekar nhưng không được. Có ai có PDF không?
Nói ngoài lề, tôi tự hỏi đã có bao nhiêu nghiên cứu biến mất vào hư không chỉ vì chúng không thú vị đến mức này
6174 chỉ đặc biệt khi đếm theo hệ thập phân. Đây là Hacker News nên chắc mọi người đều dùng hệ thập lục phân. Đáng tiếc là theo https://kaprekar.sourceforge.net/output/sample_hex.php, trong hệ thập lục phân không có hằng số Kaprekar đơn giản
Với 5 chữ số thì là 98532. Thú vị thật
74943 -> 62964 -> 71973 -> 83952 -> repeat
63954 -> 61974 -> 82962 -> 75933 -> repeat
53955 -> 59994 -> repeat
https://kaprekar.sourceforge.net/output/sample.php
Bài viết nói rằng nó hoạt động với mọi số và chỉ loại trừ repdigit, nhưng chẳng phải nó cũng thất bại với mọi số đối xứng sao?