10 bài học tôi ước mình đã học trước giờ giảng về phương trình vi phân [PDF] (1997)

• Gian-Carlo Rota, người đã giảng dạy môn phương trình vi phân năm hai tại MIT trong thời gian dài, cho rằng khóa nhập môn đang bị trói buộc bởi các mẹo giải cũ kỹ và quán tính, nên nhiều khả năng sẽ tự nhiên phân tách thành các môn thay thế ngắn hơn thay vì được cải tổ thực tế
• Các mẹo rời rạc được học lúc đầu như kỹ thuật phương trình bậc nhất, nhân tử tích phân, phương trình toàn phần khá xa rời các bài toán kỹ thuật thực tế; chỉ có tách biến và đổi biến là đáng để còn được ghi nhớ lâu dài
• Trục nội dung mà sinh viên nhất thiết phải nắm là phương trình và hệ tuyến tính hệ số hằng; còn phương trình tuyến tính bậc hai hệ số không hằng hay nội dung Sturm-Liouville mang tính hình thức thì không phù hợp lắm với khóa nhập môn
• Định lý tồn tại–duy nhất, bài toán có lời văn, phương pháp biến thiên tham số, các giải thích xoay quanh ký hiệu vi phân dễ củng cố các thao tác có thể ra đề thi hơn là sự thấu hiểu, nên cần được giải thích lại từ góc nhìn quỹ đạo, trường vectơ và đường cong tích phân
• Việc dạy phương trình vi phân nhập môn không nên là môn để lại nhiều mẹo, mà phải để lại cho sinh viên cảm giác khái niệm như tính phổ quát của hàm mũ, tính ổn định, mặt phẳng pha và biến đổi Laplace

---

Nhận thức vấn đề về khóa phương trình vi phân nhập môn đã cũ

• Gian-Carlo Rota hồi tưởng việc viết một giáo trình phương trình vi phân thường khi còn trẻ là một sai lầm, và nói rằng qua trải nghiệm đó ông nhận ra mình không biết phương trình vi phân là gì
• Môn phương trình vi phân năm hai tại MIT được xem là một môn toán bậc đại học gây áp lực cho cả giảng viên lẫn sinh viên, và vì đã viết giáo trình nên ông liên tục được giao giảng dạy môn này
• Đây là bài viết tổng kết những sai lầm và định kiến trong giảng dạy mà ông lặp lại từ năm 1958 thành 10 bài học

1. Phần lớn khóa nhập môn đã lỗi thời

• So sánh bài giảng phương trình vi phân thế kỷ 19 của Cauchy với giáo trình nhập môn hiện đại, ngoài việc có thêm hệ phương trình thì nội dung hầu như không thay đổi
• Ở phần đầu giáo trình ngày nay, các kỹ thuật không liên kết với nhau như phương trình toàn phần, nhân tử tích phân, phương trình vi phân thuần nhất được sắp xếp như những công cụ hữu ích
• Ông cho rằng các loại phương trình này hiếm khi xuất hiện trong thực hành kỹ thuật, và các bài tập đi kèm cũng đã tiếp nối từ sau Euler mà không có thay đổi lớn
• Khóa phương trình vi phân nhập môn có khả năng sẽ không được cải cách lớn mà tự nhiên biến mất, rồi được thay bằng nhiều môn ngắn hơn xử lý các khía cạnh thực tế hơn
• Tuy nhiên, vì ngân sách khoa toán phụ thuộc nhiều vào số sinh viên kỹ thuật đăng ký các môn toán sơ cấp, ông cho rằng nếu không có các môn như vậy thì khoa toán khó tồn tại

2. Nên giảm phương trình vi phân bậc nhất xuống mức tối thiểu

• Sách phương trình vi phân của Boole dành khoảng một nửa nội dung cho việc giải phương trình bậc nhất, nhưng ông cho rằng các kỹ thuật còn tồn tại có ý nghĩa đến nay chỉ là tách biến và đổi biến
• Nhân tử tích phân đã trở thành chuyện đùa, và ông nói chưa từng nghe một trường hợp thực tế nào giải phương trình vi phân bậc nhất bằng cách tìm nhân tử tích phân
• Dù vậy, trong bài giảng người ta vẫn dành một hai giờ cho nhân tử tích phân và tiếp tục có thói quen nói với sinh viên rằng nó quan trọng

3. Phương trình tuyến tính hệ số hằng là cốt lõi

• Sinh viên nhất thiết phải học cách giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng, đặc biệt giải phương trình tuyến tính bậc hai hệ số hằng là kiến thức toán học cơ bản
• Ngược lại, cần mạnh dạn cắt giảm phương trình vi phân tuyến tính hệ số không hằng
  • Ngoại trừ phương trình Euler-Cauchy, ông cho rằng không có phương trình tuyến tính bậc hai nào có thể giải tường minh mà không đưa vào hàm đặc biệt
  • Hàm Bessel từng có trong đề cương bài giảng trước đây, nhưng hiện ông đánh giá là khó đưa vào khóa nhập môn
• Lý thuyết Sturm-Liouville là toán học đẹp, nhưng ông phê phán rằng bài toán trị riêng Sturm-Liouville không kỳ dị được dạy trong khóa nhập môn không xuất hiện trong toán học, vật lý hay kỹ thuật thực tế
  • Các hệ Sturm-Liouville thực sự xuất hiện là hệ kỳ dị
  • Ông cho rằng lý thuyết nghiêm ngặt vượt quá phạm vi không chỉ của môn phương trình vi phân thứ nhất mà cả môn thứ hai
• Không cần che giấu hoàn toàn phương trình hệ số không hằng; ngay ở mức nhập môn cũng có thể trình bày Wronskian và một số kết quả của đại số vi phân
  • Dù không có công thức nghiệm tổng quát cho phương trình tuyến tính bậc hai, Wronskian của hai nghiệm vẫn có công thức tường minh
  • Nếu biết một nghiệm, có thể dùng Wronskian để tìm nghiệm thứ hai

4. Cần dạy đổi biến

• Kỹ thuật sinh viên chắc chắn sẽ phải dùng về sau là đổi biến trong cả phương trình vi phân bậc nhất lẫn bậc hai
• Đổi biến không phải là mẹo đơn thuần mà là một lý thuyết nhất quán, nhưng ông cho rằng các giáo trình hiện nay không dành đủ tầm quan trọng cho kỹ thuật này
• Trong phương trình vi phân tuyến tính bậc hai, các công thức biến đổi biến phụ thuộc và biến độc lập đã được biết đến, nhưng khó tìm thấy trong các sách viết ở thế kỷ 20
• Liouville đã phát hiện các bất biến là các đa thức vi phân của hệ số phương trình vi phân tuyến tính bậc hai, và chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai phương trình có thể chuyển đổi qua lại bằng đổi biến là chúng có cùng bất biến
• Định lý này không được đưa vào giáo trình; trong ấn bản đầu giáo trình của ông nó từng được đưa vào như bài tập, nhưng các ấn bản sau thì bị lược bỏ

5. Tồn tại và duy nhất ít quan trọng hơn

• Định lý tồn tại của phương trình vi phân thường không quan trọng như thường được nghĩ, và ông xem nó gần như một định lý đem lại sự yên tâm về mặt tâm lý
• Nếu trong phương trình vi phân thường có ví dụ nghiệm không tồn tại thì định lý tồn tại có thể thú vị hơn, nhưng những vấn đề như vậy nổi bật hơn trong phương trình đạo hàm riêng
• Định lý duy nhất là vấn đề nhạy cảm hơn; ông nói mình cảm thấy có lỗi khi nói không chứng minh rằng mọi nghiệm của phương trình tuyến tính bậc hai hệ số hằng là tổ hợp tuyến tính của hai nghiệm
• Ông cho rằng ngay cả khi chứng minh mọi nghiệm của y' = ay đều có dạng y = ce^{ax}, cũng khó truyền đạt điều đó cho sinh viên một cách thuyết phục

6. Hệ tuyến tính hệ số hằng là trung tâm của khóa học

• Giải hệ tuyến tính hệ số hằng là kỹ thuật quan trọng nhất sinh viên học được trong khóa phương trình vi phân
• Sinh viên trong khoa học và công nghệ về sau sẽ gặp các hệ tuyến tính lớn, và khi việc giải hệ lớn ngày càng được máy tính hóa, hiểu biết lý thuyết càng trở nên quan trọng
• Sinh viên cần biết lý thuyết liên quan như trị riêng và vectơ riêng của ma trận, hàm mũ ma trận
• Trong 30 năm gần đây đã xuất hiện các ví dụ thú vị về hệ hệ số hằng trong điều khiển, kinh tế học, xử lý tín hiệu và toán học, nhưng ông cho rằng chúng chưa được đưa vào giáo trình nhập môn
• Ông phê phán rằng ví dụ về hệ ma trận trong giáo trình hầu hết là hệ phẳng hoặc ví dụ nhân tạo
• Phương pháp biến thiên tham số xuất hiện theo thông lệ trong chương về hệ, nhưng ít thực dụng và cũng khó tạo bài tập xứng đáng cho sinh viên
• Ông cho rằng phương pháp biến thiên tham số cũ để giải phương trình tuyến tính không thuần nhất bậc hai hệ số không hằng đã được lặp lại trong giáo trình suốt nhiều thế kỷ cùng với những ví dụ nhân tạo giống nhau

7. Nên tránh giải thích xoay quanh ký hiệu vi phân

• Ông phê phán mạnh rằng cách các giáo trình từ sau năm 1800 giải thích nhân tử tích phân là không nghiêm ngặt
• Cách giải thích truyền thống đột ngột biến phương trình bậc nhất dy/dx = -M(x,y)/N(x,y) thành một “dạng vi phân” M dx + N dy = 0, rồi nói rằng đó chỉ là ký hiệu khác
• Sau đó, sách nói rằng nếu nhân với một hàm nào đó q(x,y) thì qM dx + qN dy = 0 trở thành toàn phần, nhưng lại không xử lý đúng việc phương trình ban đầu và phương trình sau khi nhân là giống hay khác nhau
• Cách giải thích tốt hơn là xét một hệ tự trị phẳng cùng với phương trình bậc nhất đó
  • Xét đồng thời dx/dt = N(x,y), dy/dt = -M(x,y)
  • Nghiệm của hệ là các quỹ đạo, tức đường cong tham số có vận tốc
  • Nghiệm của phương trình vi phân ban đầu là đồ thị của đường cong tích phân sau khi loại bỏ vận tốc
• Khi thay đổi q(x,y), vận tốc trên quỹ đạo thay đổi nhưng đường cong tích phân vẫn giữ nguyên
• Nhân tử tích phân có thể được đưa vào như một nhân tử q làm cho trường vectơ dễ xử lý hơn về mặt hình học và giải tích
• Ông không phản đối bản thân dạng vi phân ngoài, và cho rằng trong chương trình toán bậc đại học có thể sớm cần một môn giải tích sơ cấp về dạng vi phân ngoài

8. Nên tránh bài toán có lời văn

• Ông cho rằng việc ưa chuộng bài toán có lời văn vì dễ tạo phân bố điểm trong kiểm tra và bài tập là một lối nghĩ sai
• Giống cách huấn luyện cũ của Cambridge Tripos, nếu đào tạo sinh viên theo mẹo giải bài thì năng lực thao tác trở nên quan trọng hơn sự thấu hiểu
• Ông phê phán rằng các bài toán có lời văn trong giáo trình phương trình vi phân là nhân tạo, phi thực tế, lặp lại và ít liên quan
• Ông nói khó có thể xem việc bắt sinh viên giải các bài toán như xe dọn tuyết hay dòng nước muối trong các bể nối nhau là giúp họ học được điều gì có ý nghĩa
• Những vấn đề thực tế mà sinh viên kinh tế học gặp sẽ rất khác với những vấn đề mà sinh viên kỹ thuật hóa học gặp; một môn nhập môn không thể bao quát tất cả bằng các bài toán lời văn đơn giản

9. Cần đặt đúng động cơ cho biến đổi Laplace

• Thông thường biến đổi Laplace được tạo động cơ bằng bài toán giá trị đầu của phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng, nhưng biến đổi ngược không dễ, còn bài toán giá trị đầu cũng có thể giải bằng cách khác nên động cơ này yếu
• Khi bàn về biến đổi Laplace, từ “hàm” trộn lẫn hai khái niệm khác nhau
  • Hàm thông thường có đồ thị
  • Hàm mật độ có ý nghĩa được xác định qua tích phân, như mật độ khối lượng hay mật độ xác suất
• Với hàm mật độ, giá trị tại một điểm không có ý nghĩa; tích phân trên khoảng [a,b] biểu thị khối lượng hoặc xác suất
• Nếu chấp nhận góc nhìn này, có thể xử lý hàm delta Dirac một cách đơn giản và nghiêm ngặt
  • Khối lượng đơn vị tại điểm c là hàm mật độ đơn giản nhất không có đồ thị
  • Nếu khoảng không chứa c thì giá trị tích phân được định nghĩa là 0, nếu chứa thì là 1
  • Có thể suy ra các tính chất mà không cần giải thích kiểu nó là hàm có giá trị vô hạn
• Với hàm mật độ, tích chập (convolution) đóng vai trò phép nhân tự nhiên hơn phép nhân theo nghĩa thông thường
• Ông nêu định lý tích chập Titchmarsh như một định lý quan trọng về tích chập, và nói rằng định lý này không có chứng minh sơ cấp nào được biết đến; chứng minh của Titchmarsh dùng phương pháp biến phức

10. Hãy dạy khái niệm, không phải mẹo

• Khóa phương trình vi phân nhập môn sẽ không có giá trị giáo dục nếu được dạy như một bộ sưu tập mẹo
• Sau một năm, sinh viên sẽ quên hầu hết các mẹo, và phần lớn trong số đó dù sao cũng vô dụng
• Các khái niệm cần để lại cho sinh viên gồm:
  • Sự xuất hiện phổ quát của hàm mũ
  • Tính ổn định
  • Quan hệ giữa quỹ đạo của hệ và đường cong tích phân
  • Phân tích mặt phẳng pha
  • Thao tác biến đổi Laplace
  • Quan hệ giữa phân tích thành phân thức đơn giản và tích chập thông qua biến đổi Laplace
• Điều quan trọng hơn việc sinh viên có giải thành thạo các bài khó hay không là họ có được cảm giác về tầm quan trọng của phương trình vi phân và sức mạnh của toán học
• Xem mục đích của giáo dục đại học chỉ là truyền đạt thông tin là sai; thông tin có thể được thu nhận bên ngoài giảng đường bằng những cách tốt hơn
• Một bài giảng đại học thành công là làm cho sinh viên cảm thấy mình đã học một môn hay, ngay cả khi họ không chỉ ra được chính xác mình đã học điều gì cụ thể

[excovert]

Có vẻ như nội dung và tiêu đề không khớp nhau?

[GN⁺]

Các ý kiến trên Hacker News

• Điều tương tự cũng xảy ra trong các lĩnh vực khác của toán học, hoặc trong nhiều lĩnh vực nói chung. Khi học biến đổi Fourier trong giờ toán, nó trông như một thứ đại số xử lý máy móc tích phân của hàm mũ phức nên tôi chẳng hiểu gì cả; nhưng ngay khi nhìn thấy phổ biên độ của dạng sóng trong phân tích tín hiệu âm thanh, tôi lập tức nắm được chuyện gì đang diễn ra, và sau đó pha cũng không còn khó nữa.
  Trong toán đại học, các ví dụ thực dụng kiểu này dường như gần như bị cấm, có lẽ vì muốn làm mọi thứ trở nên rất trừu tượng và chặt chẽ. Khi đã có trực giác, tôi bắt đầu hiểu cả phần toán hình thức, và khi ở vị trí giảng dạy, tôi cũng thấy vì sao chuyện này xảy ra. Với giáo viên, mọi thứ quá hiển nhiên nên khó hình dung trạng thái của sinh viên khi họ còn chưa hiểu ký hiệu và thuật ngữ. Vì vậy, nếu tìm một khái niệm ở lĩnh vực khác mà sinh viên đã biết, rồi nối nó với một ví dụ đơn giản của chủ đề mới và chỉ ra rằng “đây là cùng một thứ, chỉ khác ký hiệu và mức độ trừu tượng”, họ thường sẽ bừng hiểu. Tuy nhiên, điều này khó thực hiện trong giáo trình hay các lớp đông người, và vì thế vẫn cần con người giảng dạy thay vì chỉ ném tài liệu cho sinh viên

  • Nếu không biết các ví dụ thực tế thì rất khó. Khi tôi có một thời gian ngắn dạy toán đại học, vì có chuyên ngành vật lý và cả kinh nghiệm trong ngành, tôi nói rằng sẽ tốt nếu lớp phương trình vi phân có ứng dụng kỹ thuật. Một nghiên cứu sinh rất thông minh, từng làm trợ giảng phương trình vi phân, đã nghiêm mặt trả lời: “phương trình vi phân không có ứng dụng kỹ thuật”
  • Từ góc nhìn của một người học toán lý thuyết và cũng làm điện tử như sở thích, đúng là có một bầu không khí trong đó sinh viên và giảng viên toán lý thuyết hơi xem thường các lĩnh vực khác. Ở nơi tôi học, người ta còn đùa rằng sinh viên vật lý hay toán ứng dụng “cái đó đâu phải toán, chỉ là công thức và học thuộc”, còn sinh viên khoa học máy tính thì bị nhìn còn nặng hơn.
    Nhưng nhiều khái niệm toán học vốn được phát minh để giải các bài toán vật lý thực tế, hoặc về sau được chứng minh là cực kỳ hữu ích cho các bài toán vật lý. Trong lịch sử, vật lý và toán học không bị tách biệt quá rạch ròi và đã ảnh hưởng lẫn nhau rất nhiều. Câu chuyện Einstein khi xây dựng thuyết tương đối rộng không mạnh về toán nên phải nhờ bạn bè giúp đỡ và trải qua một quá trình gần như học kèm riêng để hiểu cũng rất thú vị. Tôi đã hiểu giải tích Fourier từ trước khi làm điện tử, nhưng chỉ khi xử lý các vấn đề tần số cao và bắt đầu dùng miền tần số trong công việc mạch điện, tôi mới thực sự cảm nhận được tính hữu dụng của nó
  • Tôi cho rằng biến đổi Fourier không nên được đưa vào phần giải tích, mà nên được dạy trong đại số tuyến tính. Trong đại số tuyến tính, ý nghĩa của nó phù hợp hơn, và nó cũng là một ví dụ ứng dụng không tầm thường mà sách giáo khoa thường thiếu

• Tài liệu nhập môn phương trình vi phân trực quan nhất tôi từng thấy đến nay là https://www.complexityexplorer.org/courses/31-introduction-t...
  Nó giải thích phương trình vi phân ngay từ đầu, nói về ý nghĩa vật lý và một hai phương pháp giải truyền thống, rồi chuyển sang các phương pháp giải tích số. Nếu muốn học phương trình vi phân thì đây là tài liệu ngắn gọn và hay đến mức rất đáng khuyên dùng, nhưng nó không phải tài liệu để chuẩn bị cho một khóa học chính quy hay bao quát mọi nội dung

  • Nếu muốn tài liệu ở mức khóa học chính quy theo hướng những người tiên phong ban đầu trong cách tiếp cận giảng dạy dùng phương pháp giải tích số để hiểu phương trình vi phân, tôi rất khuyến nghị sách của Blanchard, Devaney, Hall (http://math.bu.edu/odes)

• Khi lần đầu học giải tích ở tuổi 14–15, giá mà có ai giải thích vì sao ta làm việc này thì có lẽ tôi đã đỡ bối rối hơn nhiều. Bây giờ, nếu giải thích bằng các ví dụ như vận tốc, quãng đường, gia tốc thì hoàn toàn hợp lý, nhưng khi chỉ học bằng hàm số, các mảnh vô cùng bé, lượng delta, danh sách phương trình và chứng minh thì quá khô khan và chẳng thú vị gì. Cho đến khi nó xuất hiện trong giờ vật lý vài năm sau, tôi vẫn không có cảm giác giải tích dùng để làm gì

  • Các lớp giải tích mà tôi từng học và từng dạy đều đầy ví dụ từ thế giới vật lý. Chỉ là khi mới học, có lẽ trong đầu tôi vẫn thiếu “đất” để những giải thích và ví dụ đó bén rễ.
    Khi đã là nghiên cứu sinh và xem lại các nội dung cơ bản, tôi từng nghĩ “rõ ràng thế này mà sao hồi trung học họ không dạy mình?”, rồi nhận ra có lẽ thực ra tôi đã được học, nhưng vì thiếu độ chín toán học nên nó không đọng lại. Việc tôi giỏi thao tác đại số, nên có thể làm được hầu hết bài tập mà không cần hiểu sâu nền tảng khái niệm, cũng là một trở ngại. Khả năng thao tác đại số rất quan trọng, nhưng tốt hơn là thiết kế lại lớp học sao cho khó vượt qua nếu thiếu hiểu biết khái niệm
  • Tôi học giải tích theo quan điểm toán thuần túy, nhưng vì có một mức kiến thức vật lý nhất định nên có thể liên kết hai khái niệm, và điều đó có ích. Dù vậy, trong phần lớn 3 học kỳ đầu, chỉ cần biết “tích phân = diện tích dưới đường cong”, “đạo hàm = tính độ dốc tại một điểm trên đường cong” là đã hiểu được.
    Tuy nhiên, ví dụ vật lý chỉ hiệu quả với những sinh viên quan tâm đến vật lý. Khi làm ở trung tâm dạy toán, tôi thấy các ví dụ vật lý kiểu trong giáo trình Stewart khiến nhiều sinh viên không quan tâm đến vật lý còn bối rối hơn. Lý do là ngoài học toán, họ còn phải học cả các khái niệm vật lý để hiểu ví dụ. Các môn giải tích riêng cho sinh viên tài chính/kinh tế cũng tương tự: gia sư phải học các khái niệm tài chính cơ bản để giúp làm bài, còn sinh viên đôi khi chỉ giải được những bài có lẫn khái niệm tài chính
  • Việc vật lý trên thực tế lại thay toán đảm nhiệm chuyện dạy toán lẽ ra phải là một nỗi xấu hổ phổ biến đối với các khoa toán
  • Tôi cũng y hệt. Phần lớn học kỳ đầu tôi chỉ ở mức điểm C, vì không hiểu mình đang làm gì và vì sao.
    Trong thư viện trường, khi giải các bài toán về nước thoát ra qua một cái lỗ ngày càng lớn bên cạnh bể bơi, tôi có khoảnh khắc eureka, và sau đó mọi thứ đều trở nên dễ hiểu. Về sau tôi hầu hết được điểm A, và trong kỳ thi AP năm đó tôi là người duy nhất trong lớp đạt 5 điểm. Rốt cuộc tôi học kỹ thuật điện, tập trung vào xử lý tín hiệu, rồi học tiếp cao học, nên thật mỉa mai là từ trạng thái không hiểu, tôi gần như đã dành 8 năm chỉ để làm giải tích
  • Những đứa trẻ có cha mẹ là kỹ sư có lợi thế ở đây. Những phụ huynh như vậy có thể đưa ra ví dụ về cách toán học được dùng trong đời thực.
    Khi đã có sự liên hệ, có thể giải thích rằng ngay cả khi dạng toán này được chôn trong phần mềm và ta không trực tiếp dùng nó, vẫn có ai đó đã biến phần toán đó thành mã và chúng ta hưởng lợi từ đó. Câu “có thể con không trực tiếp dùng, nhưng công cụ con dùng sử dụng nó bên trong” có thể tạo động lực cho những học sinh cảm thấy nó như một việc vặt vô nghĩa

• Môn toán đầu tiên tôi học ở đại học là Giải tích học kỳ 2 của ông ấy, và đến giờ tôi vẫn như nghe thấy giọng nói đó trong đầu. Đó là một giọng nói không thể quên, và ông là một người thầy tuyệt vời.
  Một điểm thú vị khác là ở tuổi 50, tôi tự chọn trở thành kỹ sư; lúc đó kỹ thuật đã thay đổi rất nhiều, và điều quan trọng là khả năng sử dụng thành thạo các chương trình máy tính đắt tiền. Những chương trình đó giải phương trình vi phân theo cách số, và hầu như không ai nghĩ đến việc giải theo cách khác. Vì không có thời gian cho chuyện đó.

  • Tôi nghĩ phần lớn phương trình vi phân không thể giải bằng giải tích. Những bài giải ra gọn gàng chỉ là một tập con rất nhỏ, giống như các câu đố được chế tác tinh vi; trong các bài toán thực tế, phương pháp số thường là con đường duy nhất để tìm nghiệm gần đúng.
    Dù vậy, tôi hiểu rằng lý thuyết phương trình vi phân vẫn hữu ích trong việc thiết kế khuôn khổ để các phương pháp số hoạt động.
  • Tôi cũng từng dự seminar “exploring higher mathematics” của Rota, và ông ấy thật sự xuất sắc. Đến giờ tôi vẫn còn cảm giác hào hứng về hệ phân cấp của vô hạn.
    Tôi đồng ý với câu chuyện thứ hai. Chương trình giải phương trình vi phân bằng số, nhưng biết một chút về cách người ta từng giải chúng ngày xưa vẫn là điều tốt.

• Tôi đã viết một bài dẫn xuất mọi nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thường tuyến tính bậc hai có hệ số hằng, tức hệ khối lượng-lò xo-bộ giảm chấn, thành một dạng ma trận gọn có thể dễ dàng triển khai bằng code: https://esporttoys.pages.dev/2022/11/21/damped
  Tôi cũng đưa ra nghiệm đầy đủ bằng Lua, dưới dạng chọn sin/cos hoặc sinh/cosh tùy theo độ giảm chấn, tần số góc riêng và phần dư, rồi tính diễn tiến theo thời gian của vị trí và vận tốc.

  • Ví dụ hay. Phần giải thích toán khá nặng nên mất nhiều thời gian mới hiểu được mức cơ bản, và tôi cũng không chắc mình đã hiểu đúng chưa. Ngược lại, mã Lua dễ hiểu, dù tên biến khiến phải đọc toàn bộ rồi tự đoán.
    Đã lâu rồi tôi không xử lý phương trình vi phân trong công việc, nhưng tôi đồng ý với câu trong PDF rằng “càng biết nhiều thì càng hiểu ít”. Tôi không rõ vì sao toán học thuần túy phải bị thứ ô uế gọi là hiện thực làm nhiễm bẩn thì mới hiểu được, hay điều đó có cản trở việc hiểu hay không.
  • Chương trình cao học thực chất là quá trình mở rộng F=Ma-Cv-Kx theo đủ mọi cách, cuối cùng đi tới phân tích phần tử hữu hạn. Rốt cuộc, cốt lõi quy về việc chọn hàm cơ sở thuận tiện nhất cho câu hỏi mình muốn trả lời.

• Khi tôi vào cao học kỹ thuật hóa học 10 năm trước, điều khiến tôi bức bối trong các lớp học là toán học lại không đủ chặt chẽ. Khi hỏi để được làm rõ, những điểm không nhất quán thường bị lướt qua đại khái.
  Dạng vi phân nêu trong bài là một ví dụ tốt. Trong các lớp kỹ thuật, nó đột ngột xuất hiện như một cách viết lại phương trình, không có sự chặt chẽ hay hình thức luận nào. Không ai giải thích “vi phân” là gì, liệu có nền tảng tiên đề nào để thao tác nhất quán các ký hiệu này hay không; họ chỉ đưa ra các bước giải để đi thi. Trong lớp hóa học lượng tử, tôi cũng hỏi về sự sụp đổ hàm sóng và khả năng truyền thông tin nhanh hơn ánh sáng, nhưng bị gạt đi bằng câu “không thuộc phạm vi môn học này”. Trong lớp cao học cơ học thống kê, khi được giải thích rằng hàm sóng của toàn hệ là định thức Slater của các hàm sóng riêng lẻ, tôi phản bác rằng điểm cốt lõi của cơ học lượng tử là hàm trạng thái của toàn hệ nói chung không thể tách được, nếu không thì cũng chẳng có vướng víu lượng tử; nhưng giáo sư bác bỏ rằng sinh viên không nên thách thức giáo sư về chủ đề mà sinh viên không biết. Sự nghiệp nghiên cứu của vị giáo sư đó dựa rất nhiều vào các bài báo hóa học tính toán kiểu đưa tệp tọa độ và loại nguyên tử vào phần mềm DFT, chạy nó rồi công bố kết quả.

  • Việc hệ có kích thước đến đâu vẫn có thể duy trì vướng víu lượng tử hoặc tính kết hợp lượng tử vẫn là một vấn đề mở. Nó rất quan trọng vì ảnh hưởng đến máy tính lượng tử.
    Về thực nghiệm, có vẻ các hệ đủ lớn không duy trì được tính kết hợp lượng tử trong thời gian dài. Nếu muốn biết quá trình này được xử lý bằng toán học như thế nào thì hãy tìm ‘quantum decoherence’; nếu muốn biết các diễn giải vật lý có thể có thì hãy tìm ‘objective collapse theory’.
  • Với tư cách người học toán, tôi cảm thấy nhiều người không chuyên toán, kể cả giáo sư kỹ thuật, hóa học và vật lý, chỉ hiểu toán ở mức có thể vận hành chứ không đào sâu.
    Câu trả lời cho câu hỏi “có nền tảng tiên đề nào để thao tác nhất quán các ký hiệu này không” là có. Ngoài ra, một phần lớn giới học thuật chỉ xuất bản trong tiểu lĩnh vực nhỏ của mình và hầu như không nghĩ đến các hàm ý rộng hơn. Vì vậy đôi khi những người mới bước vào với nền tảng hơi khác lại tạo ra nhiều phát hiện.
  • DFT dùng xấp xỉ Kohn-Sham, một xấp xỉ đơn hạt, và là lý thuyết trạng thái cơ bản. Trong hóa học lượng tử chắc chắn có nghiên cứu theo hướng bạn nói, nhưng đó không phải DFT. Nên xem mật độ Levy-Lieb và các bài của Mazziotti.
  • Viết cho những ai chưa biết: DFT là lý thuyết phiếm hàm mật độ.

• Các bài liên quan:
  Lessons I wish I had learned before I started teaching differential equations [pdf] (1997) - https://news.ycombinator.com/item?id=32530035 - Aug 2022 (177 comments)
  10 lessons I wish I had learned before I started teaching differential equations - https://news.ycombinator.com/item?id=19005798 - Jan 2019 (2 comments)
  Lessons I Wish I Had Learned Before Teaching Differential Equations (1997) [pdf] - https://news.ycombinator.com/item?id=15163979 - Sept 2017 (108 comments)
  Ten lessons I wish I had learned before teaching differential equations (1997) [pdf] - https://news.ycombinator.com/item?id=11207183 - March 2016 (118 comments)

• Tôi hoàn toàn đồng ý với câu “phương trình vi phân tuyến tính có hệ số hằng là cốt lõi”. Thử đưa các hằng số đơn giản vào biến là có thể nắm được cảm giác nó hoạt động ra sao, nên thật khó tin là người ta lại không dạy hệ số hằng trước.

  • Vậy thì cứ đợi đến khi gặp những sinh viên đã qua Đại số II mà vẫn không hiểu sự khác nhau giữa hệ số hằng và hệ số biến thiên.

• Hầu như mọi nhà giáo dục mà tôi từng học cho đến nay đều vô thức khăng khăng rằng tài liệu học tập phải được giữ ở trạng thái “vô trùng”, không cho phép nó trở nên hài hước và có góc nhìn mạnh mẽ như bài viết này. Với đa số sinh viên, “học tập” là một việc buồn chán đến phi lý cho đến khi họ rời đại học hoặc vào cao học và bắt đầu học qua các bài luận và hồi ký.
  Trong suốt 12–16 năm, những điều được trình bày như các chân lý đã được xác lập dưới dạng khô khan như xương thực ra đôi khi là công trình cả đời của hàng chục đến hàng nghìn người; họ đã chiến đấu bằng cả sự nghiệp của mình, hình thành các quan điểm xã hội, đùa cợt, kết hôn, ly hôn, chết đi, tranh cãi, công kích nhau, và chưng cất niềm đam mê khổng lồ ấy thành sách giáo khoa. Rất nhiều thông tin bạn học khi còn là sinh viên từng cực kỳ gây tranh cãi vào thời điểm được phát hiện. Ngay cả ở bảo tàng nghệ thuật thủy tinh tại Sandwich, Massachusetts, bảng thuyết minh triển lãm cũng được gọt giũa thành kiểu “những thợ thủy tinh hiện hữu phản đối vì bị xâm phạm ngành nghề”, nhưng trích dẫn thực tế thì con người hơn nhiều, đại loại rằng nhà phát minh đã phải trốn trong phòng vài tuần để tránh phản ứng bạo lực. Nếu có thể thay đổi một điều trong giáo dục hiện đại, tôi muốn khiến sinh viên hiểu rằng sự phát triển và bảo tồn tri thức chưa bao giờ là điều trật tự ngăn nắp hay không thiên lệch, và cho họ tiếp xúc đầy đủ với sự dí dỏm và trí tuệ của các tác giả trong quá khứ. Thêm nữa, ngoại trừ các nghệ sĩ và nhà văn hiến thân cho hài kịch, các nhà toán học và kỹ sư thường hài hước hơn nhiều so với nghệ sĩ và nhà văn.

  • Với tư cách là một cựu giáo viên, tôi cho rằng lý do là vì hệ thống giáo dục như chúng ta biết tồn tại để tạo ra các kết quả học tập có thể tái tạo trên quy mô lớn. Đó là nỗ lực truyền đạt vào đầu thanh thiếu niên những tri thức mà các thiên tài qua nhiều thế kỷ đã khó nhọc mới có được; nghĩ kỹ thì việc này khá kỳ lạ.
    Nhìn theo cách đó, dù còn thiếu sót trong việc truyền đạt những hiểu biết thực sự, nó vẫn thành công đến đáng kinh ngạc. Một nền giáo dục tốt hơn có lẽ sẽ là cách tiếp cận do học sinh dẫn dắt và xoay quanh khám phá, nhưng điều đó khó mở rộng quy mô hơn và kết quả cũng kém xác định hơn. Vì vậy chúng ta cứ lặp đi lặp lại một nền giáo dục nhàm chán nhưng vẫn có hiệu quả ở một mức nào đó.

• Thảo luận trước đó năm 2022: https://news.ycombinator.com/item?id=32530035

  • Cuộc thảo luận đó nói về việc toán học đã thay thế các số không phải 0 nhưng nhỏ vô hạn bằng giới hạn. Về sau, các đại lượng vô cùng bé đã được đưa trở lại một cách nghiêm ngặt thông qua https://mathworld.wolfram.com/NonstandardAnalysis.html
    Từ lâu tôi đã nghĩ rằng cách này sẽ dễ xử lý hơn trên máy tính hiện đại.