Lời tựa của ‘Calculus Made Easy’: Có thể học vi tích phân dễ hơn bạn nghĩ
(calculusmadeeasy.org)- Lời tựa này bắt đầu từ thực tế rằng rất nhiều người có thể thực hiện các phép tính vi tích phân, và cho rằng việc học cùng những mẹo đó không nhất thiết phải khó hoặc nhàm chán
- Vi tích phân vừa có những mẹo rất dễ vừa có những phần cực kỳ khó, và không cần phải nhìn mọi thứ như đều khó ngay từ đầu
- Tác giả phê phán các giáo trình toán cao cấp vì thay vì trình bày các phép tính dễ một cách dễ hiểu, họ lại xử lý chúng theo cách phức tạp như để phô bày sự thông minh của mình
- Người viết tự hạ thấp bản thân là “remarkably stupid fellow”, và nói rằng sẽ cho những độc giả ở hoàn cảnh giống mình thấy những phần không khó mà bản thân đã gạt bỏ được
- Nếu nắm vững đầy đủ phần dễ trước, phần còn lại cũng có thể theo kịp, và tác giả nhấn mạnh khả năng học được bằng thái độ “What one fool can do, another can”
Mức độ khó của vi tích phân theo lời tựa
- Vi tích phân không phải là một lĩnh vực mà mọi phần đều khó như nhau; trong đó có cả những mẹo dễ và những kỹ thuật rất khó
- Thực tế rằng nhiều người có thể làm được các phép tính là cơ sở để tin rằng người khác cũng có thể học những mẹo tính toán tương tự
- Các giáo trình toán cao cấp bị phê phán là có xu hướng trình bày phần dễ theo cách phức tạp thay vì giải thích nó một cách đơn giản
Thái độ học tập được khuyên cho độc giả
- Tác giả nói rằng chính mình đã trực tiếp trải qua quá trình gạt bỏ khó khăn
- Cuốn sách này chọn cách học phần không khó trước, và cho rằng khi nền tảng đó đã đủ vững thì phần còn lại cũng sẽ theo sau
- Câu cuối “What one fool can do, another can” cô đọng ý rằng điều một người làm được thì người khác cũng có thể làm được, nhấn mạnh khả năng học tập
1 bình luận
Ý kiến trên Hacker News
Khoảng 10 năm sau khi rời trường, tôi lại bị cuốn hút bởi các bài giảng vật lý nên cầm một cuốn sách cơ học cổ điển lên đọc, rồi cũng xem lại đại số tuyến tính cơ bản
Nhưng tôi ngạc nhiên khi nhiều giáo trình chỉ nói về quy trình tính tích vô hướng của vector, còn gần như không nói vì sao nó quan trọng—rằng nó hữu ích để đánh giá độ tương đồng giữa hai vector
Chỉ sau khi trao đổi với ChatGPT về ý nghĩa của nó tôi mới thấy thuyết phục, và hiện nay tôi thích việc có thể đi chậm hơn so với thời đại học để nắm chắc khái niệm rồi mới chuyển tiếp
Phần lớn sách toán tôi đọc thiên về trình bày các thủ tục máy móc hơn là ý nghĩa tổng thể, nên tôi bắt đầu tự hỏi ở đâu có những cuốn sách giải thích ngữ nghĩa của khái niệm tốt hơn
Tôi nhớ mình đã học quy trình tính vector riêng, nhưng chưa từng được nghe một câu nào về lý do vì sao ta lại muốn thứ đó
Có lẽ để giải thích cho đúng thì mục tiêu môn học kiểu “dạy cả giải tích, đại số tuyến tính và cơ học lượng tử” cần được đặt khiêm tốn hơn
Từ hôm đó tôi mất hứng thú với toán, và về sau khi biết tích phân liên quan đến diện tích dưới đường cong và hữu ích đến mức nào, tôi lại càng tức giận
Phần lớn giáo viên chắc có thiện ý và cố gắng, nhưng rõ ràng cũng có những người tệ đến mức không bao giờ nên bước vào lớp học nữa
Trước đó, nó chỉ là một khái niệm trừu tượng khác nối với những khái niệm trừu tượng phải học thuộc để vượt qua kỳ thi
Đến giờ, khi đọc các bài báo kiểu quan hệ trong đại số trừu tượng, tôi vẫn thấy bực nếu họ chỉ liệt kê các quan hệ ký hiệu mà không có dù chỉ một, hai câu nói nên nghĩ trực giác về khái niệm đó như thế nào
Trong trò chơi mang tên toán học, góc nhìn ấy có thể trở nên tự nhiên, nhưng nhiều người học toán với động lực bổ sung và muốn có một góc nhìn cho thấy tính hữu dụng thực tế hoặc mối liên hệ với hiện thực
Chỉ cần đưa ra một ví dụ cụ thể cho khái niệm trừu tượng thôi cũng sẽ giúp nhiều độc giả thông minh và có liên quan hơn hiểu được các bài báo toán
Tôi chỉ thực sự hiểu giải tích sau khi đọc cuốn Infinite Powers xuất sắc của Steven Strogatz; cuốn này không chỉ giải thích vì sao mà còn giải thích cả lịch sử đằng sau lý do đó
Cá nhân tôi chấm sách này 10/10
https://www.stevenstrogatz.com/books/infinite-powers
Những sách vật lý trình độ thấp mà tôi từng xem đều giới thiệu tích vô hướng bằng định nghĩa hình học và định nghĩa đại số, rồi cho thấy trong 2–3 chiều thì hai định nghĩa đó giống nhau
Nếu “như thế nào” là định nghĩa đại số thì “vì sao” tương ứng với định nghĩa hình học
Trong vật lý, tích vô hướng quan trọng không phải vì để đo độ tương đồng, mà vì nó cho biết độ dài và góc; trong các không gian trừu tượng hơn, tích vô hướng thậm chí trở thành định nghĩa của độ dài và góc
Trong học máy, ta cần một định nghĩa về độ tương đồng, và có thể định nghĩa theo kiểu góc giữa hai vector nhỏ, nên góc nhìn đó mới xuất hiện
Một thước đo độ tương đồng truyền thống hơn là độ dài của hiệu, tức khoảng cách, và cái này cũng được tính bằng tích vô hướng
Tôi đã dùng giải tích trong 20 năm qua qua trường học, công việc và sở thích, nên mỗi khi thấy những bài như thế này tôi luôn thấy vui và bật cười
Nếu triển khai đúng, có cảm giác như trực giác phải mất nhiều năm mới xây dựng được có thể được truyền đạt chỉ trong vài phút
Những giải thích như “(dx)^2 là một mảnh rất nhỏ của x, rồi lại lấy một mảnh rất nhỏ của mảnh đó” đã trở thành trụ cột quan trọng ngay cả trong nỗ lực gần đây của tôi, khi mất hàng chục giờ chỉ để hiểu giải tích ngẫu nhiên ở mức cơ bản
Nhìn những tài liệu như vậy, tôi có cảm giác nhân loại đang tiến bộ, vì thế hệ mới có thể tiếp cận những thông tin này và học nhanh hơn
Ngay cả ngày nay, có vẻ điểm đó cũng khó thay đổi nhiều
Một phần trong đó liên quan đến những tranh luận lâu đời, thường mang tính triết học và thần học, xoay quanh địa vị bản thể luận của vô cùng bé
Thương sai phân đã trở thành hình thức chính thức của phép tính vi phân, nhưng trên thực tế hầu như không ai dùng theo cách đó; trong thực tế, giải tích được sử dụng theo kiểu kia
Trong công việc thực tế, người ta vẫn dùng ký hiệu vô cùng bé mang tính chắp vá, nhưng đó là một thứ kỳ lạ có các quy tắc riêng, và thực ra không nhiều người biết các quy tắc đó
Giải tích phi chuẩn cho phép xử lý vô cùng bé gần như theo các quy tắc đại số thông thường, nhưng tôi không biết nó ít được dùng hơn là vì có các vấn đề kỹ thuật, triết học căn bản, hay chỉ đơn giản là do tính bảo thủ
Giải tích ngẫu nhiên thật sự kỳ dị; chẳng hạn, tôi chưa bao giờ hiểu được cách hình thức hóa “đúng” của bộ lọc Kalman thời gian liên tục
Nếu xem theo kiểu cho khoảng thời gian tiến về 0 thì chỉ cần chỉnh sửa vừa đủ là ra kết quả đúng, nhưng tôi hiểu rằng về mặt hình thức thì nó không chính xác
Từ góc nhìn của người đang học giải tích trong quá trình vào đại học, những pamphlet kiểu học giải tích dễ dàng này có cảm giác sáo rỗng đến mức khó chịu
Phần khó không phải là những khái niệm ở mức cao nhất, mà là kiến thức nền cần có để thực sự giải các bài toán giải tích
Với tôi, phần khó nhất trước hết là phải nắm thật chắc kiến thức tiền đề, đủ để giải các bài bất ngờ từ hoàn thành bình phương, chia đa thức dài, cho đến các phương trình có đạo hàm
Thứ hai là hiểu và áp dụng chính xác ký hiệu và kỹ thuật đồ thị, từ ký hiệu Leibniz đến phác họa đường cong
Vì vậy mới có những cuốn sách và khóa học dày chỉ về giải tích nhập môn, mà vẫn chưa chạm được đến bề mặt của toán học cao cấp hơn
Nếu không chỉ đọc mỗi trang HTML, thì đó là một cuốn sách một tập do Silvanus P. Thompson xuất bản năm 1910, đã được đánh giá đủ cao để Martin Gardner biên tập lại vào năm 1998, rồi các tình nguyện viên cẩn thận dàn trang lại bằng TeX và đưa lên thành website
Nó đáp ứng một nhu cầu rõ ràng, và không đơn giản chỉ là một pamphlet “sáo rỗng”
Tuy vậy cũng có người không khuyên đọc bản Gardner, vì cho rằng hai cá tính mạnh trong đó va chạm nhau
Cá nhân tôi khuyên dùng Khan Academy, và tốt nhất là làm lại toàn bộ toán phổ thông trung học từ đầu đến cuối
Khi ở hoàn cảnh tương tự, tôi đã xem tài liệu Khan trên YouTube; điểm trung học của tôi cũng ổn, nhưng vì trường không tốt nên tôi đã bỏ qua rất nhiều nền tảng, thành ra hoàn toàn chưa sẵn sàng cho việc học toán thực sự
Mỗi khi giáo sư hoặc trợ giảng chỉ ra “mẹo hiển nhiên đã biết từ đại số” trong một biểu thức phức tạp, rất nhiều lần đó là lần đầu tiên trong đời tôi thấy nó
Khi học giải tích, ngoài việc tự học lại đại số, hình học và lượng giác thì không có nhiều cách khác
Nếu kỹ năng đại số yếu thì không thể xử lý các phương trình giải tích, và lời giải không nên tìm trong “học giải tích dễ dàng” mà trong “học đại số dễ dàng”
Hồi trung học tôi giải bài giải tích khá tốt, nhưng gần như không hiểu giới hạn thực sự là gì
Khi lên đại học, việc hiểu định nghĩa giới hạn và các định lý cơ bản được xây dựng trên đó là một cú sốc lớn đối với tôi
Với đa số những người không phải ngày nào cũng giải các bài toán phức tạp, trọng tâm của việc học toán không phải là khả năng giải bài một cách máy móc, mà là hiểu các khái niệm và ý tưởng toán học hình thành năng lực tư duy nói chung
Cần phần nào của đại số ư? Bạn phải tự tìm ra
Đây là rào cản lớn khi học toán ngược từ trên xuống, vì cứ đến mỗi góc lại xuất hiện một mảnh còn thiếu, rồi mảnh đó lại dẫn đến một mảnh thiếu khác
Cách đi từ nền tảng lên nâng cao thì cơ bắp toán học phát triển quá chậm nên rất bực bội, còn cách đi từ trên xuống cũng chậm và bực không kém
Chỉ hiểu khái niệm không khiến bạn giỏi toán; trước khi giải vài bài, rất dễ tự lừa mình rằng mình đã “hiểu”
Chỉ sau khi lặp lại đủ nhiều bài ở cấp thấp để biến chúng thành trí nhớ cơ bắp, bạn mới có thể leo lên cấp trên
Dù vậy đến một lúc sẽ có điểm uốn mà cảm giác đau đớn và như rơi vào hang thỏ giảm đi khá nhanh, những bài luyện lặp lại bắt đầu được đền đáp, và cụm tiếp theo trở nên dễ hơn một chút
Lập trình cũng vậy: chỉ biết khái niệm vòng lặp không có nghĩa là có thể viết mã sắp xếp mảng một cách hiệu quả; phải dùng cú pháp và vòng lặp đủ nhiều, rồi lặp đi lặp lại để ngấm các thuật toán sắp xếp vào người
Khi trải qua quá trình này, cùng một khái niệm sẽ lặp lại trong các biến thể khác nhau, và bạn bắt đầu nắm được chúng với ngày càng ít thời gian hơn
Đây cũng là lý do nhiều người đơn giản là bỏ cuộc và chấp nhận rằng mình không có gen toán học
Một cuốn sách khác để đọc về giải tích là The Calculus: A Genetic Approach của Otto Toeplitz
Nó đi theo một quá trình tương tự và tôi đã đọc rất thích
https://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/C/bo548572...
Tôi từng “biết” giải tích đủ để đạt điểm tốt trong các môn toán ở trung học và thời học kỹ thuật, nhưng chỉ sau khi đọc một cuốn như “A Course of Pure Mathematics” xuất bản năm 1908, tôi mới cảm thấy mình thực sự biết giải tích
Cuốn đó bắt đầu từ số học và xây dựng dần lên giải tích; tôi nhớ định lý cơ bản của giải tích xuất hiện khoảng giữa sách
Học theo cách đó thì rất khó quên
Tôi cho rằng lý do ngày nay không dạy như vậy là vì hệ thống thi cử và các giảng đường lớn khuyến khích việc tạm thời ghi nhớ các công thức cốt lõi và biết áp dụng chúng một cách máy móc ở đâu, hơn là hiểu ý nghĩa sâu sắc và lâu bền
Việc giáo viên toán thay đổi hằng năm, khiến mức độ hiểu kiến thức tiên quyết cho môn năm sau của mỗi học sinh khác nhau, và phải dùng phần đầu mỗi đơn vị để ôn tập, tích hợp lại, cũng là một nguyên nhân
Có lẽ chỉ cần thêm 10–20% thời gian để có được sự hiểu biết phong phú kéo dài suốt đời, nhưng thực tế lại coi trọng sự nén gọn và kết quả đo được ngay hơn là việc học thực sự
Gặp những tài liệu như thế này tôi rất vui, nhưng cũng cay đắng vì nhận ra tình trạng phổ biến của phương pháp giáo dục hiện đại khá đáng buồn
Trong vài tháng qua tôi đang học nền tảng đại số bằng kênh YouTube của Professor Leonard[0]
Mục tiêu là lấp các lỗ hổng kiến thức trước khi quay lại xem giải tích
Làm cho đúng thì mất khá nhiều thời gian, nhưng hiện giờ tôi tự tin hơn trước rất nhiều về năng lực của mình, và chính điều đó cũng đem lại cảm giác đáng công và động lực
Trước khi bắt đầu, tôi không biết lỗ hổng trong kiến thức đại số của mình lại lớn đến vậy
Mục tiêu cuối cùng là theo được “Neural Networks: Zero to Hero”[1] của Andrej Karpathy mà không gặp vấn đề lớn
Việc gần như bắt đầu từ “0” để học kiến thức tiên quyết trước khi tự học điều mình thật sự muốn học là rất nặng nề, nhưng nếu chọn đường tắt thì có lẽ cuối cùng sẽ chỉ dẫn đến thất vọng
Vì vậy ở tuổi 38, tôi đang nghe bài giảng đại số trên YouTube
[0] https://youtube.com/@ProfessorLeonard?si=0kiGvmbZv4b9Sgf9
[1] https://youtube.com/playlist?list=PLAqhIrjkxbuWI23v9cThsA9Gv...
Tôi luôn nhầm cuốn sách này với Calculus for the Practical Man, cuốn mà Feynman từng học
https://archive.org/details/calulusforthepra000526mbp
Ban đầu tôi nghĩ có lẽ nên trực tiếp nhắc đến tác giả Silvanus P. Thompson[1]
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_Made_Easy
Liên kết không dẫn tới trang đầu tiên có tên tác giả
Tôi cứ tưởng tác giả cố tình dùng giọng văn quá đáng yêu
Tiêu đề nói là làm cho giải tích trở nên dễ dàng, vậy mà rốt cuộc lại không có lý thuyết phạm trù
Như thể tôi nghe thấy ai đó hỏi: “Sao lại có thể như vậy?!”
Cuốn sách này được viết năm 1910, còn lý thuyết phạm trù ra đời 50 năm sau đó, nên cũng đành vậy
Dù sao cũng không cần lo
Có một cuốn sách dùng phạm trù để triển khai vi phân và tích phân thông thường
Tôi không biết còn gì dễ hơn thế, nhưng nếu tìm được thì tôi sẽ báo
https://books.google.com/books?id=gaE5EAAAQBAJ&newbks=1&newb...
Cảm ơn công sức bỏ ra, nhưng chỉ đọc vài trang thôi cũng thấy rằng nếu là người mới học giải tích, đây không phải tài liệu tôi muốn
Ngay cả dùng để ôn tập cũng không hoàn hảo
Tác giả chỉ ra đúng vấn đề của hầu hết các cuốn sách “đàng hoàng”, nhưng lại điều chỉnh quá tay, khiến việc hiểu trở nên phức tạp không cần thiết và thậm chí có thể khó hơn một số giáo trình chính quy
Quá dài dòng, quá suồng sã, và khá khó đọc để theo kịp
Tôi không cần các nhắc tới kiểu thơ của Dean Swift hay “thời đại của Nữ hoàng Elizabeth”; tôi chỉ muốn biết giải tích là gì, vì sao cần nó, và thực sự làm nó như thế nào
Ngay cả khi theo cách tiếp cận kỹ thuật có vẻ dễ hơn, và nếu muốn có cách tiếp cận dù chỉ hơi mang tính toán học, tôi nghĩ vẫn cần một mức độ hình thức nhất định
Toán học là lĩnh vực rất dễ khiến ta tưởng rằng mình đã hiểu trong khi thực ra chưa hiểu, rồi sau đó có thể đứng hình trước những chứng minh giả nghịch lý hoặc yêu cầu tự chứng minh trực tiếp
Muốn phân biệt một phép suy diễn hợp lệ với một phép suy diễn không hợp lệ thì cuối cùng vẫn cần các định nghĩa hình thức
Thật ra bản thân nền tảng hình thức hoàn toàn không khó hiểu
Ai cũng có thể dễ dàng đồng ý rằng x² tăng nhanh hơn x, và nếu đưa vào khái niệm giới hạn thì có thể thấy vì sao có thể bỏ qua (dx)² so với dx
Không cần phải so sánh tuần với phút để làm điều đó, và những phép ví von như vậy ngược lại có thể làm phân tán sự chú ý
Tôi thấy đọc vài định nghĩa hình thức còn đòi hỏi ít kiên nhẫn hơn nhiều so với vài trang diễn văn dài dòng “kiểu Anh cổ”
Chỉnh sửa: À, không phải “văn phong cách điệu”, mà đúng là văn bản cổ thật
Dù vậy, điểm chính vẫn không đổi: hiện có những tài liệu hiện đại tốt hơn nhiều để học giải tích