- Dữ liệu từ 350.757 lần tung đồng xu ủng hộ mô hình vật lý DHM rằng, dù đồng xu do con người tung trông như hoàn toàn 50:50, xác suất nó rơi lại vào mặt ban đầu hướng lên trên vẫn nhỉnh hơn một chút
- Mô hình năm 2007 của Diaconis, Holmes và Montgomery cho rằng do chuyển động tiến động và rung lắc nhỏ sinh ra khi con người tung xu, đồng xu giữ mặt ban đầu hướng lên lâu hơn khi ở trên không
- Trong thí nghiệm, xác suất rơi vào cùng một mặt là 0.508, với khoảng tin cậy 95% là [0.506, 0.509] và Bayes factor 2359, qua đó ủng hộ mạnh mẽ thiên lệch cùng mặt
- Nếu ngẫu nhiên hóa mặt ban đầu, xác suất ra mặt ngửa là Pr(heads)=0.500, cho thấy cần phân biệt thiên lệch ngửa-sấp với thiên lệch cùng mặt
- Mức độ thiên lệch khác nhau giữa từng người, và có xu hướng giảm ở những người tung nhiều hơn, cho thấy cách tung và luyện tập có thể tạo ra ảnh hưởng vật lý nhỏ lên kết quả
Kiểm chứng mô hình DHM bằng 350.757 lần tung
- Tung đồng xu thường được dùng như một biến cố ngẫu nhiên điển hình trong xác suất và thống kê, nhưng về mặt vật lý lại là một quá trình tất định tuân theo cơ học Newton
- Mô hình tung đồng xu tiêu chuẩn xem tính ngẫu nhiên của kết quả phát sinh từ những biến thiên nhỏ của điều kiện ban đầu như vị trí bắt đầu, cấu tạo đồng xu, lực tác dụng theo phương thẳng đứng và mômen động lượng
- Trong mô hình tiêu chuẩn này, xác suất một đồng xu công bằng rơi vào mặt ngửa là 50%, tức không có thiên lệch ngửa-sấp
- Mô hình DHM bổ sung thêm chuyển động tiến động (precession) hoặc rung lắc nhỏ phát sinh khi con người tung đồng xu
- Nếu hướng của trục quay thay đổi trong lúc bay, đồng xu sẽ giữ mặt ban đầu hướng lên lâu hơn khi ở trên không
- Kết quả là xác suất rơi xuống đúng mặt ban đầu sẽ cao hơn 50% một chút
- Dựa trên quan sát các kiểu tung xu thông thường của con người, Diaconis và cộng sự dự đoán xác suất rơi vào cùng mặt khoảng 51%
Thiên lệch cùng mặt và thiên lệch ngửa-sấp
- Bộ dữ liệu lần này gồm tổng cộng 350.757 lần tung đồng xu, lớn hơn rất nhiều so với các ghi nhận tung xu quy mô lớn trước đây
- Kết quả về việc rơi vào cùng mặt ủng hộ mạnh mẽ dự đoán chính xác của mô hình DHM
-
Pr(same side)=0.508
- Khoảng tin cậy 95% là [0.506, 0.509]
- Bayes factor cho thiên lệch cùng mặt là 2359
- Xu hướng đồng xu rơi lại vào mặt ban đầu hướng lên cao hơn 50% một chút nhưng nhất quán
-
Pr(heads)=0.500
- Khoảng tin cậy 95% là [0.498, 0.502]
- Bayes factor cho thiên lệch ngửa-sấp là 0.182
- Kết quả không có thiên lệch ngửa-sấp được cho là không thay đổi theo loại đồng xu
- Thiên lệch cùng mặt không giống nhau ở mọi người, và khác biệt giữa các cá nhân là khá lớn
- Ngay trong cùng một người, khi tung nhiều đồng xu hơn thì thiên lệch cùng mặt có xu hướng giảm
- Điều này phù hợp với khả năng việc luyện tập liên quan đến các cú tung ít rung lắc hơn
-
Những phép đo mà thí nghiệm trước đây đã bỏ lỡ
- Trước đây cũng từng có các thí nghiệm tung đồng xu quy mô lớn, nhưng đa số không ghi lại việc đồng xu có rơi vào cùng mặt với mặt ban đầu hay không, nên không phù hợp để kiểm chứng mô hình DHM
- Các trường hợp lịch sử gồm Count de Buffon với 2.048 lần, Karl Pearson với 24.000 lần, và John Kerrich với 10.000 lần tung đồng xu
- Thí nghiệm 40.000 lần của Janet Larwood và Priscilla Ku là ngoại lệ hiếm hoi cho phép so sánh giữa mặt ban đầu và kết quả
- Larwood luôn bắt đầu với mặt ngửa, và trong 20.000 lần thì có 10.231 lần kết thúc ngửa-ngửa
- Ku luôn bắt đầu với mặt sấp, và trong 20.000 lần thì có 10.014 lần kết thúc sấp-sấp
- Gộp hai kết quả lại, bằng chứng về thiên lệch động lực học được diễn giải là chưa thật sự rõ ràng
Ảnh hưởng đến việc ra quyết định
- Với đồng xu công bằng do con người tung, xác suất ra ngửa hay sấp nhìn chung vẫn là 50:50, nhưng khả năng kết thúc ở mặt ban đầu hướng lên thì nhỉnh hơn một chút
- Khi dùng tung đồng xu cho các quyết định rủi ro cao, nên ngẫu nhiên hóa mặt ban đầu để tránh thiên lệch ngửa-sấp
- Vì thiên lệch cùng mặt có thể xuất hiện mạnh hơn ở một số người, bản thân cách con người tung xu có thể tạo ra ảnh hưởng vật lý nhỏ lên kết quả
1 bình luận
Các ý kiến trên Hacker News
Von Neumann đã mô tả một cách tao nhã để thu được kết quả công bằng từ một đồng xu bị thiên lệch
Tung đồng xu hai lần; nếu hai lần cho cùng kết quả thì bắt đầu lại
Nếu hai kết quả khác nhau, chỉ cần dùng kết quả đầu tiên của cặp đó làm kết quả cuối cùng
https://en.wikipedia.org/wiki/Fair_coin#Fair_results_from_a_...
https://www.techiedelight.com/generate-fair-results-biased-c...
Đồng xu bị thiên lệch để ra mặt ngửa 20% và mặt sấp 80%, nhưng khi áp dụng phương pháp Von Neumann thì thu được 50,035% mặt ngửa và 49,965% mặt sấp
Theo nghiên cứu, có thể chọn độ thiên lệch bằng cách quyết định bắt đầu với mặt nào hướng lên
Ví dụ, nếu muốn mặt sấp, ở lần tung đầu tiên sẽ bắt đầu với mặt sấp hướng lên; nếu kết quả đầu tiên là mặt sấp thì lần thứ hai bắt đầu với mặt ngửa hướng lên, còn nếu kết quả đầu tiên là mặt ngửa thì để vô hiệu hóa kết quả, người đó sẽ lại bắt đầu với mặt ngửa hướng lên nhằm ra mặt ngửa lần nữa
Giả sử có thể kiểm soát độ thiên lệch ở mức 75% so với 25%, thì xác suất kết quả đầu tiên là mặt sấp là 75%, và sau đó xác suất ra mặt ngửa cũng là 75%, nên xác suất đạt kết quả mong muốn trong hai lần đầu là 56,25%
Trường hợp tệ nhất là kết quả đầu tiên là mặt ngửa rồi sau đó không thể làm ra mặt ngửa lần nữa, tức 25% × 25% = 6,25% khả năng thua ngay ở vòng đầu
Cuối cùng, trong hai lần đầu xác suất thắng là 56,25%, thua là 6,25%, thử lại là 37,5%, và nhìn chung có vẻ sẽ hội tụ về khoảng 90% so với 10%
“Lý do quá trình này tạo ra kết quả công bằng là nếu đồng xu không thay đổi độ thiên lệch giữa các lần tung và hai lần tung độc lập với nhau, thì xác suất ra mặt ngửa rồi mặt sấp bằng với xác suất ra mặt sấp rồi mặt ngửa”
Vì vậy, luôn phải bắt đầu với cùng một mặt hướng lên
Phương pháp này giả định rằng người tung không thể tạo ra độ thiên lệch
ET Jaynes cũng viết trong Probability Theory rằng khá dễ học cách tung một đồng xu công bằng theo kiểu có thể định trước kết quả, nhưng tìm sơ qua thì tôi vẫn chưa rõ chính xác ông ấy ám chỉ điều gì
Khoảng 1 năm trước, chúng tôi bắt đầu tìm hiểu xem khi tung một đồng xu công bằng rồi bắt bằng tay, xác suất nó rơi xuống với cùng mặt ban đầu hướng lên là bao nhiêu
Nhờ bạn bè, cộng tác viên và những người lạ trên Internet, chúng tôi đã thu thập tổng cộng 350.757 lần tung xu và tổ chức nhiều “Coin Tossing Marathon”: https://youtu.be/3xNg51mv-fk?si=o2E3hKa-ReXodOmc
Kết quả là chúng tôi tìm thấy bằng chứng mạnh mẽ cho thiên lệch “cùng mặt” mà Diaconis, Holmes, Montgomery 2007 đã dự đoán
Nếu bắt đầu với mặt sấp/ngửa hướng lên thì khả năng kết thúc ở chính mặt đó cũng cao hơn; mặt còn lại cũng tương tự
Trong mẫu, ước lượng trung bình là 50,8%, với khoảng tin cậy [50,6%, 50,9%]
Giữa 48 người tung xu cũng có khác biệt khá lớn về thiên lệch cùng mặt, với độ lệch chuẩn 1,6% và khoảng tin cậy [1,2%, 2,0%]
Sự khác biệt này có thể được giải thích bởi mức độ lắc lư khác nhau giữa những người tung
Nếu cược 1 đô la cho mỗi kết quả tung xu trong 1000 lần và biết vị trí bắt đầu, trung bình bạn có thể kiếm được 19 đô la
Con số này lớn hơn lợi thế 5 đô la của sòng bạc trong blackjack 6 bộ bài trước người chơi tối ưu, và nhỏ hơn 27 đô la của roulette một số 0
Bản thảo có trên arXiv: https://arxiv.org/abs/2310.04153
Dữ liệu công khai, mã nguồn và bản ghi video có trên OSF: https://osf.io/pxu6r/
Diaconis, P., Holmes, S., & Montgomery, R. (2007). Dynamical bias in the coin toss. SIAM Review, 49(2), 211-235. https://doi.org/10.1137/S0036144504446436
Tính thử thì nếu làm một cách kín đáo, khoảng 20 lần mỗi ngày, sẽ mất 10 tuần không tính cuối tuần để kiếm được 19 đô la, và đến lúc đó chắc chắn mọi người sẽ nhận ra mánh khóe
Muốn kiếm tiền nhanh thì phải phổ biến chiến lược cho nhiều người, nhưng như vậy bí mật sẽ lộ
Ngay cả khi đồng bọn hoàn toàn trung thực, nếu có nhiều người công khai dùng cùng một chiến lược thì rất dễ bị phát hiện trước khi tạo ra lợi nhuận thực chất
Dù vậy đây là một ý tưởng thú vị để tưởng tượng, và kết quả bài báo cùng công sức triển khai thật ấn tượng
Ở đây việc tung xu khá nhẹ nhàng, đồng xu bay lên chưa tới 1 foot
Khi nghĩ đến tung xu thông thường, ta thường hình dung như trước một trận thể thao: đồng xu được tung cao, xoay nhanh, rơi xuống sàn, lăn một chút rồi mới xem mặt dừng lại
Nếu thí nghiệm cũng làm như vậy, tôi nghĩ thiên lệch cùng mặt 50,8% có lẽ đã gần 50% hơn nhiều
Khi cược đen/đỏ mà ra 0, tất cả khoản cược được giữ nguyên sang lượt quay tiếp theo
Chiến lược thắng của tôi là luôn cược màu ngược lại với bạn mình
Nếu thay vào đó để đồng xu rơi xuống một bề mặt cứng và nảy lên, có lẽ thiên lệch sẽ biến mất
Có thể cho rằng thí nghiệm này không đại diện cho việc tung xu “thông thường”
Trung bình mỗi người tham gia đã tung đồng xu hơn 7000 lần, và với số lần như vậy, nhiều người hẳn đã học được cách tung xu thoải mái và nhất quán hơn
Khi chuyển động vật lý và biến thiên lực giảm đi, khả năng đồng xu tiếp đất theo cùng hướng có thể tăng lên
Tôi không nghĩ kết quả này sẽ giữ nguyên với những người tung mà không luyện tập
Tuy nhiên, kỹ năng tung rồi bắt bằng tay mà không làm rơi đồng xu chắc chắn đã tốt lên, và bản thân việc đó cũng cần luyện tập
Tôi biết là có kỹ thuật thêm độ lắc lư vào cú tung, nhưng tôi không học và cũng không biết làm thế nào
Có thể yên tâm coi đây không phải là kỹ thuật mà người ta có thể tình cờ phát hiện bằng trực giác
Nếu mục tiêu là xem có thiên lệch nền nào hay không, thì một người tung 7000 lần và 7000 người mỗi người tung một lần là khá khác nhau
Tôi vẫn đang tìm cách giải thích cơ chế tạo ra thiên lệch này một cách trực quan, hoặc sao cho học sinh tiểu học cũng hiểu được
Bài báo gốc giải thích rằng khi người ta tung đồng xu theo cách thông thường, họ tạo ra một mức chuyển động tiến động (precession) hoặc lắc lư nhỏ, khiến hướng trục quay của đồng xu thay đổi trong lúc bay
Theo mô hình Diaconis, do chuyển động tiến động, đồng xu ở trên không sẽ giữ trạng thái mặt ban đầu hướng lên lâu hơn, và vì vậy xác suất rơi xuống với cùng mặt như lúc đầu sẽ cao hơn
Một trang thí nghiệm tung đồng xu khác giải thích rằng đồng xu được tung theo cách thông thường không quay quanh một trục ngang như ta tưởng tượng, mà quay quanh một trục nghiêng đang tiến động trong không gian 3 chiều, nên nó giữ lại một “ký ức” nhất định về điều kiện ban đầu
Bài báo của Diaconis có lời giải thích mang tính quyết định, nhưng không trực quan
Cách giải thích tốt nhất tôi có thể dùng là: khi con người tung, họ tạo ra một mức chuyển động tiến động nào đó; và khi có tiến động, vector mô men động lượng, nếu bắt đầu với mặt ngửa, sẽ ở lại hướng mặt ngửa lâu hơn, tạo ra thiên lệch
Với phần giải thích cho học sinh tiểu học, có lẽ nên dùng hoạt ảnh tung đồng xu để cho thấy vector mô men động lượng quét qua vùng nào trong khi bay, và rằng thời gian nó hướng về mặt ngửa dài hơn một chút
[1] https://www.stat.berkeley.edu/~aldous/Real-World/coin_tosses...
[2] http://epubs.siam.org/doi/10.1137/S0036144504446436
Con người thực sự có thể luyện kiểu này, và với người bị đánh lừa thì rất khó nhận ra rằng đồng xu trên không không hề lật mà chỉ lắc lư
Khi đó, rõ ràng là mặt ban đầu hướng lên lúc bắt lại vẫn sẽ hướng lên
Bước tiếp theo — tức là ngay cả người cố tung công bằng cũng tạo ra một mức tiến động nào đó, và nó không tách rời khỏi chuyển động quay — với tôi cũng hoàn toàn không trực quan
Tôi vẫn luôn nói rằng kết quả tung đồng xu phụ thuộc rất nhiều vào trạng thái ban đầu
Nếu nghĩ đến một chuỗi tiếp diễn như ngửa, sấp, ngửa, sấp, thì khi bắt đầu bằng ngửa, số lần sấp không thể nhiều hơn số lần ngửa, còn số lần ngửa thì có thể nhiều hơn một
Tôi chưa tự kiểm tra, nhưng giả định rằng số vòng quay càng ít, tức chuỗi ngửa-sấp càng ngắn, thì xác suất càng lệch
Ở đây “chuỗi” không phải là kết quả tung, mà là thứ tự các mặt hướng lên trong quá trình quay
[ngửa, sấp] là một vòng quay bắt đầu bằng ngửa, còn [sấp, ngửa, sấp, ngửa] là hai vòng quay bắt đầu bằng sấp và kết thúc bằng ngửa
Kết quả tung đồng xu là phần tử cuối cùng của chuỗi này
Nếu tung một đồng xu đang bắt đầu bằng mặt ngửa rồi bắt lại ngay trên không, kết quả hiển nhiên là ngửa
Nhưng nếu thời điểm dừng đồng xu là một T tương đối dài, thì xác suất có thể được xem như một dạng tổng
Ví dụ, nếu rời rạc hóa thời gian với \Delta T = 10ms, tổng các khoảng ngửa và sấp sẽ khác nhau; khi T tiến tới vô hạn, P(H) và P(T) sẽ trở nên giống nhau hơn
Trên thực tế, ta không chờ một khoảng thời gian theo phân phối đều, mà thường chờ trong một khoảng thời gian gần với phân phối Gauss, nên mỗi hạng trong tổng có trọng số khác nhau
Phương sai và độ lệch của phân phối đó có thể dịch xác suất về phía ngửa hoặc sấp, và phụ thuộc rất nhiều vào các tham số cụ thể
Ví dụ, nếu lúc nào cũng bắt sau 35ms thì có thể luôn ra sấp
Trạng thái đồng xu đang nằm trên tay chờ được tung vốn đã ở điểm giữa của khoảng mặt hiện tại đang hướng lên
Vì chuyển tiếp từ ngửa lên sấp xảy ra khi đồng xu thẳng đứng
Nếu khó hiểu, hãy tưởng tượng cầm đồng xu ở nhiều góc khác nhau và “làm phẳng” nó
50% các góc tương ứng với một trong hai mặt, nhưng ngay khoảnh khắc đồng xu vừa được tung, nó đã đi qua một nửa khoảng góc biểu thị mặt hiện tại
Vì vậy chuỗi đúng không phải là THTHTH mà gần với THHTTHHTTHH hơn
Nếu nhìn theo các khoảng đều nhau thì hai mặt xuất hiện số lần như nhau; còn nếu nhìn theo số khoảng lẻ, trong một nửa trường hợp mặt sấp sẽ nhiều hơn và nửa còn lại mặt ngửa sẽ nhiều hơn
Có vẻ khá khó xảy ra, nên nếu trạng thái ban đầu là ngửa thì chuỗi có lẽ sẽ là sấp-ngửa-sấp-ngửa
Lần tới khi quyết định gì đó bằng tung đồng xu, chắc tôi sẽ phải yêu cầu thắng theo đa số trong 350.757 ván
Tôi luôn bắt đồng xu rồi lật lên mu bàn tay để cho thấy kết quả
Vậy có lẽ sẽ có thiên lệch về mặt đối diện
Làm thế nào để tạo thiên lệch khi tung đồng xu?
Nhìn vào bài báo, có vẻ có thể làm xác suất rơi xuống cùng mặt với mặt ban đầu lên tới 55%, và người tham gia cực đoan nhất đạt mức đó
Vì thiên lệch sinh ra do chuyển động tiến động, có lẽ khi tung cần tạo ra càng nhiều tiến động càng tốt
Có thể nên đặt ngón tay càng xa tâm đồng xu càng tốt, và dùng lực càng nhiều càng tốt
Cuối cùng, khi công bố kết quả, phải bắt sao cho mặt trên vẫn hướng lên
Hãy tưởng tượng kẹp đồng xu giữa ngón trỏ và ngón cái, mặt ngửa ở trên, bên dưới có ngón giữa đỡ; tư thế này không khác nhiều so với tư thế bắt đầu tung đồng xu thông thường
Dùng ngón trỏ xoay đồng xu trong chính mặt phẳng của nó, sao cho mặt ngửa vẫn luôn hướng lên nhưng hình cái đầu trên đó xoay
Bây giờ đồng thời dùng ngón cái búng vào một điểm gần mép dưới của đồng xu để tung lên, ta có thể tạo spin
Nếu tạo spin vừa đủ, đồng xu thực ra không lật mà chỉ lắc lư, và vì thế sẽ rơi xuống mặt ngửa
Người quan sát ở tốc độ cao khó phân biệt bằng mắt giữa lật và lắc, nên nhiều khả năng sẽ không biết bạn đã làm gì
Trong trường hợp này, lỗi chính tả nhỏ đó làm nghĩa của câu khá mơ hồ
Thú vị thật, nhưng trực giác của tôi lại trái ngược với kết quả
Tôi từng nghĩ rằng để đáp xuống mặt đối diện thì đồng xu phải lật số lần lẻ, còn để đáp xuống cùng mặt thì phải lật số lần chẵn
Với mỗi số lần lật, số trường hợp lẻ và chẵn có thể bằng nhau hoặc số lẻ nhiều hơn một, nên tôi nghĩ xác suất lật số lần lẻ sẽ cao hơn
Ở đây có nhiều yếu tố hơn đang tác động, và rốt cuộc chỉ thí nghiệm mới kiểm chứng được mô hình
Tôi muốn xem TianqiP tung đồng xu như thế nào
Người dùng này có tỷ lệ ra mặt ngửa khá cao: 0.601 [0.582, 0.619]
Nếu dùng một cách chiến lược thì đây là kỹ năng có thể kiếm được vài đô la