Tạo mọi số nguyên chỉ với bốn số 2
(eli.thegreenplace.net)- Câu đố tạo ra số mục tiêu chỉ bằng bốn chữ số 2 sẽ mở rộng đáng kể phạm vi biểu diễn được khi số lượng phép toán học được phép dùng tăng lên
- Chỉ với bốn phép tính cơ bản đã có thể tạo các số từ 1 đến 6, và nếu thêm lũy thừa, giai thừa, căn bậc hai thì còn có thể biểu diễn các giá trị như 18, 28, 256, 65536
- Nếu cho phép cách ký hiệu xem
22là hai chữ số 2, hàm Gamma, tích phân, số thập phân tuần hoàn, toán tử tổ hợp, và cả số phức, lời giải sẽ đa dạng hơn rất nhiều - Lời giải tổng quát của Paul Dirac dùng căn bậc hai lồng nhau và logarit cơ số 2 để tạo ra mọi số tự nhiên n, trong đó n không phải là con số được viết trong biểu thức mà là số lần lặp căn bậc hai
- Công thức tổng quát ban đầu chỉ dùng ba chữ số 2, nhưng nếu thay số 2 bằng
√(2+2)thì sẽ thành dạng dùng đúng bốn số 2
Cách câu đố bốn số 2 được mở rộng
- Quy tắc là dùng đúng bốn chữ số 2 và các phép toán học để tạo ra số tự nhiên mục tiêu
- Chỉ với bốn phép tính ở mức tiểu học cũng có thể tạo ngay các số nhỏ
1 = (2+2)/(2+2)2 = 2/2 + 2/23 = 2·2 - 2/24 = 2+2+2-25 = 2·2 + 2/26 = 2·2·2 - 2
- Nếu cho phép lũy thừa và giai thừa, phạm vi biểu diễn tăng lên rất nhiều
18 = 2^(2^2) + 228 = (2+2)! + 2 + 2256 = (2+2)^(2+2)65536 = 2^(2^(2^2))
- Cũng có thể dùng cách ký hiệu xem
22là hai chữ số 226 = 22 + 2 + 211 = 22 / √(2+2)444 = 222 · 2
- Số 7 nổi tiếng là khó tạo ra, nhưng nếu cho phép hàm Gamma thì sẽ có
7 = Γ(2) + 2 + 2 + 2 - Nếu dùng bộ công cụ rộng hơn thì như trong thread trên Math StackExchange, còn có các lời giải dùng tích phân, số thập phân tuần hoàn, và toán tử tổ hợp
- Một ví dụ dùng số phức là
12 = |2 + 2√(-2)|²
Lời giải tổng quát bằng căn bậc hai lồng nhau của Dirac
- Các nhà toán học từ thập niên 1920 cũng từng thích thú với câu đố này, và Paul Dirac đã tìm ra lời giải tổng quát cho mọi số
- Ý tưởng cốt lõi là áp dụng căn bậc hai lặp đi lặp lại lên số 2
√2 = 2^(1/2) = 2^(2^-1)√√2 = 2^(1/4) = 2^(2^-2)√√√2 = 2^(1/8) = 2^(2^-3)
- Nếu áp dụng căn bậc hai n lần thì ta được dạng
√√...√2 = 2^(2^-n) - Sau đó áp dụng logarit cơ số 2 hai lần sẽ thu được
-nlog₂(2^(2^-n)) = 2^-nlog₂(log₂(2^(2^-n))) = -n
- Vì vậy công thức tổng quát là như sau
n = -log₂(log₂(√√...√2))- ở đây căn bậc hai được lặp lại n lần
- Biểu thức này chỉ dùng ba chữ số 2, nên nếu thay số
2ở cơ số bằng√(2+2)thì sẽ dùng đúng bốn số 2n = -log_{√(2+2)}(log₂(√√...√2))
- Ví dụ, số 7 có thể được biểu diễn bằng cách lồng căn bậc hai bảy lần như sau
7 = -log_{√(2+2)}(log₂(√√√√√√√2))
- Trong cách làm này,
nkhông phải là con số xuất hiện trực tiếp trong biểu thức mà là giá trị đếm số lần lặp căn bậc hai, và phần việc còn lại chỉ là vẽ thêm đủ số dấu căn cần thiết
1 bình luận
Các ý kiến trên Hacker News