Giải pháp của J. Kenji López-Alt cho bài toán củ hành (2021)

• Kết quả mô hình hóa toán học bài toán cắt dao theo hướng xuyên tâm để cắt hành tây thành các miếng có kích thước đồng đều cho thấy mũi dao không nên hướng tới nghịch đảo của tỷ lệ vàng 0.61803398875…, mà nên hướng tới điểm bên dưới tâm 55.73066% bán kính
• Mô hình đơn giản hóa củ hành thành một đĩa bán nguyệt bán kính 1, đặt số lớp và số nhát cắt là vô hạn để có thể giải bằng toán học liên tục và giải tích nhiều biến
• Trọng tâm của phép tính là dùng Jacobian của phép đổi tọa độ để tìm diện tích tương đối của các mảnh vi phân, rồi tìm độ sâu h làm cho phương sai của các diện tích đó nhỏ nhất
• Khi áp dụng tích phân số và tối ưu hóa số trong Mathematica, phương sai nhỏ nhất xuất hiện quanh h ≈ 0.55, và “hằng số củ hành thật sự” là 0.5573066…
• Giá trị này áp dụng cho củ hành lý tưởng hóa có vô hạn lớp; với củ hành có số lớp hữu hạn như thực tế, độ sâu tối ưu có thể khác

---

Bài toán bắt đầu từ lời khuyên cắt hướng xuống dưới 60%

• Trong video YouTube của đầu bếp Kenji López-Alt có câu chuyện rằng một người bạn là nhà toán học đã khuyên khi cắt hành tây, nên cắt theo hướng xuyên tâm về phía dưới tâm, tại điểm 60% bán kính
• Giá trị đó được giới thiệu là có liên quan đến nghịch đảo của tỷ lệ vàng, 0.61803398875…
• Sau đó, khi thực sự cắt hành theo cách đó, vấn đề trở thành việc kiểm tra bằng toán học vì sao lại ra giá trị như vậy
• Sau hai tháng không có tiến triển lớn, tác giả đã tính toán trong hai ngày và tìm ra giá trị gọi là “true onion constant”

Mô hình củ hành có thể tính toán được

• Củ hành được đơn giản hóa thành một đĩa bán nguyệt bán kính 1 có tâm ở gốc tọa độ và nằm trong nửa mặt phẳng phía trên
  • Cấu trúc 3D và hình dạng mặt cắt của củ hành thật được bỏ qua
  • Sự đơn giản hóa này là một phép xấp xỉ để làm bài toán dễ xử lý hơn
• Vì số lớp ảnh hưởng đến lời giải, mô hình giả định củ hành có vô hạn lớp
  • Nếu củ hành chỉ có một lớp, cách tốt nhất là cắt hướng vào tâm
  • Nếu củ hành có mười lớp, nên hướng xuống dưới tâm
  • Khi có vô hạn lớp, việc xét vô hạn nhát cắt cũng trở nên tự nhiên
• Nhờ giả định này, bài toán được chuyển sang miền toán học liên tục, nơi có thể áp dụng giải tích

Đo độ đồng đều của các miếng bằng Jacobian

• Trong phép đổi tọa độ cực thông thường, diện tích nhỏ dx dy biến thành r dr dθ, trong đó r đóng vai trò Jacobian
• Giá trị này được dùng làm thước đo để so sánh các mảnh vi phân của củ hành lớn nhỏ ra sao
  • Mảnh gần tâm có r nhỏ nên nhỏ hơn
  • Mảnh gần mép có r lớn nên lớn hơn
• Độ đồng đều của các miếng được đo bằng phương sai của trọng số diện tích vi phân
  • Phương sai lớn nghĩa là các miếng kém đồng đều hơn
  • Phương sai nhỏ nghĩa là các miếng đồng đều hơn
• Trước tiên tính trọng số diện tích trung bình và phương sai trong trường hợp cắt hướng vào tâm, sau đó giới thiệu một hệ tọa độ mới cho các nhát cắt hướng tới một điểm bên dưới tâm

Hệ tọa độ hướng tới một điểm bên dưới tâm

• Đặt điểm mà các nhát cắt hướng tới là (0, -h) bên dưới gốc, và xây dựng hệ tọa độ với h > 0
• Trong hệ tọa độ này, góc θ được đo từ (0, -h), còn bán kính r được đo từ gốc (0, 0)
  • Thành phần theo bán kính mô hình hóa các lớp hành tính từ gốc
  • Hướng góc mô hình hóa cách dao đi vào theo đường thẳng hướng tới (0, -h)
• Hệ tọa độ này hoạt động không vấn đề trong nửa mặt phẳng phía trên, và vì toàn bộ củ hành mô hình nằm trong nửa mặt phẳng phía trên nên có thể sử dụng được
• Nhờ đối xứng, chỉ cần phân tích nửa bên phải là đủ
  • Miền là 0 ≤ θ ≤ arctan(1/h)
  • Khoảng bán kính là h tan(θ) ≤ r ≤ 1
• Dùng định luật cos để tìm quan hệ giữa (x, y) và (r, θ), rồi tính Jacobian cho độ sâu h cho trước
• Dựa trên Jacobian này, định nghĩa trọng số diện tích trung bình A(h) và phương sai v(h)

Kết quả tính toán: hằng số củ hành thật sự

• Vì việc tích phân v(h) bằng tay có vẻ rất khó hoặc bất khả thi, tác giả dùng tích phân số trong Mathematica
• Khi vẽ phương sai theo h, giá trị nhỏ nhất xuất hiện quanh h = .55
• Kết quả tối ưu hóa số cho thấy “true onion constant” của củ hành lý tưởng hóa có vô hạn lớp là 0.5573066…
• Để các nhát cắt xuyên tâm đồng đều nhất, dao nên hướng tới điểm bên dưới tâm củ hành, tại 55.73066% bán kính
• Giá trị này gần với 61.803% trong video, nhưng không giống nhau
• Với trường hợp có số lớp hữu hạn như củ hành thật, giá trị có thể khác
  • Với một lớp, độ sâu tối ưu là 0
  • Với vô hạn lớp, độ sâu là 0.5573066…
  • Độ sâu tối ưu của củ hành mười lớp được dự đoán nằm giữa 0 và 0.5573066…, nhưng chưa được khảo sát sâu

Cập nhật sau đó: dạng đóng và tên gọi

• Sau đó, v(h) đã có thể được tính ở dạng đóng
• Trong giải tích, để tối thiểu hóa một hàm, ta đặt đạo hàm của nó bằng 0, nên tính v'(h)
• Trong khoảng (0, 1), nghiệm duy nhất của đạo hàm đó chính là hằng số củ hành
  • Điểm này là điểm tới hạn của v(h)
  • Vì dấu của v'(h) đổi từ âm sang dương, đây là điểm cực tiểu
• Bằng cách này, có thể tính hằng số củ hành với độ chính xác tùy ý, và bài viết bao gồm khai triển thập phân tới 1000 chữ số
• Chữ cái Hebrew samekh được chọn làm tên cho hằng số toán học này
  • Lý do lựa chọn là vì chữ cái đó trông giống củ hành

[GN⁺]

Các ý kiến trên Hacker News

• Tôi là tác giả bài blog. Rất vui vì bài viết này được quan tâm; tôi đã đăng ở đây bộ slide bàn về cách đặt vấn đề, nội dung toán học, và cả củ hành 3 chiều: https://drspoulsen.github.io/Onion_Marp/index.html
  Tôi cũng đã nộp một bản thảo chính thức tóm tắt chi tiết bài toán và lời giải cho một tạp chí toán học giải trí, và sẵn sàng nhận câu hỏi

  • Có vẻ lời giải giả định rằng mọi nhát dao đều phải hướng về một điểm duy nhất. Tôi tự hỏi liệu mình có bỏ sót lý do vì sao một lời giải tối ưu hơn không thể là tăng độ sâu mục tiêu h của nhát cắt khi đi ra phía ngoài hay không
  • Đây là cách giải bài toán hình tròn trên mặt phẳng, chính xác hơn là nửa hình tròn trên mặt phẳng, nhưng có một điểm liên quan đến việc giảm chiều mà tôi vẫn băn khoăn từ lâu
    Có thể dễ dàng chia hình tròn thành các cung bằng nhau, chẳng hạn 120 cung 3 độ trong tọa độ cực, nhưng làm điều tương tự trên bề mặt hình cầu bằng tọa độ cầu thì rất tệ; theo tôi hiểu, không thể đạt hiệu ứng tương tự là lát bề mặt cầu bằng một hình giống hệt nhau duy nhất
    Tôi nghĩ đến vấn đề này khi hình dung một hệ tọa độ trên bản đồ sao cho mỗi “ô vuông” tuy bị biến dạng trên mặt cầu nhưng vẫn là các vùng bằng nhau, và điều này dường như cũng liên quan đến việc phiên bản 2 chiều của bài toán củ hành trả lời được bao nhiêu cho câu hỏi 3 chiều ban đầu
  • Sẽ thú vị nếu có thể dựng ngược một mô hình sao cho đáp án trở thành 1/φ. Có vẻ đặt một độ đo không đều nào đó lên củ hành có thể làm được, và tôi cũng tò mò nếu xem củ hành là một bán cầu thì sẽ ra sao. Trong nấu ăn thì thật ra độ dày mới là thứ chủ yếu quan trọng

• Tôi thắc mắc vì sao lại mô hình hóa nửa củ hành là “một nửa đĩa tròn bán kính 1”. Nửa củ hành gần với bán cầu hơn, nên tôi không rõ vì sao ta nên kỳ vọng lời giải sẽ giống nhau
  Nếu nghĩ đến hai đầu của củ hành, tức các mặt cắt ngoài gần gót dao và mũi dao, thì càng về phía đầu ta càng cắt gần như thẳng đứng hơn. Vì phần ngoài được cắt thẳng đứng như vậy, có lẽ mặt cắt ở giữa cần nông hơn một chút, nên tôi nghĩ gọi đây là hằng số củ hành thật sự có lẽ là sai

  • Lời giải nằm ở phần sau của bài. Trực giác cốt lõi đến từ Jacobian, và cấu trúc ở đây không phải là một nửa đĩa tròn đồng đều mà là càng xa trục Y thì trọng số càng lớn
    Có thể nghĩ như việc cố thu gom cùng một lượng mực từ một hình đã được tô màu. Khác với đĩa tròn đồng đều, đĩa tròn có trọng số trong bài viết đậm hơn ở phía trên và dưới, nhạt hơn ở giữa; trong thực tế sắc độ thay đổi dần chứ không phải thành các dải như hình ASCII
  • Phân tích này cũng bỏ qua việc các lớp hành mỏng đi rất nhiều khi càng xa tâm. Vì vậy, ngay cả với một củ hành đối xứng hoàn hảo, tôi nghĩ phân tích này cũng lệch khá nhiều
  • Dù củ hành không đối xứng hoàn hảo, ta vẫn có thể xem nó như một cấu trúc phát triển tối ưu hoặc tỏa tia từ một trục hay đường đi qua giữa. Nếu cắm một cây tăm vào quả cầu làm trục rồi cắt vuông góc với trục đó, trong quả cầu ta sẽ được các hình tròn; với nửa củ hành thì sẽ được các nửa đĩa tròn
    Cá nhân tôi thì lười nên chỉ cắt nửa củ hành vuông góc với trục, chứ không cắt thêm các nhát tỏa tia để đạt độ đồng đều
  • Có lúc tôi tưởng “bài toán củ hành” là một bài toán khó trong tô pô học hay lý thuyết nhóm, rồi nhớ ra mối liên hệ là Kenji Lopez-Alt không phải nhà toán học mà là đầu bếp, thế là hiểu
  • Tôi cũng có mối lo tương tự. Củ hành trông gần với một hình trụ phình có độ dày các lớp tập trung nhiều hơn về phía giữa, và mỗi lớp kéo dài từ rễ đến thân

• Ngược lại, YouTuber ẩm thực Adam Ragusea nhấn mạnh rằng tính không đồng nhất mới quan trọng. Tối ưu hóa độ đồng đều chưa chắc đã là chiến lược tốt nhất
  https://www.youtube.com/watch?v=5cWRCldqrxM

  • Tôi cũng giống Ragusea, thích mỗi miếng ăn có chút mới mẻ và khác nhau
    Một mẹo cho salad Caesar: đặt túi crouton đóng gói nằm phẳng trên bàn rồi dùng đáy chảo nghiền đi nghiền lại, bạn sẽ có hỗn hợp các miếng crouton nhiều kích cỡ, vụn như sỏi và bột. Sau khi từng ăn kiểu này ở một nhà hàng cao cấp, tôi vẫn làm như vậy
  • Adam thực ra đang giải một bài toán khác. Ý của Kenji là một quy tắc đơn giản mà ai cũng có thể nhớ và làm theo, giúp họ cắt tốt mà không cần bận tâm đến độ chính xác
    Quy tắc này cho độ đồng đều đủ gần với mức thường được kỳ vọng ở các nguyên liệu như hành trong hầu hết công thức, và có vẻ Ragusea cũng có thể đồng ý rằng đó là lời giải cho cách đặt vấn đề ấy
  • Tôi từng đọc rằng các đầu bếp được đào tạo cổ điển rất coi trọng sự nhất quán trong thao tác dao. Adam Ragusea dùng khá nhiều cách làm ngách và kỳ quặc không khớp với thực tế bếp chuyên nghiệp; giống như Bill Nye là người cổ vũ khoa học, anh ấy gần với người cổ vũ nấu ăn hơn là một đầu bếp chuyên nghiệp
  • Lập luận trong video đó đúng là khó phản bác
  • Không hẳn có cách đúng hay sai tuyệt đối. Nếu nghiêng quá xa về một cực, món ăn rất có thể trở nên nhàm chán hoặc kém hoàn thiện
    Tuy nhiên, khá nhiều quan điểm của Ragusea đã không đứng vững lắm theo thời gian, và một số điều thì chính anh ấy cũng đã thừa nhận

• Marco Pierre-White khuyên dùng đồ bào để bào hành, như vậy khéo léo né được toàn bộ vấn đề
  Nói cách khác, như thể bào luôn cái nút thắt Gordian vậy
  https://youtu.be/glIUUrh6qtQ?t=40

  • Bào để làm sốt cà chua thì hợp lý, nhưng tôi không muốn biến nó thành cách sơ chế hành cơ bản
  • Đây là cách của MPW: https://www.youtube.com/watch?v=UBj9H6z6Uxw
    “Sự hoàn hảo là tập hợp của rất nhiều việc nhỏ được làm tốt”
  • Cách này đúng là tránh được vấn đề, trừ chuyện sẽ còn lại mẩu cuối cùng không thể bào mà không khiến ngón tay gặp nguy hiểm
    Với tỏi, trong nhiều công thức tôi thích nghiền hơn. Nó tạo bề mặt thô hơn nên hòa vào món ăn tốt hơn, và khi xào cũng giòn ngon hơn
  • Đến mức đó thì tôi nghĩ cứ cho vào máy xay thực phẩm là được mà
  • “Bạn có thể bào hành, hoặc không bào. Thật ra lựa chọn là của bạn”

• Tò mò không biết có chỗ nào giải thích vấn đề này bằng văn bản không. Bài gốc thì giao cho video, còn trong bài viết dường như chỉ bàn về lời giải được đề xuất trong một video khác và lời giải mới, nên không rõ rốt cuộc đang giải bài toán gì

  • Vấn đề là cắt hành tây sao cho giảm thiểu độ lệch về kích thước và hình dạng của các miếng đã cắt. Thường mục đích là để các miếng chín đều
  • Đây là bài toán muốn cắt nửa củ hành sao cho giảm thiểu phương sai thể tích của các miếng. Về sau được đơn giản hóa thành bài toán cắt để giảm thiểu phương sai diện tích mặt cắt tại phần rộng nhất của củ hành
  • Bài toán là: “Làm thế nào để cắt một củ hành hình cầu, có các lớp đồng đều, thành những miếng có cùng thể tích?” Nó giống một thí nghiệm tư duy hình học hơn là một vấn đề ẩm thực thực dụng
  • Bài viết không giải thích bằng chữ thật sự rõ. Chỉ có vài mảnh như “giữ các miếng giống nhau nhất có thể”, “Jacobian r dr dθ đo kích thước tương đối của các miếng vô cùng nhỏ”, “phương sai biểu thị tốt độ đồng đều của các miếng”
  • Đây là vấn đề về cách cắt hành tây thành các miếng có kích thước xấp xỉ nhau. Nếu cắt hướng vào tâm, các miếng bên trong sẽ nhỏ hơn bên ngoài rất nhiều

• Thật bất ngờ là Kenji vẫn còn khứa đường ngang. Cá nhân thấy nếu cắt dọc theo góc nghiêng thì đường khứa ngang hoàn toàn không cần thiết
  Vài năm trước, khi khứa ngang trên củ hành, tôi từng bị rách da kiểu flap avulsion

  • Điều còn lạ hơn là khứa ngang sau khi đã khứa dọc. Thực tế đa số đầu bếp băm hành đều làm vậy, nhưng tôi thấy hoàn toàn ngược đời
    Với nửa củ hành còn nguyên, có thể khứa ngang an toàn và dễ dàng, nhưng sau khi đã cắt dọc sẵn thì khó hơn nhiều
  • Nếu khứa ngang theo hướng nghiêng xuống dưới thì dễ xử lý vấn đề này hơn. Dù sao thì đường khứa ngang chủ yếu cũng chỉ cần ở phần bên dưới của củ hành
  • Kenji nói trong phần giải thích rằng thực tế ông không cắt theo góc nghiêng, nhưng đó là một bài toán toán học thú vị
  • Nên đầu tư vào găng tay chống cắt. Chỉ vài đô có thể tránh được thời gian bị mất vì chấn thương, và cũng dùng được với mandoline
    Tuy vậy, có lẽ nên thử trước bằng cách nhét hotdog vào phần ngón tay

• Thật đáng kinh ngạc, và tôi rất vui vì tích phân có nghiệm dạng đóng. Rất tò mò không biết trường hợp rời rạc sẽ trông như thế nào, và có vẻ cũng khá dễ viết code mô phỏng

• Tôi thích cách của Chef Jean-Pierre hơn. Giữ mọi thứ đơn giản, và cũng cho thấy vì sao đường khứa ngang không hợp lý lắm
  [1] https://www.youtube.com/watch?v=QjZ1LFqNWRM&list=PLnujfCpADf...

  • Đúng vậy. Tôi đã dùng cách đó 15 năm nay và không hối hận. Thật ngạc nhiên là ông ấy vẫn còn làm video

• Trong ẩm thực cao cấp cũng có khái niệm đúng nghĩa là hình hạt lựu hoàn hảo. Cách làm là tách các lớp của toàn bộ củ hành ra, ép phẳng thành dạng tấm, rồi cắt hình chữ nhật theo lưới để băm

  • https://www.youtube.com/watch?v=UBj9H6z6Uxw