n-quả cầu giữa các n-quả cầu

• Arnaldur giới thiệu trang này là nơi cư trú trên Internet của mình, và tự nhận mình là Computer Scientist
• Hiện anh đang làm tư vấn phát triển phần mềm và có thể liên hệ qua email
• Trên trang có một số bài viết do Arnaldur viết để đọc
• Website được anh tự xây dựng bằng SolidStart và được render tĩnh
• Việc triển khai và tạo kiểu dùng AWS·SST·matcha.css, và có một easter egg được giấu ở đâu đó trên trang

---

Arnaldur và thông tin liên hệ

• Arnaldur tự giới thiệu mình là Computer Scientist
• Website này đóng vai trò là nơi cư trú trên Internet của Arnaldur
• Trên trang có một số bài viết có thể đọc
• Hiện đang làm tư vấn phát triển phần mềm
• Cung cấp email [e-mail] làm thông tin liên hệ

Cách triển khai website

• Xây dựng website từ đầu bằng SolidStart
• Trang được cung cấp theo dạng render tĩnh
• Hosting trên AWS, với sự hỗ trợ của SST
• Dùng matcha.css làm nền tảng styling
• Có một easter egg được giấu ở đâu đó trên trang

[GN⁺]

Ý kiến trên Hacker News

• Thay vì nghĩ rằng các quả cầu “trở nên nhọn” trong không gian nhiều chiều, tốt hơn nên xem là chính cái hộp trở nên nhọn
  Như bài viết cũng nói, quả cầu theo định nghĩa luôn hoàn toàn đối xứng
  Ngược lại, cái hộp trở thành một hình giống caltrop, các đỉnh ngày càng xa gốc tọa độ theo căn bậc hai của số chiều, còn tâm của mỗi mặt vẫn luôn nằm chính xác ở ±1
  2^N quả cầu xung quanh cũng rời xa gốc tọa độ, nhưng bán kính vẫn giữ nguyên là 1/2, nên dễ hình dung quả cầu ở giữa ngày càng có nhiều không gian hơn, rồi cuối cùng lớn ra bên ngoài chiếc hộp nhọn đó
  • Trong một cách khác để nghĩ về quả cầu nhiều chiều, độ nhọn lại là cách trực quan hóa đúng
    Ví dụ, nếu đặt một siêu phẳng ở vị trí cách tâm quả cầu 90% quãng đường tới biên, rồi xem thể tích ở “bên ngoài” siêu phẳng đó chiếm bao nhiêu phần trăm toàn bộ, thì trong không gian nhiều chiều, thể tích ấy trở nên nhỏ đến mức có thể bỏ qua
    Khi số chiều thật sự cao, dù cắt khá gần tâm thì phần thể tích bị cắt đi vẫn rất nhỏ, và trong thế giới 3 chiều, thứ gần nhất với tính chất này là một hình dạng giống gai
    Ý nghĩa theo đó quả cầu nhiều chiều không nhọn nằm ở tính đối xứng và độ trơn của nó
    Vì vậy, để xây dựng trực giác về quả cầu nhiều chiều, ta phải đồng thời nghĩ về nó như một thứ đối xứng, trơn nhẵn và nhọn
    Sau đó nghĩ thêm năm điều bất khả nữa là có thể ăn sáng được rồi
  • Chính xác là điểm đó: các đỉnh của hình vuông chiếm 1/4 phần tương ứng của mặt phẳng, các đỉnh của hình lập phương chiếm 1/8, còn các đỉnh của siêu lập phương n chiều chỉ chiếm 1/(2^n) không gian
    Nhưng mỗi cạnh, mặt, hay siêu mặt thì chỉ đơn giản chia mặt phẳng, không gian, hay không gian n chiều làm đôi
  • Theo một nghĩa nào đó, trong không gian Euclid n chiều, quả cầu là đối tượng tự nhiên hơn hình lập phương
    Ngay khi đưa khái niệm khoảng cách vào, hình lập phương trở thành một cấu trúc nhân tạo
    Dù trong không gian tích đơn giản thì nó vẫn là một phần tử tự nhiên
  • Bài gốc cũng nói điều này ngay sau bài giảng của Hamming
    “Vì vậy, thay vì xem quả cầu n chiều là nhọn, tốt hơn nên xem không gian xung quanh nó tăng trưởng nhanh hơn quả cầu”
• Đây là một ví dụ thể hiện rất rõ lời nguyền chiều không gian
  https://en.m.wikipedia.org/wiki/Curse_of_dimensionality
  • Thật thú vị khi điều này liên hệ thế nào với các định luật scaling của LLM
• Không hiểu sao tôi lại tưởng tượng bài này sẽ nói về hai hình chỉ đơn giản là các n-cầu theo nghĩa tô pô
  Kiểu như mỗi hình tiếp xúc với một trong hai bán (n-1)-cầu nằm trên biên của một n-cầu nào đó, và ngoài ra thì không giao nhau
  Nếu nói trong 3 chiều thì giống như lấy một quả cầu và hai cục đất sét khác màu, ép mỗi cục đất sét dính vào một nửa bề mặt quả cầu, trong khi hai cục đất sét đó vẫn giữ nguyên là các 3-cầu theo nghĩa tô pô
  Thật ra tôi cũng không chắc liệu có câu chuyện thú vị nào về chuyện đó không
• Ấn tượng và hữu ích
  Giờ đã đến lúc tôi phải tạo lại embedding của mình để có thể dùng bàn tay n chiều mới nắm lấy quả cầu n chiều màu đỏ đó
• Nếu muốn xem các thảo luận HN khác về hiện tượng này, có thể tham khảo những bài gửi cũ hơn cùng chủ đề
  Bài đó không có hoạt ảnh đẹp, nhưng là bài từ 14 năm trước
  https://news.ycombinator.com/item?id=12998899
  https://news.ycombinator.com/item?id=3995615
  Và còn có bài ngày 29 tháng 10 năm 2010
  https://news.ycombinator.com/item?id=1846682
  • Năm 2009 tôi cũng từng viết một bài blog ngắn về chủ đề này: https://mark.reid.name/blog/warning-high-dimensions.html
    Thật vui khi thấy những sự thật toán học thú vị như thế này tiếp tục được thảo luận và trình bày theo những cách mới
• Thật khó khi cố lăn các quả cầu trong đầu
  Có thêm tài liệu trực quan hóa ở các bước trung gian nào giúp đi đến trực giác này không?
  Bài viết rất tuyệt, nhưng tôi muốn nhanh chóng chia sẻ cái phi lý đã hiện ra khi nhìn cấu trúc 10 chiều được chéo hóa hoàn toàn qua một lát cắt 3 chiều, nơi chiếc hộp xanh của quả cầu đỏ bị che khuất
  • Thứ kỳ lạ không phải là quả cầu đỏ mà là siêu lập phương
    Việc đặt các quả cầu xanh tiếp xúc với siêu lập phương là một cấu trúc nhân tạo, và chỉ ở số chiều thấp nó mới trông như đang “bao quanh” quả cầu đỏ
    Lý do trực giác của chúng ta sai là vì ta nghĩ sai về vấn đề
    Ta nghĩ “quả cầu đỏ phải bị nhốt trong hộp”, nhưng trong n chiều không có cơ sở hình học nào cho điều đó
• Có thể nói hoạt ảnh này làm tôi nổ tung đầu hoàn toàn
  • Những đoạn có lượng giác khá là căng não
• Numberphile từng đăng video về chủ đề này
  https://youtu.be/mceaM2_zQd8?si=0xcOAoF-Bn1Z8nrO