Lý thuyết Galois
(golem.ph.utexas.edu)- Tom Leinster đã công bố tài liệu về lý thuyết Galois được sử dụng trong các bài giảng bậc cử nhân ở Edinburgh giai đoạn 2021~2023 thông qua arXiv và website
- Tài liệu gồm ghi chú bài giảng, khoảng 40 video giải thích ngắn, bài tập, và gần 500 câu hỏi trắc nghiệm, nên cũng có thể dùng làm tài liệu tự học
- Bộ ghi chú này có vẻ đã nhận được nhiều sự quan tâm hơn các tài liệu Fourier analysis, general topology, linear algebra, category theory từng công bố trước đó; riêng ghi chú category theory là trường hợp ngoại lệ khi còn được xuất bản thành sách
- Bài giảng đầu tiên được thực hiện trong thời kỳ phong tỏa hoàn toàn vì Covid, khiến việc tương tác trực tiếp trở nên khó khăn, và vì thế cần hướng dẫn cùng cấu trúc tỉ mỉ hơn bình thường
- Ngoài nội dung đầy đặn, bố cục trực quan như màu sắc và các biểu tượng nhỏ cũng có vẻ là yếu tố giúp tăng khả năng tiếp cận, và bộ ghi chú·video·câu hỏi này vẫn là nguồn tài liệu mở hữu ích cho người học
Công bố tài liệu bài giảng lý thuyết Galois ở Edinburgh
- Tom Leinster đã đăng ghi chú bài giảng Galois theory bậc cử nhân ở Edinburgh lên arXiv
- Khóa học này được giảng dạy từ năm 2021 đến 2023
- Ghi chú trước đó đã được chia sẻ trên website, nhưng việc đăng lên arXiv bị chậm lại để có thể công bố cùng với phần lớn các tài liệu khóa học khác
- Có thể xem tài liệu công khai tại Galois theory course materials
- Ghi chú bài giảng hoàn chỉnh và độc lập
- Khoảng 40 video giải thích ngắn
- Nhiều bài tập
- Gần 500 câu hỏi trắc nghiệm
Điểm khác biệt so với các tài liệu công bố trước đây
- Trước đây Leinster cũng từng công bố nhiều ghi chú bài giảng khác
- Ghi chú lý thuyết Galois dường như nhận được nhiều sự quan tâm hơn các tài liệu này
- Ngoại lệ là ghi chú category theory, vốn còn được biên soạn thành sách
Cấu trúc tỉ mỉ được tạo nên trong bối cảnh phong tỏa
- Bài giảng đầu tiên diễn ra trong thời kỳ phong tỏa hoàn toàn vì Covid
- Sinh viên khi đó không còn cơ hội tương tác trực tiếp
- Leinster cho rằng sinh viên cần nhiều chỉ dẫn hơn bình thường
- Lý do bộ ghi chú được chú ý có thể không chỉ là cấu trúc nội dung cẩn thận mà còn ở hình thức dễ nhìn
- Màu sắc
- Các biểu tượng nhỏ
- Bố cục trực quan tổng thể dễ đọc hơn
Mục đích của tài liệu công khai
- Leinster hy vọng bộ ghi chú, video, câu hỏi được công bố sẽ mang lại niềm vui cho mọi người
1 bình luận
Các ý kiến trên Hacker News
Tôi học ngành kỹ thuật điện, nhưng đã học lý thuyết Galois ở đại học, tình cờ là tại Edinburgh. Năm thứ tư, tôi chọn môn Advanced Mathematics như một kiểu khổ hạnh; lớp có rất ít người, và được dạy bởi một “nhà toán học thực thụ” hằng ngày đi từ khoa toán sang
Tôi đã được học khá nhiều toán, nhưng có lẽ đó là lần duy nhất tôi được dạy trực tiếp bởi một người tạo ra toán học mới và viết bài báo. Ông ấy dạy lý thuyết Galois với các ứng dụng trong lý thuyết mã hóa làm ví dụ, và nói thật, tôi xem đó là một bước ngoặt trong đời
Tôi không bao giờ nghĩ lại về việc dựng hình thất giác đều nữa, và chắc chắn cũng tránh xa đấu súng tay đôi lẫn Montparnasse. Bỏ chuyện đùa sang một bên, đó là cảm giác như bóng đèn bật sáng trong đầu; về sau, khi gặp những người cố tỏ ra thông minh bằng cách nói rằng họ biết ECC hay ZKP, điều này đã giúp ích rất nhiều cho sự nghiệp của tôi. Nó hoàn toàn trái ngược với những người nói “tôi chẳng dùng gì trong những thứ học ở đại học cả”
Sách của Ian Stewart rất tuyệt để tự học, và cũng có bối cảnh lịch sử thú vị
https://www.taylorfrancis.com/books/mono/10.1201/97810032139...
Cuối năm nay, có lẽ khoảng mùa đông, nếu tiến độ thuận lợi, tôi dự định mở một buổi sinh hoạt câu lạc bộ sách với cuốn này. Nếu có ai muốn cùng đọc những cuốn như thế này và chia sẻ tiến độ, tôi muốn mời vào kênh #bitwise trên IRC và Matrix. Hai kênh đã được bridge, nên vào bên nào cũng được
Kênh này có người dùng HN và người dùng từ các kênh khác như ##math, ##physics, #cs; đây là một không gian trực tuyến để chia sẻ tiến độ và nội dung của các sách về toán học và tính toán mà mọi người đang đọc
[1] https://web.libera.chat/#bitwise
[2] https://app.element.io/#/room/#bitwise:matrix.org
https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=STML/95
Cách lý thuyết này được giảng dạy ngày nay thường đã được tái cấu trúc qua sự phát triển của tư duy toán học và ký hiệu, nên việc đọc các bài viết gốc trước đó cũng rất thú vị. Cho mục đích đó, tôi rất khuyến nghị The mathematical writings of Evariste Galois của Peter Neumann (https://ems.press/books/hem/102). Sách đặt bản gốc tiếng Pháp và bản dịch sát nghĩa tiếng Anh song song, kèm chú thích giải thích bối cảnh và các quá trình tư duy có thể có. Vì khi đó tôi đang học tiếng Pháp nên cũng thấy vui khi đọc thêm tiếng Pháp
Chương 1 rất xuất sắc
Mấy năm nay tôi vẫn nói rằng các bài giảng toán cần nhiều bối cảnh hơn. Ta có thể chứng minh X, Y, Z và lớp học này dạy điều đó, nhưng những vấn đề tạo động lực khiến chúng ta có thể làm X, Y, Z thì chỉ được lướt qua
Sau khi giải được một thứ gì đó, ta có thể dựng lại nó ở dạng tổng quát hơn, và chính sự tái cấu trúc đó trở thành một đối tượng. Việc phát triển tiếp diễn theo cách này là rất tuyệt, nhưng với mục đích giáo dục, khi dạy cả hành trình chứ không chỉ đích đến thì nó sẽ đọng lại trong đầu người học tốt hơn nhiều. Khi dạy Giải tích I, nếu đưa vào việc Newton đã cố giải quyết vấn đề nào và vì sao ông làm vậy, có lẽ đã thu hút sinh viên hơn rất nhiều. Vì khi đó họ có một câu chuyện để theo dõi và một lý do để học
Xin tán dương tác giả đã viết chương 1. Phần còn lại có lẽ cũng hay, nhưng hiện tôi mới chỉ có thời gian lướt chương 1. Tôi nghĩ điều này không chỉ đúng với toán mà còn với hầu như mọi môn học
Hồi đại học tôi làm ở một trung tâm gia sư toán, và các lớp giải tích được chia thành loại dành cho kỹ thuật/khoa học và loại dành cho kinh doanh/kinh tế. Nếu cơ học Newton thú vị với bạn hoặc liên quan đến chuyên ngành của bạn thì cách tiếp cận đó rất hay, nhưng tôi thường thấy sinh viên các ngành như sinh học hay kỹ thuật công nghiệp lại gặp khó hơn vì các ứng dụng vật lý trong giáo trình
Sinh viên tìm đến với một vấn đề là “giải tích khó”, nhưng đột nhiên để hiểu giải tích họ lại có thêm vấn đề thứ hai là phải hiểu cả vật lý. Có những sinh viên làm tốt bản thân đạo hàm và tích phân, nhưng cứ khi trộn thêm bài toán vật lý là bị kẹt. Khả năng chuyển bài toán thực tế sang toán học rất quan trọng, nhưng nếu một lĩnh vực cụ thể mà họ không quan tâm chen vào thì nó trở thành một rào cản lớn hơn
Sinh viên kinh doanh cũng tương tự. Phần lớn gia sư thuộc khối kỹ thuật, nên họ khó giúp những sinh viên kinh doanh dùng giáo trình đầy các ví dụ cần kiến thức tài chính cơ bản. Các đại lượng tài chính thường không liên tục mà mang tính rời rạc, khiến các gia sư càng bối rối hơn
Nếu có thể tìm được ứng dụng mà sinh viên quan tâm thì dĩ nhiên nên dùng cách tiếp cận đó. Nhưng trong một giáo trình phổ thông, việc chọn một ứng dụng cụ thể sẽ cản trở việc học của nhiều sinh viên không quan tâm đến ứng dụng ấy
Nếu học toán đã phát triển theo thời gian như thế nào và người xưa đã giải các bài toán quan trọng ra sao, liệu điều đó có giúp giải các bài toán khác ngày nay không? Vài năm trước tôi đã mua bộ 3 tập Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, nhưng chưa có thời gian đọc quá vài chương đầu. Nếu có tác phẩm lớn nào về lịch sử toán như vậy để giới thiệu thì tôi rất quan tâm
Lạ là sau khi đọc Everything and More của David Foster Wallace thì tôi hiểu hơn nhiều. Vì sách giải thích những nghịch lý và ngõ cụt mà các nhà toán học gặp phải trước khi Cauchy và những người khác làm cho vấn đề trở nên nghiêm ngặt. Wallace là một tiểu thuyết gia hậu hiện đại, nên tôi không rõ vì sao ông lại giải thích về vô hạn rõ ràng đến vậy. Tôi không thưởng thức được các tác phẩm khác của ông
Với tư duy của một lập trình viên, dù giải t^3 = 2 hay giải số trị t^100 + t + 1 = 7, cả hai đều phải dùng phương pháp lặp như phương pháp Newton. “Có nút căn bậc n” không phải là một lập luận. Vì lẽ ra cũng có thể đưa vào một nút Newton tổng quát hơn
Hai thứ đó không có vẻ khác nhau về bản chất. Vì sao việc giải được bằng căn thức lại quan trọng? Nó có cảm giác tùy tiện như hỏi liệu có thể giải mà không dùng số 2 hay không. Tôi nghĩ mình sẽ quan tâm hơn đến các nghĩa khác của khả năng giải được, như phương pháp lặp, phương pháp Newton, hội tụ bậc hai
Tôi cũng đã nói chuyện với sinh viên ở vài trường khác và họ có trải nghiệm tương tự. Khi ấy chẳng ai thích cả. Giáo sư của tôi đã dành ít nhất hai buổi giảng chỉ để viết lịch sử lên bảng, và chúng tôi thấy khá chán. Dù vậy chúng tôi là nghiên cứu sinh toán, nên không cần được tạo động lực
Tôi xem lý thuyết Galois là một cách giải thích, đồng thời là đỉnh cao của toán học lý thuyết, mà ta có thể nói về động lực và nội dung ngay cả trên bàn ăn tối với những người không thích toán
Nếu bắt đầu từ công thức nghiệm của phương trình bậc hai thì gần như ai cũng nhớ gì đó. Ta nói về việc giải x trong đa thức, rồi chuyển sang câu hỏi liệu có luôn giải được x không, và điều đó nghĩa là gì. Nếu vẽ đồ thị một đa thức, nó cắt trục x nên có nghiệm, nhưng liệu như vậy có nghĩa là có thể giải bằng một công thức theo các hệ số không? Điều này gợi đến định lý cơ bản của đại số rằng mọi đa thức bậc n đều có n nghiệm trong số phức
Dù vậy, khá khó giải thích việc giải bằng căn thức liên hệ thế nào với ý nghĩa rằng có một công thức của x theo các hệ số của đa thức
Kết luận là với đa thức tổng quát bậc 5 trở lên, không có công thức cho x được biểu diễn bằng các hệ số và chỉ dùng bốn phép toán cùng phép khai căn. Lý thuyết Galois chứng minh điều này
Lý do Galois được ghi công là vì cần trí tưởng tượng cực lớn để nghĩ ra cách hình thức hóa và chứng minh “không có công thức”. Không có công thức nghĩa là gì, và làm sao thiết lập rồi chứng minh điều đó một cách đúng đắn, mới là cốt lõi
Lý thuyết Galois đem lại nhiều insight hơn rất nhiều, và giúp hiểu vì sao một số phương trình bậc năm lại giải được bằng căn thức, v.v. Nhưng Galois không nên được ghi công cho việc chứng minh sự không tồn tại của công thức bậc năm. Ít nhất ông không phải là người đầu tiên
Trong lớp đại số trừu tượng ở đại học, lý thuyết Galois luôn được tôi nhớ như phần kết. Galois là một bộ óc toán học xuất chúng, và tôi tự hỏi ông còn có thể đóng góp gì nữa nếu không chết trong một cuộc đấu súng ở tuổi 20
https://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois
Vài năm trước tôi từng dẫn dắt một nhóm học dùng A Book of Abstract Algebra của Charles C. Pinter. Phần cuối dẫn tới lý thuyết Galois, và đây là một trong những cuốn hay nhất tôi từng dùng trong các nhóm học toán
Tôi cũng nhớ phần về Galois ở cuối sách. Có cả một phần thú vị về lịch sử giải nghiệm các phương trình đa thức, đặc biệt là lịch sử giải phương trình bậc bất kỳ
Với tư cách không phải dân chuyên toán, tôi thắc mắc liệu bài viết trên Simple Wikipedia này có đại khái đúng không. Là một kỹ sư khiêm tốn, tôi luôn thấy lý thuyết Galois trong danh sách các môn toán và tò mò nó là gì
https://simple.m.wikipedia.org/wiki/Galois_theory
Trực giác thiên tài mà Galois khám phá là mối liên hệ nền tảng giữa trường và nhóm, nhưng đó gần như là một “kỹ thuật” để giải bài toán. “Vì sao phải làm vậy” thì phức tạp hơn một chút, nhưng nói ngắn gọn, Galois muốn thiết lập một tiêu chuẩn để phán định đa thức nào có thể hoặc không thể giải được trên trường nào
Ví dụ, ta biết x^2 = -1 giải được trong số phức C với x = i, nhưng không giải được trong số thực. Câu hỏi là liệu có thể tổng quát hóa kiểu chứng minh này đến mức có thể thực hiện một cách máy móc cho một trường bất kỳ và một đa thức bất kỳ hay không
Tôi đã thử tạo động lực cho các câu hỏi dẫn tới lý thuyết Galois theo cách thực tế hơn, để lập trình viên và kỹ sư cũng tiếp cận được, tại https://news.ycombinator.com/item?id=41258726
Trong học kỳ đại số thứ hai có một phần về lý thuyết Galois, nhưng lúc đó tôi thấy nó như những thứ trừu tượng vô nghĩa và không hiểu được. Tôi muốn theo tài liệu này để xem giờ góc nhìn của mình đã thay đổi chưa
Động cơ chính của lý thuyết Galois là chứng minh không tồn tại nghiệm tổng quát cho phương trình bậc 5. Công thức tổng quát để giải phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0 đã được biết từ hàng nghìn năm trước, và sau nhiều nỗ lực, các nhà toán học cũng tìm ra công thức cho đa thức bậc 3 và bậc 4. Nhưng không ai tìm được nghiệm dạng đóng cho bậc 5
Cuối cùng Galois và Abel đã chứng minh rằng công thức bậc 5 không tồn tại. Ít nhất là không thể biểu diễn bằng phép cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa và căn thức. Chẳng hạn, ta có thể xác định những phương trình cụ thể như x^5 - x + 1 mà nghiệm không thể biểu diễn dưới dạng đó
Tôi đã học cả một môn xoay quanh chứng minh này, và thật sự nó rất thú vị. Nó thiết lập một tương ứng sâu sắc giữa nhóm và trường, đến mức có thể chuyển lý thuyết về nhóm sang lý thuyết về trường, và ngược lại. Nó cũng cung cấp một công cụ rất mạnh để phân tích tính đối xứng
Bản thân chứng minh thực tế thì lại gần như gây hụt hẫng. Sau khi xây dựng rất nhiều chứng minh sâu về cấu trúc nghiệm của phương trình đa thức, cuối cùng ta thấy rằng cấu trúc đối xứng của một đa thức bậc 5 cụ thể như x^5 - x + 1 không khớp với các đối xứng mà những phép toán cơ bản có. Theo đúng nghĩa đen, trường nghiệm của đa thức đó không tương ứng với một nhóm giải được: https://en.wikipedia.org/wiki/Solvable_group
Gần như theo cùng mạch đó, người ta cũng chứng minh được rằng không thể chia ba một góc chỉ bằng compa và thước thẳng. Đó là bài toán đã làm khổ các nhà toán học suốt hàng nghìn năm. Hơi đáng thất vọng là sau cả học kỳ định nghĩa những “thứ trừu tượng vô nghĩa” như nhóm, trường, mở rộng trường, thì chứng minh không tồn tại nghiệm tổng quát bậc 5 chỉ mất 10 phút, và chứng minh không thể chia ba góc cũng vậy
Có vài điểm thú vị nơi lý thuyết Galois chạm tới trình biên dịch và lập trình
Diễn giải trừu tượng ánh xạ tập hợp hành vi chương trình có thể là vô hạn sang một mô hình đơn giản hơn, thường là hữu hạn, được xấp xỉ một cách đúng đắn và dễ suy luận hơn. Ở đây người ta dùng liên kết Galois, có thể ví với lý thuyết Galois khi liên hệ một trường vô hạn với một nhóm hữu hạn. Tôi thường nghĩ đến điều này khi làm đánh số giá trị
Một phép ví von khác có thể hơi gượng, nhưng cũng thú vị khi nghĩ việc mở rộng một miền tính toán như số nguyên bằng các giá trị bổ sung như giá trị lỗi như một dạng mở rộng trường. Như trong mở rộng trường, đôi khi sẽ phát sinh độ phức tạp bất ngờ. Ví dụ như mất tính phân tích duy nhất, poison và undef của LLVM, hay NaN
Về cốt lõi, nó cho phép xấp xỉ một cách đúng đắn tập hợp các trạng thái có thể đạt tới trong chương trình, qua đó kiểm tra liệu có thể tránh được các trạng thái xấu hay không, hoặc xác định một phép kiểm tra nào đó là vô ích và có thể loại bỏ. Một ứng dụng khác là bộ kiểm tra mượn mới của Rust, vốn dựa trên nhiều lượt phân tích luồng dữ liệu để xác định tại mỗi điểm trong chương trình biến nào còn sống và đang được mượn
Liên quan đến câu “không có cách nào phân biệt i và -i”, đến giờ tôi vẫn không biết thuần túy về mặt đại số thì phân biệt hệ tọa độ tay trái và hệ tọa độ tay phải như thế nào
Cơ sở [(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)] là tay trái hay tay phải? Không có hình thì tôi không biết. Không biết có ai biết không
“Trái” và “phải” là một cặp lưỡng cực. Một bên không thể tồn tại nếu không có bên kia, và chúng đối xứng với nhau. Đây là cùng một vấn đề như các phần tử liên hợp được bàn trong lý thuyết Galois
Thật ra, từ góc nhìn đại số, tức không phải góc nhìn thứ tự·số học·giải tích, việc ký hiệu các liên hợp của một mở rộng trường như sqrt2 hay i bằng + và - tự thân đã có thể gây hiểu nhầm. Với những cặp liên hợp như vậy, Left và Right là tên gọi tốt hơn + và -. Chỉ khi gán một thứ tự số học thì việc dùng + và - mới có ý nghĩa. Ví dụ, khi x là số thực dương, có thể nói -sqrt(x) < 0 < +sqrt(x)
Nếu x là số thực âm thì vấn đề với dấu - lập tức lộ ra. -i và i không thể được tách biệt bằng thứ tự so với 0
Số phức về bản chất là lý thuyết của không gian 2 chiều. Câu hỏi lại nói về không gian 3 chiều. Câu được trích cho ta biết rằng về mặt lý thuyết không thể phân biệt trên và dưới
Trong mọi không gian 3 chiều đều có không gian 2 chiều nằm bên trong. Có nhiều cách để thấy điều này, nhưng dễ nhất là bỏ tọa độ z
Nếu giả sử có thể phân biệt tay trái và tay phải trong không gian 3 chiều, thì sẽ có cách phân biệt trên và dưới trong không gian 2 chiều chứa trong đó. Nhưng trong không gian 2 chiều không thể làm được sự phân biệt đó, nên trong 3 chiều cũng không thể phân biệt tay trái và tay phải