Miền tần số có phải là một nơi có thật?

 (lcamtuf.substack.com)
2 điểm bởi GN⁺ 2024-04-08 | 1 bình luận | Chia sẻ qua WhatsApp
  • Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) là công cụ cốt lõi trong truyền thông và xử lý tín hiệu, nhưng miền tần số không phải là cách duy nhất để diễn giải thực tại
  • Trong cấu trúc như DCT, nơi các bin tần số được tính bằng cách nhân mẫu đầu vào với các giá trị của hàm cơ sở, chỉ cần thay đổi cơ sở là có thể tạo ra một miền tần số theo các quy tắc khác
  • Ma trận Walsh cung cấp cơ sở sóng vuông chỉ dùng +1 và -1; nếu khớp được sequency và tính trực giao, có thể chuyển đổi qua lại giữa miền thời gian và biểu diễn tần số
  • Ma trận Hadamard là dạng sắp xếp lại của ma trận Walsh; nó được tạo bằng Kronecker product hoặc phép toán bit, rồi sắp xếp lại các hàng theo sequency để dùng trong WHT
  • Cùng một đầu vào, trong DCT sẽ trải ra thành nhiều thành phần điều hòa, còn trong biến đổi Walsh-Hadamard sẽ được tách thành các thành phần sóng vuông, cho thấy DFT không độc quyền nắm giữ “chân lý”

Nhìn lại miền tần số Fourier

  • Miền tần số là một không gian toán học biểu diễn các tín hiệu phức tạp dưới dạng biên độ và pha của sóng sin
  • Nhờ biểu diễn này, ta có thể thực hiện dễ dàng hơn các tác vụ xử lý tín hiệu vốn khó thao tác trực tiếp trong miền thời gian hoặc miền không gian
  • DFT đóng vai trò trung tâm trong truyền thông và xử lý tín hiệu, nhưng việc diễn giải sóng vuông thành tổng các điều hòa sin bậc lẻ có phải là cách diễn giải duy nhất của thực tại hay không lại là vấn đề khác
  • Sóng sin tồn tại rộng rãi trong tự nhiên, nên các công cụ thuộc họ Fourier phù hợp với nhiều tác vụ, nhưng cũng có thể tạo ra những miền tần số được định nghĩa tốt vận hành theo các quy tắc khác

Hiểu DCT qua hàm cơ sở

  • Biến đổi cosin rời rạc (DCT) có thể được xem là phiên bản đơn giản hóa, chỉ dùng số thực, của DFT
  • DCT-II nhân giá trị đầu vào s_n với giá trị của một biểu thức cosin cụ thể rồi cộng lại để tính độ lớn của một bin tần số cụ thể F_k
  • Điểm cốt lõi là hàm cơ sở tạo ra sóng cosin có tần số tương ứng với số bin DCT hiện tại
  • Tổng quát hóa, B(k, n) trả về một multiplier tùy theo k và n, rồi giá trị này được nhân với mẫu đầu vào và cộng lại
  • Nhìn từ góc độ phần mềm, B(k, n) có thể được xem là một mảng tra cứu; về mặt toán học, đó là một ma trận
  • Trong ma trận cơ sở DCT với N=16, hàng đầu tiên k=0 là thành phần DC tương ứng 0Hz, một cosin có tất cả giá trị là +1.00
  • Các hàng tiếp theo có dạng cosin biến thiên ngày càng nhanh hơn, như nửa chu kỳ, một chu kỳ, một chu kỳ rưỡi

Cơ sở sóng vuông và ma trận Walsh

  • Hàm cơ sở chia tín hiệu theo sóng vuông thay vì tần số sin có thể được tạo bằng ma trận Walsh
  • Ma trận Walsh gồm các sóng vuông chuyển động với các tốc độ khác nhau, và mọi multiplier đều là +1 hoặc -1
  • Việc tính toán trở nên đơn giản: đảo dấu một phần dữ liệu đầu vào rồi cộng lại
  • Ngay cả một ma trận trông đơn giản như vậy cũng phải thỏa mãn hai điều kiện
    • Mỗi hàng phải theo thứ tự sequency, tức có nhiều hơn hàng trước đó một lần đổi dấu
    • Để chuyển đổi trơn tru giữa dữ liệu miền thời gian và biểu diễn tần số, cần duy trì tính trực giao
  • Để tạo trực tiếp ma trận Walsh, bắt đầu với một mảng N×N, trong đó N phải là lũy thừa của 2
    • Điền +1 cho mọi hàng ở cột đầu tiên bên trái
    • Tạo cột mới bằng cách sao chép đối xứng các giá trị hiện có, rồi chia vùng mới thêm thành nhiều đoạn ngang và đảo dấu một số đoạn
    • Mỗi lần lặp lại, sao chép các cột, tăng số đoạn hàng và đảo dấu luân phiên

Tạo mảng Walsh từ ma trận Hadamard

  • Trong tài liệu và mã nguồn mở, người ta thường suy ra mảng Walsh từ ma trận Hadamard thay vì tạo trực tiếp mảng Walsh
  • Ma trận Hadamard là dạng đã đổi thứ tự hàng của mảng Walsh
    • Ví dụ với N=16, row #15 của Walsh chuyển thành #1 trong Hadamard, còn row #1 của Walsh nằm ở #8
  • Một lý do cho quy ước này là cấu trúc Hadamard xuất hiện trước trong lịch sử, rồi Walsh được xây dựng dựa trên đó
  • Về thực tiễn, cách tạo ma trận Hadamard được ghi chép tốt hơn, đồng thời cũng có các cách thao tác bit đơn giản và hiệu quả
  • Cách xây dựng theo sách giáo khoa bắt đầu từ mảng 1×1, rồi sao chép ma trận trước đó H_{n-1} thành 4 ô lát
    • Góc trên trái, trên phải và dưới trái được sao chép nguyên trạng
    • Góc dưới phải bị đảo tất cả dấu
    • Phần mở rộng này dùng ký hiệu Kronecker product ⊗, nhưng thao tác thực tế chỉ là sao chép và đảo dấu
  • Sau n bước xây dựng, kích thước của ma trận Hadamard luôn là 2^n × 2^n
  • Giá trị Hadamard của một ô cụ thể có thể được tính bằng cách tính x & y, rồi xét số bit bật trong kết quả là chẵn hay lẻ
    • Nếu số bit bật là lẻ thì là -1, nếu chẵn thì là +1
    • Trong mã C, có thể triển khai bằng __builtin_popcount(x & y) % 2

Triển khai biến đổi Walsh-Hadamard

  • Để chuyển ma trận Hadamard sang thứ tự Walsh trực quan, cần sắp xếp các hàng theo sequency
  • Cách đơn giản nhất là đếm số lần đổi dấu trong mỗi hàng
  • Cũng có thể dùng các phương pháp thao tác bit khác
    • Tạo Gray code bằng cách XOR số hàng Walsh với chính nó sau khi dịch phải 1 bit
    • Đảo thứ tự n bit cuối để tính ánh xạ sang hàng Hadamard
  • Khi thay cơ sở của phần triển khai DCT bằng mảng Walsh tạo theo cách này, có thể tạo ra “discrete square transform” và biến đổi ngược
  • Về mặt kỹ thuật, biến đổi này là Walsh–Hadamard transform (WHT)
  • Nếu xử lý đầu vào ví dụ 1 1 1 1 5 5 5 5 bằng DCT, các thành phần điều hòa sẽ trải ra nhiều bin tần số
    • DCT : +24.00 -10.25 -0.00 +3.60 +0.00 -2.41 -0.00 +2.04
  • Nếu xử lý cùng đầu vào bằng biến đổi sóng vuông, chỉ F_0 và F_1 có thành phần khác 0
    • SQFT : +24.00 -16.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00
  • Biến đổi ngược isqft() khôi phục đầu vào ban đầu
    • ISQFT : +1.00 +1.00 +1.00 +1.00 +5.00 +5.00 +5.00 +5.00

So sánh spectrogram và vị trí thực dụng

  • Bài viết so sánh spectrogram DCT và spectrogram Walsh-Hadamard bằng đoạn âm thanh 11 giây lấy từ “DARE” của Gorillaz
  • Biến đổi Walsh-Hadamard có hiệu quả tính toán tốt ngay cả trên máy tính hiệu năng thấp, phù hợp với một số loại dữ liệu nhất định và được dùng trong vài ứng dụng ngách
  • Kết luận không phải là nên dùng WHT nhiều hơn, mà là biến đổi Fourier rời rạc không độc quyền nắm giữ chân lý
  • Spectrogram được tính bằng DCT và WHT từ tệp âm thanh mono 44.1kHz
    • Window mẫu đầu vào là 512
    • Transform stepover là 1
    • Kích thước mảng đầu ra khoảng 512 × 485k
    • Cường độ pixel áp dụng gamma khoảng 0.4 lên giá trị tuyệt đối đã chuẩn hóa
    • Ảnh được resize bằng Lanczos resampling và render với colormap tuyến tính đen–xanh da trời–trắng
  • Một ví dụ thử nghiệm Walsh-Hadamard cho nén ảnh cũng được giới thiệu: http://rotormind.com/blog/2019/hadamard-days-night/

Bài viết liên quan

1 bình luận

 
GN⁺ 2024-04-08
Các ý kiến trên Hacker News

  • Về mặt toán học, biến đổi Fourier chỉ là một cách biểu diễn tín hiệu theo thời gian bằng một cơ sở vector trực giao cụ thể
    Vector dịch chuyển trên bề mặt đất cũng có thể được biểu diễn bằng cơ sở hướng bắc/đông, hoặc bằng hướng của một con đường nào đó và hướng vuông góc với nó
    Tín hiệu phụ thuộc thời gian hay các hàm “đẹp” nằm trong không gian vector vô hạn chiều nên khó hình dung, nhưng phần toán học cốt lõi vận hành tương tự
    Trong biến đổi Fourier, các vector cơ sở là các hàm điều hòa, còn miền tần số là một “bản đồ” cho thấy tín hiệu dưới dạng tổ hợp của vô hạn hàm điều hòa
    Các bản đồ dùng cơ sở khác như biến đổi Walsh–Hadamard cũng thực tại như vậy, và biểu diễn miền thời gian cũng chỉ là một trong nhiều bản đồ, dù quen thuộc với chúng ta

    • Đây là câu trả lời đúng, và nói thêm thì biến đổi Fourier không chỉ áp dụng cho tín hiệu theo thời gian mà còn cho các hàm liên tục từng đoạn, khả vi và khả tích theo Dirichlet
      Nó có nhiều ứng dụng như xử lý ảnh, giải phương trình vi phân, phép nhân nhanh
      Về mặt toán học, các biến đổi như vậy là không mất mát, nên hàm đã biến đổi chứa chính xác cùng thông tin với hàm gốc, và chỉ cần bản biến đổi cũng có thể khôi phục lại bản gốc
      Trong kỹ thuật, người ta thường biến đổi để loại bỏ thông tin không mong muốn, chẳng hạn một số thành phần tần số nhất định, nên điểm này hay bị lu mờ
      Rốt cuộc, đó là một trong nhiều góc nhìn để nhìn vào một hàm
    • Trước đây tôi cũng nghĩ đó là “một cơ sở khác”, nhưng gần đây tôi thấy phép ví von đó hơi nguy hiểm, hoặc ít nhất là không nói được toàn bộ câu chuyện
      Đặc biệt trong không gian đa chiều, biến đổi Fourier đa chiều thông thường chỉ hoạt động đúng khi không gian đó có metric phẳng
      Nghĩ đến việc bản thân vũ trụ bị cong thì điều này trông như một tín hiệu cảnh báo
      Gần đây có một nghiên cứu thú vị tổng quát hóa chuỗi Fourier cho một lưới hyperbolic cụ thể, và kết quả là không gian Fourier có thể có số chiều cao hơn không gian vị trí
      Hơn nữa, số chiều của “không gian Fourier” này thay đổi tùy theo cách rời rạc hóa lưới, nên một số lưới 2 chiều có thể có một miền tương tự tần số 4 chiều, còn lưới 2 chiều khác có thể có một miền tương tự 8 chiều
      https://arxiv.org/abs/2108.09314 hoặc https://www.pnas.org/doi/full/10.1073/pnas.2116869119
    • Các nhà thiên văn học thời xưa tin vào mô hình vũ trụ địa tâm có gắn ngoại luân, và nếu cần độ chính xác cao hơn thì họ thêm nhiều ngoại luân hơn
      Đó là một mô hình hoàn toàn sai, nhưng thực chất họ đang dùng chuỗi Fourier như một bộ xấp xỉ hàm
    • Nhìn chung tôi đồng ý, nhưng mọi cơ sở trực chuẩn đều chia phổ tần số ra
      Ngay cả khi dùng cơ sở như đa thức, rốt cuộc cũng là xây dựng hàm từ các thành phần tần số
      Cơ sở Fourier đặc biệt ở chỗ mỗi phần tử tương ứng với một tần số cụ thể
      Tuy nhiên, mỗi cơ sở gần như được thiết kế cho một mục đích nhất định, và phép đổi cơ sở có thể sắp xếp lại phổ theo những cách phức tạp để phân tích
      Khi đó ta sẽ phân tích các tính chất khác, chẳng hạn độ trơn
      Hầu hết các hàm mà ta quan tâm đều có phổ đặc trưng, nhưng cơ sở Fourier không trả lời được mọi câu hỏi
    • Vector cơ sở đâu nhất thiết phải vuông góc?
      Chỉ cần có một phần thành phần vuông góc nào đó, như hướng bắc và đông bắc, thì [n, e] cũng có thể được biểu diễn bằng tọa độ khác
      Các hệ số cụ thể có thể sai do tôi nhẩm, nhưng điểm chính là việc đó có thể làm được

  • Tôi nhớ đến một cuộc trò chuyện trước bảng trắng trong nhóm hệ động lực học hồi học thạc sĩ
    “Năng lượng được đưa vào hệ ở bên trái, và bị tiêu tán ở đây bên phải”
    “Nhưng hệ bất biến quay, nên làm gì có trái và phải”
    “Tôi đang nói trong không gian tần số”
    “À, tôi tưởng anh nói không gian thực”
    “Anh ngốc à? Ai lại nghĩ trong không gian thực chứ?”

    • Khoan đã, trong không gian tần số cũng có trái và phải à?
      Đó là một biểu diễn trừu tượng, chẳng phải không liên quan trực tiếp đến trái/phải/trên/dưới của chiều không gian sao
    • Chỉ riêng lượng khinh miệt mà tôi đã phun ra nhắm vào giới học thuật tháp ngà suốt đời có lẽ cũng đủ vận hành một đảo quốc nhỏ trong 10 năm
    • Ở chương trình thạc sĩ người ta gọi nhau là đồ ngốc à, hay câu chuyện đã được thêm thắt nhiều?

  • Cơ sở Fourier độc đáo ở chỗ các hàm cơ sở mũ phức là vector riêng của hệ tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI)
    Các biến đổi khác không có tính chất này
    Nhiều hệ thống trong thế giới thực như mạch điện, kênh truyền thông, anten là LTI, và nhờ tính chất này, các tín hiệu được truyền ở những tần số khác nhau không gây nhiễu lẫn nhau
    Vì vậy biến đổi Fourier được dùng rộng rãi hơn các biến đổi khác
    Trong vật lý lượng tử cũng có mối liên hệ dùng các cặp Fourier cho hàm sóng vị trí và động lượng, điều mà các biến đổi khác không có

    • Tôi ngạc nhiên vì hầu như không ai nêu chuyện này
      Với nền tảng kỹ thuật điện, người ta giả định nhiều hệ thống là tuyến tính hoặc phi tuyến rất yếu để phân tích, và tín hiệu cũng thường có tính chu kỳ, nên biến đổi Fourier là tự nhiên
      Phép tích chập trở thành phép nhân, còn đạo hàm theo thời gian của mũ phức trở thành việc nhân với j*omega
      Làm phép nhân thì tốt hơn nhiều so với tích chập và đạo hàm theo thời gian
      Một khi chấp nhận rằng “ta dùng biểu diễn Fourier vì nó tiện trong những tình huống cụ thể phổ biến”, thì việc dùng các biến đổi toán học khác cho các bài toán khác cũng không có gì đáng ngạc nhiên
    • Về mặt kỹ thuật, chẳng phải đó là một trường hợp đặc biệt của cơ sở Laplace sao?
      Tôi luôn thấy lạ là nhiều bài giảng không xử lý đúng biến đổi Laplace hai phía tổng quát nhất, mà chuyển thẳng từ biến đổi Fourier hai phía sang biến đổi Laplace một phía
      https://en.wikipedia.org/wiki/Two-sided_Laplace_transform

  • Nếu hỏi liệu đó có phải là “một nơi thực sự tồn tại” không, tôi nhớ đến một thí nghiệm quang học trước đây
    Khi cho một hình ảnh đi qua vài thấu kính, một mặt phẳng gồm các tần số được tạo ra, rồi lại đi qua thấu kính để chiếu lên màn hình
    Nếu che một phần mặt phẳng tần số đó, hình ảnh sẽ thay đổi
    Việc thao tác cực kỳ khó, và tôi rất biết ơn Dr Bruce Sinclair ở St Andrew’s
    Làm việc trong phòng thí nghiệm vật lý cho ta thấy sự vật vận hành như thế nào, nhưng vài tháng sau nhìn lại phần lý thuyết thì khá dễ lạc lối

    • Chẳng phải mặt phẳng của các tần số lúc nào cũng được tạo ra sao?
      Vì vậy có lẽ mới dẫn đến chuyện khẩu độ giới hạn độ phân giải, và các vệt nhiễu xạ xuất hiện trong kính thiên văn phản xạ
    • Cũng có thể làm bằng phần mềm: https://imagemagick.org/Usage/fourier/#noise_removal
    • Tính chất thu được biểu diễn miền tần số bằng quang học khá tiện lợi trong nhiều phương pháp hiển vi và quang phổ học dựa trên nguồn sáng
    • Đó là quang học Fourier
      Schlieren cũng hoạt động theo kiểu này

  • Một khái quát hóa thú vị khác của DFT là biến đổi Lomb-Scargle
    Nó không cần khoảng cách đo cố định trong miền thời gian
    Thường được dùng để tìm tần số của tín hiệu tuần hoàn khi khoảng cách giữa các phép đo không đều, như trong vật lý thiên văn
    https://iopscience.iop.org/article/10.3847/1538-4365/aab766 là phần giới thiệu tổng quát, còn https://docs.astropy.org/en/stable/timeseries/lombscargle.ht... giới thiệu khá rõ cách dùng trong thư viện astropy của Python

    • Gần đây tôi nghĩ nhiều rằng nếu biểu diễn dữ liệu Prometheus trong miền tần số, có lẽ sẽ hữu ích để trực quan hóa các mẫu truy cập theo tuần, theo ngày và theo năm trong hoạch định dung lượng
      Tự động mở rộng có thể giúp tránh suy giảm hiệu năng gây sự cố, nhưng không cho biết ngân sách hằng năm nên là bao nhiêu và vì sao
      Tuy nhiên dữ liệu Prometheus khó có thể xem là có khoảng lấy mẫu thật sự
      Dù mỗi máy trong cụm báo cáo theo chu kỳ đều đặn, chúng không đồng bộ với nhau

  • Nhìn từ góc độ khác, ốc tai có thể được xem như một hiện thực hóa “thực” của biến đổi Fourier
    https://www.britannica.com/science/sound-physics/The-ear-as-...

    • Ốc tai lại càng củng cố luận điểm của bài viết
      Nó có chuyển đổi sang miền tần số, nhưng không thực hiện hay xấp xỉ biến đổi Fourier
      Biến đổi từ miền thời gian sang miền tần số mà ốc tai “triển khai” gần với biến đổi wavelet hơn
      Diễn giải ốc tai như biến đổi Fourier cũng giống sai lầm khi nghĩ tế bào nón của mắt chỉ phản ứng với ánh sáng đỏ, xanh lá và xanh dương
      Trên thực tế, mỗi tế bào phản ứng khác nhau trên một dải tần số nhất định
      Tế bào nón đạt đỉnh ở các vùng tần số thấp, trung bình và cao rồi giảm dần về hai phía; còn tế bào lông trong ốc tai có đường cong phản ứng giống wavelet hơn, với một đỉnh phụ ở các họa âm của tần số đỉnh
      Tôi không phải chuyên gia mà chỉ là người nghiệp dư nhiệt tình, nên mong ai hiểu rõ hơn sẽ chỉnh lại
    • Rất dễ quên rằng sinh học bám rễ chặt chẽ vào vật lý đến mức nào
      Hồi đại học, dòng tế bào gốc của chúng tôi gặp vấn đề khi biệt hóa thành xương; hóa ra độ cứng của môi trường là một tín hiệu mà tế bào gốc có thể cảm nhận
      Nói cách khác, chiếc đĩa nuôi cấy cứng đang bảo tế bào rằng chúng nên trở thành tế bào xương

  • Bài viết nói rằng “tôi không biết thuật toán nào thanh nhã hơn việc đếm số lần cắt qua 0 để sắp xếp các hàng của ma trận Hadamard theo sequency”, nhưng khi nhìn ma trận và đoán mẫu, hóa ra đó đã là một phương pháp đã biết
    Theo https://en.wikipedia.org/wiki/Walsh_matrix, thứ tự sequency của ma trận Walsh có thể thu được bằng cách trước tiên áp dụng hoán vị đảo bit cho ma trận Hadamard, rồi tiếp tục áp dụng hoán vị Gray-code

  • Bài viết đặt ra một câu hỏi rất tổng quát và mang tính triết học, nhưng sau đó nói rằng vì có thể tìm các cơ sở trực giao và phép biến đổi khác, nên miền tần số không có gì quá đặc biệt
    Dù vậy, tôi vẫn cho rằng miền tần số và biến đổi Fourier đặc biệt hơn nhiều phép biến đổi khác
    Vì chúng có thể được quan sát trực tiếp trong tự nhiên
    Ví dụ, thấu kính thực hiện biến đổi Fourier hai chiều của ảnh đầu vào mang trên ánh sáng song song, và ta có thể nhìn thấy nó trên màn hình
    Ngoài ra, có thể đo bước sóng hoặc tần số của ánh sáng bằng cách chiếu đầu ra của cách tử hoặc lăng kính lên CCD; đó cũng là phép đo trực tiếp trong miền tần số
    Với sóng RF cũng có thể đo tương tự

  • Sóng sin đặc biệt ở chỗ chúng là nghiệm tự nhiên của phương trình sóng Helmholtz
    Sóng vuông còn có các vấn đề khác, chẳng hạn năng lượng vô hạn
    Bài này có thể hợp lý với nhà toán học hoặc nhà khoa học máy tính, nhưng bỏ lỡ phần vật lý nền tảng của âm thanh và sóng

    • Sóng sin cũng đặc biệt ở chỗ chúng là hàm riêng của toán tử vi phân
      Kết quả vật lý có lẽ là hệ quả của tính chất đó
      Sau cùng, bài học cốt lõi của toán học hiện đại là việc nhìn đối tượng từ nhiều góc độ là hữu ích
    • Đúng vậy
      Có vô số vật thể vật lý là dao động tử điều hòa, và điều này có nền tảng khá căn bản trong vật lý
      Tôi cũng nghĩ ra nhiều nơi khác có thể dùng phân tích Fourier, nhưng sóng sin “thực” hơn về mặt vật lý, còn nói rằng có thể biểu diễn bằng bất kỳ tập cơ sở nào thì gần với “hợp lệ” hơn
      Từ “thực” dường như gợi cảm giác rằng có một bộ dao động thật sự đằng sau hiện tượng
      Sóng vuông kém vật lý hơn vì cả tín hiệu lẫn đạo hàm của nó đều bất liên tục, mà tự nhiên thì thật sự không thích các bất liên tục
    • Miền tần số làm cho toán học trở nên rất dễ trong các phép toán tuyến tính bất biến theo thời gian dùng để mô tả xấp xỉ nhiều hệ tồn tại trong tự nhiên
      Ví dụ, hiện tượng Gibbs xuất hiện một cách tự nhiên từ biến đổi Fourier ngược của đáp ứng tần số đặt mọi tần số trên một tần số cắt nào đó về 0
      Tôi tò mò miền tần số của sóng vuông sẽ giải thích hiện tượng Gibbs như thế nào
      Có lẽ các họa âm của tần số sóng vuông cơ bản sẽ xuất hiện, như thể hệ là phi tuyến

  • Khi học vật lý và toán ở bậc đại học, tôi đi đến kết luận rằng việc biết giá trị của hàm f(x) tại vô hạn nhiều x và việc biết các thành phần tần số của f tại vô hạn nhiều tần số là tương đương
    Về mặt triết học, hai cách biểu diễn này đều “thực” như nhau
    Chỉ là một số bài toán dễ giải hơn trong một cách biểu diễn so với cách kia

    • Hoàn toàn đồng ý
      Việc chuyển từ miền thời gian sang miền tần số giống như đổi hệ tọa độ
      Một tín hiệu có một đỉnh hẹp trong miền thời gian có thể được biểu diễn rất nhỏ gọn và thưa bằng một delta tại vị trí đỉnh, nhưng trong miền tần số thì không có biểu diễn nén như vậy
      Ngược lại, tín hiệu sóng sin trong miền thời gian thì không compact ở đó, nhưng trong miền tần số chỉ cần vài delta là đủ
      Thời gian và tần số là hai cách biểu diễn cùng một thứ; trong một số trường hợp miền này dễ hơn, còn trong trường hợp khác thì ngược lại
      Có thể chứng minh rằng thứ bị chặn trong miền thời gian sẽ trở thành không bị chặn trong miền tần số, và điều ngược lại cũng đúng
      Vì vậy, thứ compact trong một miền khi chuyển sang miền kia thì luôn bị trải rộng ra
      Trong cơ học lượng tử, vị trí và động lượng là các biến liên hợp giống như thời gian và tần số ở trên, nên nếu vị trí bị chặn thì động lượng không bị chặn, và điều ngược lại cũng đúng
      Đây là ý tưởng cốt lõi của nguyên lý bất định Heisenberg