Định lý Pythagoras đã có trên bảng đất sét sớm hơn Pythagoras 1000 năm (2009)
(link.springer.com)- Định lý Pythagoras là một trong những mệnh đề nổi tiếng nhất trong toán học, nhưng không có bằng chứng rằng chính Pythagoras đã phát hiện hay chứng minh nó; các bảng đất sét Babylon cho thấy nguồn gốc lâu đời hơn
- Bảng đất sét YBC 7289 trong bộ sưu tập Babylon của Yale University là tư liệu khoảng năm 1800–1600 TCN, ghi lại quan hệ giữa cạnh và đường chéo của hình vuông bằng các số hệ cơ số 60
- Con số
1;24,51,10trên bảng đất sét tương đương 1.414213 trong hệ thập phân, biểu diễn √2 chính xác đến chữ số thập phân thứ năm và cho thấy một trường hợp đặc biệt của công thức đường chéo hình vuông - Trường phái Pythagoras là một cộng đồng bí mật nghiên cứu toán học, triết học và thiên văn học; do tập quán quy các phát hiện cho Pythagoras nên khó phân biệt đóng góp cá nhân
- Từ Elements của Euclid, bộ sưu tập 371 chứng minh của Loomis, chứng minh của Einstein năm 12 tuổi và việc sử dụng trong thuyết tương đối, cho đến Định lý cuối cùng của Fermat và chứng minh của Wiles, định lý này kết nối lịch sử toán học qua nhiều thời đại
Pythagoras và tên gọi của định lý
- Định lý Pythagoras được gọi bằng nhiều tên như Pythagorean Theorem, Pythagoras’ Theorem, Euclid I 47
- Đây là một trong những mệnh đề nổi tiếng nhất trong toán học; cuốn sách xuất bản năm 1927 của Elisha Scott Loomis ghi lại 371 cách chứng minh
- Các chứng minh gồm có chứng minh của Albert Einstein năm 12 tuổi, Leonardo da Vinci và Tổng thống Mỹ James A. Garfield
- Pythagoras gắn liền vĩnh viễn với việc phát hiện và chứng minh định lý này, nhưng không có bằng chứng rằng ông trực tiếp phát hiện hay chứng minh nó
- Có bằng chứng từ bảng đất sét cho thấy các nhà toán học Babylon đã phát hiện và chứng minh định lý này sớm hơn 1000 năm so với khi Pythagoras ra đời
Pythagoras và trường phái Pythagoras
- Pythagoras of Samos sinh khoảng năm 569 TCN tại Samos và mất khoảng năm 475 TCN; các sử gia thường xem ông là nhà toán học đầu tiên
- Không còn tác phẩm nào của chính Pythagoras, và tư liệu về cuộc đời ông khó tin cậy vì pha trộn giữa ghi chép nhiều thế kỷ sau và truyền thuyết
- Người ta kể rằng ông lập một trường học gọi là Semicircle of Pythagoras gần Crotone, miền nam Italy ngày nay
- Trường này vừa mang tính tôn giáo, vừa mang tính khoa học và tuân theo các quy tắc bí mật
- Họ nghiên cứu toán học, triết học, thiên văn học và có khẩu hiệu “Number Rules the Universe”
- Tri thức của trường phái được truyền miệng, và các phát hiện của tín đồ cũng thường được quy cho Pythagoras
- Vì vậy cái tên “Pythagoras’ Theorem” có thể đã ra đời
- Do cách vận hành mang tính tập thể, khó tách bạch đóng góp thực tế của Pythagoras và các tín đồ
Bảng đất sét Babylon YBC 7289
- Mesopotamia là vùng nằm giữa sông Tigris và sông Euphrates, có vị trí địa lý gần tương ứng với Iraq hiện đại
- Nền văn minh Babylon nổi bật từ 4000 năm trước, và trong hai thế kỷ qua hàng nghìn bảng đất sét đã được phát hiện
- Các bảng đất sét này cho thấy một nền văn minh xuất sắc trong ghi chép hiện tượng thiên văn, nghệ thuật và văn học
- Nhiều bảng đất sét vẫn còn nằm dưới tầng hầm bảo tàng, chờ được giải mã
- YBC 7289 là bảng đất sét số 7289 trong Babylonian Collection của Yale University
- Đây là tư liệu thuộc Old Babylonian period, khoảng năm 1800–1600 TCN
- Trên đó khắc một hình vuông nghiêng, hai đường chéo, cùng các số bằng chữ hình nêm bên dưới một cạnh và đường chéo
- Chữ số Babylon dùng hệ cơ số 60; các số đến 59 tương tự hệ thập phân hiện đại nhưng không có số 0
- Đơn vị được biểu thị bằng vết khía hình chữ Y dọc
- Hàng chục được biểu thị bằng vết khía tương tự đặt ngang
√2 và trường hợp đặc biệt của định lý Pythagoras
- Một ghi chép trên bảng đất sét cho thấy phép tính tìm chiều rộng khi chiều dài là 4 và đường chéo là 5
4 × 4 = 165 × 5 = 2525 - 16 = 9- Vì
3 × 3 = 9, chiều rộng là 3
- Trên một cạnh của hình vuông trong YBC 7289 có ghi số 30
1;24,51,10bên dưới đường chéo biểu thị giá trị theo hàng vị trí trong hệ cơ số 60 theo ký hiệu hiện đại- Trong hệ thập phân, đó là
1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1.414213 - Giá trị này biểu diễn √2 chính xác đến một phần một trăm nghìn
- Trong hệ thập phân, đó là
- Bảng đất sét này cho thấy người Babylon đã biết quan hệ giữa cạnh và đường chéo hình vuông
d = √2 × a - Vì vậy người Babylon đã quen thuộc với định lý Pythagoras, hoặc ít nhất là trường hợp đặc biệt về đường chéo hình vuông
d² = a² + a² = 2a², sớm hơn Pythagoras hơn 1000 năm - Bảng đất sét cho thấy người Babylon có thể tính căn bậc hai với độ chính xác khá cao
- Có khả năng giá trị cạnh 30 được chọn vì đó là con số tiện lợi trong hệ cơ số 60
- 1 phút 60 giây, 1 giờ 60 phút và đường tròn 360 độ ngày nay cũng liên quan đến hệ cơ số 60 này
Dạng hiện đại của định lý và Euclid
- Ngày nay, định lý Pythagoras thường được hiểu dưới dạng biểu thức đại số
a² + b² = c² - Với Pythagoras, định lý này là một mệnh đề hình học về diện tích; dạng đại số quen thuộc chỉ trở nên phổ biến sau khi đại số hiện đại xuất hiện khoảng năm 1600
- Euclid of Alexandria là nhà toán học Hy Lạp hoạt động khoảng năm 300 TCN, được gọi là “cha đẻ của hình học”
- Elements của Euclid được đánh giá là giáo trình thành công nhất trong lịch sử toán học
- Gồm 13 quyển
- Bao gồm định nghĩa, tiên đề, mệnh đề và chứng minh
- Suy ra các nguyên lý của Euclidean Geometry từ một tập tiên đề nhỏ
- Trong Elements, Euclid đưa ra hai chứng minh cho định lý Pythagoras
- Book I, Proposition 47 dựa vào quan hệ diện tích và rất tinh xảo
- Book VI, Proposition 31 dựa trên khái niệm tỉ lệ và đơn giản hơn
- Book I, Proposition 47 còn được gọi là Euclid I 47, và về sau được Proclus cùng những người khác gọi là định lý Pythagoras
- Chứng minh đầu tiên của Euclid không thể là chứng minh của chính Pythagoras, vì nó vượt quá trình độ hình học thời Pythagoras
- Nếu là cách của Book VI Proposition 31 thì chứng minh cũng sẽ chưa hoàn chỉnh, vì lý thuyết tỉ lệ đầy đủ chỉ được Eudoxus phát triển gần hai thế kỷ sau Pythagoras
Các tuyên bố liên quan đến Ai Cập và kim tự tháp
- Người Ai Cập cổ đại là nền văn minh tập trung ở vùng trung và hạ lưu sông Nile, cách Mesopotamia khoảng 500 dặm về phía tây nam
- Ai Cập và Babylon cùng tồn tại tương đối hòa bình hơn 3000 năm, từ khoảng năm 3500 TCN đến thời Hy Lạp
- Không có bằng chứng cho tuyên bố rằng người Ai Cập biết định lý Pythagoras và dùng nó để xây kim tự tháp
- Ai Cập có hơn 100 kim tự tháp, phần lớn được xây làm lăng mộ cho Pharaoh
Loomis và 371 chứng minh
- Elisha Scott Loomis là giáo viên toán đến từ Ohio, người đã dành cả đời sưu tầm các chứng minh đã biết của định lý Pythagoras
- The Pythagorean Proposition của Loomis là cuốn sách tập hợp 371 chứng minh
- Bản thảo được chuẩn bị năm 1907
- Xuất bản năm 1927
- Ấn bản thứ hai có sửa đổi ra đời năm 1940
- Năm 1968, National Council of Teachers of Mathematics tái bản trong loạt “Classics in Mathematics Education”
- Sau khi sách xuất bản, Loomis nhận được hàng trăm chứng minh mới cho đến khi qua đời, nhưng không thể tiếp tục cập nhật tuyển tập
- Không thể biết chắc số lượng chứng minh chính xác
- Ngay cả các nhà hình học cũng khó xác định những chứng minh nào thực sự khác nhau
Einstein và thuyết tương đối
- Trong tự truyện, Albert Einstein hồi tưởng rằng ông được tiếp xúc với một cuốn sách hình học phẳng Euclid vào khoảng 12 tuổi và rất ấn tượng
- Einstein cho biết ông đã tạo ra một “chứng minh” định lý Pythagoras dựa trên sự đồng dạng của tam giác
- Chính ông đặt từ “proof” trong ngoặc kép
- Chứng minh này thanh nhã và đơn giản, cho thấy mối liên hệ giữa độ dài và diện tích, cốt lõi của định lý
- Về sau Einstein sử dụng định lý Pythagoras ở dạng bốn chiều trong thuyết tương đối hẹp
dx² + dy² + dz² = (c dt)²liên hệ quãng đường ánh sáng đi được trong thời giandt, tứcc dt, với vi phân của ba tọa độ không gian- Phương trình metric này có thể được xem là định lý Pythagoras áp dụng cho các vi phân tọa độ
- Trong thuyết tương đối rộng, có giải thích rằng tính chất hình học của không gian được quyết định bởi vật chất, và khái niệm “empty space” mất đi ý nghĩa
- Trích dẫn liên quan đến thuyết tương đối giải thích rằng năng lượng, động lượng và khối lượng được định lý Pythagoras kết nối một cách trực quan
Định lý cuối cùng của Fermat và Wiles
- Pierre de Fermat nghiên cứu bài toán nghiệm nguyên có dạng
xⁿ + yⁿ = zⁿvào thế kỷ 17 - Khi
n = 2, nghiệm nguyên tồn tại nhờ định lý Pythagoras - Fermat phỏng đoán rằng khi
n > 2thì không có nghiệm với các số nguyên khác 0x,y,z, nhưng không để lại chứng minh- Ông viết bên lề Arithmetica của Diophantus rằng mình biết một chứng minh nhưng không đủ chỗ để ghi
- Mệnh đề này được gọi là Fermat’s Last Theorem
- Andrew Wiles chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat 350 năm tuổi vào năm 1993, và tin này xuất hiện trên trang nhất New York Times
- Wiles biết đến Định lý cuối cùng của Fermat khi 10 tuổi, sau đó nghiên cứu lý thuyết số với tư cách giáo sư tại Princeton University
- Kết quả nổi tiếng của Wiles là chứng minh mọi rational semi-stable elliptic curve đều modular, và điều này kéo theo Định lý cuối cùng của Fermat
- Shimura–Taniyama–Weil conjecture là mệnh đề rằng mọi rational elliptic curve đều modular; mệnh đề đầy đủ được Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond và Richard Taylor chứng minh năm 1998
Định lý nối dài 4000 năm lịch sử toán học
- Định lý Pythagoras mang tên Pythagoras, nhưng các bảng đất sét Babylon cho thấy những phép tính và tri thức có trước ông rất lâu
- Euclid đặt định lý vào trong một hệ thống hình học logic, và Elements vẫn là nền tảng cho hệ thống chứng minh nghiêm ngặt của toán học sau 23 thế kỷ
- Từ bộ sưu tập chứng minh của Loomis, chứng minh thời thơ ấu của Einstein và việc sử dụng trong thuyết tương đối, đến chứng minh định lý Fermat của Wiles, định lý này gắn với các nhà toán học qua nhiều thời đại
- Mỗi năm, khi học sinh, học giả và những người giải quyết bài toán cố gắng bổ sung các chứng minh mới và độc đáo, định lý Pythagoras vẫn là một chủ đề toán học chưa bao giờ khép lại
1 bình luận
Các ý kiến trên Hacker News
Pythagoras đặc biệt được biết đến như một người đã tập hợp trí tuệ của nhiều nền văn hóa
Theo truyền thuyết, ông đã gặp Thales, được thụ giáo làm tư tế Ai Cập tại Hermopolis, từng ở Babylon sau khi bị bắt làm tù binh, và được khai tâm vào mọi tôn giáo huyền bí có thể. Ở quê nhà Samos, nhiều khả năng ông đã tiếp xúc với việc xây dựng đền Hera, ngôi đền đá lớn nhất Hy Lạp cổ đại, và với thành tựu kỹ thuật đáng kinh ngạc là đường hầm Eupalinos
“Cuộc đời Pythagoras” của Iamblichus[1] đáng đọc vì đây là tác phẩm từng có thể tiếp cận những tư liệu cổ nay đã thất lạc. Vào thời đó, mối liên hệ giữa toán học và tâm linh rất mạnh
Có rất nhiều giai thoại thú vị có thể là thật nhưng sẽ không bao giờ kiểm chứng được. Trong “Cuộc đời các triết gia” của Diogenes Laertius có nói rằng khi Pythagoras phát hiện điều mà chúng ta gọi là định lý Pythagoras, ông đã hiến tế 100 con bò, tức một hecatomb[1]. Như Charles Dodgson, tức Lewis Carroll, từng nói, “điều đó hẳn đã tạo ra một lượng thịt khó xử lý”[3], đặc biệt nếu ông là người ăn chay. Trong khi đó, Iamblichus nói đó là một con bò, mà lại là con bò làm bằng bột mì
[1] Guthrie, K. S., & Fideler, D. R. (Eds.). (1987). The Pythagorean sourcebook and library: an anthology of ancient writings which relate to Pythagoras and Pythagorean philosophy. Red Wheel/Weiser.
[2] “he sacrificed a hecatomb, when he had discovered that the square of the hypotenuse of a right-angled triangle was equal to the squares of the sides containing the right angle.” DL, found in [1]
[3] Maor, E. (2019). The Pythagorean theorem: a 4,000-year history. Princeton University Press
Nhưng Hippasus, một thành viên của nhóm đó, đã chứng minh một cách thuyết phục rằng √2 không thể là số hữu tỉ. Người ta kể rằng Pythagoras đã cố bắt ông thề giữ im lặng, và khi không thành thì đã giết ông. Chỉ vì √2
[1] - https://sciencefocus.ust.hk/the-square-root-of-two-at-the-co...
Các văn bản cổ cũng nói Plato đã du hành tới Ai Cập và Ý, nhưng theo tôi biết, giới học giả hiện đại nhìn chung nghi ngờ liệu những chuyến đi đó có thật sự diễn ra hay không
Một trong những việc ông thích làm là đào đường hầm dưới nhà mình, và ông nói rằng khi làm việc trong đường hầm, “những chuyến viếng thăm của các elf” là bí quyết thành công. Người ta kể ông từng nói: “Khi đang đào đường hầm, các elf thường mang đến lời giải cho vấn đề”[0]
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/Seymour_Cray
Ví dụ có chủ nghĩa siêu nhân học, chủ nghĩa duy lý được ngoại suy đến mức phi lý theo kiểu Yudkowsky (Basilisk, v.v.), giả thuyết mô phỏng, và thuyết cứu rỗi bằng trí tuệ nhân tạo tổng quát
Tôi tự hỏi chúng ta có thể bảo tồn thông tin số trong hàng nghìn năm như thế nào
Bất kỳ nhóm nào đủ khả năng xây một tòa nhà có nền hình chữ nhật hẳn cũng đã phát hiện ra mối quan hệ giữa độ dài các cạnh và đường chéo. Người Ai Cập đã dùng bộ ba số Pythagoras để đo góc vuông từ rất lâu trước khi Pythagoras ra đời
Nhưng đó là quan sát, không phải định lý. Nó trở thành định lý khi ta chứng minh, tức giải thích vì sao quan hệ này luôn đúng dựa trên những điều hiển nhiên hơn. Các bảng đất sét Babylonian được nhắc trong bài dường như không làm việc đó, nhưng người Hy Lạp thì rõ ràng có làm. Ta không biết bản thân Pythagoras có làm hay không vì tác phẩm của ông không còn, nhưng các thế hệ Hy Lạp về sau biết cách chứng minh và quy công cho Pythagoras
1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1.414213
Dù vậy tôi đồng ý với đoạn thứ hai. Có khác biệt lớn giữa một quy trình được truyền lại kiểu “ước tính công trình xây dựng như thế này” và một định lý được tuyên bố như một chân lý phổ quát, nền tảng cho đủ loại định lý khác. Ngay cả khi hai điều đó nói đúng cùng một nội dung
Thực chất đó là lớp xem slideshow du lịch châu Âu của giáo sư và ảnh các di tích cổ. Sau đó ông cho xem hình vẽ đường nét của các công trình, thỉnh thoảng chọn vài điểm trông có vẻ tùy ý để tạo thành tam giác 3-4-5. Rồi ông hô lên: “Thấy chưa? Họ đã biết định lý Pythagoras trước cả Pythagoras!”
Bài duy nhất để chấm điểm là viết một luận văn “phát hiện” một ví dụ tương tự. Tôi chọn bừa ảnh một nhà thờ cổ, “tìm ra” một tam giác vuông trong phần móng của nó và được điểm A. Rõ ràng đó chỉ là quan sát, không phải định lý
Chỉ cần canh bằng mắt rồi cắt chỉnh các phần cần thiết cũng có thể đi khá xa
Vì thế tôi cứ nghĩ phải đến khi đại số, có lẽ cả lượng giác, được phát hiện thì mới chứng minh đúng nghĩa được
Đây là phần giải thích cho ai tò mò làm sao họ có được xấp xỉ √2 = 1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3
Ý chính rất đơn giản
Z = (a + b)^2 = (a^2 + (2a+b)b)
=> (2a+b) b < Z-a^2
Với ước lượng ban đầu “a”, chỉ cần tìm “b” lớn nhất sao cho vế trái nhỏ hơn vế phải. Khi đó ước lượng luôn hơi nhỏ hơn đáp án thật, và có thể lặp lại quá trình này để tiến gần dần
Ở lần lặp đầu, Z=2, a=1. Nếu đặt b=x/60 thì
(2+x/60)*x/60 < 2-1^2
120x + x^2 < 3600
x = 24 ... 3456 < 3600
x = 25 ... 3625 > 3600
Vì vậy hạng đầu là 24/60
Đặt a=1+24/60, b=x/60^2 rồi lặp lại thì
(2(1+24/60)+x/60^2)*x/60^2< 2-(1+24/60)^2
10080x+x^2 < 518_400
x = 51 ... 516_681 < 518_400
x = 52 ... 526_864 > 518_400
Cứ lặp nhiều lần là được
Viết bằng code thì dễ dàng thu được tới 1;24,51,10,7,46,6,4,44,50,28 = 1.4142135623730951
Toàn bộ quá trình này có thể được hình thức hóa thành thuật toán chia dài để khai căn, và nó cũng hoạt động khá gọn trong hệ thập phân
Điều người thời đó quan tâm không phải chính công thức. Công thức ấy đã được biết đến bằng kinh nghiệm trong nhiều thế kỷ
Điều gây chấn động là ông là người đầu tiên chứng minh rằng với “phần lớn” tam giác vuông, không tồn tại các số hữu tỉ P, Q sao cho với một cạnh A và cạnh huyền C thì PA = QC. Đó mới là phần làm rung chuyển nhận thức
Việc “Journal for Targeting, Measurement and Analysis for Marketing”, nay đã ngừng xuất bản, đặt một tiêu đề gây hiểu lầm kiểu clickbait cho một bài viết hoàn toàn lạc đề và có vẻ chất lượng rất thấp thì cũng hợp thôi
Có lẽ đây là tiền thân của những quái phẩm dựa trên tối ưu hóa tìm kiếm ngày nay, được Springer hậu thuẫn
Nhầm lẫn giữa tính toán và chứng minh là một sai lầm không thể chấp nhận trong một tạp chí học thuật nghiêm túc
Hầu như không có gì đáng nghi ngờ rằng việc chứng minh định lý là một công cụ nhận thức phát triển từ các quy luật quan sát được. Nhưng việc đặt câu hỏi “tại sao?”, và quan trọng hơn là trả lời bằng logic, là một bước phát triển hoàn toàn không hề tầm thường
Văn hóa chính thống xưa nay vẫn bị mê hoặc bởi Hy Lạp cổ đại
Văn hóa phương Tây đã lấy gốc từ tiếng Hy Lạp cổ đại để tạo nên vốn từ vựng khoa học
Họ cũng có một phả hệ triết học kéo dài từ Hy Lạp cổ đại đến thế kỷ 19
Mãi đến thế kỷ 19, nhờ khảo cổ học — cũng là một từ mới được tạo từ gốc Hy Lạp cổ đại, vì thế trong dòng chính nó ngầm gợi rằng người Hy Lạp cổ đại đã có khái niệm khảo cổ học, nhưng dĩ nhiên là không phải vậy — người ta mới nhìn thấy sự thật. Lịch sử sâu hơn hàng nghìn năm, và nguồn gốc của mọi thứ cũng lâu đời hơn hàng nghìn năm
Thủ đô của Hattuša mới được phát hiện chỉ 30 năm trước, và phải sang thế kỷ 20 người ta mới hiểu được nhiều tầng lớp của thành phố lịch sử Troy
Mãi gần đây chúng ta mới hiểu rằng “mọi thứ không bắt đầu từ Hy Lạp cổ đại”, nhưng dòng chính vẫn theo truyền thống của các trường ngữ pháp thời trung cổ và không nhìn xa hơn Hy Lạp cổ đại
Tôi hiểu rằng “đường nối” của sự phát triển khoa học hiện đại bắt đầu từ Hy Lạp là vì từ đó trở đi mới có lịch sử được ghi chép mà các học giả hiện đại có thể dễ dàng đọc được
Chúng ta luôn biết rằng mọi thứ không bắt đầu từ Hy Lạp cổ đại. Chính người Hy Lạp cũng nói như vậy. Nhưng vì không có nguồn tư liệu gốc phong phú trước thời Hy Lạp cổ đại, nên ngoài việc thắp nến cho họ và đọc những ý tưởng đã được lọc qua Plato cùng những người khác dưới ánh sáng đó, ta không có nhiều việc khác để làm
Tất nhiên họ cũng từng kết án tử hình một số nhà tư tưởng tự do vì không thờ phụng các vị thần, nhưng đó là chuyện khác
Người Ai Cập cổ đại và người Mesopotamia cũng có khái niệm khảo cổ học, vậy tại sao người Hy Lạp lại không có?
Bài viết nói người Babylon đã “phát hiện” định lý Pythagoras, nhưng điều nó thực sự cho thấy chỉ là khả năng họ tin rằng điều đó là đúng
Cho đến khi có bằng chứng tốt hơn, ít nhất là ở “phương Tây” — còn những thứ như toán học Trung Quốc thì tôi không rõ — có vẻ người Hy Lạp vẫn là bên đầu tiên tạo ra khái niệm chứng minh toán học hợp lệ theo diễn dịch, chứ không phải quy nạp
Đây là vấn đề của xuất bản đại trà
Người ta thường quy nhầm công lao cho người có thể truyền đạt hoặc xuất bản một phát hiện rộng rãi nhất, chứ không phải người đầu tiên phát hiện ra nó
Thời cổ đại, đây là một vấn đề đặc biệt khó
Tri thức thường được truyền miệng chứ không phải bằng văn bản
Ngay cả khi được viết lại, vật liệu dùng để ghi chép rất có thể đã mục nát từ lâu
Vì thế phần lớn tư tưởng cổ đại mà chúng ta biết dựa trên những tri thức đã quá nổi tiếng và được ghi chép nhiều đến mức còn lại nhiều bản sao, hoặc được ghi trên vật liệu cứng như đá, như chữ tượng hình Ai Cập. Nhưng điều đó không có nghĩa người cổ đại là những người đầu tiên biết đến chúng; nó chỉ có nghĩa là ghi chép bằng chữ viết của tri thức cụ thể đó đã chịu được thử thách của thời gian lâu nhất
Bảy năm trước trên HN từng có thảo luận về chứng minh song song được tìm thấy trong một cuốn sách Trung Quốc 2600 năm tuổi
https://news.ycombinator.com/item?id=13952265
Theo tôi biết, ở Trung Quốc điều này đã được biết đến ít nhất là trước Pythagoras
https://en.wikipedia.org/wiki/Zhoubi_Suanjing