- Ánh xạ đa thức được giới thiệu là do Claude Fable tạo ra có định thức Jacobian là hằng số
-2, đồng thời đưa ba điểm khác nhau về cùng một điểm, trở thành phản ví dụ cho giả thuyết Jacobian - Ánh xạ này được định nghĩa trên
ℂ³ → ℂ³, với cả ba thành phần đều là đa thức theox,y,z - Ba điểm khác nhau
(0, 0, -1/4),(1, -3/2, 13/2),(-1, 3/2, 13/2)đều được ánh xạ tới(-1/4, 0, 0), nên đây không phải là hàm đơn ánh - Có thể kiểm chứng định thức Jacobian và giá trị hàm tại hai điểm đầu vào qua các phép tính Wolfram|Alpha được liên kết tương ứng
- Dù có định thức Jacobian là hằng số khác 0, tính đơn ánh vẫn không đúng; vì vậy biểu thức được đưa ra bác bỏ giả thuyết Jacobian trên
ℂ³
Ánh xạ đa thức và định thức Jacobian
- Ánh xạ
ℂ³ → ℂ³gồm ba thành phần đa thức sau- Thành phần thứ nhất:
(1+xy)^3z + y^2(1+xy)(4+3xy) - Thành phần thứ hai:
y + 3x(1+xy)^2z + 3xy^2(4+3xy) - Thành phần thứ ba:
2x - 3x^2y - x^3z
- Thành phần thứ nhất:
- Định thức Jacobian của ánh xạ này là
-2 - Có thể kiểm tra giá trị định thức trong phép tính Wolfram|Alpha
Ba điểm đầu vào phá vỡ tính đơn ánh
- Ba điểm sau khác nhau nhưng đều được ánh xạ tới
(-1/4, 0, 0)(0, 0, -1/4)(1, -3/2, 13/2)(-1, 3/2, 13/2)
- Giá trị hàm tại điểm đầu vào thứ nhất và thứ hai cũng có thể được kiểm chứng bằng phép tính Wolfram|Alpha được liên kết
- Do đó, ánh xạ đa thức này không phải là hàm đơn ánh, và cùng với điều kiện có định thức Jacobian là hằng số khác 0, nó trở thành phản ví dụ cho giả thuyết Jacobian
1 bình luận
Các ý kiến trên Hacker News
Hơn 10 năm trước, tôi từng gặp một postdoc tin rằng mình đã tìm được thứ gì đó gần như là phản ví dụ cho giả thuyết Jacobian. Anh ấy và đồng nghiệp đang vét cạn các đa thức có khoảng 16 biến, mỗi đa thức có 80–700 hạng tử, dùng cây nhị phân để ánh xạ hệ số
Khi đó người ta dự đoán cận dưới của (\max(\deg(P),\deg(Q))) cho phản ví dụ ((P,Q)) sẽ lên tới 200, nên việc Claude Fable tìm được phản ví dụ bậc 7 thật khó tin, và khiến tôi cảm thấy đây thực sự là một kỷ nguyên mới
Nhà toán học đáng kinh ngạc Yitang Zhang đã dành 7 năm để chứng minh giả thuyết này. Người hướng dẫn Moh của Zhang viết rằng Zhang đã “thất bại thảm hại” trong việc chứng minh giả thuyết Jacobian, rằng sau khi rời Purdue ông “không công bố một bài báo hình học đại số nào”, và rằng ông “đã lãng phí 7 năm đời mình và thời gian của tôi”
https://newyorker.com/magazine/2015/02/02/pursuit-beauty
https://x.com/aminkarbasi/status/2079129649830137989
https://en.wikipedia.org/wiki/Yitang_Zhang
Chỉ riêng việc một tài liệu như thế này thực sự tồn tại đã đáng kinh ngạc
Đây là một trường hợp hiếm hoi: đưa thông tin mang tính đột phá vào LLM, nhưng chính LLM lại rơi vào trạng thái rối loạn tinh thần. Khi đưa vào Claude Code, nó cố đạt mức chắc chắn 100% bằng cách kiểm chứng theo bảy cách rồi tỏ ra choáng váng, khá ấn tượng
Vì vậy họ cứ nghi ngờ mình đã bỏ sót điều gì đó, lặp đi lặp lại việc kiểm chứng theo nhiều cách cho đến gần như suy sụp, rồi cuối cùng mới thận trọng nêu công khai khả năng có một đột phá mới
Ưu điểm của kiểu dọn dẹp toán học này là từ nay không ai còn phải lãng phí thời gian cố chứng minh nó đúng nữa. Hy vọng lần tới LLM sẽ giải được giả thuyết Collatz, tiết kiệm lượng nhân-năm khổng lồ mà các nạn nhân không hay biết đã đổ vào
Khi thử sức với các bài toán khó, ngay cả nếu thất bại, bạn vẫn hiểu sâu hơn nhiều kết quả và công cụ rồi có thể áp dụng chúng vào các bài toán khác, nên hoàn toàn không phải lãng phí thời gian. Những trường hợp cực đoan dành nhiều năm chỉ cho một bài toán là ngoại lệ
Rõ ràng có vấn đề với việc dùng LLM để tạo hàng loạt mã hoặc chứng minh có chất lượng đáng ngờ, nên tôi hiểu các tranh luận không ngừng quanh chuyện đó. Nhưng trong tìm kiếm phản ví dụ, vét cạn vốn đã phổ biến, nên dùng LLM như một dạng vét cạn tiến bộ hơn có vẻ là hướng tiếp cận rất phù hợp; tôi khó hiểu vì sao lại thù địch đến vậy
Trong vài năm tới, lòng trắc ẩn sẽ cực kỳ quan trọng, và chúng ta sẽ đau đớn cả bên trong lẫn bên ngoài
Tôi đã vibe coding toán học bằng AI suốt vài tháng qua và thấy việc đó khả thi một cách đáng kinh ngạc. Phần khó là tự mình kiểm chứng kết quả và xác nhận tính đúng đắn; chỉ với một phát hiện nhỏ, tôi đã bác bỏ một giả thuyết và viết bài báo đầu tiên
Những phát hiện tiếp theo có nội dung khá đáng kể trong tô pô lượng tử và vật lý, nên tôi đang rà soát rất nghiêm ngặt để chuẩn bị công bố. Thời gian kiểm chứng còn dài hơn thời gian phát hiện
Nếu bạn quan tâm đến lý thuyết số, bài báo đầu tiên ở đây: https://arxiv.org/abs/2607.09793
Khả năng thiết lập vấn đề và đề xuất các cách tiếp cận mà tôi chưa nghĩ tới thì đáng kinh ngạc, nhưng khả năng diễn giải kết quả kém hơn nhiều
Người đăng làm việc tại Anthropic nên rất có khả năng có quyền truy cập nội bộ vào thế hệ Fable tiếp theo. Các mô hình nội bộ cực kỳ mạnh về toán học, và có vẻ sẽ lập kỷ lục mới về năng lực toán học trong các benchmark sắp ra mắt
Đây có thể cũng là lý do họ ngại công bố prompt thực tế và bản ghi suy luận. Cho đến khi mô hình được phát hành chính thức, rất có thể nó chịu sự ràng buộc của thỏa thuận bảo mật
Có vẻ kết luận đã nhảy quá xa. Vì Sol cũng có thể độc lập tìm ra cùng phản ví dụ, nên không có lý do gì để kết luận rằng tồn tại Fable 6 áp đảo benchmark
[1]: https://x.com/aaron_lou/status/2079218392452530249
Điều đáng ngạc nhiên là mọi người không hỏi: Fable đã tìm ra phản ví dụ này như thế nào? Tôi tò mò liệu nó đã phỏng đoán nhiều họ đa thức rồi tìm nghiệm khả dĩ trong từng họ, thực hiện một phép tìm kiếm thông minh, hay dùng cách nào khác
Nguồn ở đây: https://x.com/b_shrir/status/2079094004885668003?s=20
Nói ngắn gọn, trong tài liệu hiện có có một phản ví dụ sai, gần như đúng ở mọi nơi ngoại trừ một cực điểm. Có vẻ Fable đã lấy đa thức này làm nền tảng và mở rộng nó để loại bỏ cực điểm trong khi vẫn bảo toàn cấu trúc
Vấn đề còn lại vẫn là liệu ý tưởng của chứng minh có thật sự chứng minh mệnh đề mong muốn hay không, và nên diễn giải kết quả thu được như thế nào. Ngoài ra, mọi thứ bên trong mã đã được kernel kiểm tra đều nhất quán về mặt logic
Việc phản ví dụ nhỏ đến vậy cho thấy rõ đây là một lĩnh vực sẽ còn phát hiện nhiều kết quả thú vị trong tương lai. Không phải vì bài toán cực kỳ khó, mà vì rất khó mở rộng trí tuệ, và trước khi máy tính có thể làm thay, ít người nghiêm túc đào sâu vào những vấn đề như thế này
Tôi rất mong chờ tác động mà hiệu ứng này sẽ mang lại trong khoa học, y học và các lĩnh vực khác
Vì không rành toán, có lẽ cách hiểu ở mức 5 tuổi của tôi có thể hữu ích hoặc được chỉnh lại. Phỏng đoán này nói rằng một quá trình nào đó luôn có thể được đảo ngược để tìm ra đầu vào ban đầu, còn chứng minh lần này cho thấy nhiều đầu vào tạo ra cùng một đầu ra
Vì vậy không thể suy ngược đầu vào từ đầu ra, nên phỏng đoán là sai
Đến đây có lẽ là cách giải thích ở mức 7 tuổi rồi
Ở đây “cụ thể” có nghĩa là có thể biểu diễn bằng một chuỗi hữu hạn