Kỷ lục mới về xếp cầu xuất hiện từ một nơi không ngờ tới
(quantamagazine.org)- Trong bài toán xếp cầu ở không gian nhiều chiều, Boaz Klartag đã công bố trực tuyến vào tháng 4 một bản thảo ngắn chứa mức cải thiện hiệu suất lớn nhất kể từ Claude Ambrose Rogers năm 1947
- Phương pháp mới bắt đầu từ một mạng tinh thể bất kỳ, tạo ra một ellipsoid lớn hơn rồi dùng quy trình của Rogers để xây dựng cách xếp cầu dày đặc, qua đó hồi sinh hướng tiếp cận hình học từng bị gạt sang bên lề trong thời gian dài
- Cấu trúc của Klartag cho phép xếp nhiều quả cầu hơn khoảng d lần so với nhiều kết quả trước đây trong số chiều d; tức là khoảng 100 lần ở 100 chiều và khoảng 1 triệu lần ở 1 triệu chiều
- Trái với các tranh luận về khả năng xếp không có trật tự gia tăng sau kỷ lục phi mạng tinh thể năm 2023, kết quả lần này cho thấy trật tự và đối xứng vẫn có thể rất triển vọng trong bài toán xếp tối ưu ở không gian nhiều chiều
- Bài toán xếp cầu rất quan trọng trong các ứng dụng mật mã học và truyền thông, nhưng kết quả lần này chưa thể áp dụng ngay mà có thể trở thành dịp để nối lại hình học lồi và lý thuyết mạng tinh thể
Bước tiến lớn trong bài toán xếp cầu nhiều chiều
- Bài toán xếp cầu là bài toán tìm cách lấp đầy không gian nhiều chiều bằng các quả cầu sao cho hiệu quả nhất có thể
- Bài toán này đã thu hút các nhà toán học suốt nhiều thế kỷ, đồng thời có những ứng dụng tiềm năng quan trọng trong mật mã học và truyền thông đường dài
- Đầu thế kỷ 17, Johannes Kepler chỉ ra rằng nếu xếp các quả cầu 3 chiều như những quả cam trong cửa hàng tạp hóa thì có thể lấp đầy khoảng 74% không gian, và ông phỏng đoán đó là cách tối ưu
- Mãi gần 400 năm sau phỏng đoán này mới được chứng minh
- Ở các số chiều cao hơn, ngoại trừ 8 chiều và 24 chiều, lời giải tối ưu vẫn chưa được biết đến
- Các nhà toán học từ lâu đã tìm kiếm những cách xếp tốt hơn, nhưng các cải thiện thường nhỏ và hiếm
- Trong bản thảo ngắn công bố vào tháng 4, Boaz Klartag đã vượt xa kỷ lục trước đó, và một số nhà nghiên cứu cho rằng kết quả này có thể đã gần với tối ưu
Ý tưởng cũ dẫn từ mạng tinh thể đến ellipsoid
- Năm 1905, Hermann Minkowski đặt nền móng cho cách nhìn bài toán xếp cầu thông qua mạng tinh thể (lattice)
- Cách làm là tạo ra một bố trí điểm lặp lại trong không gian, rồi vẽ một quả cầu quanh mỗi điểm
- Trong một số chiều nhất định, bài toán tìm cách xếp cầu tối ưu được chuyển thành bài toán tìm mạng tinh thể đặt các điểm hiệu quả nhất
- Trong 2 chiều, mạng lục giác là tối ưu
- Năm 1947, Claude Ambrose Rogers đưa ra một góc nhìn khác
- Ông có thể bắt đầu từ bất kỳ mạng tinh thể nào, kể cả không tối ưu
- Thay vì vẽ quả cầu quanh mỗi điểm, ông vẽ một ellipsoid quanh một điểm sao cho bề mặt của nó chạm vào các điểm khác của mạng tinh thể nhưng không vượt qua chúng
- Từ ellipsoid này, ông đưa ra một thuật toán để tạo ra cách xếp cầu dày đặc
- Ưu điểm của cách làm của Rogers là mạng tinh thể khởi đầu không cần phải đặc biệt hiệu quả
- Chỉ cần chọn đúng ellipsoid là có thể tạo ra một cách xếp cầu hiệu quả
- Nhưng ellipsoid khó xử lý hơn quả cầu
- Quả cầu được xác định bằng một bán kính, còn ellipsoid được xác định bởi nhiều trục có độ dài khác nhau
- Khi số chiều tăng lên, số hướng có thể kéo giãn và số hình dạng khả dĩ cũng tăng vọt
- Cuối cùng các nhà toán học quay lại hướng tiếp cận mạng tinh thể kiểu Minkowski, tập trung nhiều hơn vào lý thuyết mạng tinh thể và rời xa hướng tiếp cận hình học của Rogers
- Chiến lược này cũng cải thiện được bài toán xếp cầu nhiều chiều, nhưng phần lớn chỉ đem lại mức cải thiện nhỏ hơn so với cách xếp của Rogers
Nhà nghiên cứu hình học lồi hồi sinh cách tiếp cận của Rogers
- Klartag là nhà toán học tại Weizmann Institute of Science, chủ yếu nghiên cứu hình học lồi (convex geometry)
- Hình lồi là hình không bị lõm vào bên trong
- Trong không gian nhiều chiều, chúng có nhiều dạng đối xứng khác nhau, và Klartag xem chúng là những công cụ toán học rất mạnh
- Ông vốn quan tâm đến mạng tinh thể và xếp cầu, nhưng chưa có thời gian để học sâu lĩnh vực đó
- Sau khi hoàn thành một dự án lớn vào tháng 11 năm ngoái và có thời gian rảnh vì vấn đề thị thực, ông đã nhờ Barak Weiss ở Tel Aviv University cố vấn để học một lĩnh vực mới
- Weiss bắt đầu một seminar nhỏ, nơi Klartag cùng một vài người khác đọc tài liệu
- Klartag đã đọc kỹ các phương pháp xếp cầu của Minkowski và Rogers
- Sau khi đọc cách Rogers biến ellipsoid thành cách xếp cầu, Klartag tự hỏi vì sao các nhà toán học lại từ bỏ phương pháp đó
- Ellipsoid là vật thể lồi, nên với Klartag, có nhiều kỹ thuật tinh vi để thao tác với chúng
- Ông đánh giá ellipsoid khởi đầu mà Rogers dùng là trực quan nhưng kém hiệu quả
- Nếu có thể tạo ra một ellipsoid có thể tích lớn hơn, ông sẽ có thể lập kỷ lục xếp mới bằng chính quy trình gốc của Rogers
Tạo ellipsoid lớn hơn bằng tăng trưởng ngẫu nhiên
- Klartag bắt đầu từ một phương pháp quen thuộc với mình: cho biên của ellipsoid lớn lên rồi co lại theo một quá trình ngẫu nhiên dọc theo từng trục
- Khi biên được mở rộng đủ để chạm tới một điểm mới của mạng tinh thể, sự tăng trưởng theo hướng đó sẽ dừng lại
- Nhờ vậy điểm đó không đi vào bên trong ellipsoid
- Ở những hướng khác, ellipsoid tiếp tục phồng ra cho tới khi chạm vào một điểm khác
- Trong quá trình này, ellipsoid dừng rồi chuyển động giật cục, dần dần thăm dò không gian xung quanh
- Theo thời gian, trung bình thể tích của ellipsoid tăng lên
- Câu hỏi cốt lõi của Klartag là liệu mức tăng thể tích này có đủ để vượt qua ellipsoid trực quan của Rogers hay không
- Vì quá trình ngẫu nhiên tạo ra các ellipsoid khác nhau mỗi lần chạy, Klartag phải đánh giá khoảng thể tích có thể có của chúng
- Ban đầu ông không tìm được một ellipsoid đơn lẻ nào đủ lớn để vượt ellipsoid của Rogers
- Sau khi điều chỉnh chi tiết của quá trình tăng trưởng ngẫu nhiên, chỉ trong 1 đến 2 tuần ông đã chứng minh được rằng đôi khi quá trình này tạo ra một ellipsoid đủ lớn để lập kỷ lục mới
Ý nghĩa toán học của mức cải thiện khoảng d lần
- Chứng minh của Klartag đã được kiểm tra, và khi chuyển ellipsoid khởi đầu mới này thành cách xếp cầu, nó tạo ra mức cải thiện hiệu suất lớn nhất kể từ bài báo năm 1947 của Rogers
- Trong số chiều d cho trước, phương pháp của Klartag có thể xếp nhiều quả cầu hơn khoảng d lần so với nhiều kết quả trước đây
- Trong không gian 100 chiều, nó xếp được khoảng 100 lần nhiều quả cầu hơn
- Trong không gian 1 triệu chiều, nó xếp được khoảng 1 triệu lần nhiều quả cầu hơn
- Klartag chỉ học lĩnh vực xếp cầu trong vài tháng, viết chứng minh trong vài tuần, rồi tạo ra một bước tiến lớn cho một trong các bài toán trung tâm
- Kinh nghiệm về hình học lồi của ông đã trực tiếp giúp đưa các kỹ thuật vốn thường được xem là thuộc những lĩnh vực riêng biệt vào bài toán xếp cầu
- Gil Kalai gọi kết quả này là “một đột phá thực sự đáng kinh ngạc”, và xem đó là thành quả gắn với một bài toán đã khiến các nhà toán học hứng thú suốt gần 100 năm
Tranh luận về trật tự và hỗn loạn
- Kết quả của Klartag làm sống lại cuộc tranh luận về bản chất của cách xếp tối ưu trong không gian nhiều chiều
- Trong một thời gian dài, các nhà toán học cho rằng cách xếp dựa trên mạng tinh thể với mức đối xứng cao là phương pháp tốt nhất để sắp các quả cầu dày đặc nhất
- Năm 2023, người ta tìm ra một cách xếp không phụ thuộc gọn ghẽ vào mạng tinh thể lặp lại, và đó trở thành kỷ lục trước Klartag
- Một số nhà toán học xem đây là bằng chứng cho thấy cần nhiều yếu tố hỗn loạn hơn trong việc tìm kiếm cách xếp cầu tối ưu
- Công trình của Klartag lại củng cố ý tưởng rằng trật tự và đối xứng vẫn có thể là hướng đầy triển vọng
- Mức độ dày đặc tối đa mà xếp cầu có thể đạt tới vẫn còn gây tranh cãi
- Một số nhà toán học cho rằng cách xếp của Klartag đã rất gần tối ưu
- Những người khác cho rằng vẫn còn chỗ để cải thiện
- Marcus Michelen của University of Illinois, Chicago nói rằng hiện ông chưa biết nên tin điều gì và mọi khả năng vẫn còn bỏ ngỏ
Kết nối liên ngành quan trọng hơn ứng dụng trước mắt
- Lời giải cho bài toán xếp cầu rất quan trọng vì tiềm năng ứng dụng trong mật mã học và truyền thông
- Nhà nghiên cứu lý thuyết thông tin Or Ordentlich của Hebrew University cho biết bài toán này rất lớn đối với giới kỹ sư nhưng lâu nay ít có tiến triển, nên kết quả lần này tạo ra nhiều hứng khởi
- Tuy vậy, kết quả của Klartag chưa mang lại giá trị tức thời cho các ứng dụng đó
- Klartag hy vọng công trình của mình sẽ trở thành dịp để quay lại cách làm của thời Rogers, khi hình học lồi và lý thuyết mạng tinh thể gắn kết với nhau hơn
- Ông cho rằng hiểu biết hiện nay về vật thể lồi có thể hữu ích không chỉ cho xếp cầu mà còn cho các bài toán mạng tinh thể nói chung
- Mục tiêu của Klartag là khiến hai lĩnh vực này bớt tách biệt hơn hiện nay
1 bình luận
Các ý kiến trên Hacker News
Việc giải thích với bố mẹ rằng công việc của tôi là một nghề thật sự đã khó rồi; tưởng tượng phải giải thích rằng “tôi chỉ nghiên cứu các hình không có phần nào lồi ra rồi lõm vào bên trong” còn khó hơn nữa
Thật ra chỉ có ba lựa chọn. Nếu giải thích ngắn gọn bằng lời lẽ người kia hiểu được, công việc sẽ trông có vẻ dễ và họ sẽ nghĩ “làm thế này mà cũng được trả tiền sao?”
Nếu giải thích bằng lời lẽ người kia hiểu được rằng mình làm gì và vì sao việc đó quan trọng, câu chuyện sẽ quá dài, trở nên nhàm chán, và họ sẽ hối hận vì đã hỏi
Hoặc có thể giải thích ngắn gọn bằng thuật ngữ chuyên môn mà người kia không biết, khiến họ vừa chán vừa thán phục; trong các lựa chọn tệ thì đây là lựa chọn tốt nhất
Tôi vẫn chưa tìm ra cách giải thích cho người bình thường hiểu được dù chỉ đôi chút về việc kinh doanh của mình là gì. Tất cả đều quá khó hiểu và cách đời sống hằng ngày nhiều tầng
Không hẳn là phức tạp, mà là có quá nhiều chi tiết mà người bình thường chưa từng quen thuộc, và hầu như không có phép ví von đời thường nào
Còn phía các hình lồi thì tôi không rõ
Cách nói có vẻ quá chi tiết có thể trở nên độc hại, khiến người ta bị đẩy ra xa
Có thể giải thích từ góc nhìn kiểu như: “Tôi muốn làm XYZ nhưng khó quá nên bực mình, vì vậy tôi thử đưa ra một phỏng đoán đơn giản. Nghĩ về vấn đề này một cách thô như vậy là vì nó dễ xử lý hơn, và vì biết ABC nên tôi tạo ra ABC. Rồi khi dùng nó, tôi thấy phấn khích vì nó tiến gần hơn đến chỗ hoạt động tốt hơn những gì từng thử trước đây”
Với người không chuyên kỹ thuật, một lời giải thích có cảm xúc cũng đủ hiệu quả. Họ có thể quen suy nghĩ theo cảm xúc hơn, còn chúng ta thì chìm sâu trong logic của công việc và đôi khi cả toán học. Vì vậy cần đưa cảm xúc trở lại vào phần giải thích
Tôi đã giải thích như vậy với gia đình, họ theo kịp và thực sự hiểu
Trong bài có nói rằng “trong không gian 100 chiều, phương pháp của ông ấy lấp được nhiều hình cầu hơn khoảng 100 lần, còn trong không gian một triệu chiều thì nhiều hơn khoảng 1 triệu lần”, đây là một ví dụ hay cho thấy không gian nhiều chiều kỳ lạ đến mức nào
Có vẻ ý là khi những người thông minh cố nhét nhiều “quả cam” 100 chiều nhất có thể vào một chiếc hộp 100 chiều, cho đến nay họ vẫn chưa lấp nổi 1% không gian, và dù tìm kiếm suốt hàng chục năm cũng không tìm được chỗ để nhét thêm một quả nữa
Nếu xét một n-cầu đơn vị được bao bởi một siêu lập phương đơn vị, khi n tăng lên thì tỷ lệ thể tích mà hình cầu chiếm sẽ biến mất. Nói thêm thì kỳ lạ là quan hệ này không đơn điệu và đạt cực đại ở n=6
Ở n=100, thể tích của 100-cầu đơn vị xấp xỉ 10^-40, và hiển nhiên là không thể đặt một hình cầu thứ hai vào trong siêu lập phương này. Vì vậy cũng không có gì quá ngạc nhiên khi lợi ích thu được từ cải thiện cách lấp đầy có thể lớn đến vậy
Có nhiều người nói rằng họ có thể hình dung 4 chiều, nhưng tôi vẫn chưa thấy ai thực sự làm được. Trong đó có cả nhiều nhà toán học, nhưng những người đưa ra tuyên bố như vậy thường lại không phải là nhà toán học
Tôi thích animation[0] trong bài Math Overflow này, vì nó có rất nhiều độ phức tạp ẩn mà đa số không nghĩ tới. Animation đó thực ra là một ảo giác thị giác và chúng ta đang “ảo tưởng”. Hình phía trên chiếu một khối lập phương lên mặt phẳng ư? Thực ra đó không phải là khối lập phương. Nó vốn đã là một phép chiếu 2 chiều của khối lập phương rồi. Về mặt kỹ thuật thì là 3 chiều, nhưng chiều thứ ba không phải chiều không gian mà là chiều thời gian. Bản thân điều này đã là một bài học hay để học về sự trừu tượng hóa của chiều
Vì vậy chúng ta ảo tưởng ra một khối lập phương đang quay, rồi sau khi thấy phép chiếu trên mặt phẳng, ta lại ảo tưởng rằng nó có chiều sâu chứ không phải một hình vuông không bị méo. Chỉ riêng điều này cũng đã khá kỳ dị
Thực ra chúng ta cũng khó tưởng tượng 2 chiều. Phần lớn mọi người khẳng định mình có thể hình dung 2 chiều, và tuyên bố đó thường không bị phản bác
Nếu chưa đọc Flatland[1], tôi muốn khuyên mọi người nên đọc. Nhiều người đọc sai nó. Thường họ đọc như một phép so sánh hạ xuống một chiều, hiểu rằng chúng ta, các sinh vật 3 chiều, tương ứng với sinh vật 2 chiều, và sinh vật 4 chiều sẽ khiến chúng ta bối rối giống như sinh vật 3 chiều khiến người Flatland bối rối. Điều đó đúng, nhưng trong đó có một cái bẫy. Chúng ta nghĩ việc hiểu 2 chiều là rất dễ. Nhưng tôi dám chắc thứ bạn đang vẽ trong đầu lúc này là sai. Thành thật mà nói, bản thân cuốn sách cũng không hoàn toàn chính xác
Phải thực sự đặt mình vào vị trí của một Flatlander. Không phải trong cuốn sách, mà là vị trí của một Flatlander thực sự. Hãy tưởng tượng mình là một Flatlander hình vuông và nhìn thấy một tam giác, bạn sẽ thấy gì? Có lẽ bạn sẽ nghĩ đến một đường thẳng, nhưng như vậy là sai. Bạn đã gán độ dày cho nó, tức là đã đưa chiều thứ ba vào. Hãy thử lại, tự thách thức mình bằng cách thêm chiều sâu hơn nữa và cố tưởng tượng Flatland thật sự, rồi bạn sẽ nhận ra mình không làm được
Thay vào đó, chúng ta có thể hình dung và suy luận về một không gian 2 chiều được nhúng trong 3 chiều. Có thể nói đây là bắt bẻ, nhưng nếu không phải vậy thì cũng phải hoàn toàn ổn khi gọi cái này[2,3] là siêu lập phương 4 chiều, chứ không phải biểu diễn của siêu lập phương 4 chiều
Tôi cho rằng hiểu được điều này sẽ giúp ích rất nhiều cho việc hiểu các chiều rất cao. Khi đối diện với độ khó khổng lồ của việc hình dung chính xác chuyện tăng hoặc giảm một chiều, ta sẽ ít có khả năng tự lừa mình hơn khi suy luận về các chiều cao hơn nhiều
Như Feynman đã nói, nguyên tắc đầu tiên là không tự lừa mình, và người dễ bị lừa nhất chính là bản thân mình
[0] https://math.stackexchange.com/a/2286226
[1] http://www.geom.uiuc.edu/~banchoff/Flatland/
[2] [https://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract#/media/File:8-cell-s...](https://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract#/media/File:8-cell-simple.gif)
[3] Đây là một video hay trong đó Carl Sagan giải thích bằng cách cầm một phép chiếu 3 chiều, tức cái bóng, của siêu lập phương. Dù có trình bày gì thì nó cũng buộc phải được nhúng trong 2 chiều. Ông ấy nhấc nó lên từ 6:20 https://www.youtube.com/watch?v=UnURElCzGc0
Thú vị. Tôi từng thử dùng cách tiếp cận lấp đầy hình cầu trong một tháng để tạo ra thuật toán nén tốt hơn
Tôi có rất nhiều vector và chúng được gom bằng clustering, nhưng kết luận là cách tiếp cận lý thuyết chỉ hoạt động tốt với dữ liệu đồng đều, còn không hợp lắm với dữ liệu thế giới thực
Ví dụ, giả sử dữ liệu có cấu trúc chiều cao nhưng cục bộ thì đồng đều. Điều này phổ biến, và phát sinh do quá trình tạo nhiễu. Nếu tính và lưu các điểm tâm, chúng sẽ đồng đều hơn dữ liệu gốc và số lượng cũng không nhiều, nên dù sao cũng không phải vấn đề lớn
Mỗi vector được lưu dưới dạng chỉ số điểm tâm và offset vector. Lúc này là SoA chứ không phải AoS. Chỉ số có thể được nén bằng phương pháp số nguyên dựa trên entropy mà bạn thích, và nếu không cần giữ thứ tự thì còn có thể làm tốt hơn
Theo giả định, offset giờ đã gần như đồng đều, nên có thể dùng chiến lược hình cầu ưa thích trong tài liệu
Tất nhiên cũng có thể không, nếu các use case thực tế quá không đồng nhất đến mức kỹ thuật tổng quát không hiệu quả
Các nhà toán học cảm thấy rằng vài năm sau khi lấy bằng tiến sĩ đầu tiên, họ nên có thể lấy một học vị cấp tiến sĩ thứ hai trong một lĩnh vực lân cận, dù không hẳn cùng chuyên ngành của mình
Nhiều nhà nghiên cứu tái đào tạo hoặc bổ sung mối quan tâm nghiên cứu sang lĩnh vực lân cận trong giai đoạn hậu tiến sĩ hoặc sau đó. Từ thời điểm ấy trở đi thì đơn giản là nghiên cứu
Tuy nhiên, trong môi trường học thuật hiện đại, thử làm như vậy sẽ không dễ
Đặc biệt, việc kết nối các lĩnh vực khác nhau của toán học có thể rất mạnh mẽ
Ít nhất ở Đức, nó khá giống với những gì đã mô tả
Với một số chiều d cho trước, Klartag nói có thể xếp được nhiều quả cầu hơn phần lớn các kết quả trước đó gấp d lần
Tức là ở 100 chiều thì xếp được nhiều hơn khoảng 100 lần, ở một triệu chiều thì nhiều hơn khoảng một triệu lần; con số nghe rất lớn. Có phải điều đó nghĩa là trong nhiều hệ thống truyền thông, băng thông tăng thêm vài bậc độ lớn hoặc mức tiêu thụ điện giảm đi không?
Vì thế nó chỉ hữu ích với các đối tượng vốn tự nhiên có số chiều cao. Các đối tượng số không có số chiều tự nhiên, tức độ dài byte, nên có thể chọn số chiều nhỏ
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing
Xét theo nền tảng đào tạo, Klartag không phải chuyên gia về xếp cầu, nhưng ông là một trong những người giải bài toán hàng đầu hiện nay
Đầu năm nay ông đã giải quyết Hyperplane Conjecture, và đã góp phần thúc đẩy tiến triển trong các bài toán liên quan đến lý thuyết lồi như KLS Conjecture, Mahler Conjecture và định lý giới hạn trung tâm cho các thể lồi
Công trình của học trò ông, Eldan, về định vị ngẫu nhiên (Stochastic Localization) cũng đã được chứng minh là then chốt trong các thuật toán lấy mẫu log-lõm; điều này liên quan đến KLS Conjecture và cũng đã được trình bày tại ICM
Ngoài ra, các công cụ dùng trong hình học lồi, đặc biệt là một số công cụ giải tích điều hòa, cũng khá hữu ích trong nghiên cứu xếp cầu
Vì vậy khó có thể gọi là “bất ngờ”
Tôi đồng ý với quan điểm của Klartag rằng hình lồi là một công cụ toán học bị đánh giá thấp. Dù không phải nhà toán học, tôi đã thấy thuật toán bao lồi giải quyết vấn đề ở những nơi hoàn toàn không ngờ tới
Chẳng hạn, hẳn nhiều người sẽ không nghĩ đến việc dùng thuật toán bao lồi trong một bài báo về phân rã bảng màu tự động của ảnh
https://www.rose-hulman.edu/class/cs/csse451/Papers/DILvGRB....
Câu hỏi của người mới: cách xếp cầu tối ưu có tương quan với lưới chính quy không? Chẳng phải đúng trong 2 chiều và 3 chiều sao? Nếu vậy liệu có mở rộng lên n chiều không?
Điều này được Maryna Viazovska chứng minh vào năm 2017, và bài báo thứ hai có sự tham gia của các đồng tác giả. https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.7 https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.8
Tài liệu này cũng đáng tham khảo: https://www.ams.org/journals/notices/201702/rnoti-p102.pdf
Ở các số chiều khác thì đây là bài toán mở, và nhìn chung có vẻ khó có khả năng đúng. Ở một số chiều, cách xếp không chính quy dày đặc nhất đã biết dày đặc hơn cách xếp chính quy dày đặc nhất đã biết
Tuy nhiên tất cả đều có cùng mật độ với lưới FCC. Có thể tạo ra các cách xếp như vậy bằng cách trượt các lớp ngang của FCC theo phương ngang so với nhau
Ở số chiều cao, có giả thuyết rằng cách xếp dày đặc nhất luôn là không phải lưới, vì những không gian như vậy không có đủ tính đối xứng
Trước đó hôm nay có bài nói rằng người Neanderthal đã thắng mỡ
Có câu chuyện rằng các nhà nhân học không biết việc đun sôi là khả thi ngay cả trước khi phát minh ra đồ gốm, và cũng có ý kiến rằng các giáo viên khoa học thì biết khả năng đó vì họ vẫn làm trong lớp học
Cuối cùng, mạch thảo luận là chuyện cùng một thứ được tái phát hiện ở các lĩnh vực khác nhau, như một người nghiên cứu glucose đã tái phát hiện công thức hình thang trong tích phân
Đây cũng là một ví dụ khác cho thấy chuyên môn ở lĩnh vực khác có thể hữu ích
Chỉ cần xem một video YouTube cho thấy phương pháp dùng trong tình huống sinh tồn là được. Chắc có nhiều thứ tương tự: https://www.youtube.com/shorts/0zun_UxO2vU
Đúng là tôi không biết bối cảnh, nhưng nếu một tuyên bố gây ngạc nhiên như vậy mà không có nguồn thì thật vô lý. Nó thậm chí không vượt qua được “bài kiểm tra gây cười”