Chiến lược Kelly không thể thất bại

Giới thiệu

• Chiến lược phân bổ cược Kelly là một hệ thống tận dụng thông tin tối đa trong bối cảnh cờ bạc, và được biết đến là một chiến lược rất quyết liệt với độ biến động cao.
• Trong cuốn Mathematical Puzzles của Peter Winkler, ông giới thiệu một trò chơi bài tên là "Next Card Bet", qua đó mô tả một tình huống mà chiến lược Kelly không có rủi ro và không có biến động.

Trò chơi

• Trò chơi diễn ra với một bộ bài 52 lá (26 lá đỏ và 26 lá đen), và người chơi bắt đầu với số vốn $1.
• Mỗi lá bài chỉ được lật ra đúng một lần, và người chơi có thể cược một phần vốn hiện tại của mình vào việc lá tiếp theo là đỏ hay đen.
• Có thể đếm bài để suy ra màu của các lá còn lại và xây dựng chiến lược đặt cược.

Chiến lược Kelly

• Chiến lược Kelly là việc chọn mức cược tối đa hóa kỳ vọng logarit của vốn.
• Giả sử r là số lá đỏ còn lại và b là số lá đen còn lại; khi r > b, tỷ lệ cược được tính là bet_fraction = (r - b) / (r + b).
• Khi r = b thì không cược; khi r > b thì cược vào đỏ, và khi b > r thì cược vào đen.

Thử nghiệm chiến lược

• Chiến lược Kelly được mô phỏng bằng Python.
• Qua 10.000 ván chơi, mỗi lần chạy đều thu được lợi nhuận gấp 9.08 lần vốn ban đầu, và kết quả không có biến động.
• Đây là một kết quả không có biến động, khác với chiến lược Kelly thông thường.

Giải thích

• Khi một trong các cách sắp xếp bài khả dĩ trong (52 choose 26) khớp chính xác, chiến lược danh mục đầu tư sẽ làm vốn tăng lên theo bội số của 2^(52).
• Điều này giải thích vì sao chiến lược Kelly và chiến lược danh mục đầu tư cho cùng một kết quả, và vì sao chiến lược Kelly lại không có biến động trong trường hợp này.

Diễn giải

• Bằng cách đặt cược vào màu chiếm đa số, chiến lược Kelly trở nên có lợi hơn mỗi khi xuất hiện một cược sai, vì bộ bài sẽ mất cân bằng hơn nữa.
• Bài viết nhấn mạnh đặc tính của chiến lược Kelly trong việc định giá phù hợp thông tin và sự bất định.
• Tác giả khuyến nghị cuốn Mathematical Puzzles của Winkler, trong đó cũng bàn về những bài toán tương tự.

[GN⁺]

• Có thể luôn kiếm được lợi nhuận miễn là có thể chia nhỏ cổ phần vô hạn

  • Ví dụ, khi 26 lá bài đỏ nằm ở phía trên, khoản vốn ban đầu $1.00 giảm xuống còn 0.000000134 rồi lại tăng lên 9.08

• Tôi cho rằng tranh luận về danh mục đầu tư là một đường vòng không cần thiết

  • Có một chứng minh hai dòng bằng quy nạp
  • Trường hợp cơ sở, lợi nhuận ở (0,1) hoặc (1,0) là 2

• Một ví dụ tương tự về trò chơi bài được giải thích trong sách phỏng vấn tài chính của Timothy Falcon

  • Gwern đã giải thích điều này và viết mã để chứng minh chiến lược dừng tối ưu

• Một phần giải thích bổ sung thú vị về tiêu chuẩn Kelly

  • Nghịch lý Proebsting là một lập luận cho thấy tiêu chuẩn Kelly có thể dẫn đến phá sản
  • Có thể giải quyết bằng toán học, nhưng đặt ra những vấn đề thú vị trong ứng dụng thực tế

• Tiêu chuẩn Kelly là một trong những khái niệm của lý thuyết trò chơi, được các con bạc chuyên nghiệp dùng nhiều để quản lý vốn

  • Đây là tiêu chuẩn cho kết quả nhị phân, nhưng khi áp dụng vào các tình huống không nhị phân có thể cho ra kết quả bị méo mó

• Nếu rút gọn về những con số dễ quản lý hơn thì sẽ là một màn minh họa tốt hơn

  • Ví dụ: một bộ bài gồm 2 lá đen và 2 lá đỏ

• Việc thấy kết quả không có biến động là rất thú vị

  • Tôi tự hỏi liệu chiến lược Kelly có phải là tối ưu cho bài toán này không

• Là một người cũng mang tên Kelly, tôi cảm ơn vì sự tự tin này

• Có vẻ như bài toán và lời giải bắt nguồn từ Thomas Cover

  • Tôi đã học điều này trong một lớp dạy về tiêu chuẩn Kelly, và các lớp của ông ấy luôn thú vị và đáng giá

• Đã được kiểm tra với nhiều seed RNG

  • RNG tiến triển ở mỗi lần chạy nên không thành vấn đề