80 năm phương pháp phần tử hữu hạn (2022)

 (link.springer.com)
1 điểm bởi GN⁺ 2024-11-04 | 1 bình luận | Chia sẻ qua WhatsApp
  • Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) khởi đầu từ việc rời rạc hóa dựa trên lưới, các miền con tam giác và phương pháp biến phân vào đầu thập niên 1940; đến năm 2021, phương pháp này đã tròn 80 năm kể từ khi ra đời và trở thành một phương pháp cốt lõi của kỹ thuật tính toán
  • FEM đã mở rộng từ cơ học vật liệu và kết cấu sang nền tảng tính toán cho toàn bộ các bài toán có thể mô tả bằng PDE, như dòng chảy chất lưu, dẫn nhiệt, điện từ học, thiết kế mạch và chip bán dẫn, sản xuất bồi đắp, chẩn đoán y khoa và lập kế hoạch phẫu thuật
  • Các đóng góp nối tiếp nhau từ Hrennikof, Courant, Argyris, Turner, Clough, Zienkiewicz, Kang Feng và nhiều người khác; năm 1960, Clough đặt tên Finite Element Method, khiến thuật ngữ này được định hình
  • Giai đoạn 1966–1991 chứng kiến sự phát triển của lý thuyết hội tụ, nguyên lý biến phân hỗn hợp, tích phân theo thời gian, phương pháp giải Navier–Stokes, sinh lưới, cơ học kết cấu phi tuyến, tương tác chất lưu-kết cấu, FEM xác suất và phân tích tiếp xúc, qua đó mở rộng FEM thành công cụ mô phỏng công nghiệp
  • Từ sau năm 1992, ước lượng sai số, hp FEM, X-FEM, phase-field fracture, isogeometric analysis, multiscale FEM, VEM, phần mềm thương mại và mã nguồn mở, cùng học máy và mô hình bậc giảm được kết hợp, khiến trọng tâm chuyển sang tính toán thời gian thực, dựa trên dữ liệu

Phạm vi của FEM và cách chia 80 năm phát triển

  • Năm 2021 là kỷ niệm 80 năm phát minh finite element method (FEM)
  • FEM đã trở thành nền tảng tính toán trong các lĩnh vực sau
    • Cơ học vật liệu và kết cấu
    • Dòng chảy chất lưu và dẫn nhiệt
    • Các quá trình sinh học phục vụ chẩn đoán y khoa và lập kế hoạch phẫu thuật
    • Điện từ học
    • Thiết kế và phân tích mạch, chip bán dẫn
    • Sản xuất bồi đắp
    • Toàn bộ các bài toán có thể mô tả bằng phương trình đạo hàm riêng (PDE)
  • FEM đã làm thay đổi đáng kể cách mô hình hóa khoa học và thiết kế kỹ thuật đối với ô tô, máy bay, công trình biển, cầu, đường cao tốc, nhà cao tầng, v.v.
  • Cùng với sự phát triển của FEM, lĩnh vực khoa học kỹ thuật gọi là computational mechanics hoặc computational science and engineering cũng lớn mạnh
  • Lịch sử phát triển được chia thành bốn giai đoạn
    • 1941–1965: giai đoạn đầu
    • 1966–1991: thời kỳ hoàng kim
    • 1992–2017: ứng dụng công nghiệp quy mô lớn và phát triển mô hình hóa vật liệu
    • Từ năm 2018 trở đi: các công nghệ FEM mới nhất hiện nay và trong tương lai
  • Trọng tâm chủ yếu nằm ở các ứng dụng cơ học vật rắn và kết cấu cùng những phát triển liên quan; cơ học chất lưu, truyền nhiệt và tương tác chất lưu-kết cấu chỉ được đề cập ở mức hạn chế
  • Sự phát triển của FEM đan xen qua nhiều thời kỳ, nên khó có thể sắp xếp chỉ theo niên đại một cách nghiêm ngặt

1941–1965: sự xuất hiện của lưới, phương pháp biến phân và phần tử tam giác

  • Nguồn gốc của mô hình số theo mô thức FEM có thể truy về đầu thập niên 1940
  • Năm 1941, A. Hrennikof tại University of British Columbia công bố một bài báo xử lý membrane and plate model bằng lattice framework
    • Miền nghiệm được rời rạc hóa thành mesh của lattice structure
    • Công trình này là một dạng ban đầu của mesh discretization
  • Cùng năm đó, R. Courant công bố một phương pháp xử lý số bằng phương pháp biến phân cho PDE bậc hai phát sinh từ bài toán xoắn trụ Saint–Venant
    • Sử dụng một cách có hệ thống trial function trên các finite triangle subdomains và Rayleigh–Ritz method
    • Bài trình bày này được xuất bản thành bài báo năm 1943
  • Trong các tài liệu của McHenry, Prager and Synge, Synge and Rheinboldt cũng có những công trình tương tự về rời rạc hóa và công thức hóa biến phân
  • Đầu thập niên 1950, nhiều kỹ sư và học giả đã phát triển các cách tiếp cận ban đầu để bắt đầu giải các bài toán thực tế trong hàng không và kỹ thuật dân dụng
  • J.H. Argyris và M.J. Turner tiến hành phát triển song song với các trọng tâm khác nhau; R.W. Clough và H.C. Martin tham gia nhóm của Turner
    • Phương pháp họ phát triển ngày nay được biết đến là dạng ban đầu của FEM
    • Khi đó được gọi là Matrix Stiffness Method
  • Trong một bài báo công bố năm 1960, R.W. Clough tạo ra cụm từ Finite Element Method, và tên gọi này nhanh chóng được chấp nhận
  • Turner, Clough, Martin, Topp phát triển các FEM interpolants cho triangular elements phù hợp với các bộ phận kết cấu có hình dạng tùy ý
    • Việc phát minh ra triangle element, theo một số góc nhìn, được gọi là một “quantum leap”
    • Trong nhiều cộng đồng kỹ thuật, bài báo năm 1956 của Turner et al. được xem là điểm khởi đầu của FEM

Berkeley, Boeing, Norfork Dam và sự lan rộng ban đầu

  • M. Jon Turner của Boeing cần một phương pháp đáng tin cậy để đánh giá trước liệu thiết kế máy bay có chịu được ứng suất thực tế hay không, nên đã mời Ray Clough và Harold Martin tham gia chương trình thực tập giảng viên mùa hè tại Boeing
  • Sự hợp tác giữa Turner, Clough và Martin dẫn tới một phương pháp phân tích kết cấu dùng máy tính để thực hiện nhiều phép tính và dự đoán hiệu năng thực tế
  • Clough lập nhóm nghiên cứu FEM tại UC Berkeley và sử dụng FEM trong nhiều phân tích, thí nghiệm khác nhau
    • Thiết kế nhà và công trình có khả năng chịu nổ hạt nhân hoặc động đất
    • Phân tích yêu cầu kết cấu của tàu vũ trụ
    • Phân tích kết cấu khoan biển sâu
  • Mùa thu năm 1957, Clough dán thông báo tìm sinh viên quan tâm đến finite element research để phân tích membrane, plate, shell, solid structures
    • Khi đó chưa có kinh phí nghiên cứu, nhưng các nghiên cứu sinh có nguồn tài trợ khác đã phản hồi
  • Máy tính số đầu tiên ở Berkeley là IBM 701 dựa trên vacuum tube, được sản xuất năm 1951, và số lượng linear equations tối đa có thể giải là 40
  • Năm 1959, IBM 704 được lắp đặt tại Berkeley Campus
    • Có 32K 32-bit memory và floating-point arithmetic unit nhanh hơn IBM 701 khoảng 100 lần
    • Nhờ đó có thể dùng fine meshes để giải practical structures
  • Phân tích Norfork Dam năm 1962 của Clough cho thấy tính thực dụng ban đầu của FEM
    • Norfork Dam cao 250 foot ở Arkansas xuất hiện vertical crack trong quá trình xây dựng năm 1942
    • Phân tích FEM dự đoán đúng vị trí và kích thước của vết nứt do thay đổi nhiệt độ
    • Tính ra realistic displacements and stresses bên trong dam và foundation dưới tác dụng của trọng lực và nhiều điều kiện hydrostatic load
  • Clough cung cấp tự do FORTRAN listing của finite element analysis computer program dùng để đánh giá chuyển vị và ứng suất của 2D plane structures
    • Có thể dùng cho 2D plane structures với các điều kiện hình học, vật liệu và tải trọng khác nhau
    • Giúp các kỹ sư chuyên nghiệp dễ dàng dùng FEM để tìm stress distributions trong các bài toán kỹ thuật kết cấu
  • Năm 1994, R.W. Clough nhận National Medal of Science từ Phó tổng thống Mỹ khi đó là Al Gore vì những đóng góp cho việc khai sinh và phát triển FEM

Những nhân vật ban đầu và nền tảng lý thuyết

  • Theo đồng thuận hiện nay, sau đóng góp của R. Courant về nền tảng toán học, J.H. Argyris, R.W. Clough và O.C. Zienkiewicz đã đóng vai trò then chốt trong sự ra đời và phát triển ban đầu của FEM
  • Đầu thập niên 1960, Kang Feng thuộc Chinese Academy of Science đã độc lập đề xuất một discretization numerical method dựa trên variational principles để giải elliptic PDE
    • Peter Lax đánh giá rằng Kang Feng đã xây dựng lý thuyết FEM độc lập với những phát triển song song ở phương Tây
    • Công trình của Kang Feng được xem là một trong những convergence studies ban đầu của FEM
  • E.L. Wilson được nhắc đến là người đầu tiên phát triển finite element open-source software
    • Năm 1958, dưới sự hướng dẫn của Clough, ông bắt đầu phát triển một finite element program tự động dựa trên rectangular plane stress finite element được phát triển tại Boeing
  • J.T. Oden và G.C. Best đã viết một trong những general purpose FEM computer codes đầu tiên
    • Bao gồm 3D elasticity, 2D plane elasticity, 3D beam and rod elements, composite layered plate and shell elements, cùng các elements cho general composite materials
    • Được sử dụng trong nhiều năm cho aircraft analysis and design trong ngành hàng không vũ trụ và quốc phòng
  • Đến năm 1965, nghiên cứu FEM đã trở thành một lĩnh vực rất sôi động trên toàn thế giới, với số bài báo được công bố trong tài liệu vượt quá 1000 bài
  • Hellinger–Reissner variational principle và Hu-Washizu variational principle về sau trở thành nền tảng cho sự phát triển của mixed FEM
  • Năm 1964, Pian nhận ra khả năng sử dụng mixed variational principles trong các FE formulations dựa trên Galerkin weak form và đề xuất assumed stress FEM

1966–1991: lý thuyết hội tụ, động lực học, chất lưu, phân tích phi tuyến

  • Từ cuối thập niên 1960, lý thuyết xấp xỉ nghiêm ngặt làm nền tảng cho FEM đã phát triển
    • Cea lemma và Bramble-Hubert lemma được xem là những kết quả quan trọng trong chứng minh hội tụ FEM
    • Nghiên cứu của Nitsche về ước lượng L∞ cho các bài toán elliptic tuyến tính tổng quát là một đóng góp quan trọng cho nền tảng toán học của FEM trong thập niên 1970
  • Các kỹ sư thực tế khi đó đang sử dụng các FEM interpolator không tương thích hoặc quadrature số vi phạm các dạng biến phân chuẩn
    • G. Strang gọi những kỹ thuật số này là variational crimes
    • B. Iron và R. Melosh đã tạo ra FEM patch test ban đầu, đóng vai trò quan trọng trong việc bảo đảm hội tụ tới nghiệm đúng
  • Trong FEM dựa trên nguyên lý biến phân hỗn hợp, Babuska-Brezzi condition hay LBB condition xuất hiện như một kết quả then chốt
    • Cung cấp điều kiện đủ để bài toán saddle point có nghiệm duy nhất phụ thuộc liên tục vào dữ liệu đầu vào
    • Trở thành chỉ dẫn để xây dựng shape functions cho FEM dựa trên nguyên lý biến phân hỗn hợp
  • Trong thập niên 1970, trọng tâm phát triển FEM chuyển sang mô phỏng hành vi động của kết cấu, bao gồm crashworthiness trong ngành ô tô
    • Newmark-beta method, Wilson-theta method, Hilbert-Hughes-Taylor alpha method, Houbolt integration algorithm, explicit time integration algorithm, v.v. được phát triển
  • Explicit time integration đã trở thành game changer trong ngành ô tô, giúp FEM trở thành công cụ chủ đạo trong thiết kế xe du lịch và phân tích an toàn va chạm
    • Đến cuối thập niên 1980, ba nhà sản xuất ô tô lớn của Mỹ có hàng nghìn workstation chạy các FEM code dựa trên explicit time integration
  • Một trong những chủ đề nghiên cứu chính của FEM trong thập niên 1980 là giải các phương trình Navier–Stokes bằng FEM
    • Hughes và các cộng sự đã phát triển streamline upwind/Petrov Galerkin method, Stabilized Galerkin FEM, space–time FEM và variational multiscale FEM
    • Từ 1986 đến 1991, Hughes cùng L.P. Franca và những người khác đã viết loạt 10 bài báo về FEM formulation cho động lực học chất lưu tính toán
  • Vào giữa thập niên 1980, interactive computer graphics, adaptive mesh generator và các kỹ thuật solid modeling được kết hợp, thúc đẩy sự phát triển của FEM mesh generation cao cấp
  • Đóng góp của J. Simo là một trong những điểm nhấn lớn của tiến bộ công nghệ FEM trong thập niên 1980
    • consistent tangent operator cho computational plasticity
    • geometrically exact beam and shell theories
    • assumed strain hoặc enhanced strain methods

Tương tác chất lưu-kết cấu, FEM xác suất, phân tích tiếp xúc

  • Từ giữa thập niên 1970 đến đầu thập niên 1990, trong ngành hàng không vũ trụ và kỹ thuật dân dụng có nhu cầu lớn về công nghệ giải các bài toán fluid–structure interaction(FSI) quy mô lớn
  • Hughes-Liu-Zimmermann Arbitrary Lagrangian–Eulerian(ALE) fluid–structure FEM formulation xử lý các bài toán biên chuyển động
    • Trong ALE, mesh tính toán bên trong miền có thể di chuyển tùy ý để tối ưu hóa hình dạng phần tử
    • Mesh tại biên miền và interface di chuyển cùng vật liệu, cho phép theo dõi chính xác biên và interface của multi-material system
  • C. Farhat được nhắc đến là người đầu tiên tính toán bài toán FSI bằng large-scale parallel ALE-FEM solver
    • Nhóm của Farhat đã phát triển finite element tearing and interconnecting method để giải các hệ phương trình quy mô lớn theo cách có khả năng mở rộng
  • Nghiên cứu FEM FSI đã cung cấp nền tảng cho mô hình hóa theo từng bệnh nhân đối với bệnh mạch máu và predictive medicine dựa trên FEM vào giữa thập niên 1990
  • W.K. Liu và T. Belytschko lần đầu phát triển probabilistic FEM hoặc random field FEM vào cuối thập niên 1980
    • Xem xét các bất định trong điều kiện tải, hành vi vật liệu, cấu hình hình học, điều kiện đỡ hoặc điều kiện biên
    • Có thể được áp dụng cho phân tích độ tin cậy kết cấu
  • Đầu thập niên 1980, M.E. Botkin tại General Motors Research Lab và nhóm của N. Kikuchi tại University of Michigan đã phát triển structural shape optimization FEM cho ngành ô tô
  • Bài báo năm 1976 của Hughes, Taylor, Sackman, Curnier và Kanoknukulchai là một trong những phân tích FEM sớm nhất về computational contact mechanics
    • Được xem là nghiên cứu đầu tiên về mô hình hóa FEM cho dynamic contact and impact problems
    • Sheet metal forming, target impact and penetration, tương tác giữa pavement và tire được nêu như các ví dụ
  • Nghiên cứu về thuật toán tiếp xúc vẫn là một chủ đề nghiên cứu sôi động cho đến cuối thập niên 1990

1992–2017: Ước lượng sai số, vết nứt, phương pháp không lưới

  • Sự kiện lớn đầu tiên trong quá trình phát triển FEM giai đoạn 1992–2017 là việc chính thức hóa bộ ước lượng sai số hậu nghiệm Zienkiewicz-Zhu
    • Cung cấp khả năng kiểm soát chất lượng nghiệm FEM trong khi sử dụng tối ưu tài nguyên tính toán thông qua tinh chỉnh lưới thích nghi
    • Ngày nay, cải thiện chất lượng thông qua ước lượng sai số hậu nghiệm đã mở rộng đến mức Bayesian inference và Bayesian update
    • Chủ đề này có liên hệ chặt chẽ với validation and verification
  • Szabo và Babuska đã phát triển hp FEM, kết hợp h và p
    • Khi tinh chỉnh lưới bằng cách kết hợp h-refinement và p-refinement phù hợp, phương pháp này cho thấy hội tụ theo hàm mũ
    • Trái ngược với hầu hết các FEM khác hội tụ với tốc độ đại số
  • Năm 1994, Xu và Needleman đã phát triển cohesive zone model(CZM) trong FEM, có thể mô phỏng sự phát triển vết nứt mà không cần chia lưới lại
  • Belytschko và W.K. Liu đã phát triển meshfree particle method nhằm giảm vấn đề thiên lệch lưới trong mô hình hóa phá hủy và hư hại vật liệu
    • Các ví dụ tiêu biểu là element-free Galerkin method và reproducing kernel particle method
    • So với SPH method, RKPM cung cấp consistency và cải thiện hội tụ
  • Năm 2001, J.S. Chen và các cộng sự đã đề xuất stabilized conforming nodal integration method cho meshfree RKPM
    • Phương pháp này đơn giản, ổn định và nhất quán về mặt biến phân với công thức dạng yếu Galerkin
  • partition of unity finite element method về sau được gọi là generalized finite element method
    • Là sự tổng quát hóa của các phiên bản FEM h, p, hp
    • Có thể nhúng nghiệm giải tích vào rời rạc hóa FEM
  • Cuối thập niên 1990, Belytschko, Black, Moes, Dolbow và những người khác đã phát triển X-FEM
    • Sử dụng enriched discontinuous shape function để nắm bắt hình dạng vật thể có vết nứt mà không cần chia lưới lại
    • Trở thành một đột phá quan trọng trong cơ học phá hủy tính toán và kỹ thuật refinement FEM
  • Khoảng năm 2000, Bourdin, Francfort, Marigo đã phát triển phase-field approach để mô hình hóa phá hủy vật liệu
    • Bằng Galerkin FEM, có thể giải đồng thời phương trình chuyển động của môi trường liên tục và phase equation để tìm nghiệm vết nứt mà không cần xử lý điểm kỳ dị ứng suất hay chia lưới lại

Tích hợp CAD, đa tỷ lệ, phần tử ảo

  • Một lý do lớn cho thành công của FEM là khả năng ứng dụng rộng rãi trong phân tích và thiết kế kỹ thuật trên khắp các lĩnh vực khoa học
  • T.J.R. Hughes, J.A. Cottrell, Y. Bazilevs và những người khác đã phát triển isogeometric analysis(IGA) FEM
    • Sử dụng hàm NURBS làm FEM shape function
    • Tích hợp FEM vào các công cụ CAD dựa trên NURBS hiện có mà không cần chuyển đổi dữ liệu giữa CAD và các gói FEA
  • Với sự xuất hiện của công nghệ nano, các multiscale method kết hợp phương pháp nguyên tử luận với FEM ở quy mô môi trường liên tục đã được phát triển
    • molecular dynamics, density functional theory, ab initio method, v.v. được nhắc đến
    • hand-shake method, quasi-continuum FEM, bridging scale method là các đóng góp chính
  • Năm 2007, Gavini, Bhattacharya, Ortiz đã phát triển quasi-continuum orbital-free DFT FEM cho các tính toán DFT với hàng triệu nguyên tử
  • Từ cuối thập niên 1990, computational homogenization method đã phát triển nhanh chóng
    • Bao gồm multiscale computational homogenization cho vật liệu composite có vi cấu trúc tuần hoàn
    • Và computational micromechanics method, chủ yếu nhắm đến vật liệu composite có vi cấu trúc ngẫu nhiên
  • Năm 2013, nhóm nghiên cứu Ý do L. Beirão da Veiga và F. Brezzi dẫn dắt đã đề xuất virtual element method(VEM)
    • Là phần mở rộng của FEM hiện có cho hình dạng phần tử tùy ý
    • Cho phép polytopal discretization như polygon 2D hoặc polyhedron 3D
    • Tên gọi “virtual” xuất phát từ việc không cần tính toán tường minh local shape function basis
    • Có đặc tính thuận lợi hơn FEM truyền thống trong các bài toán hình học phức tạp khó tạo lưới chất lượng tốt và các bài toán cần refinement cục bộ

Giáo dục và ngành công nghiệp phần mềm

  • Năm 1957, R. Clough đã đưa vào giảng dạy học phần FEM sau đại học đầu tiên tại UC Berkeley
  • Sau đó, các học phần FEM ở bậc sau đại học và đại học đã được bổ sung vào chương trình kỹ thuật của các đại học và trường kỹ thuật lớn trên toàn thế giới
  • Tính đến cuối năm 2015, hơn hàng trăm chuyên khảo và giáo trình FEM đã được xuất bản bằng hàng chục ngôn ngữ trên thế giới
  • Các giáo trình FEM của Zienkiewicz and Taylor hoặc Zienkiewicz et al. có thể đã có ảnh hưởng lớn đến việc phổ biến công nghệ FEM
    • Mã chương trình máy tính nghiên cứu FEM FEAP do Taylor viết được đưa vào phụ lục sách
    • Cung cấp hướng dẫn tức thì để triển khai FEM trên máy tính
  • Việc phát triển công nghệ phần mềm FEM bắt đầu vào đầu thập niên 1960
    • Năm 1963, E.L. Wilson và R. Clough đã phát triển Symbolic Matrix Interpretive System(SMIS)
    • Wilson dựa trên SMIS để khởi động và phát triển Structural Analysis Program(SAP)
    • K.J. Bathe đã phát triển mã FEM phi tuyến ADINA dựa trên SAP IV và NONSAP
  • NASA đã phát triển mã FEM riêng là NASTRAN
    • Phiên bản đầu tiên COSMIC Nastran xuất hiện vào năm 1969
    • Năm 1971, MSC Software đã phát hành MSC Nastran, phiên bản thương mại của Nastran
  • J.A. Swanson đã phát triển mã FEM ANSYS ban đầu
    • ANSYS hiện đã trở thành một trong những phần mềm FEM thương mại lớn trên thế giới
  • DYNA3D do J.O. Hallquist tại Lawrence Livermore National Laboratory phát triển
    • Được sử dụng rộng rãi trong phân tích va đập, tiếp xúc động và phá hỏng của kết cấu
    • Sau đó phát triển thành LS-DYNA
    • Năm 2018, khi Livermore Software Technology được ANSYS mua lại, LS-DYNA trở thành một phần của ANSYS với tên ANSYS LS-DYNA
  • ABAQUS là phần mềm FEM thương mại quy mô lớn do HKS, được thành lập bởi Hibbitt, Karlsson, Sorenson, phát hành
    • Cho phép subroutine do người dùng định nghĩa, giúp nhà nghiên cứu dễ dàng sử dụng solver FEM tiêu chuẩn trong nghiên cứu
  • Từ cuối thập niên 1990 đến đầu thập niên 2000, ngành công nghiệp phần mềm FEM đã trở thành một mảng kinh doanh quy mô hàng tỷ đô la
  • ANSYS, ABAQUS, ADINA, LS-DYNA, NASTRAN, COMSOL Multiphysics, CSI, v.v. được nhắc đến như các phần mềm FEM nổi tiếng
  • Cũng có các phần mềm FEM mã nguồn mở như FreeFEM, OpenSees, Elmer, FEBio, FEniCS Project, DUNE

Từ năm 2018 trở đi: machine learning, FEM dựa trên dữ liệu, mô hình bậc rút gọn

  • FEM hiện đại có thể thường xuyên giải các bài toán công nghiệp lớn và phức tạp, cho phép phân tích dự đoán và hiểu biết nền tảng phục vụ thiết kế sản phẩm
  • Khi các phát minh mới tạo ra lượng lớn dữ liệu trên toàn bộ không gian, thời gian và không gian tham số thiết kế, đôi khi việc phát triển các nguyên lý khoa học không theo kịp tốc độ phát minh
  • Các nhà nghiên cứu FEM vì vậy đang nghiên cứu FEM dựa trên machine learning và deep learning
  • FEM theo Mechanistic Data Science (MDS) kết hợp các nguyên lý khoa học đã biết với dữ liệu mới thu thập, và là một hướng nghiên cứu quan trọng cho các phát minh mới
    • Sử dụng các phương pháp như active deep learning và hierarchical neural network
    • Thực hiện xử lý dữ liệu đầu vào, trích xuất đặc trưng cơ chế, giảm chiều, hồi quy·phân loại, và cung cấp cơ sở dữ liệu tri thức
  • Nhờ những tiến bộ gần đây của machine learning và deep learning, cách xây dựng deep neural network để giải FEM đã trở thành công nghệ tiên tiến
  • Physics-Informed Neural Networks giải các PDE nhiều chiều ở strong form, và sử dụng các ràng buộc để đáp ứng điều kiện biên tự nhiên và điều kiện biên thiết yếu
  • Các phương pháp kết hợp cấu trúc FEM với mạng nơ-ron như Deep Ritz Method, Deep Galerkin Method, physics-constrained deep learning, partition of unity network đang được nghiên cứu
  • Zhang et al. đã công bố một bài báo về việc xây dựng FEM shape function dựa trên đặc tính phân cấp của DNN và gọi phương pháp này là HiDeNN
    • Trình bày việc xây dựng nhiều deep learning interpolation function như RKPM, NURBS, IGA
  • HiDeNN-AI có thể tích hợp nhiều data-driven tool, và cung cấp một cách tiếp cận chung để giải các bài toán khoa học·kỹ thuật có ít hoặc không có tri thức vật lý và nhu cầu tính toán lớn
  • Để giảm chi phí tính toán FEM, một two-stage data-driven method đã được đề xuất, trong đó xây dựng FEM database ở offline stage và tính nghiệm cuối cùng ở online stage
  • FE-SCA sử dụng unsupervised machine learning để nhóm các material point và giải reduced-order Lippmann–Schwinger micromechanics equation, qua đó giảm chi phí tính toán của multiscale analysis
  • Reduced order modeling gắn liền với nhu cầu công nghiệp về mô phỏng nhanh và gần như thời gian thực
    • online dynamic system control
    • structural health monitoring
    • vehicle health monitoring
    • online advanced manufacturing feedback control
    • automated driving control and decision
  • Optimal control thực tiễn có thể đòi hỏi các dự đoán đáng tin cậy trong phạm vi milli-second hoặc sub-milli-second
  • reduced order machine learning method có thể cho phép physics-data combined model nhằm vượt qua các nút thắt của model reduction và cách tiếp cận machine learning thuần data-driven

Bài viết liên quan

1 bình luận

 
GN⁺ 2024-11-04
Ý kiến trên Hacker News

  • Tôi đã làm toàn thời gian 15 năm với vai trò nhà phân tích FEM; bản thân bài viết thì ổn, nhưng có cảm giác nó tô hồng 20 năm qua hơn thực tế rất nhiều
    Việc ứng dụng FEM trong thực tiễn đã khá đình trệ trong một thời gian dài. Đã có những cải thiện về độ ổn định của thuật toán số giúp các bài toán phi tuyến mạnh dễ xử lý hơn đôi chút, các bộ giải được tối ưu hơn, phần cứng tốt hơn nhiều, và đặc biệt lưu trữ flash đã giúp ích lớn
    Nhưng các công nghệ cao cấp/thế hệ mới mà bài viết nêu ra hầu như đều thất bại khi áp dụng vào các bài toán thực tế. Với các bài toán phòng thí nghiệm rất đơn giản thì cho kết quả ổn, nhưng trong vấn đề thực tế thì độ chính xác thường rất tệ. Ví dụ, một hình trụ chịu kéo đơn giản thì khớp tốt, nhưng thêm uốn vào là hỏng nặng
    Hiện vẫn chưa có gì tốt hơn FEM, nhưng nhìn lại thì thật đáng ngạc nhiên là tôi đang làm việc gần như cùng cách với thời còn là Engineer 1. Không phải là không thử; tôi đã trải qua vô số dự án phát triển trông có vẻ hứa hẹn nhưng không vượt qua được kiểm chứng thực tế
    Trọng tâm của ngành công nghiệp thay vào đó đã nghiêng nhiều hơn về verification và validation (ASME V&V 10/20/40), nhờ đó nhiều cạm bẫy và giới hạn đã lộ ra. Giới học thuật và các hãng phần mềm không mấy tích cực xem xét lại những vấn đề supposedly “đã được giải quyết” mà chúng tôi phát hiện

    • Tôi là kỹ sư cơ khí và muốn hiểu rõ hơn khía cạnh khoa học tính toán của công cụ mình dùng hằng ngày. Nếu muốn “học lại” FEA từ góc nhìn khoa học máy tính, có tài liệu học tập nào đáng khuyên không?
    • Nếu ý là các công nghệ cao cấp/thế hệ mới mà bài viết nêu ra hầu như đều thất bại trong bài toán thực tế, tôi tò mò liệu có bao gồm cả nghiên cứu của Arnold không
      FEEC lần cuối tôi đọc thì trông khá hứa hẹn, nhưng có vẻ nó chưa lan rộng nhiều trong thế giới FEM nói chung
    • Gần đây nhìn các công việc như mô hình hóa thời tiết hay mô hình hóa vải, tôi nghĩ neural operators đang đi vào một số miền bài toán từng dùng FEM, và có một dòng phả hệ nối từ FEM sang neural operators. Tôi có hiểu hoàn toàn sai không?
    • Tôi nghi ngờ việc cho rằng 15 năm qua là đình trệ
      Đã có những tiến bộ về contact elements, tiền tải bu-lông, mô hình hóa từng sợi composite riêng lẻ, bong tách lớp và phá hủy laminate tiến triển, mô hình hóa các lớp vật liệu dày vài phần nghìn inch, cho tới tối ưu hóa thiết kế
      ANSYS Workbench gần như là FEA cho người mới bắt đầu, và còn nhiều ví dụ hơn nữa
    • Không biết bạn đã nghe về physics-informed neural networks chưa
      Trông chúng như một ứng viên nóng có khả năng cho kết quả tốt hơn trong tương lai

  • Đầu sự nghiệp tôi từng làm mô hình hóa và phân tích phần tử hữu hạn bằng ANSYS và NASTRAN, và đôi khi tôi nhớ thời đó
    Việc suy nghĩ cách đơn giản hóa một bài toán thực tế sao cho có thể giải bằng tài nguyên tính toán sẵn có luôn rất thú vị. Ngoài ra, việc đẩy các phần tử tứ giác qua lại hàng giờ cho đến khi mesh đủ tốt cũng có tác dụng gần như thiền định. Dù vậy tôi không quá hào hứng học phần mềm hay ngôn ngữ mới
    Đáng ngạc nhiên là lĩnh vực đó dường như không thay đổi nhiều. ANSYS vẫn có vẻ là hãng dẫn đầu trong mô phỏng đa dụng và multiphysics, còn NASTRAN vẫn được dùng nhiều. Vẫn chưa có lựa chọn thay thế mã nguồn mở thực dụng nào
    Người chơi mới có vẻ chỉ có COMSOL, không biết có ai đã dùng chưa. Với người quen rõ ANSYS và NASTRAN thì có đáng thử không?

    • Tôi đã dùng ANSYS hằng ngày hơn 10 năm, và thứ thay đổi chỉ là tên các cấp giấy phép. Nó giống một cuộc hành quân tử thần chậm chạp, nhầy nhụa
      Mỗi năm tôi lại phải vật lộn với phần mềm nhiều hơn, và rõ ràng bộ phận bán hàng đang cầm lái
      Họ mua rồi tích hợp phần mềm “tích hợp dọc”, sau đó để nó chết dần. Họ đã thông báo sẽ chấm dứt vào năm tới một sản phẩm mua lại 10 năm trước, nhằm đẩy một sản phẩm cạnh tranh chỉ có 20% chức năng
      Tôi cũng đã dùng NASTRAN khoảng một nửa thời gian đó nhưng không khá hơn nhiều. Tất cả đều bị dẫn dắt bởi bán hàng
      Tôi có dùng thử Abaqus một chút và thấy có vẻ ổn. Có lẽ chỉ vì tôi mới dùng ít
      Tôi chỉ muốn làm việc của mình, còn các công ty này chỉ chuyển tính năng qua lại giữa các cấp giấy phép và luộc ếch nhanh nhất trong phạm vi họ được phép
    • Với công việc ở mức thấp hơn, có dự án FEniCS[1]. Đây là công cụ giải phương trình đạo hàm riêng bằng mã Python tương đối trực quan[2] kiểu như thế này
      Ở đây “trực quan” nghĩa là nó bám khá sát toán học, chứ không phải ở mức học sinh trung học
      [1]: https://fenicsproject.org/
      [2]: https://jsdokken.com/dolfinx-tutorial/chapter2/linearelastic...
    • Ưu điểm lớn của COMSOL là giúp gom nhiều miền vật lý lại với nhau và ghép nối chúng dễ dàng
      Nếu muốn ghép cấu trúc–chất lưu hoặc điện từ–cơ học, có lẽ nó thuộc nhóm dễ dùng nhất
      Nếu chỉ xét từng miền vật lý riêng lẻ thì không đặc biệt xuất sắc. Có những bộ giải cơ học, CFD, điện từ tốt hơn nhiều, nhưng tất cả là sản phẩm của các hãng khác nhau và không khớp với nhau tốt
    • Nghe gọi COMSOL là “người mới gia nhập” thì hơi đau. 15 năm trước tôi đã học Comsol ở trường kỹ thuật, nên nếu giờ nó vẫn bị xếp vào nhóm mới gia nhập thì điều đó cho thấy lĩnh vực này chuyển động chậm đến mức nào
    • Tôi đang hy vọng thư viện FEM mã nguồn mở này sẽ đứng vững: https://www.dealii.org/
      “deal” trong deal.II là viết tắt của Differential Equation Analysis Library
      Nó được viết bằng C++, dùng nhiều template và đã được phát triển từ năm 2000. Đây là thư viện cho lời giải FEM của các phương trình đạo hàm riêng nói chung, hơn là dành riêng cho cơ học vật rắn hay cơ học chất lưu
      Tài liệu rất đồ sộ, có nhiều ví dụ, và cũng tích hợp với các thư viện khác như Petsc, Trilinos. Kết quả cũng có thể xuất ra nhiều định dạng
      Theo tôi biết, hỗ trợ phần tử tam giác và tứ diện chỉ mới được thêm gần đây. Dù vậy, một điểm kỳ lạ của thư viện là nó gọi mesh là “triangulations”

  • Trong thời gian làm tiến sĩ công nghiệp, tôi đã tạo một framework lập trình hướng đối tượng để mô phỏng ô nhiễm không khí quy mô lớn (LSAP)
    Framework này dựa trên Petrov-Galerkin FEM, và xử lý được cả 2D đúng nghĩa lẫn 3D “phân tầng”
    Trước khi làm tiến sĩ, những người tôi làm việc cùng dùng các phương pháp phổ và FEM hướng luân phiên, tức là cách xấp xỉ 2D bằng 1D
    Ở một vài hội nghị và cuộc phỏng vấn, có nhà khoa học từng nói rằng lập trình FEM cho LSAP là dễ. Tôi thường đồng ý, rồi hỏi họ đã làm việc đó bao nhiêu lần. Tôi chưa từng nhận được câu trả lời, dù là LSAP hay thứ gì khác
    Để áp dụng FEM vào các bài toán thực tế, có thể phải giải quyết khá nhiều cạm bẫy và lỗi nhỏ, thực dụng nhưng cũng mang tính lý thuyết

    • Cốt lõi của FEM rốt cuộc là một kỹ thuật tìm nghiệm xấp xỉ cho các bài toán được biểu diễn bằng phương trình vi phân riêng phần
      Việc tìm nghiệm của một bài toán thực dụng thỏa mãn cả điều kiện biên lẫn miền bằng phương pháp giải tích gần như là bất khả thi. FEM đánh đổi độ chính xác lấy xấp xỉ; nó có thể chính xác tại các điều kiện biên được chỉ định, nhưng cả biểu diễn miền lẫn nghiệm đều là xấp xỉ
      Đổi lại, khi tinh chỉnh xấp xỉ, sai số xấp xỉ có tính chất tốt là hội tụ về nghiệm chính xác. Cái giá là chi phí tính toán tăng theo cấp số nhân

  • Tôi đã học FEM ở bậc đại học và sau đại học. Có một sự thỏa mãn đáng kể trong quá trình chia một bài toán thực tế khó giải thành một thực tại mô phỏng được đơn giản hóa bằng các đơn vị hữu hạn, rồi thu được một đáp án tuy rõ ràng là không hoàn hảo nhưng hữu ích
    Tôi thường nghĩ đến cách tiếp cận này

  • Khi đó có một thread với 45 bình luận: https://news.ycombinator.com/item?id=33480799

  • Dự đoán cách sự vật tiến hóa trong không-thời gian là một nhu cầu căn bản
    Phương pháp phần tử hữu hạn xứng đáng được vinh danh để lên đầu danh sách HN. Trước đây, trong mô hình của tôi, tôi đã chọn “phương pháp collocation trực giao”, vì nó nhanh hơn và phù hợp hơn với bài toán khi đó. Vài đồng nghiệp nghiên cứu của tôi dùng FEM, và trong thập niên 90 thì rõ ràng nó là một trào lưu lớn

  • Đây là phần tổng hợp từ “Chaos researchers can now predict perilous points of no return” (2022) https://news.ycombinator.com/item?id=32862414
    FEM: Finite Element Method: https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method
    FEM là phương pháp phần tử hữu hạn để giải các phương trình vi phân riêng phần liên hợp, còn FEA là phân tích phần tử hữu hạn áp dụng FEM
    Finite Element Analysis của awesome-mecheng: https://github.com/m2n037/awesome-mecheng#fea
    Ngoài ra còn có thread liên quan đến “relaxation technique” trong “Learning quantum Hamiltonians at any temperature in polynomial time” (2024) https://arxiv.org/abs/2310.02243: https://news.ycombinator.com/item?id=40396171

  • Một góc nhìn thú vị. Tôi vừa dự một hội nghị về phân tích đẳng hình học (IGA), cũng được nhắc ngắn gọn trong bài này
    Tom Hughes, người được nhắc đến nhiều lần, hiện gần như là người dẫn đầu thực tế của cộng đồng nghiên cứu IGA. IGA có tiềm năng lớn để giải quyết nhiều điểm đau của FEM. Nhìn chung nó có tốc độ hội tụ tốt hơn, cho phép bước thời gian tốt hơn trong các bộ giải tường minh, và cung cấp các cách tốt hơn để bảo đảm ổn định trong những bài toán như vật rắn không nén được
    Điểm đặc biệt thú vị là nó cho phép cách tiếp cận nhúng, nên chỉ cần đặt hình học vào một lưới nền dễ tạo mesh, nhờ đó vấn đề tạo mesh gần như biến mất. Vẫn còn nhiều việc phải làm trước khi được ngành công nghiệp chấp nhận, nhưng rất có thể đây là tương lai của FEM

    • Cốt lõi của IGA chẳng phải là thay các hàm dạng cổ điển bằng spline dùng để xác định hình học sao?
      Nếu tôi nhớ đúng thì tốc độ hội tụ hoàn toàn giống nhau, và cách tiếp cận này không phản ánh đúng việc, ngoại trừ biên, hình học và trường của đại lượng vật lý quan tâm không có cùng phân bố không gian
      IGA đã tồn tại từ lâu, nhưng chưa cụ thể hóa được gì ngoài mẹo “hãy tái sử dụng các hàm CAD”. Cuối cùng nó chỉ làm bài toán phức tạp hơn mà không đem lại lợi ích thực chất so với P-refinement bình thường. Vì vậy tôi tò mò tiềm năng còn lại là gì
      Tôi nhớ cái tên Tom Hughes. Tôi cũng có sách FEM của ông ấy, và trong một thời gian dài, có lẽ hàng chục năm, ông gần như là người duy nhất thúc đẩy khái niệm đó. Lý do là toàn bộ cộng đồng cơ học tính toán nhìn vào nó, thấy thú vị, nhưng cuối cùng cho rằng không đáng công. Có nhiều ý tưởng trong FEM thú vị và hứa hẹn hơn nhiều so với việc dùng spline để tạo phần tử

  • Tôi đã học một môn về nó hồi đại học và cũng gặp lại ở cao học, nhưng đến giờ vẫn hoàn toàn không hiểu được suy dẫn Galerkin hay suy dẫn biến phân

    • Tôi học từ góc nhìn kỹ thuật kết cấu. Tôi tò mò bạn bị mắc ở đâu
      Dòng suy nghĩ trong đầu tôi là như sau: 1. phương trình vi phân riêng phần ở dạng mạnh, 2. dạng yếu, 3. dạng yếu đã rời rạc hóa, 4. tính tích phân trên từng phần tử bằng số, 5. lắp ráp hệ tuyến tính, 6. giải hệ tuyến tính

  • Nếu bạn quan tâm đến một triển khai hiện đại, SELF là một thư viện phần tử phổ viết bằng Fortran hướng đối tượng[1]
    Các nhà phát triển Fluid Numerics sắp công bố benchmark trên hệ thống MI300A và các phần cứng thú vị khác
    [1] https://github.com/FluidNumerics/SELF