Giới thiệu toán học về deep learning: phương pháp luận, triển khai và lý thuyết

 (arxiv.org)
2 điểm bởi GN⁺ 2024-01-02 | 1 bình luận | Chia sẻ qua WhatsApp
  • Đây là giáo trình nhập môn deep learning theo hướng toán học, được biên soạn để giúp sinh viên, nhà khoa học chưa có kiến thức nền và các chuyên gia thực hành muốn hiểu nghiêm ngặt hơn nắm vững nền tảng của thuật toán deep learning
  • Mạng nơ-ron nhân tạo được định nghĩa là phép hợp lặp lại giữa hàm kích hoạt và hàm affine; khi độ sâu hợp thành tăng lên, nó trở thành lớp hàm được xử lý như deep ANN
  • Cấu trúc tổng thể bắt đầu từ kiến trúc ANN và phép tính, rồi mở rộng đến lý thuyết xấp xỉ, tối ưu hóa, sai số tổng quát hóa, phân tích sai số tổng thể và giải PDE
  • Phần tối ưu hóa cùng đề cập đến gradient flow ODE, GD, SGD, lan truyền ngược (backpropagation), cách tiếp cận Kurdyka–Łojasiewicz, batch normalization và khởi tạo ngẫu nhiên
  • Mã nguồn Python có thể tải từ kho GitHub công khai và trang arXiv; có thể đối chiếu nội dung sách với mã bằng tên tệp trong chú thích của từng listing

Cách định nghĩa deep learning bằng toán học

  • Cuốn sách này xem thuật toán deep learning là một phương thức tính toán sử dụng lặp lại deep ANN và dữ liệu để xấp xỉ một quan hệ, hàm hoặc đại lượng cụ thể
  • ANN là một lớp hàm gồm nhiều phép hợp của một hàm kích hoạt phi tuyến cụ thể với các hàm affine
  • Độ sâu của ANN tương ứng với số lần lặp phép hợp; khi có nhiều hơn 2 phép hợp giữa hàm phi tuyến và hàm affine thì bắt đầu được gọi là deep ANN
  • Đối tượng độc giả là sinh viên, nhà khoa học hoàn toàn chưa có nền tảng về deep learning nhưng cần một cơ sở vững chắc, cũng như các chuyên gia thực hành muốn hiểu chắc chắn hơn về các đối tượng và phương pháp của deep learning

Part I–II: Kiến trúc mạng nơ-ron và lý thuyết xấp xỉ

  • Sau phần dẫn nhập ngắn, nội dung chính được chia thành 6 phần: Part I–VI

  • Part I: Mạng nơ-ron nhân tạo

    • Chapter 1 giới thiệu bằng toán học nhiều loại ANN
      • fully-connected feedforward ANN
      • convolutional ANN(CNN)
      • recurrent ANN(RNN)
      • residual ANN(ResNet)
    • Chapter 2 trình bày phép tính (calculus) cho fully-connected feedforward ANN

  • Part II: Xấp xỉ

    • Trình bày nhiều kết quả toán học phân tích ANN có thể xấp xỉ một hàm cho trước tốt đến mức nào
    • Chapter 3 trước hết tập trung vào các hàm một chiều từ số thực sang số thực để dễ tiếp cận
    • Chapter 4 mở rộng phạm vi sang các kết quả xấp xỉ ANN cho hàm nhiều biến

Part III: Tối ưu hóa và thuật toán học

  • Cốt lõi của thuật toán deep learning nằm ở việc mô hình hóa hoặc tái công thức hóa bài toán thành một bài toán tối ưu hóa phù hợp có chứa deep ANN
  • Phần này bàn về các bài toán tối ưu hóa và thuật toán giải xấp xỉ chúng; thông thường, bài toán cực tiểu được giải bằng phương pháp tối ưu hóa dựa trên gradient
  • Phương pháp dựa trên gradient là cách tính toán giải bài toán bằng các bước liên tiếp dựa trên hướng gradient âm của hàm cần tối ưu
  • Chapter 5 trình bày gradient flow(GF) ODE và ứng dụng của nó để hiểu các phương pháp kiểu GD và SGD
  • Chapter 6 xem xét và phân tích các phương pháp tối ưu hóa dựa trên gradient tất định như gradient descent(GD)
  • Chapter 7 xem xét và phân tích các phương pháp tối ưu hóa dựa trên gradient ngẫu nhiên như stochastic gradient descent(SGD)
  • Chapter 8 dẫn xuất và trình bày chi tiết lan truyền ngược, phương pháp được sử dụng rộng rãi để tính gradient một cách tường minh trong huấn luyện ANN
  • Phân tích ở Chapter 5–7 trong hầu hết trường hợp còn hạn chế đối với các bài toán tối ưu hóa huấn luyện ANN, nhưng cách tiếp cận Kurdyka–Łojasiewicz(KL) ở Chapter 9 có thể xử lý những bài toán này
  • Chapter 10 xem xét nghiêm ngặt batch normalization(BN), một phương pháp nhằm tăng tốc quy trình huấn luyện ANN trong các bài toán học dựa trên dữ liệu
  • Chapter 11 nghiên cứu cách tiếp cận tối ưu hóa hàm mục tiêu với các khởi tạo ngẫu nhiên khác nhau

Part IV–VI: Phân tích sai số và ứng dụng PDE

  • Part IV: Sai số tổng quát hóa

    • Phân tích toán học về deep learning không kết thúc chỉ với năng lực xấp xỉ của ANN và ước lượng sai số của phương pháp tối ưu hóa
    • Khi không thể truy cập trực tiếp phân phối xác suất của bài toán học và phải xấp xỉ bằng số hữu hạn các giá trị hiện thực hóa/dữ liệu, cần ước lượng sai số tổng quát hóa
    • Chapter 12 xem xét ước lượng sai số tổng quát hóa theo xác suất
    • Chapter 13 trình bày ước lượng sai số tổng quát hóa kiểu strong Lp

  • Part V: Phân tích sai số tổng thể

    • Minh họa cách kết hợp sai số xấp xỉ ở Part II, sai số tối ưu hóa ở Part III và ước lượng sai số tổng quát hóa ở Part IV
    • Ví dụ là huấn luyện ANN dựa trên phương pháp tối ưu hóa kiểu SGD sử dụng nhiều khởi tạo ngẫu nhiên độc lập
    • Chapter 14 trình bày phân rã sai số tổng thể phù hợp với bài toán học có giám sát
    • Chapter 15 sử dụng cùng lúc một số kết quả của Parts II, III, IV để xây dựng một phân tích sai số tổng thể mang tính ví dụ

  • Part VI: Deep learning cho PDE

    • Các phương pháp deep learning không chỉ được dùng cho bài toán học dựa trên dữ liệu mà còn để giải xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng (PDE)
    • Part VI xem xét và triển khai 3 phương pháp deep learning phổ biến cho PDE
    • Chapter 16 trình bày physics-informed neural networks(PINNs) và deep Galerkin methods(DGMs)
    • Chapter 17 trình bày deep Kolmogorov methods(DKMs)

Cách truy cập mã và tài liệu

  • Cuốn sách bao gồm nhiều mã nguồn Python
  • Có thể tải mã nguồn từ kho GitHub công khai introdeeplearning/book
  • Trên trang arXiv, cũng có thể nhận mã nguồn bằng cách nhấn “Other formats” rồi chọn “Download source”
  • Chú thích của từng source listing có chứa tên tệp nguồn tương ứng, giúp dễ dàng theo dõi song song công thức, ví dụ trong sách và mã

Bài viết liên quan

1 bình luận

 
GN⁺ 2024-01-02
Các ý kiến trên Hacker News

  • Trông như một tuyển tập tốt giới thiệu các kỹ thuật machine learning tiêu chuẩn bằng ký hiệu toán học khá thống nhất và nhiều chứng minh, nhưng dài 600 trang nên thật sự là một công trình lớn
    Tuy vậy, tôi có cảm giác sách đặt trọng tâm nhiều hơn vào những phần dễ hình thức hóa hơn là những phần sẽ thú vị nếu hiểu được
    Ví dụ, chương SGD được chọn vì tối ưu hóa là lĩnh vực mà các nhà toán học có thể đóng góp thực sự có ảnh hưởng cho machine learning, nhưng phần lớn chứng minh lại khá cơ bản như phân rã bias-variance hay bất đẳng thức Jensen; các định lý thú vị về hội tụ thì chỉ trích dẫn tài liệu chứ không nối tiếp từ các bổ đề trước đó; còn các phương pháp thực sự thú vị như ADAM thì gần như không có chứng minh hay lý thuyết
    Đọc xong chương này có lẽ sẽ hiểu rõ các phương pháp SGD hiện đại và quá trình phát triển của chúng, nhưng có vẻ vẫn khó biết vì sao chúng hoạt động vượt ra ngoài trực giác đã được kiểm chứng bằng thí nghiệm số
    Nếu vậy, có lẽ sẽ hữu ích hơn nếu dành dung lượng cho các chứng minh hội tụ ADAM đã có, thay vì chứng minh nhiều nội dung cơ bản như E(XY)=E(X)E(Y) với các biến ngẫu nhiên độc lập
    Chương ANN cũng có nhiều phần chứng minh dài cho những nội dung cơ bản và kém thú vị hơn; bài về physics-informed neural networks tuy hay nhưng cũng có phần gặp vấn đề tương tự
    Bản thân hướng giải thích các phương pháp machine learning một cách nghiêm ngặt và thống nhất hơn là tốt, nhưng tôi vẫn đặt câu hỏi về cách họ kẻ ranh giới giữa những gì đưa vào và bỏ ra

    • Việc không biết “vì sao các phương pháp đó hoạt động” thực ra chẳng phải là tình trạng hiện tại của cả lĩnh vực sao
      Các chứng minh hội tụ của ADAM cũng không giải thích được vì sao ADAM có xu hướng hoạt động tốt hơn các phương pháp khác
      Khó trách họ vì không giải thích được điều mà hiện nay chưa ai hiểu, nhưng nếu lý thuyết không dự đoán được những điều thật sự quan trọng thì chính ý tưởng giáo dục lấy lý thuyết làm trung tâm cũng trở nên yếu đi

  • Ai muốn nhìn deep learning theo hướng toán học sâu hơn thì cuốn sách của Francois Fleuret https://fleuret.org/francois/lbdl.html cũng đáng xem
    PDF miễn phí, còn bản in thì khá dễ thương

    • Không biết có ai tìm được cách in sách của Fleuret cho đúng trên giấy A4 chưa
      Lần nào tôi thử, máy in hai mặt cũng làm cứ cách một tờ lại bị lật ngược trên dưới, gây ra vấn đề
    • Tôi tò mò không biết so với cuốn sách trong bài gốc thì điểm nào nổi bật hơn

  • Tôi tò mò liệu mọi người có thật sự đọc hết những cuốn sách như thế này từ đầu đến cuối không
    Tôi đang xem PRML của Bishop, và để thật sự hoàn thành sách cùng tất cả bài tập thì mất cực nhiều thời gian
    Tôi thấy có người làm việc tương tự viết trên blog rằng mất hơn 1500 giờ
    Trong chương trình thạc sĩ của tôi, không ai hoàn thành một cuốn như vậy cả; chúng tôi chỉ học các môn rồi phần còn lại cần gì thì Google

  • Với một người có kiến thức lập trình sâu hơn toán học, ký hiệu toán học ở đây khó hiểu hơn code
    Thậm chí còn cảm thấy khó hơn cả code viết bằng một ngôn ngữ lập trình mình không biết
    Tôi tò mò liệu những người có nền tảng toán mạnh hơn có thấy các biểu thức toán học như thế này dễ hiểu hơn mã nguồn không

    • Tôi có bằng tiến sĩ toán và kinh nghiệm postdoc, sau đó chuyển sang làm thực hành deep learning, và năm nay đã dạy deep learning cho sinh viên thạc sĩ toán-thống kê
      Tôi đã cố trình bày các khái niệm bằng toán học chính xác nhất có thể, nhưng rốt cuộc vẫn tránh kiểu ký hiệu nặng nề như trong sách này, cắt bớt nhiều phần toán để sinh viên có thể dùng được trong công nghiệp, và lớp học thực tế có nhiều code hơn công thức rất nhiều
      Nếu cố viết mọi thứ thật chính xác, nó rất nhanh trở nên rối rắm
      Trong toán học, việc tìm ký hiệu tốt cho một khái niệm mới là cực khó; những ký hiệu về sau ai cũng thừa nhận là rõ ràng như ký hiệu Einstein, giản đồ Feynman hay ký hiệu ma trận ban đầu thường cũng do những người kiệt xuất tạo ra
      Việc chép lại lĩnh vực A bằng ký hiệu của lĩnh vực B không tự nhiên trở nên hữu ích; ngay cả việc dịch cơ học lượng tử sang toán học như đại số C* cũng là một công trình lớn và đến nay vẫn phần nào là một lĩnh vực nghiên cứu mở
      Vì vậy, nỗ lực viết nên cuốn sách này hẳn là khổng lồ, nhưng tôi cho rằng hiệu dụng thực tế có thể thấp
      Những người đọc thoải mái được các phương trình kiểu này thường vốn không cần chúng; chẳng hạn nếu đã biết biến đổi affine thì gần như không cần nhìn tất cả chỉ số ijkl của tensor 4 chiều được viết tường minh
      Ngược lại, những người không như vậy rất dễ bị dọa và lùi bước
    • Ký hiệu toán học cô đọng hơn nên có thể mất thời gian để quen
      Một lý do là nó được tối ưu cho viết tay
      Viết code chương trình bằng tay rất nhàm chán, nên có thể hiểu vì sao ký hiệu toán học lại có hình dạng như vậy
      Hơn nữa, không có thứ gì tương ứng với “đoạn code đó” cho ký hiệu toán học
      Ký hiệu toán học dùng để phát biểu các sự kiện hay mệnh đề toán học, khác với mục đích của code triển khai thuật toán deep learning
    • Cuốn sách này do các nhà toán học ứng dụng viết cho toán ứng dụng, và dù lời nói đầu nói đây là sách dành cho các nhà khoa học, một số nhà khoa học lý thuyết và kỹ sư thực chất khá gần với nhà toán học ứng dụng
      Vì thế chủ đề và cách giải thích nghiêng về những người như vậy
      Chẳng hạn trong deep learning thực tế, tôi gần như chưa từng thấy ai lo về điều kiện tồn tại và duy nhất của thuật toán tối ưu hóa dựa trên gradient, nhưng những kết quả như thế lại là chủ đề mà những người này quan tâm và viết bài
      Ngay từ tiêu đề đã nói đây là sách bàn về nền tảng lý thuyết của lĩnh vực này, nên bản thân cách tiếp cận đó không có gì đáng ngạc nhiên
      Những cuốn sách kiểu này thường không được đọc từ đầu đến cuối, mà người ta chỉ đào sâu vài chương có kỹ thuật liên quan đến nghiên cứu của mình
      Khi nghiên cứu, tôi cũng từng dùng một tuyển tập bài viết dài dòng tương tự, nhưng phần cốt lõi tôi quan tâm chỉ khoảng 20–30 trang
      Về cả độ nghiêm ngặt lẫn lượng nội dung, nó quá dài dòng so với khẩu vị của tôi
      Ví dụ họ đưa bất đẳng thức Gronwall vào làm bổ đề và chứng minh; dù phiên bản họ dùng có hơi tổng quát hơn so với loại tôi thường thấy, bất đẳng thức Gronwall là công cụ rất chuẩn trong phân tích phương trình vi phân thường, đến mức các sách lý thuyết điều khiển nghiêm ngặt mà tôi có cũng chỉ cho tài liệu tham khảo chứ không chứng minh để tránh rối
      Tiêu chuẩn chứng minh càng cao và càng muốn đặt ít giả thiết thì sự dài dòng kiểu này càng xuất hiện
    • Cả ba tác giả đều là tiến sĩ toán hoặc nghiên cứu sinh tiến sĩ, nên ký hiệu cực kỳ dày đặc
      Tôi tò mò độc giả mục tiêu “sinh viên và nhà khoa học” chính xác là ai
    • Dù có nền tảng toán mạnh, tôi vẫn thấy ký hiệu hoàn toàn vô lý
      Ngay từ đầu chương 1 đã có chỉ số dưới nằm trong chỉ số dưới, rồi tổng với chỉ số dưới gắn trong chỉ số trên, sau đó đi vào một chuỗi hợp thành hàm khổng lồ
      Về sau, chỉ số dưới sâu tới 4 tầng, họ tạo ít nhất 3 toán tử trung tố mới, định nghĩa 30 ký hiệu mới từ ba bảng chữ cái khác nhau, trong khi vẫn chưa đến 100 trang trên tổng số 600 trang
      Tôi không hiểu thứ này được viết ra để ai theo kịp và tiêu hóa nổi

  • Tôi đã xem khá nhiều sách cố giải thích deep learning từ góc độ toán học, nhưng lần nào cũng thấy ngạc nhiên
    Deep learning hiện nay rõ ràng là một khoa học thực nghiệm, và tôi nghĩ không có nhiều công trình lý thuyết có ảnh hưởng đủ lớn để đưa vào sách
    Ngay cả trong số những cuốn như vậy, cuốn này có vẻ gần như là tệ nhất một cách chủ động
    Nó dành khá nhiều trang để chứng minh các bổ đề hầu như không đem lại thêm hiểu biết gì và cũng chỉ liên quan lỏng lẻo đến deep learning; còn phần lớn code thì là code vẽ đồ thị mà tôi không hiểu vì sao lại đưa vào
    Tôi nghĩ sẽ có rất ít người đọc phần lớn cuốn sách này
    Tôi vẫn cho rằng giáo trình tốt nhất là Deep Learning của Goodfellow và cộng sự, cùng với Understanding Deep Learning hiện đại hơn (https://udlbook.github.io/udlbook/)

    • Cuốn này không nhắm đến người làm thực hành, nhưng tôi cũng không thấy có lý do để gọi nó là “tệ nhất một cách chủ động”
      Dù tuyến đầu của deep learning mang tính thực nghiệm rất cao, vẫn có những nghiên cứu thú vị cố hiểu không chỉ kỹ thuật nào chạy tốt mà còn vì sao chúng hoạt động
      Nói rằng chứng minh không phải là cách tốt để đạt được hiểu biết là vô lý
      Nó không phù hợp với tất cả mọi người, nhưng một cuốn sách có tiêu đề “nhập môn toán học về x” đương nhiên dành cho người đã được đào tạo toán ở mức nào đó, và với độc giả như vậy, bổ đề cùng chứng minh của chúng là cách tự nhiên để xây dựng hiểu biết
    • UDL cũng có khá nhiều ký hiệu toán học dày đặc
      Toán học không chỉ là chứng minh, mà còn là một phương thức giao tiếp
      Có nhiều cách giải thích mạng nơ-ron hoạt động như thế nào: hình vẽ, code, lời văn, và cả ký hiệu toán học khá dày đặc
    • Nền tảng toán học chỉ bắt đầu có ý nghĩa sau khi đã hiểu chủ đề ở một mức nào đó, nên có vẻ mọi người thường giả định sai rằng hiểu toán sẽ giúp học toàn bộ chủ đề
      Thường thì dễ hơn nếu trước hết có trực giác rồi mới hiểu các phần kỹ thuật, thay vì xây dựng trực giác từ lý thuyết
      Điều này nhìn chung đúng trong các khoa học chính xác, đặc biệt là toán học, vì vậy các ví dụ rất hữu ích

  • Tôi tự hỏi liệu lý do deep learning là khoa học thực nghiệm có phải đều là vì sợ toán không
    Đây là một lĩnh vực phong phú không kém vật lý hiện đại, nhưng kỳ lạ là hầu hết người làm thực hành dường như vẫn muốn nghĩ về nó như thời miền Tây hoang dã

    • Không
      Cũng có rất nhiều nhà nghiên cứu deep learning thiên về toán học mạnh
      Lý do deep learning là khoa học thực nghiệm là vì các công cụ toán học hiện có của chúng ta chưa đủ để giải thích và dự đoán các hiện tượng quan sát được bằng một lý thuyết thống nhất
      Gọi là khoa học thực nghiệm không có nghĩa lĩnh vực này là “miền Tây hoang dã”
      Các mô hình deep learning có thể là đối tượng của những thí nghiệm có kiểm soát và lặp lại được, qua đó trong đa số trường hợp ta có thể cải thiện hiểu biết về điều gì sẽ xảy ra
      Người làm thực hành giỏi biết điều này
    • Có một chút cả hai
      Có thể làm được rất nhiều việc mà không cần nhiều toán vượt quá đại số tuyến tính, giải tích và xác suất bậc đại học; những kiến thức đó chủ yếu dùng để tạo trực giác và hình thức hóa phần nào bài toán đang giải
      Ngay cả gần như không làm toán, vẫn có thể đạt kết quả, kể cả những kết quả ấn tượng
      Kết quả là mọi người trình diễn và giải quyết các bài toán mới theo hướng thực nghiệm rất nhanh, nhanh hơn nhiều so với tốc độ xuất hiện các kết quả lý thuyết giải thích vì sao chúng hoạt động
      Có nhiều lý do khiến lý thuyết khó, nhưng một điểm lớn là nhiều trường hợp thành công của deep learning không khớp tốt với các khuôn khổ sẵn có như thống kê học hay điều khiển tối ưu, nên khó giải thích

  • Tôi tự hỏi có ai thực sự dùng phần toán này không
    Phỏng đoán của tôi gần với “không”, và nhìn tích cực lắm thì nó chỉ giống như một kiểu chỗ dựa tinh thần giúp các nhà nghiên cứu deep learning yên tâm rằng việc họ muốn làm không phải là bất khả thi
    Nếu tôi sai thì tôi sẵn lòng thừa nhận

    • Có một điều tôi luôn nói với sinh viên
      Không nhất thiết phải cần toán để tạo ra một mô hình tốt, nhưng muốn biết vì sao mô hình sai thì phải biết toán
      Vì vậy toán là cần thiết
      Không có toán, ta sẽ tự lừa mình rằng chỉ cần tăng quy mô là có thể đạt AGI
      Bạn sẽ dùng Transformer ở khắp nơi vì ai cũng dùng, và sẽ bối rối giữa các hàm kích hoạt
      Có thể tạo ra một mô hình hoạt động, nhưng có khác biệt rất lớn giữa một mô hình hoạt động và việc dự đoán nó sẽ thất bại ở đâu cũng như hiểu các giới hạn của nó
      Có vẻ nhiều người chỉ nhìn kết quả trên tập kiểm thử rồi kỳ vọng mô hình không bị overfit
      Chưa kể đến việc tinh chỉnh siêu tham số dựa trên kết quả của tập kiểm thử
    • Gọi là “chỗ dựa tinh thần” thì là đánh giá quá thấp
      Hãy tưởng tượng khoa học máy tính không có lý thuyết với các thuật toán sắp xếp, thuật toán tìm kiếm có tính đúng đắn được chứng minh và các tính chất đã biết
      Phần toán này đóng vai trò giống như lý thuyết khoa học máy tính
      Nếu chỉ fit mô hình bằng một thư viện như Keras thì đúng là bạn không thực sự “dùng” phần toán đó
      Nếu dataset nhỏ hơn một kích thước nhất định, bài toán dưới một độ phức tạp nhất định, và mô hình đã được triển khai nhiều năm nên các tính chất của nó đã được nghiên cứu kỹ, thì biết toán lơ mơ cũng có thể làm được nhiều việc
      Điều này giống như vẫn có thể tạo một webapp hoàn toàn hoạt động được dù không hiểu sâu runtime của Python hay Java vận hành thế nào
      Nhưng nếu không biết nguyên lý hoạt động thực sự, bạn sẽ mắc kẹt khá nặng khi gặp tình huống chưa có sẵn trong thư viện
      Muốn thấy điều gì xảy ra khi thiếu nền tảng toán và thống kê, hãy nhìn vào thế hệ sinh viên tốt nghiệp “data science” hiện nay không biết các nền tảng đó
      Vấn đề tuyển dụng cũng có nhiều nguyên nhân, nhưng cuối cùng lý do họ không kiếm được việc là vì họ chưa từng bị buộc phải học những thứ này nên không thực sự biết mình đang làm gì
    • Một số người thích suy nghĩ và giao tiếp bằng ký hiệu toán học dày đặc
      Vì vậy có người dùng nó
    • Ở phần nửa sau của sách, nơi bàn về PINN và các phương pháp phương trình vi phân riêng phần khác, nó giúp nhìn các phương pháp này trong cùng một khuôn khổ như giải tích hàm được dùng khi phát triển các phương pháp giải tích số truyền thống
      Trong trường hợp này, nó cung cấp cho người làm thực hành một cách để kiểm chứng tính nhất quán vật lý giữa nhiều phương pháp
    • Theo phần tóm tắt, có vẻ sách bàn về nhiều kiến trúc ANN, thuật toán tối ưu, và có lẽ cả lan truyền ngược
      Vậy thì tôi nghĩ đó chẳng phải là những thứ người làm machine learning dùng hằng ngày sao

  • Tôi tự hỏi việc đưa một cuốn sách, đặc biệt là sách vừa mới ra, lên ArXiv ngay có phổ biến không

    • Sách được cung cấp online tại vị trí chính thức không phải là quá hiếm
      Ít nhất tôi thỉnh thoảng thấy điều này ở giáo trình toán học và khoa học máy tính